1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
INTRODUCCION Y CONCEPTOS.
Sonia Almanza.
2C

2. Distribución de Bernoulli
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o
distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científi-
co suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta,
que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para la
probabilidad de fracaso ().
Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza
un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso),
se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de
parámetro .
es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos
resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso). Se de-
nomina así en honor a Jakob Bernoulli.
Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad, estos ensa-
yos están modelados por una variable aleatoria que puede tomar
sólo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para representar
el éxito.
DistribuciónBinomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabi-
lidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n
ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad
fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

3. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto
es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito
y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una
probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experi-
mento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de cal-
cular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n =
1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernou-
lli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución
binomial de parámetros n y p, se escribe:
Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las si-
guientes condiciones
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el
suceso "éxito" y su contrario el suceso "fracaso".
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resul-
tados obtenidos anteriormente, esto es que el valor de la probabili-
dad de cada prueba no se afecta por pruebas anteriores, ni afecta
pruebas futuras.
La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la representamos
por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de el suceso
"fracaso" es 1- p y la representamos por q .
Distribución Poisson

4. En este modulo se describe el uso de la distribución de Poisson para
obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resul-
tado lo representa una variable discreta.
La Distribucion de Poisson se llama asi en honor a su creador, el
francés Simeón Dennis Poisson (1781-1840), esta distribución de pro-
babilidad fue uno de los multiples trabajos matematicos que Dennis
completo en su productiva trayectoria.
La distribución de probabilidad de poisson es un ejemplo de distribu-
ción de probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución
DistribucionBinomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento mu-
chas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en
cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribu-
ción Poisson.
LA FUNCION P(X=K)
A continuación veremos la función de probabilidad de la distribu-
ción de Poisson:
Donde:
P(x=k) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta x
toma un valor finito K.

5. λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,volumen,
area, etc.). es igual a P por el segmento dado. La constante e tiene
un valor aproximado de 2.711828.
K= es el numero de éxitos por unidad.
Aquí se muestran las formulas para determinar la media, la varianza
y la desviación.
Media μ= λ
Varianza σ2 =λ
Desviación típica σ = λ
Distribución NORMAL
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa
por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es
igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual
a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Distribución normal estándar
N (0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella
que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la
unidad, σ =1.

6. La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto
sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X
que sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una
distribución N (0, 1).
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable ti-
pificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).
Φ (k) = P (z ≤ k)
DistribuciónGAMMA
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si
se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un
proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiem-
po transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una dis-
tribución gamma con parámetros a= n lambda(escala) y p=n (for-
ma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el es-
tudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de
memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabili-

7. dad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una
consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segun-
do paciente”).
Distribución t Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es
una distribución de probabilidad que surge del problema
de estimar la media de una población normalmente distribui-
da cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la
determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para
la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre
las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación
típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los da-
tos de una muestra.
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del co-
ciente
donde
 Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
 V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
 Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable
aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con
parámetro de no-centralidad .
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

8. Supongamos que X1,..., Xn son variables aleato-
rias independientes distribuidas normalmente, con media μ
y varianza σ2. Sea
la media muestral. Entonces
sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es
conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relaciona-
do,
Donde
Es la varianza muestral y demostró que la función de den-
sidad de T es
Donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de
Student.
El parámetro representa el número de grados de liber-
tad. La distribución depende de , pero no de o , lo
cual es muy importante en la práctica.