Primera presentación correspondiente al módulo de análisis numérico

1. Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software

2. Para representar los números reales se introduce el punto
decimal. De esta forma, los números positivos menores que la
unidad se representan como
Dado que los números reales pueden tener un número infinito de dígitos,
los números reales se representan en un ordenador mediante un formato
denominado de punto flotante, que utiliza sólo un número finito de dígitos.
0.a1a2…an = a110-1+ a210-2+…+ an10-n
Por Ejemplo:
0.123 = 1x10-1 + 2x10-2 + 3x10-3
456.123 = 4x102 + 5x10 + 6 + 1x10-1 + 2x10-2 + 3x10-3

3. Una máquina generalmente no almacena una cantidad
matemática x sino una aproximación binaria a x llamada
representación de punto flotante, denotada por fl(x) y de la
forma:
La cantidad s indica el signo del número, la cantidad 1; f es
la fracción y se encuentra en base 2, y la cantidad n es el
exponente.
fl(x) = (-1)s (1 f) x 2n

4. El valor del exponente de 8 bits varía de (00000000)2 = 0 a
(11111111)2 = 255 para enteros positivos y no permitiría
representar exponentes negativos; por esta razón el valor
binario del exponente n no se almacena directamente y en vez
de ello se almacena en forma sesgada como un valor no
negativo c. La relación del exponente n en términos del valor
almacenado c y el sesgo b es: n = c – b. Para el caso del
formato de 32 bits b = 127.
n = c – b

5. Ejemplo: Represente en un formato de precisión simple los números
a). x = 13.625 b). y = - 0.375
Solución:
Primero se escribe el número en notación de punto flotante base 2
de la forma fl(x) = (-1)s (1 f) x 2n y luego se lo almacena en el
formato.
a). x = 13,625 = 1101,101
= 1,101101 x 23
fl(x) = (-1)0 (1,101101) x 23
n = c – 127
3 = c –127
c = 130 = (10000010)2

6. La representación de x = 13,625 en el formato de precisión simple es:
0 10000010 10110100000000000000000
Signo del
Número
Exponente
Sesgado
Parte fraccionaria

7. b). y = -0,375 = -0,011
= -1,1 x 2-2
fl(x) = (-1)1 (1,1) x 2-2
n = c – 127
-2 = c –127
c = 125 = (01111101)2
La representación de x = 13,625 en el formato de precisión simple es:
1 01111101 10000000000000000000000
Signo del
Número
Exponente
Sesgado
Parte fraccionaria

8. Número finito de caracteres para representar un número

9. El fallo de un misil Patriot
El 25 de febrero de 1991 una
batería de misiles patriot en
Dharan, Arabia Saudita, no pudo
detener un misil SCUD Iraquí
impactando directamente en una
barraca con 28 marines.
De acuerdo a un informe oficial sabemos que el misil patriot falló
debido a un error acumulado en el cronómetro interno. Resulta que el
software usaba un contador que debía incrementarse cada 0,1
segundos para sus cálculos. La batería de misiles patriot llevaba
operando 100 horas, lo que acumuló un error de 0,34 segundos, dado
que el misil scud se mueve a 1.676 metros por segundo, el misil
patriot al ser lanzado ya estaba “desplazado” en casi medio kilómetro
del objetivo.

10. El fallo de un misil Patriot

11. ea = b - a
Por Ejemplo:
Tenemos a = 22.43 con un ea = 0.01221
Ahora a = 0.02243 con el mismo error absoluto
b sería igual a 0.03464
0.01221 = b - 22,43
b = 22.44
El número b = 0.03464 no coincide con a en ninguno de sus dígitos.
Aunque un error de 0.01 pueda parecer pequeño, lo será sólo si el
número original es grande. Por ello, el error absoluto no nos permite
decidir correctamente si un error es grande o no lo es.

12. Con los mismos datos anteriores, por ejemplo:
Tenemos a = 22.43 con un er = 0.01221
Ahora a = 0.02243 con el mismo error relativo
b sería igual a 0.02270
0.01221 = (b - 22,43)/ 22,43
b = 22.7
El número b = 0.02270, que también coincide en dos dígitos significativos con a. De esta
forma vemos que el error relativo nos indica claramente el número de dígitos en los que
coinciden el número original y su aproximación.
Podemos interpretar el error relativo de forma porcentual, si lo
multiplicamos por 100. Por ejemplo, el error relativo er = 0.01 significa un
error del 1%. Cuando decimos que dos números se aproximan hasta en un
5% queremos decir que su error relativo es de 0:05.

13. Consideremos los números reales 2/3 = 0.6666 …, y 0.25977…, que
tiene un número infinito de dígitos en el sistema decimal.

14. 1. Represente en un formato de precisión simple los números:
2. Determinar el error relativo y absoluto de los siguientes valores:
3. Analizar el truncado y redondeo de las siguientes cifras para
mantisas de 3 y 5
• 23.568
• -6.87
• 0.698
• 756.87
a b
15,035 15,033
4,6666 4,6667
3,125444 3,125
• 3.1415926
• 2.7182818
• 5.3333333
• 458.5498789