INVESTIGACIÓNOPERATIVAI
ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A”
GRÁFICA DE
DESIGUALDADES
EJERCICIO N° 1
2X1 + 4X2 ≤ 12
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EJERCICIO N°2
3X1 + 6X2 = 17
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ESTRUCTURADELMODELO PL
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5X1+10X2 = 320
X1 X2
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40X2 = 800 -320
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Maximización: Representa el punto más lejo...
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PUNTOS X1 X2 Z
B 20 10 6500
C 20 20 9000
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EJERCICIO Nº 5
Solución única
Función objetivo:
MINIMIZAR Z = ...
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Solución múltiple
Función objetivo:
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Z=5 RA=1;2
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X1 =20/19
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COMPROBACIÓN:
1) 3x1+5x2 ≤ 15
3(20/19)+5(45/19) ≤ 15 15 ≤
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Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de ...
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Problemas no factibles.- tienen un ...
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UNIDAD 1

  1. 1. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” GRÁFICA DE DESIGUALDADES EJERCICIO N° 1 2X1 + 4X2 ≤ 12 1) Convertir la desigualdad en igualdad 2X1 + 4X2 = 12 2) Graficar una recta Recta.- representa una ecuación de 1° Curva.- representa una ecuación de 2° X1 X2 0 3 6 0 3) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0) 4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad 2(0)+4(0) ≤ 12 0 < 12 VERDADERO Regresando al paso 3) Si escojo otro punto de ensayo por ejemplo P (6,4) 2(6)+4( 4) ≤ 12 28 ≤ 12 FALSO
  2. 2. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” EJERCICIO N°2 3X1 + 6X2 = 17 X1 X2 0 2.8 5.7 0 P (0,0) 3(0)+6(0) ≥17 0 ≥ 17 FALSO RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO EJERCICIO Nº 3 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60. Solució n
  3. 3. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” ESTRUCTURADELMODELO PL 1. FUNCION OBJETIVO.- Maximizar 2. VARIABLES DE DECISIÓN.- son las incógnitas: liquidaciones X1 y auditorías X2 3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES.- Se dispone de 800 horas de trabajo y 320 de revisión y un máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60 4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos. F.O MAXIMIZAR: Z= 100(X1) +300(X2) 8X1+40X2 ≤ 800 S.a 5X1+10X2 ≤ 320 X1 ≤ 60 Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0 8X1+40X2 = 800 X1 X2 0 20 100 0 8(0)+40(0) ≤ 800 0 ≤ 800 VERDADERO
  4. 4. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” 5X1+10X2 = 320 X1 X2 0 32 64 0 5(0)+10(0) ≤ 320 0 ≤ 320 VERDADERO X1 = 60 PUNTO X1 X2 Z A 0 0 0 B 0 20 6000 C 40 12 7600 D 60 2 6600 E 60 0 6000 Para calcular los puntos C y D por el método de eliminación 8X1+40X2 = 800 5X1+10X2 = 320 (-4) 8X1 +40X2 = 800 -20X1-400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40
  5. 5. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” 8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12 X1 = 60 5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2 Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2 Variables Óptimas (VO): X1 = 40 Restricciones Inactivas: (RI): 3 X2 = 12 COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800 8(40)+40(12) ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800 8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800 h1 = 0 2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320 5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320 5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320 h2 = 0 3) X1 ≤ 60 40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60 40 + h3 = 60 h3 = 20 Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600. Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes.
  6. 6. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” CONCEPTUALIZACIONES Maximización: Representa el punto más lejos del origen. Minimización: Representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- Aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- Aquellas rectas que no forman parte de la solución. HOLGURA Y EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero. EJERCICIO Nº 4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este? Formulación: F.O. MAXIMIZAR: Z=200(X1) +250(X2)
  7. 7. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” VARIABLES: X1= número de mecánicos X2= número de electricistas X1≥ X2 X1≤ 2X2 Lim. X2≤ 30 X1≤ 20 C.T X1, X2 ≥ 0 X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20 X1 X2 X1 X2 0 0 0 0 5 5 10 5 10 10 20 10 15 15 30 15 20 20 40 20
  8. 8. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” PUNTOS X1 X2 Z B 20 10 6500 C 20 20 9000 SO. Z= 9000 V.O. RA=1, 4 X1= 20 RI= 2, 3 X2=20 COMPROBACIÓN 1) X1≥ X2 20≥20 Hay equilibrio 2) X1≤ 2X2 20 ≤ 2(20) 20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2 20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40 H1 = 20 3) X2≤ 30 20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 3 0 H2 = 10 4) X1≤20
  9. 9. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” EJERCICIO Nº 5 Solución única Función objetivo: MINIMIZAR Z = 2X + 3Y -3x+2y ≤ 6 s.a X +y ≤ 10.5 -x+2y ≥ 4 CONDICIÓNTÉCNICA X,Y ≥ 0 PUNTOS X Y Z A 0 2 6
  10. 10. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” EJERCICIO Nº 6 Solución múltiple Función objetivo: MAXIMIZAR Z= 5/2X1 + X2 3x1+5x2 <=15 SA 5X1 +2x2<=10 CONDICIÓNTÉCNICA X1;x2 ≥ 0 1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10 X1 X2 0 5 2 0 S.O Z=6 RA=3 RI=1,2 V.O X =0 Y= 2 COMPROBACIÓN: 1) -3x+2y ≤ 6 -3(0)+2(2) ≤ 6 4 ≤ 6 HAY HOLGURA-3(0)+2(2)+H1=6 4+H1=6 H1=3 2) X +y ≤ 10.5 0+2 ≤ 10.5 2 ≤ 10.5 HOLGURA(0)+2+H2=10.5 2+H2=10.5 H2=8.5 3) -x+2y ≥ 4 -0+2(2) ≥ 4 4 ≥4 X1 X2 0 3 5 0 0 ≤ 15 0 ≤ 10 Verdad Verdad
  11. 11. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” SO Z=5 RA=1;2 V.O X1 =20/19 X2= 45/19 POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS X1 DESDE 20/19HASTA 45/19 20/19 ≤ X1 ≤ 2 X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19 DONDE Z= 5 Para calcular el Punto C 3x1+5x2 =15 (-2) 5X1 +2x2=10(5) -6x1-10x2 =-30 25X1 +10x2=50 19x1 0 =20 X1=20/19 3(20/19)+5x2 =15 60/19+5x2 =15 X2 =45/19 PUNTO C= (20/19; 45/19)
  12. 12. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” COMPROBACIÓN: 1) 3x1+5x2 ≤ 15 3(20/19)+5(45/19) ≤ 15 15 ≤ 15 2) 5X1 +2x2 ≤ 10 5(20/19)+2(45/19) ≤ 10 10 ≤10 EJEMPLO # 7 NO ACOTADO.- una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente. Función objetivo: MAXIMIZAR Z= 5000A + 4000B A+B>=5 SA A-3B<=0 30A+10B>=135 CONDICIÓNTÉCNICA A;B ≥ 0 1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135 A=3B A BA B A B 0 13.53 10 5 4.5 015 55 0 0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135 Falso Verdad Falso No acotada no hay solución
  13. 13. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” EJERCICIO Nº 8 Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. FORMULACIÓN: FO. Z = 150A + 300B RESTRICCIONES 8A +2B ≥ 16 SA A + B ≥ 5 2A+7B ≥ 20 CONDICIÓNTÉCNICA A, B ≥ 0 1) 8A +2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A+7B ≥ 20 A B A B A B 0 8 0 5 10 0 2 0 5 0 0 2,86 = 3 0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20 Falso Falso Falso
  14. 14. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” COMPROBACIÓN EJERCICIO Nº9 Problemas no factibles.- tienen un conjunto factible vacío MAXIMIZAR Z= 3000E + 4000F E +F ≤ 5 E -3F ≤ 0 SA 10E + 15F ≤ 150 20E + 10F ≤ 160 30E +10F ≥ 150 CONDICIÓN TÉCNICA.- E,F ≥0 PUNTOS X1 X2 Z B 1 4 1350 C 3 2 1050 SO Z= 1050 RA= 2,3 VO RI= 1 A= 3 B= 2
  15. 15. INVESTIGACIÓNOPERATIVAI ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A” No tienen solución

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