1. XXVIII
Olimpiada

2. ADORNANDO FACHADAS:
En Todolandia existe una gran competencia entre todos los vecinos
y vecinas de todos los barrios, en el adorno de todas las fachadas, para
ver quien gana el concurso convocado por el Ayuntamiento.
Las fachadas de sus casas están adornadas con macetas, pero la
cantidad de éstas depende de la numeración del portal de cada casa.
En el lujoso barrio Decoralotodo el portal nº 1 tiene 2 macetas en su
fachada, en el portal nº 2 tiene 6 macetas, en el portal nº 3 la cantidad de
macetas es 12 y en el portal nº 4 hay 20 macetas.
En el majestuoso barrio vecino de Embellecelotodo, en la fachada
del portal nº 1 sólo hay una maceta, en el portal nº 2 tiene 6 macetas, en
el portal nº 3 la cantidad de macetas es de 13 y en el portal nº 4 hay 22
macetas.
Averigua cuántas macetas hay en los portales números 5 y 10 de
cada barrio. Y busca una forma de cómo podemos calcular la cantidad
de macetas que habría en cualquier portal de estos prestigiosos barrios
todolandeses. Razona las respuestas.
Solución Menú

3. Solución:
Empecemos por el lujoso barrio Decoralotodo.
Observa los datos con atención:
nº 1  2 macetas
nº 2  6 macetas
nº 3  12 macetas
nº 4  20 macetas
Encuentra algo en común en estos datos para poder responder
a la primera pregunta.
¿Cuántas macetas hay en el portal nº 5?
Enunciado Menú

4. Solución:
Descompongamos en un producto de dos factores el número de
macetas que hay en cada portal:
20 = 4 x 5
12 = 3 x 4
6=2x3
2=1x2
Ya te habrás dado cuenta que la cantidad de macetas es igual al
producto del número del portal por el número del siguiente.
Por lo tanto en el portal nº 5 hay 5 x 6 = 30 macetas
¿Cuántas macetas hay en el portal nº 10?
¿Cuántas macetas habrá en cualquier portal del barrio?
Enunciado Menú

5. Solución:
En el portal 5 hay 5 x 6 = 30 macetas
En el portal 10 hay 10 x 11 = 110 macetas
En el portal n hay n · (n + 1) = n2 + n macetas
A continuación vayamos a ver que ocurre en el majestuoso
barrio Embellecelotodo
Enunciado Menú

6. Solución:
Continuemos ahora con el majestuoso barrio Embellecelotodo.
Observa los datos con atención:
nº 1  1 macetas
nº 2  6 macetas
nº 3  13 macetas
nº 4  22 macetas
Encuentra algo en común en estos datos para poder responder
a la primera pregunta.
¿Cuántas macetas hay en el portal nº 5?
Enunciado Menú

7. Solución:
Hallemos la diferencia que hay entre dos portales consecutivos:
6 – 1 = 5 (2 · 2 + 1) En el 2º portal hay 5 macetas más que en el 1º
13 – 6 = 7 (2 · 3 + 1) En el 3º portal hay 7 macetas más que en el 2º
22 – 13 = 9 (2 · 4 + 1) En el 4º portal hay 9 macetas más que en el 3º
Por lo tanto en el 5º portal habrá 11 (2· 5+1) macetas más que en el 4º
22 + 11 = 33 macetas
¿Cuántas macetas hay en el portal nº 10?
¿Cuántas macetas habrá en cualquier portal del barrio?
Enunciado Menú

8. Solución:
Si seguimos con esta estrategia para calcular las macetas del
portal 10 nos haría falta saber cuantas macetas hay en el portal 9
para añadirle 21 (2 · 10 + 1).
Y para averiguar las macetas del portal n entonces tendríamos
que saber cuántas hay en el portal n–1 para añadirle 2·n + 1
Busquemos otras estrategias:
1 = (1 + 1)2 – 3 1 = 12 + 2 (1 – 1)
6 = (2 + 1)2 – 3 6 = 22 + 2 (2 – 1)
13 = (3 + 1)2 – 3 13 = 32 + 2 (3 – 1)
22 = (4 + 1)2 – 3 22 = 42 + 2 (4 – 1)
En el portal 5 hay (5 + 1)2 – 3 = 52 + 2 (5 – 1) = 33 macetas
En el portal 10 hay (10 + 1)2 – 3 = 102 + 2 (10 – 1) = 118 macetas
En el portal n habrá (n + 1)2 – 3 = n2 + 2 (n – 1) macetas
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9. Solución:
Pongamos en una tabla todas las respuestas
Decoralotodo n (n + 1)
2 6 12 20 30 … 110 …
(cantidad de macetas) n2 + n
Número del portal 1 2 3 4 5 … 10 … n
Embellecelotodo (n + 1)2 – 3
1 6 13 22 33 … 118 …
(cantidad de macetas) n2 + 2 (n – 1)
YA TENEMOS LAS SOLUCIONES
… pero ¿habrá más formas de encontrarlas?
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