1. Teoría de Conjuntos

2. Conceptos básicos Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplos:

3. NOTACIÓN Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma o comas. Ejemplos: El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, …, x, y, z. Se escribe: L={a, b, c, …, x, y, z}. El conjunto computadora; CPU, Memoria, Dispositivos E/S: C={cpu, memoria, dispositivos de entrada y salida}

4. En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }. El conjunto {mouse, mouse, teclado, teclado, monitor, monitor, monitor} será {mouse, teclado monitor}. Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q). Ejemplo: C= {memoria, cpu, disp. de entrada y salida} su cardinal n(A)= 3 B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal n(B)= 3

5. Relación de Pertenencia Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {Partes que componen una computadora} Procesador y se lee “Procesador pertenece al conjunto M” Teléfono y se lee “Teléfono no pertenece al conjunto M”

6. Determinación de conjuntos Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión POR EXTENSIÓN.- Es la forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos de un conjunto.Ejemplo: A) El conjunto de las partes que integran el CPU A={Unidad de control, unidad lógico aritmética} B) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. B = { 6,8,10,12,14,16,18 } II) POR COMPRENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. P = { los programas de la suite Microsoft Office} se puede entender que el conjunto P esta formado por los programas Word, Excel, Power-Point, Acces, Publisher.

7. P = { los números dígitos } se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Otra forma de escribir es: P = { x : x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “ Ejemplo: Expresar por extensión y por comprensión a) el conjunto de días de la semana. b) el conjunto de los dispositivos de entrada y salida. Por Extensión : A = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo } Por Comprensión : A = { x : x = día de la semana } Por Extensión : B = { Mouse, teclado, monitor, impresora, scanner, unidad de CD o DVD, disco duro, tarjeta de red, camara} Por Comprensión : B = { x : x = Dispositivo E/S }

8. DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. T M 7 6 (5;8) A (2;4) o 8 4 e a (7;6) i (1;3) 5 1 u 3 2 9

9. CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }. A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } CONJUNTO UNITARIO Es un conjunto que tiene un solo elemento Ejemplos: S = { número de programas que puede ejecutar el CPU }

10. CONJUNTO FINITO Es un conjunto con limitado número de elementos Ejemplos: E = { x:x es el número de procesadores en una computadora} F = { x:x es el conjunto de transiciones de un Autómata Finito Determinísta} CONJUNTO INFINITO Es un conjunto con ilimitado número de elementos Ejemplos: S = { x:x es el número de usuarios de Facebook} T = { x:x es el conjunto de transiciones de un Autómata Finito No Determinísta}

11. CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se representa por la letra U. Ejemplos: El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS. Una computadora es el universo o conjunto universal de los componentes: memoria, cpu y dispositivos de entrada / salida. El servidor de una universidad es el conjunto universo de las bases de datos de los universitarios El sistema operativo LINUX es el conjunto universo de los programas que constituyen el kernel (administrador de memoria, administrador de dispositivos, administrador de procesos, administrador de archivos). El espectro electromagnético es el conjunto universo de la longitud de onda a diferentes frecuencias.

12. CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplos: Números Naturales (N) N ={1, 2, 3, 4, 5, 6, ……} Números Enteros (Z) Z={-N  0  N} Números Racionales (Q) Q={…, -2, -1/2, 1/5, 1/2, 1, 4/3, 2, …} Números Irracionales (I) I={…, sqrt(2), sqrt(3), Pi} Números Reales (R) R ={N  Z  Q  I } Números Complejos (C) C ={R  imaginarios }

13. CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q I Z N

14. CONJUNTOS NUMÉRICOS P={3} EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes conjuntos: Q={-3;3} A ) F = { } B ) C ) D ) E )

17. DEFINICIONES Propiedades del complemento: (Ac)c = A Ac A = U A Ac = 

19. 6. Leyes de acotación A  U = U A  =  7. Leyes de absorción A  (A B) = A A  (A B) = A 8. Leyes de involución (Ac)c = A 9. Leyes 0/1 c = U Uc =  10. Leyes de De Morgan a) (A  B)c = AcBc b) (A  B)c = AcBc 11. Ley de diferencia a) A - B = A  Bc 1. Leyes asociativas a) A  (B  C) = (A  B)  C b)A  (B  C) = (A  B)  C 2.Leyes conmutativas a)A  B = B  A b)A  B = B  A 3. Leyes distributivas a)A  (B  C) = (A  B)  (A  C) b)A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 4. Leyes de Identidad: a)A  = A b)A  U = A 5.Leyes de idempotencia A  Ac= U A  A = A 1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B  C) = (A – B)  (A – C) b). A  (A  C) = A c). [A-(A B)] [B-(A B)] (A  B)=A B d). (A-B)-C=A-(B C)