USACH Cálculo Avanzado

Universidad de Santiago de Chile.
Facultad de Ciencia
Departamento de Matem´atica y C. C.
C´alculo Avanzado
Miguel Martinez - Carlos Silva - Emilio Villalobos

Derechos de Autor
Autor: c Universidad de Santiago de Chile
Se autoriza la reproducción parcial o
total de esta obra, con fines académicos,
por cualquier forma, medio o procedimiento,
siempre y cuando se incluya la cita
bibliográfica del documento.

Agradecimientos
Este texto fue financiado en el marco de los proyectos concursables de
innovación docente que promueve anualmente la Universidad de Santiago de
Chile a través de la Vicerrector´ıa Académica por intermedio de la Dirección
de Docencia.
El centro motor que motivó a los autores a emprender tan significativo
desaf´ıo fue su compromiso con el proceso de enseñanza aprendizaje que se
lleva semestre a semestre en la Universidad de Santiago, con los estudiantes
de ingenier´ıa quienes tienen el imperativo de mejorar sus aprendizajes y elevar
sus estándares de competencias con la finalidad de que puedan asumir con
propiedad el desaf´ıo de sus asignaturas profesionales y de especialidad con
un mayor empoderamiento en el contexto de: teor´ıa, práctica y aplicaciones
a problemas en las áreas de sus distintas especialidades.
En general, cada cap´ıtulo comienza con una presentación de definiciones,
principios y teoremas, junto con material ilustrativo. Los problemas resueltos
sirven para ilustrar la teor´ıa y suministrar herramientas de análisis de los
principios básicos tan importantes en el aprendizaje activo de los estudiantes.
El gran número de problemas resueltos y aplicaciones sirven para encauzar el
aprendizaje del material, as´ı como las autoevaluaciones propuestas al fin de
cada unidad. Hemos escogido un enfoque y nivel de profundidad de acuerdo
con lo que se espera del curso de Cálculo Avanzado, asignatura que se imparte
durante el tercer semestre del Plan Común de la Carrera de Ingenier´ıa Civil
de la Facultad de Ingenier´ıa de Universidad de Santiago de Chile.
El objetivo del primera parte de este texto es presentar los conceptos
básicos y las aplicaciones de las series de Fourier, y las funciones integrales,
como asimismo, ilustrar su utilización en la resolución de problemas de ecua-
ciones en derivadas parciales y aplicaciones en el campo de la f´ısica e inge-
nier´ıa.
En la segunda parte se abordan los temas de funciones vectoriales y cálcu-
lo diferencial de funciones de dos o más variables y sus aplicaciones, incluyen-
do aplicaciones e interpretaciones geométricas y f´ısicas que contribuyan a la
comprensión de los estudiantes.
Unido a lo anterior, en la tercera parte se incluyen los temas de integración
múltiple, integral de l´ınea , superficie y los teoremas de Green, Gauss y Stokes
por sus múltiples aplicaciones en los campos de la f´ısica y ciencias de la
ingeniera
Finalmente, queremos aprovechar la ocasión para expresar nuestro es-
pecial agradecimiento hacia nuestros colegas de la Coordinación de Cálculo
Avanzado que con sus cr´ıticas constructivas y opiniones han ayudado a el
i

enriquecimiento del material que conforma este texto. Deseamos también
agradecer la participación directa e indirecta de nuestros estudiantes con los
cuales pusimos a prueba el material que se estaba generando incluyéndolos
en la página web de la asignatura de Cálculo Avanzado.
Agradecemos también muy especialmente la colaboración del profesor
Omar Ramos por la confección de diagramas, figuras e imágenes de fun-
ciones bi y tridimensionales que ilustran conceptos y problemas. También
se encargó de la versión Latex de los distintos archivos que conforman el
manuscrito del texto.
No obstante lo anterior, la responsabilidad por los eventuales errores o
inexactitudes que se puedan encontrar en el texto corresponde a los autores,
quienes estarán atentos para recibir cualquier comentario o sugerencia que
permita mejorar su contenido en las siguientes direcciones:
miguel.martinez@usach.cl, carlos.silva.c@usach.cl,emilio.villalobos@usach.cl.
Los Autores:
Miguel Mart´ınez
Concha Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Mar´ın
ii

Prefacio
El material presentado en el texto contiene los temas tratados en el curso
de Cálculo Avanzado, asignatura semestral para las carreras de Ingenier´ıa
de la Universidad de Santiago de Chile, correspondiente al área de Ciencias
Básicas, tiene por prerrequisitos las asignaturas de Cálculo I y Cálculo II de
primer año. Proporciona los conceptos, habilidades y técnicas que permiten
adquirir las competencias matemáticas alineadas con el perfil de competen-
cias profesionales, necesarias para cursar con éxito las asignaturas de ciencias
básicas de la ingenier´ıa e ingenier´ıa aplicada. Los temas tratados por el texto
y en el orden de aparición son los siguientes: Series e Integrales de Fourier,
que forma parte de este temario porque por razones de tiempo no se incluye
en el Cap´ıtulo de Series de primer año, este tema resulta necesario en la
formación básica de alumnos de ingenier´ıa sobre todo cuando necesiten re-
solver ecuaciones diferenciales parciales usando el método de separación de
variables o bien en aplicaciones en el campo de la ingenier´ıa. Este tema bien
podr´ıa formar parte de un texto de ecuaciones diferenciales. El tema de fun-
ciones vectoriales de una variable real trata la importancia de la derivada de
este tipo de funciones, interpretación geométrica y anal´ıtica, y su aplicación
a problemas de movimiento, comportamiento de curvas, especialmente en lo
que tiene que ver con caracter´ısticas geométricas de ellas. Las funciones es-
calares son tratadas en detalle, se analiza el concepto de l´ımite y continuidad
considerando funciones de dos variables, generalizando en aquellos casos que
lo amerita, se ve el tema de la diferenciación con todas sus potencialidades
que garantizan la derivación tanto la derivación parcial, como la derivación
direccional y derivación impl´ıcita, este tema termina con máximos y m´ıni-
mos y problemas aplicados de optimización. Este último cap´ıtulo tratan los
temas de integración, integrales dobles y triples en coordenadas cartesianas
y generalizando con cambios de coordenadas, integral de l´ınea para funciones
escalares y vectoriales, propiedades de los campos gradientes y el teorema de
Green; integral de superficie para funciones escalares y vectoriales finalizan-
do con el estudio de los teoremas de Gauss y Stokes. Los temas tratados de
acuerdo con los objetivos generales los podemos describir como sigue: Series
e integrales de Fourier
i) Analizar los conceptos asociados a la definición de la Serie de Fourier, sus
propiedades y procedimientos de cálculo, y aplicarlos a la resolución de
problemas de ingenier´ıa.
ii) Formular el concepto de Integral de Fourier, sus propiedades y métodos
de calculo y aplicar esta información en la solución de problemas de
ingenier´ıa.
iii

Funciones vectoriales
i) Analizar el concepto de diferenciación de funciones vectoriales, sus propiedades,
procedimientos para realizar cálculos y aplicarlos a la resolución de
problemas de Ciencia e Ingenier´ıa
ii) Utilizar los conceptos de vector tangente, normal , binormal, curvatura
y torsión e identidades de Frenet sus propiedades y procedimientos de
cálculos para emplearlos en la resolución de problemas.
Diferenciación parcial
i) Definir los conceptos de l´ımite, continuidad y describir las caracter´ısticas
gráficas de las funciones de varias variables en IR2 en IR.
ii) Analizar criterios para reconocer y evaluar la diferenciabilidad de una
función escalar de varias variables, usar su propiedades, métodos de
cálculos para su aplicación a la resolución de problemas de Ingenier´ıa.
iii) Generalizar el concepto de diferenciación para funciones compuestas e
impl´ıcitas de varias variables, sus propiedades, métodos de cálculos y
su aplicación a la resolución de problemas de Ingenier´ıa
iv) Aplicar diferentes métodos para determinar máximo y m´ınimos de una
función de varias variables y utilizarlos en la resolución de problemas
de optimización
Integración
i) Analizar el concepto de integral doble sus propiedades y procedimientos
de cálculo , y su aplicación a problemas de f´ısica e ingenier´ıa
ii) Analizar el concepto de integral triple sus propiedades y procedimientos
de cálculo, y su aplicación en problemas de f´ısica e ingenier´ıa.
iii) Analizar los conceptos de integral de trayectoria e integral de l´ınea, y
utilizar sus propiedades en la resolución de problemas matemáticos, de
f´ısica e ingenier´ıa
iv) Analizar los conceptos de integral de superficie, y utilizar sus propiedades
en la resolución de problemas matemáticos, de f´ısica e ingenier´ıa
Estructura de cada unidad Cada unidad en su desarrollo teórico y
fundamentación matemática enfatiza los conceptos, los teoremas que
avalan los procedimientos y las técnicas de resolución de problemas.
iv

Unido a lo anterior, en cada tema hay una unidad de problemas resuel-
tos, otra de problemas propuestos, algunos con soluciones y una unidad
de aplicaciones a los temas de ingenier´ıa. Finalmente, se incluye tam-
bién un instrumento de autoevaluación que consiste en un test con
problemas de desarrollo que mide el nivel de las competencias cogniti-
vas alcanzado por el estudiante. Este material pretende ser una fuente
de motivación que haga que los estudiantes perseveren en sus estudios
y puedan vencer las dificultades de aprendizaje, y alcanzar niveles que
le permitan rápidamente conectarse con los temas en que está inmerso
un problema y estructurar un a respuesta al problema usando diversas
herramientas matemáticas, esto le dará desde luego un plus durante
toda su vida profesional.
v

Índice general
1. Serie de Fourier 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Lema Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. La serie de Fourier de una función . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Atributos de la función . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Convergencia de las series de Fourier . . . . . . 9
1.3.4. La integral de funciones pares e impares . . . . 15
1.3.5. Teorema de las funciones pares y de las impares 16
1.4. Desarrollos llamados de medio rango . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Extensión impar: . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Extensión par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Diferenciacion e Integración de la series de Fourier . . . 21
1.5.1. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3. Identidad de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1. Criterio de convergencia de la integral de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2. Integrales de Fourier de cosenos y senos . . . . . 31
1.7. Aplicaciones de Series de Fourier . . . . . . . . . . . . 38
vi

1.7.1. Onda cuadrada alta frecuencia . . . . . . . . . 38
1.7.2. Rectificador de onda completa. . . . . . . . . . 39
1.7.3. Ecuación de calor unidimensional . . . . . . . . 40
1.7.4. Ecuación de calor: barra aislada . . . . . . . . 41
1.7.5. Ecuación de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.6. Deflexión de una viga . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.1. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.2. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.10.1. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.11. Auto evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2. Funciones Vectoriales de una variable real 92
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3. L´ımite de una función vectorial. . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.1. Teorema del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.2. Operaciones con funciones vectoriales . . . . . 98
2.3.3. Teoremas del algebra de l´ımites . . . . . . . . . 98
2.3.4. Teorema: producto de función escalar por vec-
torial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5. La Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.6. Regularidad de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6.1. Camino regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.6.2. Propiedades de la Derivada . . . . . . . . . . . 103
2.7. Parametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.7.1. Ejemplos de reparametrizaciones . . . . . . . . 106
2.8. Longitud de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
vii

2.8.1. La Longitud de Arco como Parámetro . . . . . 109
2.8.2. Parametrización por Longitud de Arco . . . . . 111
2.9. Trayectorias y curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.10. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.10.1. Vector Tangente unitario . . . . . . . . . . . . 115
2.10.2. Vector Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.10.3. Vector Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.11. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.11.1. Cálculo de curvatura usando parámetro t cualquiera
en R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.12. Planos por un punto de la curva . . . . . . . . . . . . . 123
2.12.1. Plano Osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.12.2. Plano Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.12.3. Plano Rectificante . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.12.4. Recta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.12.5. Recta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.12.6. Recta Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.13. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.13.1. Cálculo de la torsión usando parámetro t cualquiera
(en R3
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.14. Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.15. Aplicaciones de Funciones Vectoriales y Curvas . . . . 131
2.15.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.16. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.17. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.17.1. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.18. Auto Evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
viii

3. Funciones de varias variables 189
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.2. Funciones Escalares de Variable Vectorial . . . . . . . . 193
3.2.1. Conceptos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2.2. Aspectos Geométrico de las Funciones Escalares 197
3.2.3. Gráfica de una Función . . . . . . . . . . . . . . 197
3.2.4. Curvas y Superficies de Nivel . . . . . . . . . . 198
3.2.5. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.2.6. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.7. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.3. Diferenciabilidad en dos variables . . . . . . . . . . . . 209
3.3.1. Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.3.2. Plano tangente y recta normal . . . . . . . . . . 215
3.3.3. Función Compuesta. La Regla de la Cadena. . . 218
3.3.4. Función Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.3.5. Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.3.6. Máximos y M´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.3.7. Extremos Restringidos . . . . . . . . . . . . . . 233
3.4. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.4.1. Continuidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . 245
3.4.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.4.3. Derivación Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.4.4. Plano Tangente a una Superficie . . . . . . . . . 256
3.4.5. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . 258
3.4.6. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.4.7. Multimplicadores de Lagrange para extremos re-
stringidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.4.8. Aplicación al cálculo de errores . . . . . . . . . 275
3.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.5.1. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.5.2. Diferenciabilidad, continuidad . . . . . . . . . . 277
ix

3.5.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.5.4. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . 280
3.5.5. Puntos cr´ıticos máximos y m´ınimos . . . . . . . 284
3.6. Aplicaciones Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . 286
3.7. Aplicaciones de Máximos y M´ınimos . . . . . . . . . . 289
3.7.1. Aplicación al campo de la mecánica . . . . . . . 289
3.7.2. Aplicaciones a la geometr´ıa . . . . . . . . . . . 292
3.7.3. Aplicación al campo de la econom´ıa . . . . . . 297
3.7.4. Problemas Propuestos de Aplicaciones . . . . . 302
3.8. Auto evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4. Integración Multiple 315
4.1. Integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.1.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.1.2. Integrales sobre conjuntos acotados de R2
. . . 320
4.1.3. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.1.4. Áreas y Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.1.5. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4.2. Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . 333
4.2.1. Masa de una región plana de densidad variable. 333
4.2.2. Momentos y centroide de una región plana . . . 334
4.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.1. Ideas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.2. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.3. Teorema de la integral triple (Para dominios más
generales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.3.4. Cambio de variable para integrales triples . . . 342
4.3.5. Formula del cambio de variable . . . . . . . . . 345
4.3.6. Masa, Momentos, y Centroide de una Región del
Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.4. Ejercicios resueltos integrales triples y dobles . . . . . . 350
x

4.4.1. Cálculo de integrales dobles en coordenadas rectángu-
lares cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4.2. Cambios de orden de Integración . . . . . . . . 361
4.4.3. Cambios de variables: Coordenadas polares . . . 363
4.4.4. Cambios de variables. Coordenadas curvil´ıneas . 367
4.4.5. Cálculo de integrales triples en coordenadas rectángu-
lares cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
4.4.6. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . 377
4.4.7. Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . 380
4.5. Ejercicios propuestos integrales dobles y triples . . . . . 389
4.5.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.5.2. Cálculo de Integrales dobles usando transforma-
ción de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 392
4.5.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
4.5.4. Integrales triples iteradas . . . . . . . . . . . . . 394
4.5.5. Integrales triples en coordenadas rectángulares
cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
4.5.6. Calcular las integrales dadas usando las coorde-
nadas adecuadas: . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.5.7. Resolver las integrales usando coordenadas esféri-
cas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
4.6. Aplicaciones integrales dobles y triples . . . . . . . . . 401
4.6.1. Volumenes de cuerpos en el espacio . . . . . . . 401
4.6.2. Área de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . 404
4.6.3. Momentos y centros de masa para placas planas
delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
4.6.4. Centroide de figuras geométricas . . . . . . . . . 407
4.6.5. Momentos y Centros de masa de un sólido . . . 412
4.6.6. Masa de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.6.7. Determinación del centroide dee un sólido . . . 424
4.7. Autoevaluación Integrales dobles y triples . . . . . . . 426
xi

5. Integral de Linea 436
5.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
5.2. Cambio de parametrización . . . . . . . . . . . . . . . 446
5.2.1. Reparametrización . . . . . . . . . . . . . . . . 447
5.3. Independencia de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . 449
5.4. Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
5.4.1. Campo gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
5.4.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 456
5.5. Aplicaciones de la integral de trayectoria . . . . . . . . 461
5.5.1. Área de una pared . . . . . . . . . . . . . . . . 465
5.6. Aplicaciones de la integral de l´ınea . . . . . . . . . . . 467
5.7.1. Campo conservativo . . . . . . . . . . . . . . . 481
5.7.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 485
5.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
5.8.1. Integral de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . 492
5.8.2. Integral de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
5.8.3. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 494
5.8.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 495
5.9. Autoevaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
6. Integrales de superficie 504
6.1. Superficie orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
6.1.1. Integral de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
6.1.2. Superficies Parametrizadas. . . . . . . . . . . . 510
6.1.3. Vector normal a S : . . . . . . . . . . . . . . . . 510
6.1.4. Área de una superficie parametrizada . . . . . . 513
6.1.5. Integral de una función escalar sobre una super-
ficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
6.1.6. Integral de Superficie de campos vectoriales . . 517
6.1.7. Aplicación al campo de la f´ısica: . . . . . . . . . 519
xii

6.2. Teoremas de Gauss y de Stokes . . . . . . . . . . . . . 519
6.2.1. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
6.2.2. Teorema de la divergencia de Gauss. . . . . . . 520
6.2.3. Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . 524
6.3.1. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . 529
6.3.2. Integral de Flujo de un campo vectorial . . . . . 532
6.3.3. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . 537
6.3.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 543
6.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
6.4.1. Área de una superficie . . . . . . . . . . . . . . 550
6.4.2. Integrales de funciones escalares sobre superficie 553
6.4.3. Integral de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
6.4.4. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . 557
6.4.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 561
6.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
6.5.1. Aplicaciones Integral de Flujo . . . . . . . . . . 564
6.5.2. Aplicación del teorema de Gauss . . . . . . . . 568
6.5.3. Aplicación teorema de Stokes . . . . . . . . . . 573
6.5.4. Aplicacion teorema de Green . . . . . . . . . . 576
6.5.5. Aplicaciones al electromagnetismo . . . . . . . 580
6.6. Auto evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
xiii

Cap´ıtulo 1
Serie de Fourier
En el presente cap´ıtulo se estudiarán los conceptos básicos , métodos
de cálculo de los coeficientes y condiciones de convergencia para repre-
sentar funciones mediante series e integrales de Fourier .
1.1. Introducción
Las funciones periódicas se presentan frecuentemente en una gran var-
iedad de problemas de f´ısica e ingenier´ıa, tales como propagación de
ondas en un medio, conducción del calor a lo largo de una varilla ,
resonancia nuclear magnética ,en consecuencia, abordar la solución de
tales problemas, requiere del estudio de la serie de Fourier.
La serie de Fourier es la representación de una función en términos
de una serie trigonométrica infinita cuyas bases son las funciones seno
y coseno. Algunas de las ventajas de ésta representación sobre otras
representaciones, tales como, las series de Taylor, son:
a) primero, se puede representar funciones periódicas en términos de
las bases seno y coseno que tienen diferentes frecuencias;
b) segundo, se puede representar funciones discontinuas en un punto o
seccionalmente continuas en un número finito de puntos;
c) tercero, permite encontrar la respuesta de un sistema que es pertur-
bado por una función periódica, en términos de una frecuencia funda-
mental y cada una de las frecuencias armónicas.
1

1.2. Propiedades Generales
Para problemas con condiciones de frontera periódicas en el intervalo
−L ≤ x ≤ L, nos preguntamos si es posible expresar una función como
una combinación lineal de funciones seno y coseno de frecuencias cada
vez mayores, como la siguiente serie infinita (conocida como serie de
Fourier de f(x)):
f(x) = a0 +
∞
n=1
(an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
) (1,1,1)
Obviando la igualdad, vale preguntarse ¿converge esta serie infinita?,¿qué condi-
ciones debe cumplir f para que se dé la convergencia?,¿cuándo converge
a f(x)?
Estas preguntas no tienen una respuesta sencilla. Sin embargo, las series
de Fourier normalmente funcionan bastante bien.
Supongamos que f admite desarrollo en serie de Fourier, ¿cómo se ob-
tienen los coeficientes a0, an y bn en términos de f(x) ?. Para responder
esta última pregunta necesitaremos del siguiente lema.
1.2.1. Lema Elemental
Lema 1.2.1. i) Si m y n son números enteros no negativos distintos,
entonces:
L
−L
cos
nπx
L
cos
mπx
L
dx =
L
−L
sin
nπx
L
sin
mπx
L
dx = 0
(1.2.1)
ii) Para cualquier par de enteros no negativos m y n,entonces:
L
−L
cos
nπx
L
sin
mπx
L
dx = 0 (1.2.2)
iii)Para cualquier entero positivo n, entonces:
L
−L
cos2 nπx
L
dx =
L
−L
sin2 nπx
L
dx = L (1.2.3)
2

Demostración:
Se prueba integrando directamente: usando la identidad cos α cos β =
cos(α − β) + cos(α + β)
2
i)
L
−L
cos
nπx
L
cos
mπx
L
dx =
1
2
L
−L
cos
(n − m)πx
L
dx+
1
2
L
−L
cos
(n + m)πx
L
d
=
1
2
L
(n − m) π
sin
(n − m) πx
L
L
−L
+
1
2
L
(n + m) π
sin
(n + m) πx
L
L
−L
= 0
Además, si m = 0 y n = 0 es facilmente verificable que la integral
es cero.
En forma similar se prueba que
L
−L
sin
nπx
L
sin
mπx
L
dx = 0
ii) Usando la identidad trigonométrica sin α cos β =
sin(α − β) + sin(α + β)
2
L
−L
cos
nπx
L
sin
mπx
L
dx =
1
2
L
−L
sin
(n − m) πx
L
dx +
1
2
L
−L
sin
(n + m) πx
L
dx
= −
1
2
L
(n − m) π
cos
(n − m) πx
L
|L
−L
−
1
2
L
(n + m) π
sin
(n + m) πx
L
|L
−L
= 0
A estas fórmulas integrales se les llama relaciones de ortogonalidad
y diremos que en tal caso el conjunto de las funciones cos
nπx
L
, sin
mπx
L
∀ n = 0, 1, 2, ..., y ∀ m = 1, 2, ..., son ortogonales en [−L, L]
iii) La demostración queda como ejercicio para el lector, se prueba
3

integrando directamente.En s´ıntesis, se puede puntualizar que:
1
L
L
−L
cos
nπx
L
cos
mπx
L
dx =
0, si m = n
1, si m = n
= δm,n
1
L
L
−L
sin
nπx
L
sin
mπx
L
dx =
0, si m = n
1, si m = n
= δm,n
donde δm,n se define como el delta de Kroneker.
1
L
L
−L
cos
nπx
L
sin
mπx
L
dx = 0 ∀m, n
L
−L
cos
nπx
L
dx = 0 ∀m, n ; y
L
−L
sin
mπx
L
dx = 0 ∀m, n
1.3. La serie de Fourier de una función
Se debe distinguir entre f(x) y su serie de Fourier en el intervalo −L ≤
x ≤ L:
Serie de Fourier de f(x)
a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
La serie trigonométrica puede incluso no converger y si converge, puede
que no lo haga a f(x). Partiendo del supuesto que la serie converge
podr´ıamos determinar los coeficientes de Fourier a0, an y bn, usando
las relaciones de ortogonalidad.
Sea f(x) definida en el intervalo −L ≤ x ≤ L:
f(x) = a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
(1.3.4)
Integrando la identidad ( 1.3.4) se tiene:
L
−L
f(x)dx =
L
−L
a0dx+
∞
n=1
an
L
L
cos
nπx
L
dx + bn
L
−L
sin
nπx
L
dx
4

Como todas las integrales de la derecha valen cero, excepto la primera,
se deduce de aqu´ı el valor de a0, suponiendo que la
L
−L
f(x)dx existe, as´ı.
a0 =
1
2L
L
−L
f(x)dx
Para el cálculo de an multiplicamos la identidad ( 1.3.4) por cos
mπx
L
e integramos la serie término a término, queda
L
−L
f(x) cos
mπx
L
dx = a0
L
−L
cos
mπx
L
dx+
∞
n=1
an
L
L
cos
nπx
L
cos
mπx
L
dx + bn
L
−L
sin
nπx
L
cos
mπx
L
dx =
= 0 +
∞
n=1
an · Lδn,m + 0 = Lam
Por lo tanto, al evaluar δn,m, queda un sólo término:
L
−L
f(x) cos
mπx
L
dx = amL,
as´ı el valor de am es
am =
1
L
L
−L
f(x) cos
mπx
L
dx, ∀ m ≥ 1
Cambiando el ´ındice libre m por n , en ambos lados de la ecuación,
queda
an =
1
L
L
−L
f(x) cos
nπx
L
dx, ∀ n ≥ 1
Ahora, multiplicando ( 1.3.4) por sin
mπx
L
e integrando de manera
similar y por el lema se tiene
bn =
1
L
L
−L
f(x) sin
nπx
L
dx, ∀ n ≥ 1
Hemos determinado los coeficientes a0, an y bn ,claro que, bajo muchos
supuestos. Estos cálculos sugieren la siguiente definición.
5

1.3.1. Coeficientes de Fourier
Definición 1.-
i) Sea f una función Riemann integrable en [−L, L], las constantes
a0 =
1
2L
L
−L
f(x)dx
an =
1
L
L
−L
f(x) cos
nπx
L
dx para n = 1, 2, 3, ...
bn =
1
L
L
−L
f(x) sin
nπx
L
dx para n = 1, 2, 3, ...



2,1,1
se denominan los coeficientes de Fourier de f en [−L, L].
ii) La serie:
f(x) ∼ a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
es la serie de Fourier de f en el intervalo [−L, L] , cuando los coefi-
cientes están dados por (2,1,1). Para no hablar de convergencia todav´ıa,
escribimos el signo”∼”que significa que a la derecha se tiene la serie de
Fourier de f en −L ≤ x ≤ L.
Observese que, la serie de Fourier de f, se puede interpretar como una
generalización de una combinación lineal en una base ortogonal seno,
coseno, que es aplicada a una función en lugar de un vector estándar
en Rn
.
El siguiente ejemplo ilustra como dada una función periódica f(x), de
per´ıodo 2π, se calculan los coeficientes de Fourier y expresa la serie
trigonométrica de Fourier correspondiente.
Ejemplo 1: Determinar la serie de Fourier de f(x) = x si x ∈ [−π, π]
6

Solución: La gráfica de la función es:
Los coeficientes de Fourier de f en [−π, π] , son:
a0 = 1
2π
π
−π
xdx = 0
an = 1
π
π
−π
x cos (nx) dx = 1
n2π
cos(nx) + x
nπ
sin(nx)
π
−π
= 0
bn = 1
π
π
−π
x sin(nx)dx = 1
n2π
sin(nx) − x
nπ
cos(nx)
π
−π
∴ bn = 2
n
(−1)n+1
∀ n ≥ 1
Por tanto, la serie de Fourier de f en[−π, π] es:
∞
n=1
2
n
(−1)n+1
sin(nx)
1.3.2. Atributos de la función
Lo anteriormente expuesto es válido para cierto tipo de funciones, nos
referimos a las funciones f(x) que son seccionalmente continuas.
Definición 2.- Sea f(x) definida en [a, b]. Entonces f es seccional-
mente continua en [a, b] si:
a) f es continua en [a, b] ,excepto quizás en un número finito de puntos.
b) Ambos l´ımx→a+ f(x) y l´ımx→b− f(x) existen y son finitos.
c) f no es continua en x0, x0 ∈ (a, b) y los l´ımites l´ımx→x+
0
f(x) y l´ımx→x−
0
f(x)
existen y son finitos .
7

Definición 3.- f(x) es seccionalmente suave en [a, b] si f y f son
seccionalmente continuas en [a, b] .
Ejemplo 2: Muestre que f(x) = x
1
3 no es seccionalmente suave en
ningún intervalo cerrado que contenga en su interior al cero.
Solución: En efecto, se tiene que
f (x) =
1
3
x
−2
3 =⇒ l´ım
x→0
f (x) = l´ım
x→0
1
3
x
−2
3 = ∞,
no existe. Por tanto, la función no es seccionalmente suave.
Observación:
Las funciones seno y coseno, que aparecen como bases en la serie de
Fourier, tienen per´ıodos diferentes los que son iguales a
2L
n
para n ≥ 1.
Por otra parte, un múltiplo entero del per´ıodo de una función per´ıodica
es también un per´ıodo , podemos afirmar entonces, que 2L es el per´ıodo
común para las funciones seno y coseno del desarrollo de la serie. Por
lo anterior, la serie de Fourier no sólo representa a f en el intervalo
−L ≤ x ≤ L , sino que, proporciona una extensión per´ıodica de f en
todos los reales.
8

Ejemplo 3: Encontrar el per´ıodo de la función f(x) = 100 cos2
x.
Solución: Utilizando la identidad trigonométrica cos2
θ = 1
2
(1+cos 2θ)
se tiene
f(x) = 100 cos2
x = 100
1
2
(1 + cos 2x)
luego queda
f(x) = 50 + 50 cos 2x
como el per´ıodo de cos 2x es π y una función constante tiene cualquier
per´ıodo, entonces f(x) es de per´ıodo π.
1.3.3. Convergencia de las series de Fourier
A continuación vamos a establecer las condiciones de suficiencia que
debe cumplir una función f(x) para que pueda ser representada por
medio de una serie de Fourier.
Teorema 1.3.1. Si f(x) es seccionalmente suave en el intervalo
[−L, L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge. i) A la ex-
tensión per´ıodica de f(x), en los puntos que la extensión per´ıodica sea
continua. ii) Al promedio de los l´ımites laterales 1
2
(f(x+
) + f(x−
)) en
los puntos donde la extensión per´ıodica tenga una discontinuidad de
salto.
En el siguiente ejemplo, se evalúa si la serie de Fourier resultante de
una función f(x) en un punto x0 dado converge o no en ese punto
9

Ejemplo 4: Sea f(x) =
0 si −3 ≤ x ≤ 0
x si 0 ≤ x ≤ 3
.Construir la serie de
Fourier y analizar la convergencia en todo R
Solución: Representemos la gráfica de la función
Los coeficientes de la serie de Fourier de f(x),son:
a0 =
1
6
3
−3
f(x)dx =
1
6
3
0
xdx =
3
4
an =
1
3
3
−3
f(x) cos
nπx
3
dx
=
1
3
3
0
x cos
nπx
3
dx =
1
3
9 cos nπx
3
n2π2
+
3x sin nπx
3
nπ
3
0
=
3
n2π2
(cos(nπ) − 1) =
3
n2π2
((−1)n
− 1)
bn =
1
3
3
−3
f(x) sin
nπx
3
dx
=
1
3
3
0
x sin
nπx
3
dx =
1
3
9 sin nπx
3
n2π2
+
3x cos nπx
3
nπ
3
0
= −
3
nπ
cos(nπ) = −
3
nπ
(−1)n
Por consiguiente, la serie de Fourier la podemos escribir
3
4
+
∞
n=1
3
n2π2
((−1)n
− 1) cos
nπx
3
−
3
nπ
(−1)n
sin
nπx
3
10

Tenemos que f es continua en [−3, 3] ,por lo tanto su extensión per´ıod-
ica es seccionalmente continua en R , con discontinuidad de salto en
los puntos x = 3 ± 6n, n ∈ Z
Por lo tanto, de acuerdo al teorema la serie converge a
fE(x) =
f(x) si x = 3 ± 6n
3
2
si x = 3 ± 6n
n ∈ Z
entonces
fE(x) =
3
4
+
3
π2
∞
n=1
1
n2
((−1)n
− 1) cos
nπx
3
−
π
n
(−1)n
sin
nπx
3
los coeficientes ((−1)n
− 1) son nulos, si n es número par e iguales a
−2, si n es número impar. Entonces
f(x) =
3
4
−
6
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2
cos
(2n − 1)πx
3
+
π
6n
(−1)n
sin
nπx
3
Al evaluar la convergencia en x0= 3, punto de discontinuidad de la
función, se obtiene
3
2
=
3
4
−
6
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2
(−1)2n−1
=⇒
∞
n=1
1
(2n − 1)2
=
π2
8
Obsérvese que a partir de la convergencia de la serie de Fourier en un
punto se puede inferir la convergencia de la suma de términos de la
serie resultante.
Definición 4.- Una suma parcial de la serie de Fourier es una suma
de la forma:
Sn = a0 +
N
n=1
an cos
nπ
L
x + bn sin
nπ
L
x
Observación. Al truncar la serie infinita se obtiene un polinomio de
grado n.
11

Ejemplo 5 Sea f(x) = x + π, x ∈ [−π, π] . Determine la serie de
Fourier y obtener la gráfica de sumas parciales S1(x), S3(x), S10(x).
Solución : La gráfica de la función es
Los coeficientes de Fourier de f en [−π, π]
a0 =
1
2π
π
−π
(x + π)dx =
1
2π
x2
2
+ πx
π
−π
=
1
2π
2π2
= π
∴ a0 = π
an =
1
π
π
−π
(x + π) cos (nx) dx =
1
π
1
n2
cos(nx) +
x
n
sin(nx)
π
−π
∴ an = 0
bn =
1
π
π
−π
(x + π) sin(nx)dx =
1
π
1
n2
sen(nx) −
x
n
cos s(nx)
π
−π
∴ bn = 2
n
(−1)n+1
As´ı la serie de Fourier de f (x) es
π + 2
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin(nx) = π + 2 sin x −
sin 2x
2
+
sin3x
3
− ..
Para visualizar la convergencia de está serie gráfiquemos algunas de sus
sumas parciales
Sn(x) = π + 2
n
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
12

Obtengamos S1 :
S1(x) = π + 2
1
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
13

Obtengamos S3
S3(x) = π + 2
3
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
Finalmente Obtengamos S10
S10 = π + 2
10
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
A partir de este ejemplo, podemos inferir que para las series de Fourier
las gráficas de las sumas parciales son curvas aproximadas de la gráfica
de la función per´ıodica representada por la serie. Se puede visualizar
además, que en la medida que es mayor el número de términos de
las sumas parciales estas convergen de mejor forma a la gráfica de la
función f.
14

1.3.4. La integral de funciones pares e impares
Lema 1.3.1. (de funciones pares e impares) Sea f una función in-
tegrable en [−L, L] . a) Si f una función par en [−L, L], entonces
L
−L
f(x)dx = 2
L
0
f(x)dx. b) Si f es función impar en [−L, L], entonces
L
−L
f(x)dx = 0.
Demostración
a) f función par, entonces f(−x) = f(x) ∀x ∈ R. Considerando que
f
es par y el cambio de variable t = −x se tiene
0
−L
f(x)dx =
0
−L
f(−x)dx =
L
0
f(t)dt =
L
0
f(x)dx
entonces
L
−L
f(x)dx =
0
−L
f(x)dx +
L
0
f(x)dx = 2
L
0
f(x)dx
b) f función impar, entonces f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R. Usando este
hecho y el cambio de variable t = −x se tiene
0
−L
f(x)dx =
0
−L
−f(−x)dx =
0
L
f(t)dt =
L
−
0
f(x)dx
entonces
L
−L
f(x)dx =
0
−L
f(x)dx +
L
0
f(x)dx =
L
0
f(x)dx −
L
0
f(x)dx = 0
lo que demuestra el lema.
A continuación, vamos a determinar los coeficientes y la serie de Fourier
coseno (o seno) según corresponda, dada una función f par (o impar)
de periodo 2L.
15

1.3.5. Teorema de las funciones pares y de las im-
pares
Teorema 1.3.2. Sea f una función integrable en [−L, L], a) Si f es
par, la serie de Fourier de f en [−L, L] es
a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
con coeficientes a0 =
1
L
L
0
f(x)dx y an =
2
L
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx,
se denomina serie de cosenos. b) Si f es impar, la serie de Fourier de
f en [−L, L] es
∞
n=1
bn sin
nπx
L
con coeficiente bn =
2
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx, se denomina serie de
senos.
Demostración: Se deja al lector, debe aplicar el Lema 1.3.1 en el cálculo
de los coeficientes de Fourier.
Ejemplo 6: Calcule la serie de Fourier de f(x) = 1 − |x| en −2 ≤
x ≤ 2.
Solución: A partir de la gráfica de la función podemos inferir que la
función es par.
Es decir f(−x) = 1 − |−x| = 1 − |x| = f(x) ∀x ∈ R, luego se tiene
que f es par.
Los coeficientes del desarrollo de Fourier, son:
16

a0 =
1
2
2
0
(1 − x)dx =
1
2
x −
x2
2
2
0
= 0
an =
2
2
2
0
(1 − x) cos
nπx
2
dx =
2
0
cos
nπx
2
dx −
2
0
x cos
nπx
2
dx
= 0 −
4 cos nπx
2
n2π2
+
2x sin nπx
2
nπ
2
0
por consiguiente
an =
0 si n es par
8
(2n−1)2π2 si n es impar
As´ı la serie de Fourier de f(x) = 1 − |x| es:
8
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2
cos
(2n − 1)πx
2
En muchos problemas se tiene la posibilidad de trabajar con series de
senos o series de cosenos. Por ejemplo , al resolver ecuaciones diferen-
ciales parciales de segundo orden aplicando el método de separación de
variables.
1.4. Desarrollos llamados de medio rango
Sea una función f seccionalmente continua que está definida sólo en
el semi-intervalo [0, L], queremos obtener el desarrollo de f en serie de
Fourier ∀x ∈ [0, L] . Una forma de hacer lo anterior es extender f al
intervalo [−L, L] y por supuesto , puede ser hecho de muchas maneras,
sin embargo, dos extensiones son las más convenientes e importantes.
Construir una extensión impar lo que origina una serie de senos o
construir un extensión par lo que determina una serie de cosenos.
Estas se denominan desarrollos de medio rango.
1.4.1. Extensión impar:
Supongamos que conocemos f(x) solamente para 0 ≤ x ≤ L, entonces
podemos extenderla como una función impar, obteniendo otra función
17

denotada fi(x) definida por:
fi(x) =
f(x), 0 ≤ x ≤ L
−f(−x), −L ≤ x ≤ 0
como se muestra en la figura adjunta.
Si f(x) es seccionalmente suave en 0 ≤ x ≤ L, entonces fi(x) es también
seccionamente suave y se puede aplicar el teorema de convergencia de
series de Fourier.
La serie de Fourier de fi(x) es
fi(x) =
∞
n=1
bn sin
nπx
L
, − L ≤ x ≤ L
Como estamos interesados solamente en lo que ocurre entre 0 ≤ x ≤ L.
En esa región f(x) es idéntica a fi(x) y la serie de Fourier es
f(x) =
∞
n=1
bn sin
nπx
L
, 0 ≤ x ≤ L
con coeficiente bn =
2
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
Ejemplo 7. Sea la función f(x) = x en el interior 0 ≤ x ≤ L.
Obtener el desarrollo de medio rango considerando una extensión im-
par.
18

Solución. Consideremos la extensión impar de f(x) en 0 ≤ x ≤ L,
la gráfica de f muestra que la serie de fourier de senos converge a f(x)
en 0 ≤ x ≤ L. Sin embargo, en x = L hay una discontinuidad de salto,
luego la serie converge a cero aunque f(L) = 0.
bn =
2
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx =
2
L
L
0
x sin
nπx
L
dx =
2L
nπ
(−1)n+1
Por lo tanto, la serie resultante es:
x =
2L
π
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin
nπx
L
, 0 ≤ x ≤ L
1.4.2. Extensión par
Supongamos ahora que conocemos f(x) solamente para 0 ≤ x ≤ L
, entonces la extendemos como función par, obteniendo otra función
denotada fp(x) definida por:
fp(x) =
f(x), 0 ≤ x ≤ L
f(−x), −L ≤ x ≤ 0
como muestra la figura adjunta:
Si f(x) es seccionalmente continua en 0 ≤ x ≤ L, entonces su extensión
par fp(x) lo será también por lo que se puede aplicar el teorema de
convergencia de series de Fourier.
En el intervalo 0 ≤ x ≤ L, la función f(x) es idéntica a su extensión
par. La serie que se obtiene se denomina serie de Fourier de cosenos de
f(x).
a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
, 0 ≤ x ≤ L, con coeficientes
19

a0 =
1
L
L
0
f(x)dx y an =
2
L
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx
Ejemplo 8: Construir la serie de Fourier de Cosenos de f(x) = x en
0 ≤ x ≤ L.
Solución: Por las caracter´ısticas de la extensión en lo que concierne
a la continuidad de la función tenemos:
x = a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
, 0 ≤ x ≤ L
a0 =
1
L
L
0
f(x)dx =
1
L
L
0
xdx =
1
L
x2
2
L
0
=
L
2
an =
2
L
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx =
2
L
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx
an =
0 si n par.
− 4L
n2π2 si n impar.
20

Finalmente, la serie de Fourier coseno de f(x) = x en 0 ≤ x ≤ L es:
L
2
−
4L
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2
cos
(2n − 1)πx
L
1.5. Diferenciacion e Integración de la se-
ries de Fourier
1.5.1. Derivación
Las series infinitas, aún las convergentes no siempre se pueden derivar
término a término. Un caso ilustrativo, es el de la función f(x) = x
definida para −π ≤ x ≤ π, cuya serie de Fourier es
∞
n=1
2(−1)n+1
n
sin(nx)
que converge para −π < x < π, es decir
x =
∞
n=1
2(−1)n+1
n
sin(nx), x ∈ ]−π, π[
Si diferenciamos, esta serie término a término tenemos:
∞
n=1
2(−1)n+1
cos(nx)
la cual es una serie que no converge en ] − π, π[ , ya que si an =
2(−1)n+1
cos(nx) para cada x ∈] − π, π[, l´ım
n→∞
an no existe, como no
ocurre que an −→ 0 ,concluimos que
∞
n=1
2(−1)n+1
cos(nx) no converge
para cada x ∈] − π, π[.
Por otro lado, f (x) = 1 ∀x ∈]−π, π[. Esto muestra en este caso que
la derivada término a término de la serie, no converge a la derivada de
la función que representa.
La dificultad se nos presenta cada vez que la serie de Fourier de f(x)
tiene una discontinuidad de salto, la derivación término a término no
está justificada en estos casos. Sin embargo, podemos aqu´ı considerar el
siguiente teorema que precisa las condiciones para permitir la derivación
término a término.
21

Teorema 1.5.1. Sea f una función continua en [−L, L] con f(−L) =
f(L), si f es seccionalmente suave en [−L, L] donde f (x) existe se
tiene.
f (x) =
∞
n=1
nπ
L
−an sin
nπx
L
+ bn cos
nπx
L
Demostración.-
Se deja al lector, se sugiere escribir la serie de Fourier de f (x), con-
siderando que esta serie converge a f (x) siempre que f (x) exista. Use
integración por partes para relacionar los coeficientes de f (x) con los
correspondientes de f(x).
Ejemplo 9. Dada la función f(x) = x2
en −π ≤ x ≤ π , verifique
si la derivada de esta serie existe.
Solución Claramente se satisface las hipótesis de la proposición an-
terior. La serie de Fourier de la función f(x) en [−π, π] es:
(Ver Problema 2 en problemas resueltos)
f(x) =
π2
3
+ 4
∞
n=1
(−1)n
n2
cos(nx)
Como f (x) = 2x es continua, y existe f (x) = 2 en todo el intervalo,
entonces para −π < x < π
f (x) = 2x = 4
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin(nx)
Note que este resultado concuerda con lo establecido en el ejemplo 1
del inciso 2.1.
22

1.5.2. Integración
La precaución que se tiene para la derivación término a término de la
serie de Fourier no se requiere para el caso de la integración .
Teorema 1.5.2. Sea f una función seccionalmente suave en [−L, L]
con serie de Fourier
f(x) = a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
Entonces para cada x ∈ [−L, L] .
x
−L
f(t)dt = a0(x+L)+
L
π
∞
n=1
1
n
an sin
nπx
L
− bn cos
nπx
L
− (−1)n
Demostración;
Sea F(x) =
x
−L
f(t)dt − a0x ∀x ∈ [−L, L] , as´ı definida F es continua
en [−L, L] , además
F(−L) =
−L
−L
f(t)dt−a0 (−L) = a0L y F(L) =
L
−L
f(t)dt−a0L = 2a0L−a0L = a0L
Por lo cual F(−L) = F(L), asimismo F (x) = f(x) − a0 ∀x ∈ [−L, L]
donde f es continua. Entonces podemos asegurar que F es seccional-
mente continua en [−L, L] y por el teorema de convergencia tenemos
que
F(x) = A0 +
∞
n=1
An cos
nπx
L
+ Bn sin
nπx
L
(1.5.5)
donde para n ≥ 1.
23

An =
1
L
L
−L
F(t) cos
nπt
L
dt integrando por partes
=
1
L
F(t)
L
nπ
sin
nπt
L
L
L
−
L
nπ
L
−L
F (t) sin
nπt
L
dt
= 0 −
L
nπ
L
−L
(f(t) − a0) sin
nπt
L
dt
= −
L
nπ
L
−L
f(t) sin
nπt
L
dt +
L
nπ
a0
L
−L
sin
nπt
L
dt
An = −
L
nπ
bn
donde bn es el coeficiente correspondiente de la serie de Fourier de f en
[−L, L].
De manera analoga se tiene que:
Bn =
1
L
L
−L
F(t) sin
nπt
L
dt =
L
nπ
an
donde an es también el correspondiente coeficiente de la serie de Fourier
de f en [−L, L].
Por lo tanto, reemplazando en 1.5.5
F(x) = A0 +
L
π
∞
n=1
1
n
−bn cos
nπx
L
+ an sin
nπx
L
, x ∈ [−L, L]
para A0 tenemos:
F(L) = a0L = A0 +
∞
n=1
An cos(nπ) =⇒ A0 = a0L −
∞
n=1
An cos(nπ)
finalmente
A0 = a0L +
L
π
∞
n=1
1
n
bn cos(nπ)
24

ahora sustituyendo A0 se tiene
F(x) = a0L+
L
π
1
n
∞
n=1
bn cos(nπ)+
L
π
∞
n=1
1
n
−bn cos
nπx
L
+ an sin
nπx
L
y reemplazando en la igualdad inicial obtenemos lo que afirma el teo-
rema.
x
−L
f(t)dt = a0(x+L)+
L
π
∞
n=1
1
n
an sin
nπx
L
− bn cos
nπx
L
− (−1)n
1.5.3. Identidad de Parseval
Sea f una función seccionalmente continua en [−L, L] y tal que f
es también seccionalmente continua en [−L, L].
Si
f(x) = a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
− bn sin
nπx
L
es la serie de Fourier de f, entonces
1
L
L
−L
[f(x)]2
dx = 2 (a0)2
+
∞
n=1
(an)2
+ (bn)2
que se conoce como identidad de Parseval
Prueba: La serie de Fourier de f converge a f(x) para cada x del
intervalo [−L, L].
f(x) = a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
L
− bn sin
nπx
L
Multiplicando por f(x) se tiene
f(x)2
= a0f(x) +
∞
n=1
anf(x) cos
nπx
L
− bnf(x) sin
nπx
L
25

podemos integrar término a término.
L
−L
[f(x)]2
dx = a0
L
−L
f(x)dx+
∞
n=1
an
L
−L
f(x) cos
nπx
L
− bn
L
−L
f(x) sin
nπx
L
de aqu´ı recordando lo que son los coeficientes de una serie de Fourier
se tiene.
L
−L
[f(x)]2
dx = 2 (a0)2
L + L
∞
n=1
[an · an + bn · bn] =⇒
1
L
L
−L
[f(x)]2
dx = 2 (a0)2
+
∞
n=1
(an)2
+ (bn)2
Obsérvese que la identidad de Parseval, permite inferir la suma de
una serie infinita, dada una función f que tiene una representación de
Fourier para cada x del intervalo [−L, L].
Ejemplo 10. Sea f(x) =
x −π < x < π
0 x = −π, π
, per´ıodica de per´ıodo
2π. Pruebe que
∞
n=1
1
n2
=
π2
6
.
Figura 1.1: gráfica función per´ıodo 2π
Solución: Como f(x) en es una función impar se tiene que :
an = 0 para n = 0, 1, 2, ...y
26

bn =
1
π
π
−π
x sin (nπ) dx =
2
π
π
0
x sin (nπ) dx = −
2x cos(nx)
nπ
π
0
=⇒ bn =
2
n
n = 1, 3, 5, ...
−2
n
n = 2, 4, 6, ...
Por tanto
f(x) ∼ 2
∞
n=1
(−1)n+1 sin(nx)
n
= 2
sin x
1
−
sin 2x
2
+
sin 3x
3
...
Aplicando la identidad de Parseval
1
π
π
−π
x2
dx = 4
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+ ... =⇒
∞
n=1
1
n2
=
1
4π
π
−π
x2
dx =
1
4π
x3
3
π
−π
=
π2
6
∞
n=1
1
n2
=
π2
6
1.6. Integral de Fourier
Las series de Fourier nos proporcionan una herramienta poderosa para
representar funciones per´ıodicas. Luego, es conveniente generalizar este
método para incluir funciones no per´ıodicas.
A continuación en esta sección vamos a representar una función f no
per´ıodica por medio de la integral de Fourier
Definición.- Si f(x) definida en (−∞, ∞) es seccionalmente continua
en cada intervalo finito y tiene derivadas por la derecha e izquierda en
27

todo punto y tal que
∞
−∞
|f(x)| dx converge, entonces la integral de
Fourier de f se define como:
∞
0
[A(w) cos wx + B(w) sin wx] dw
donde:
A(w) =
1
π
∞
−∞
f(t) cos wtdt
B(w) =
1
π
∞
−∞
f(t) sin wtdt
A(w) y B(w) se llaman los coeficientes de la integral de Fourier de f(x).
Ejemplo 11. Encontrar la representación por medio de la integral de
Fourier de la función:
f(x) =
1 , |x| < 1
0 , |x| > 1
Solución: Primeramente, determinemos la gráfica de la función
Ahora, calculemos los coeficientes de la Integral de Fourier
A(w) =
∞
1
π
−∞
f(u) cos wudu =
1
−1
cos wudu =
sin wu
w
|
1
−1
= 2
1
π
sin w
w
B(w) =
∞
1
π
−∞
f(u) sin wudu =
1
−1
sin wudu = 0
28

Por lo tanto, la integral de Fourier de f(x) es:
1
π
∞
0
2
w
sin w cos wxdw
1.6.1. Criterio de convergencia de la integral de
Fourier
Si f(x) es seccionalmente continua en [−L, L] ∀ L > 0 y tal que
∞
−∞
|f(t)| dt existe, entonces la integral de Fourier converge a 1
2
[f(x+
)+
f(x−
)] (Promedio de los l´ımites izquierdo y derecho de f(x)), ∀ x donde
f (x+
) y f (x−
) existen.
Ejemplo 12. Estudie la convergencia de la Integral de Fourier del
ejemplo 11
Solución Sea f(x) definida en ejemplo 11, debido a que f(x) es sec-
cionalmente suave, la integral de Fourier de f(x) converge a 1
2
[f(x+
) +
f(x−
)] ∀ x. De acuerdo con el criterio de convergencia se tiene:
2
π
∞
0
sin w
w
cos wxdw =



1 si −1 < x < 1
1
2
si x = ±1
0 si |x| > 1
En particular, una situación interesante se da cuando x = 0.
2
π
∞
0
sin w
w
cos 0dw = 1 =⇒
∞
0
sin w
w
dw =
π
2
Aunque integrales de este tipo no pueden expresarse en términos de
funciones elementales, suelen presentarse en matemáticas aplicadas con
tal frecuencia , que han recibido un nombre especial y se encuentran
29

tabuladas.
En particular sabemos que:
l´ım
w→0
sin w
w
= 1
y que
∞
0
sin w
w
dw =
π
2
En el caso de la integral de Fourier, la gráfica de la función f se obtiene
mediante aproximaciones sucesivas sustituyendo el l´ımite superior de
la integral ∞ por los números x. De aqu´ı que la integral
z
0
sin w
w
cos wxdw
es una aproximación de la integral encontrada anteriormente, y por lo
tanto de f (x) .
Supongamos que sólo consideramos las frecuencias w < w0.En este
caso, nos da como aproximación de f (x)
f (x) ≈
2
π
w0
0
cos wx sin w
w
dw
30

Ahora bien,
cos wx sin w =
sin (wx + w) − sin(wx − w)
2
y, por consiguiente, podemos escribir la última integral en la forma
f (x) ≈
1
π
w0
0
sin w(x + 1)
w
dw −
1
π
w0
0
sin w (x − 1)
w
dw
Consideremos el cambio de variable u = w (x ± 1) =⇒ du = wdx para
la primera y la segunda de estas integrales. Entonces tenemos
f (x) ≈
1
π
w0(x+1)
0
sin u
u
du −
1
π
w0(x−1)
0
sin u
u
du
f (x) ≈
1
π
Si [w0 (x + 1)] −
1
π
Si [w0 (x − 1)]
En términos f´ısicos, estas curvas describen la salida de un filtro ideal
de pasa baja, que elimina todas las frecuencias superiores w0 cuando
la señal de entrada es un impulso aislado rectangular.
1.6.2. Integrales de Fourier de cosenos y senos
Sea f(x) una función definida en [0, ∞), podemos extender esta función
a una función par o impar en (−∞, ∞) y calcular la integral de Fourier
de esta última, que resulta ser de coseno y seno respectivamente, lo
cual es completamente análoga a los desarrollos en cosenos y senos de
una función definida en un intervalo [0, L] para el caso de las series de
Fourier.
Definición: Sea f definida en [0, ∞) y sea
∞
0
|f(u)| du convergente,
la integral de Fourier en cosenos de f es
∞
0
A(w) cos(wx)dw
donde el coeficiente es:
31

A(w) =
2
π
∞
0
f(u) cos(wu)du
A su vez, la integral de Fourier en senos de f es
∞
0
B(w) sin(wx)dw
B(w) =
2
π
∞
0
f(u) sin(wu)du
En cuanto a la convergencia de la integral de Fourier, en este caso,
si f es seccionalmente suave en todo el intervalo [0, ∞], entonces esta
integral converge a 1
2
[f(x+
) + f(x−
)] en (0, ∞).
Ejemplo 13: Encontrar la integral de Fourier de f(x) =
x2
si 0 ≤ x ≤ 10
0 si x > 10
,
si:
a) se considera una extension par de f(x)
b) se considera una extension impar de f(x); y luego
c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales .
Solución: Consideremos la gráfica de la función
a) Para obtener la integral de Fourier de cosenos, extendemos f como
una función par fP definida en toda la recta real, luego:
32

A(w) =
2
π
∞
0
f(u) cos(wu)du =
2
π
10
0
u2
cos(wu)du
=
2
π

u2
w
sin(wu)|10
0 −
2
w
10
0
u sin(wu)du


=
2
π
u2
w
sin(wu) −
2
w
1
w2
sin(wu) −
u
w
cos(wu)
10
0
=
1
π
200
w
−
4
w3
sin 10w +
40
πw2
cos 10w
Por tanto, la integral de Fourier de cosenos es:
1
π
∞
0
200
w
−
4
w3
sin 10w +
40
w2
cos 10w cos wxdw
Al aplicar el criterio de convergencia obtenemos:
1
π
∞
0
200
w
−
4
w3
sin 10w +
40
w2
cos 10w cos wxdw
=



x2
si 0 < x < 10
0 si x > 10
0 si x = 0
50 si x = 10
33

b) Para obtener la integral de Fourier de senos, extendemos f como
una función impar fI definida en toda la recta real.
B(w) =
1
π
∞
−∞
f(t) sin wtdt =
2
π
10
0
u2
sin wudu
=
2
π

 −
u2
w
cos wu
10
0
+
2
w
10
0
u cos wudu


=
2
π
−
u2
w
cos wu +
2
w
1
w2
cos wu +
u
w
sin wu
10
0
=
2
π
−
102
w
cos 10w +
2
w3
cos 10w +
20
w2
sin 10w −
2
w3
entonces la integral de Fourier de senos es:
1
π
∞
0
−
200
w
+
4
w3
cos 10w +
40
w2
sin 10w −
4
w3
sin wxdw
Finalmente, al aplicar el criterio de convergencia obtenemos:
1
π
∞
0
−
200
w
+
4
w3
cos 10w +
40
w2
sin 10w −
4
w3
sin wxdw
=



x2
si 0 < x < 10
0 si x > 10
0 si x = 0
50 si x = 10
Ejemplo 14: Encontrar la integral de Fourier de f (x) = e−ax
si
x > 0 y a es una constante tal que a > 0, considerando una extensión
a) par de f.
b) impar de f.
c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales.
Solución
Extensión Par
34

Extensi´on impar
a) Puesto que f es par , es decir f (x) = f (−x) ∀x ∈ R se tiene
f (x) =
∞
0
A(w) cos(wx)dw
A(w) =
2
π
∞
0
e−au
cos(wu)du
Integrando por partes se tiene
∞
0
e−au
cos(wu)du = −
a
a2 + w2
l´ım
R→∞
e−au
−
w
a
senwu + cos wu
R
0
=
a
a2 + w2
35

Por consiguiente,
A (w) =
2
π
a
a2 + w2
Sustituyendo esta expresi´on se obtiene:
2a
π
∞
0
cos(wx)
a2 + w2
dw
para x > 0, a > 0.
Finalmente, como la funci´on es continua ∀x > 0, la integral converge
a f (x) , entonces
f (x) = e−ax
=
2a
π
∞
0
cos(wx)
a2 + w2
dw
=⇒
∞
0
cos(wx)
a2 + w2
dw =
πe−ax
2a
b) Puesto que f es impar , es decir f (x) = −f (−x) ∀x ∈ R se tiene
f (x) =
∞
0
B(w) sin(wx)dw
B(w) =
2
π
∞
0
e−au
sin(wu)du
∞
0
e−au
sin(wu)du =
1
a2 + w2
l´ım
R→∞
e−au
(asenwu − w cos wu)
R
0
=
w
a2 + w2
36

Por consiguiente,
B (w) =
2
π
w
a2 + w2
Sustituyendo esta expresi´on se obtiene:
f (x) = e−ax
=
2
π
∞
0
w sin(wx)
a2 + w2
dw
para x > 0, a > 0.
Estos ejemplos ilustran como puede aplicarse la representaci´on de la
integral de Fourier para evaluar integrales.
37

1.7. Aplicaciones de Series de Fourier
Para dar una visión del uso de las series e integrales de Fourier, se for-
mularán, analizarán y resolverán problemas de sistemas f´ısicos sujetos
a perturbaciones periódicas y no periódicas.
1.7.1. Onda cuadrada alta frecuencia
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar
en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar
pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un ”diente
de sierra”. Supongamos que una onda cuadrada está definida por la
función:
f(x) =
0, − π < x < 0
h, 0 < x < π
Encuentre la serie de Fourier que representa esta señal.
Solución
Los coeficientes de Fourier son:
a0 =
1
2π
π
0
hdt =
h
2
an =
1
π
π
0
h cos ntdt = 0, n ≥ 1
bn =
1
π
π
0
h sin ntdt =
h
nπ
(1 − cos nπ)
bn =
2h
nπ
, n impar =⇒ bn = 2h
(2n−1)π
0 ; n par
As´ı la serie resultante es:
f(x) =
∞
n=1
2h
(2n − 1)π
sin (2n − 1) x =
h
2
+
sin x
1
+
sin 3x
3
+
sin 5x
5
+ ...
38

Es importante decir que el primer término representa el promedio de
f(x) sobre el intervalo [−π, π] y que todos los términos en base coseno
se anulan. Además f (x) − h
2
es una función impar, luego ,tenemos
una serie de fourier sólo con base seno. Por otra parte, los coficientes
bn decrecen inversamente proporcional con n. Fisicamente esto signifi-
ca que la onda cuadrada debe contener muchos componentes de alta
frecuencia. Si el aparato electrónico no deja pasar estos componentes,
la onda cuadrada resultante emerge más o menos redondeada.
1.7.2. Rectificador de onda completa.
Consideremos ahora la salida de un rectificador de onda completa, que
produce corriente continua pulsante como muestra la figura. El rectifi-
cador se puede modelar como un dispositivo que se alimenta con una
onda senoidal ,que deja pasar los los pulsos positivos, e invierte los
pulsos negativos. Esto produce:
f(x) =
sin ωx, 0 < ωx < π
− sin ωx, −π < ωx < 0
Encuentre la serie de Fourier que respresenta esta señal
Solución
Puesto que f (x) es una función par, es decir f (x) = f (−x), la serie
de fourier será cosenoidal
a0 =
1
2π
0
−π
− sin ωtd(ωt) +
π
0
sin ωtd(ωt) =
2
2π
π
0
sin ωtd(ωt) =
2
π
an =
2
π
π
0
sin ωt cos nωtd(ωt), n ≥ 1
an =
−2
π
2
n2−1
, n par =⇒ an = −1
π
4
4n2−1
0, n impar
bn = 0, ∀ n
39

Por lo tanto, la serie resultante es:
f(x) =
2
π
−
4
π
∞
n=1
1
(4n2 − 1)
cos (2nωx)
La frecuencia de oscilacion más baja es 2ω.Las componentes de alta
frecuencia decaen inversamente con n2
, lo que muestra que el rectifi-
cador de onda completa hace un buen trabajo para producir un modelo
aproximado de la corriente continua.
1.7.3. Ecuación de calor unidimensional
El flujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo
está modelado por la ecuación c2 ∂2u(x,t)
∂x2 = ∂u(x,t)
∂t
donde u(x, t) es
la temperatura del cuerpo y c2
= 2 la constante de difusión del calor.
Si se considera que 0 < x < 3 y t > 0, y que las temperaturas en
la fronteras son u(0, t) = u(3, t) = 0, lim
x→0
u(x, t) < ∞ , entonces la
solución general de este problema esta dado por:
u (x, t) =
∞
n=1
Cne−2n2π2t
sin
nπx
3
, 0 < x < 3 y t > 0
Encontrar la temperatura de la barra , si la temperatura inicial es
u(x, 0) = 25o
C , 0 < x < 3 .
Solución:
Evaluemos la solución general para t = 0, lo que produce:
u (x, 0) = 25 =
∞
n=1
Cn sin
nπx
3
, 0 < x < 3
Se obtiene una serie de Fourier seno. As´ı, para determinar la constante
Cn se debe construir una extensión impar f (x) =
25 0 < x < 3
−25 −3 < x < 0
.
40

Podemos encontrar entonces:
Cn =
2
L
L
0
f (x) sin
nπx
L
dx =
2
3
3
0
25 sin
nπx
3
dx
Cn =
50
3
−
3
nπ
cos
nπx
3
3
0
=
50 (1 − cos nπ)
nπ
De modo, que la temperatura en la barra queda
u (x, t) =
∞
n=1
50 (1 − cos nπ)
nπ
e−2n2π2t
sin
nπx
3
, 0 < x < 3 y t > 0
Este problema ilustra la importancia de la serie de Fourier para re-
solver problemas de aplicación modelados por ecuaciones diferenciales
parciales de segundo orden.
1.7.4. Ecuación de calor: barra aislada
El flujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo
está modelado por la ecuación c2 ∂2u(x,t)
∂x2 = ∂u(x,t)
∂t
donde u(x, t) es
la temperatura del cuerpo y c2
la constante de difusión del calor.
En el caso de una barra aislada, que se prolonga hacia el infinito en
ambos sentidos, la solución general está dada por
u(x, t) =
∞
0
(A (w) cos(wx)+B (w) sin(wx) ) e−c2w2t
dw. Si se aplica la
condicion inicial u(x, 0) = f (x) , −∞ < x < ∞ ,donde f(x) es la tem-
peratura inicial, se obtiene que u(x, 0) = f (x) =
∞
0
(A (w) cos(wx) +
B (w) sin(wx) ) dw es una integral de Fourier con coeficientes A (w) =
1
π
∞
−∞
f (v) cos(wv) dv y B (w) =
1
π
∞
−∞
f (v) sin(wv) dv
Determine la integral de Fourier, si la función temperatura inicial es
f(x) = e−x2/2
; −∞ < x < ∞, y la solución general de está ecuación.
Solución:
Como f es una función par se tiene Ip =
∞
0
A (w) cos(wx) dw, con
, y B (w) = 0 luego
41

A (w) =
2
π
∞
0
e−v2/2
cos(wv) dv =⇒ A (w) = −
2
π
∞
0
ve−v2/2
sin(wv) dv
A (w) = −
2
π
−e−v2/2
sin(wv) + w
∞
0
e−v2/2
sin(wv) dv
∞
0
Evaluando la integral y resolviendo EDO(1)
A (w) = −
2
π
0 + w(
π
2
A (w)
∞
0
=⇒ A (w) = −wA (w)
A (w) = Ce−w2/2
, C constante
Luego la integral de Fourier es:
e−x2/2
= C
π
0
e−w2/2
cos(wx) dw
Por tanto, la solución general queda:
u(x, t) = C
∞
0
(e−w2/2
cos(wx)) e−c2w2t
dw
Este problema ilustra la importancia de la Integral de Fourier para
resolver problemas de aplicación modelados por ecuaciones de difusion
del calor.
1.7.5. Ecuación de Onda
Una onda unidimensional que se desplaza en una cuerda elástica ho-
mogénea, está modelado por la ecuación c2 ∂2u(x,t)
∂x2 = ∂2u(x,t)
∂t2 donde
u(x, t) es el desplazamiento de la cuerda desde el eje x en el tiempo t
y c2
la constante la rapidez de la onda en el medio.
Si los extremos de la cuerda están fijos en x = 0, x = L , t > 0, es
decir que las condiciones de frontera son u(0, t) = u(L, t) = 0 , entonces
la solución general de este problema está dado por:
u (x, t) =
∞
n=1
(An cos
nπct
L
+ Bn sin
nπct
L
) sin
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
42

Considere que la forma inicial de la cuerda está dado por f (x) , es
decir u (x, 0) = f (x) , y que la velocidad inicial de la cuerda es cero,
es decir
∂u (x, t)
∂t
= 0. Encontrar el desplazamiento u (x, t) de la cuerda
en un tiempo posterior.
Solución.
Determinemos las constantes An y Bn de la solución general aplicando
las condiciones iniciales.
Para satisfacer la condición
∂u (x, t)
∂t
= 0 , será necesario derivar la
solución general, entonces
ut (x, t) =
∞
n=1
nπc
L
(−An sin
nπct
L
+ Bn cos
nπct
L
) sin
nπx
L
ut (x, t) =
∞
n=1
nπc
L
Bn sin
nπx
L
⇐⇒ Bn = 0 ∀n
De manera que la solución general se reduce a
u (x, t) =
∞
n=1
An cos
nπct
L
sin
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
Ahora, apliquemos la condición u (x, 0) = f (x) , para determinar la
constante An. Esto da como resultado
u (x, 0) = f (x) =
∞
n=1
An sen
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
que corresponde a una serie de Fourier senoidal. As´ı, es necesario con-
siderar una extension impar de la función dada fi (x) =
f (x) si 0 < x < L
−f (−x) si −L < x < 0
,
de este modo el coeficiente queda
An =
2
L
L
0
f (x) sin
nπx
L
dx
El resultado final es
u (x, t) =
∞
n=1
2
L
L
0
f (x) sin
nπx
L
dx cos
nπt
L
sin
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
43

1.7.6. Deflexión de una viga
Una viga de longitud L , esta soportada desde sus extremos como mues-
tra la figura adjunta . Sobre la viga actúa una carga uniformemente dis-
tribuida q por unidad de longitud y su deflexión está dada por y (x) .
Si se escoge la dirección del eje y apuntando hacia abajo, como indica
la figura, se sabe que la función y (x) satisface la ecuación:
d4
y
dx4
=
1
EI
q (x)
donde q (x) es la carga por unidad de longitud en el punto x, I es
el momento de inercia y E el módulo de elasticidad de la viga. Si en
nuestro caso estas tres cantidades son constantes encuente la deflexión
y (x) de la viga.
Solución.
Puesto que la función y (x) debe se nula en los extremos x = 0 y x = L,
la podemos representar mediante una serie de Fourier de senos.
y (x) =
∞
n=1
bn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
Si suponemos que y (x) es una función continua , con derivadas contin-
uas hasta el cuarto orden en [0, L] , entonces
y(4)
(x) =
∞
n=1
nπx
L
4
bn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
A su vez la carga distrribuida por unidad de longitud q (x) = q, también
puede ser desarrollada en serie de Fourier de senos
q =
∞
n=1
qn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
44

de donde qn = 1
L
L
0
q sin nπx
L
dx =
4
nπ
n = impar
0 n = par
Sustituyendo ambas series de Fourier en la ecuación diferencial
∞
n=1
nπx
L
2
bn sin
nπx
L
=
∞
n=1
qn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
Comparando los coeficientes de ambas serie queda
nπx
L
2
bn =
4
nπ
n = impar
0 n = par
=⇒ bn
4qL4
EIπ5
1
n5 n = impar
0 n = par
Por tanto la deflexión queda determinada por
y (x) =
4qL4
EIπ5
∞
n=1
1
(2n − 1)5
sin
(2n − 1)πx
L
, x ∈ [0, L]
1.8. Problemas Propuestos
Rectificador media onda
La función adjunta sirve para modelar la salida de un rectificador de
media onda:
f(x) =
sin ωx, 0 ≤ ωx ≤ π
0, −π ≤ ωx ≤ 0
a) Represente graficamente la señal de salida si ésta se extiende peri-
odicamente con periodo 2π.
b) Determine la serie de Fourier que la representa.
Solución:
f(x) =
1
π
+
1
2
sin ωx −
2
π
∞
n=1
1
(4n2 − 1)
cos (2nωx)
Onda triangular
Una onda triángular se representa por la función:
f(x) =
−x, −π < x < 0
x, 0 < x < h
45

a) Represente graficamente la función.
b) Represente f(x) mediante una serie de Fourier.
c) Estudie la convergencia de la serie en x = −π, x = 0, y x = π
d) Muestre que:
∞
n=1
1
(2n − 1)2
=
π2
8
Solución:
b)
f(x) =
π
2
−
4
π
∞
n=1
cos (2n − 1) x
(2n − 1)2
Conducción del calor.
Consideremos una varilla delgada, aislada, situada a lo largo del eje
x, desde x = 0 hasta x = a,y supongamos que la conducción de calor
desde la varilla hacia el exterior se da solamente por los extremos de
ella, los cuales se mantienen a temperatura cero. En f´ısica se muestra
que si en tiempo t = 0 la temperatura u a lo largo de la varilla es igual
a u(x, 0) = bn sin nx, donde bn = cte y n ∈ Z+
, entonces para el tiempo
t > 0 la temperatura es igual a u(x, t) = bn(sin nx) e−κn2t
, donde κ > 0
es una constante positiva. Asimismo, hay un principo de superposición
que nos permite añadir los efectos de diferentes distribuciones iniciales
de temperatura. Por lo tanto, si la temperatura inicial es:
u(x, 0) = f (x) =
∞
n=1
bn sin nx
entonces en tiempo t > 0, se tiene:
u(x, t) =
∞
n=1
bn (sin nx) e−κn2t
para 0 ≤ x ≤ a
De acuerdo con todo esto, hallar la temperatura para t > 0 para las
siguientes temperaturas iniciales dadas.
a) u(x, 0) = f (x) = 3 sin x + 5 sin 2x. ¿Que tipo de extensión de f(x)se
requiere en este caso?
b) u(x, 0) = f (x) = ex
sin x.¿Que tipo de extensión de f(x)se requiere
en este caso?
46

Soluciones.
a)
u(x, t) = f (x) = 3 sin xe−κt
+ 5 sin 2xe−4κt
b)
u(x, t) =
4
π
∞
n=1
n
n2 + 4
(−1)n−1
eπ
− 1 sin nx e−κn2t
Valor de la ra´ız media cuadrática
Las series de fourier se constituyen en una herramienta poderosa en el
análisis del comportamiento de los sistemas f´ısicos sujetos a pertuba-
ciones periódicas f(t).
El valor de la ra´ız media cuadrática ó RMC de una función f(t), sobre
un intervalo (a, b) ,se define como:
f(t) =
b
a
f2 (t) dt
b − a
a) Sea f (t) una función definida x ∈ [a, b] , con un per´ıodo funda-
mental T = b − a. Pruebe que aplicando la identidad de Parseval el
valor RMC se reduce a la formula:
f(t) = a2
0 +
1
2
∞
n=1
[a2
n + b2
n]
b) Determine RMC de f(t) = E sin ωt, con E y ω constantes positi-
vas.
Solución:
47

b) El per´ıodo fundamental de la función f(t) = E sin ωt, es 2π
ω
.
Entonces el valor RMC de f(t) es:
f(t) =
1
(2π/ω)
2π
ω
0
E2 sin2
(ωt) dt =
E
√
2
Cuerda vibrante. Extremos fijos
Un cuerda vibra libremente con ambos estremos fijos en x = 0 y x = L.
a) Si su movimiento esta descrito por la ecuación de onda:
∂2
u (x, t)
∂t2
= v2 ∂2
u (x, t)
∂x2
con las condiciones iniciales:
u (x, t) = f (x) y
∂u (x, 0)
∂t
= g(x)
Suponga que la solución de esta ecuación es una serie de Fourier de la
forma:
u(x, t) =
∞
bn
n=1
(t) sin(
nπx
L
)
sustituya esta solución en la ecuacion anterior y determine los coefi-
cientes b (t) .
b) Considere la presencia de un medio resistivo que amortigua las vi-
braciones de acuerdo con la ecuación
∂2
u (x, t)
∂t2
= v2 ∂2
u (x, t)
∂x2
− k
∂u (x, t)
∂t
Suponga que rige la solución anterior con las mismas condiciones ini-
ciales y nuevamente determine el coeficiente b (t) , suponiendo que el
amortiguamiento es pequeño, es decir nπυ
L
2
− k
2
2
> 0
c) Repita los calculos pero suponiendo que el amortiguamiento es grande
es decir nπυ
L
2
− k
2
2
< 0.
Soluciones:
48

a)
bn (t) = An cos(
nπνt
L
) + Bn sin(
nπυt
L
)
An =
2
L
L
0
f (x) sin
nπx
L
dx, Bn =
2
nπυ
L
0
g (x) sin
nπx
L
dx
b)
bn (t) = e−k
2
t
(An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt))
An =
2
L
L
0
f (x) sin
nπx
L
dx, Bn =
2
Lωn
L
0
g (x) sin
nπx
L
dx +
k
2ωn
An,
ω2
n =
nπυ
L
2
−
k
2
2
> 0
c)
bn (t) = e−k
2
t
(An cosh(σnt) + Bn sinh(σnt))
An =
2
L
L
0
f (x) sin
nπx
L
dx, Bn =
2
Lσn
L
0
g (x) sin
nπx
L
dx +
k
2σn
An
donde, σ2
n =
nπυ
L
2
−
k
2
2
< 0
Distribución de temperatura en un disco
En una placa circular de radio ρ = 1, cuyas secciones superior e inferior
están aisladas, se mantiene la mitad de su periferia superior a una
temperatura constante T1y la otra mitad a una temperatura constante
T2.Encontrar la temperatura de la placa en condiciones estacionarias.
a) La ecuación de difusión del calor, en coordenadas polares (ρ, θ) ,en
condiciones estacionarias esta dada por ∂2φ
∂ρ2 + 1
ρ
∂φ
∂ρ
+ 1
ρ2
∂2φ
∂θ2 = 0,donde
φ (ρ, θ) es la funcion temperatura. Suponga que φ (ρ, θ) ,se puede sepa-
rar como φ (ρ, θ) = M (ρ) N (θ)y pruebe que la ecuación se transforma
en ρ2 M
M
+ ρ M
M
= −N
N
.
b) A partir del resultado anterior , haga cada lado de la ecuación igual
a λ2
y encuentre las EDO(2)
N” (θ) + λ2
N (θ) = 0
49

ρ2
M” (ρ) + ρM (ρ) + M (ρ) = 0
b) Pruebe que N (θ) = A1 cos λθ + A2 sin λθ y M (ρ) = B1ρλ
+
B2ρ−λ
son soluciones de las correspondientes ecuaciones anteriores.
c) Pruebe que la solución general es
φ (ρ, θ) = M (ρ) N (θ) =
∞
n=1
T1 + T2
2
(T − T) (1 − cos nπ)
nπ
ρn
sennθ
1.9. Ejercicios Resueltos
Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que
los estudiantes tengan oportunidad de movilizar sus capaci-
dades para buscar, analizar, procesar, representar y comu-
nicar diferentes tipos de información, decodificando y tra-
duciendo la información contenida en las funciones, gráficos,
series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.
1.9.1. Serie de Fourier
Problema 1
Sea f (x) periódica de per´ıodo 2 dada por
f(x) =
1
2
− x, 0 ≤ x ≤ 1
x − 3
2
, 1 ≤ x ≤ 2
a) determinar su serie de Fourier
b) estudie la convergencia de la serie en x0 = −π
Solución
La serie de Fourier en este intervalo es
a0 +
∞
n=1
(an cos (nx) + bn sin n (nx)), x ∈ [0, 2]
con coeficientes
50

a0 = 1
2
2
0
f (x) dx = 1
2
1
0
(1
2
− x)dx + 1
2
2
1
(x − 3
2
)dx
a0 = 1
2
1
2
x −
x2
2
1
0
+ 1
2
x2
2
−
3
2
x
2
1
= 0
an =
2
0
f (x) cos nxdx
an =
1
0
1
2
− x cos nxdx +
2
1
(x − 3
2
) cos nxdx
Integrando por partes, se tiene
an =
1
2nπ
sin nπx
1
0
−
cos nπx
(nπ)2 +
x sin nπx
nπ
1
0
+
+
cos nπx
(nπ)2 +
x sin nπx
nπ
2
1
−
3
2nπ
sin nπx
2
0
∴ an =
2 (1 − (−1)n
)
(nπ)2
bn =
2
0
f (x) sin nxdx
bn =
1
0
1
2
− x sin nxdx +
2
1
(x − 3
2
) sin nxdx
bn = −
1
2nπ
cos nπx
1
0
−
sin nπx
(nπ)2 −
x cos nπx
nπ
1
0
+
+
sin nπx
(nπ)2 −
x cos nπx
nπ
2
1
+
3
2nπ
cos nπx
2
1
= 0
La serie de Fourier de f en [0, 2] es
2
∞
n=1
(1 − (−1)n
)
(nπ)2
cos nx =
4
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2 cos ((2n − 1) x)
b) Como f es continua ,entonces la serie en x = −π converge a
f (−π) = f (4 − π) =
1
2
− (4 − π) = π −
7
2
51

Problema 2
a) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de per´ıodo 2π,
definida por:
f(x) = x2
, − π ≤ x ≤ π
b) A partir del resultado obtenido calcular la suma de:
∞
n=1
1
n2
c) Determine la convergencia de la serie
∞
n=1
1
n4
Solución:
a) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos,
que tiene la forma:
a0 +
∞
n=1
an cos (nx)
a0 = 1
π
π
0
f(x)dx = 1
π
π
0
x2
dx = 1
π
x3
3
π
0
= π2
3
an = 2
π
π
0
f(x) cos(nx)dx = 2
π
π
0
x2
cos(nx)dx
an = x2 sin(nx)
n
+ 2x cos(nx)
n2
π
0
= 4 cos(nπ)
n2 = 4(−1)n
n2
Luego, la serie de Fourier de f en [−π, π]es:
π2
3
+ 4
∞
n=1
(−1)n
n2
cos (nx)
Como la función es continua en R ,tenemos:
x2
=
π2
3
+ 4
∞
n=1
(−1)n
n2
cos (nx) , ∀ x ∈ R
52

b) La serie numérica se puede obtener poniendo x = π y f(π) = π2
,
π2
=
π2
3
− 4 −
1
12
−
1
22
−
1
32
− ...
de donde ∞
n=1
1
n2
=
1
4
π −
π2
3
=
π2
6
c) Como la función f es seccionalmente suave para −π ≤ x ≤ π y
f (−π) = f (π) se cumplen las condiciones de suficiencia de la identidad
de Parseval, entonces:
1
π
π
−π
x2 2
dx = 2
π2
3
2
+
∞
n=1
4 (−1)n
n2
2
=⇒
1
π
x5
5
π
−π
=
2
9
π4
+
∞
n=1
16
n4
=⇒
∞
n=1
1
n2
=
π4
90
Problema 3
Sea f(x) = |x| + 1, −1 ≤ x ≤ 1, la función periódica de per´ıodo 2,
determinar:
a) Su serie de Fourier
b) La convergencia de la serie:
∞
n=1
1
(2n − 1)2
c) La convergencia de la serie
∞
n=1
1
(2n − 1)4
Solución
a) f(x) = |x| + 1 es función par, con semiper´ıodo L = 1, entonces
tenemos una serie coseno, que tiene la forma:
S (x) = a0 +
∞
n=1
an cos (nπx)
53

Con coeficientes
a0 = 1
2
1
0
f(x)dx = 1
2
1
0
(x + 1) dx = 3
2
an = 2
1
0
f(x) cos(nπx)dx = 2
1
0
(x + 1) cos(nx)dx
an = 2 sin(nπx)
nπ
1
0
+ 2 x sin(nπx)
nπ
+ 2 cos(nπx)
(nπ)2
1
0
an = 2 cos(nπx)
(nπ)2
1
0
= 2((−1)n
−1)
(nπ)2
an =
0; si n par
− 4
(nπ)2 ; si n impar
Por consiguiente, la serie de Fourier de f en [−1, 1] es:
S (x) =
3
2
−
4
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2 cos ((2n − 1) πx)
b) Como la función es continua en R ,considerando el valor x = 0,se
obtiene por el teorema de la convergencia puntual:
3
2
+
4
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2
= f (0) = 1
∞
n=1
1
(2n − 1)2 =
π2
8
c) Como la función f es seccionalmente suave para −1 ≤ x ≤ 1 y
f (−1) = f (1) se cumplen las condiciones de suficiencia de la identidad
de Parseval, entonces:
2
1
0
[x + 1]2
dx = 2
3
2
2
+
∞
n=1
4
(2n − 1)2
2
=⇒
2
(x + 1)3
3
1
0
=
9
2
+
∞
n=1
16
π2 (2n − 1)4 =⇒
∞
n=1
1
(2n − 1)2 =
π4
96
54

Problema 4
a) Para f(x) = e−[x]
, 0 ≤ x ≤ 2 ,obtener su serie de Fourier en cosenos,
de per´ıodo 4.
b) Del resultado determinar la convergencia de:
∞
n=1
(−1)n−1
2n − 1
Solución
a) Evaluando la función parte entera tenemos
f(x) =



1 si 0 ≤ x < 1
e−1
si 1 ≤ x < 2
e−2
si x = 2
Con extensión par fp(x) de f(x) se obtiene la serie:
a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
2
a0 = 1
2
1
0
1dx +
2
1
e−1
dx = 1
2
[1 + e−1
]
an =
1
0
cos nπx
2
dx +
2
1
e−1
cos nπx
2
dx =
sin nπx
2
nπ
2
|1
0 + e−1 sin nπx
2
nπ
2
|2
1
= 2
sin nπ
2
nπ
+ 2e−1 sin nπ−sin nπ
2
nπ
= 2
sin nπ
2
nπ
[1 − e−1
]
Finalmente, la serie es:
1 + e−1
2
+ 2(1 − e−1
)
∞
n=1
sin nπ
2
nπ
cos
nπx
2
b) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con l´ımites laterales
e−1
se tiene convergencia:
e−1
=
1 + e−1
2
+ 2(1 − e−1
)
∞
n=1
sin nπ
2
nπ
cos nπ
55

e−1
− 1
2
= 2(1 − e−1
)
∞
n=1
sin nπ
2
nπ
cos nπ
∞
n=1
(−1)n−1
2n − 1
=
π
4
Problema 5
Sea f (x) = x2
− [x] , para x ∈ [0, 2] .
a) Obtener la serie de Fourier coseno de f (x) .
b) Obtener a qué valores converge la serie para cada x ∈ [0, 2] .
Solución
a) Si se evalúa la función parte entera de x tenemos
[x] = 0, ∀x ∈ (0, 1) y [x] = 1, ∀x ∈ (1, 2) .
Entonces la función queda f (x) =
x2
, 0 ≤ x < 1
x2
− 1, 1 ≤ x < 2
Consideremos ahora una extensión par de la función f, entonces la serie
coseno de f (x) es
S (x) = a0 +
∞
n=1
an cos
nπx
2
con coeficientes
a0 = 1
2
2
0
f (x) dx = 1
2
1
0
x2
dx + 1
2
2
1
(x2
− 1)dx
a0 = 1
2
x3
3
1
0
+ 1
2
x3
3
− x
2
1
= 5
6
an =
2
0
f (x) cos nπx
2
dx
an =
1
0
x2
cos nπx
2
dx +
2
1
(x2
− 1) cos nπx
2
dx
an =
8x
(nπ)2 cos
nπx
2
+
2
nπ
x2
−
16
(nπ)3 sin
nπx
2
1
0
56

+
8x
(nπ)2 cos
nπx
2
+
2
nπ
x2
−
16
(nπ)3 sin
nπx
2
2
1
−
2
nπ
sin
nπx
2
1
0
∴ an =
16
(nπ)2 cos nπ +
2
nπ
sin nπ
Sustituyendo estos resultados, se obtiene la serie de Fourier
S (x) =
5
6
+
∞
n=1
16
(nπ)2 cos nπ +
2
nπ
sin nπ cos
nπx
2
Tenemos que f es seccionamente continua en [0, 2] , por lo tanto su ex-
tensión per´ıodica es seccionalmente continua en R , con discontinuidad
de salto en los puntos x = 1 y x = 2
Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de convergencia, la serie con-
verge a
S(x) =



f(x) si 0 ≤ x < 1
1
2
si x = 1
f (x) si 1 ≤ x < 2
3
2
si x = 2
Problema 6
Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica
sin3
(x) =
3
4
sin(x) −
1
4
sin(3x)
Solución
Se calcula la serie de Fourier de f(x) = sin3
(x) en [−π, π] . Como f (x)
es impar la serie será:
∞
n=1
bn sin nπ
con coeficientes:
bn =
2
π
π
0
sin3
(x) sin(nx)dx
57

En primer lugar, calculemos la integral para n = 1
π
0
sin3
x sin nxdx = − sin3
x
cos nx
n
|π
0 +
3
n
π
0
sin2
x cos x cos nxdx
Usando la identidad trigométrica: cos x cos nx =
cos(n − 1)x − cos(n + 1)x
2
La última integral se puede expesar como
=
3
2n
π
0
sin2
x [cos(n − 1)x − cos(n + 1)x] dx (1)
En segundo lugar, calculemos el valor del coeficiente b1 para n = 1 en
(1)
b1 = −
1
π
3
2
π
0
sin2
x cos 2xdx = −
3
4π
π
0
(1 − cos 2x) cos 2xdx =
3
4π
π
0
1 − cos 4x
2
dx
b1 =
2 · 3
4π
π
2
=
3
4
En tercer lugar, para n > 1 en (1)
bn =
3
2n

sin2
x
sin(n + 1)x
n + 1
+
sin(n − 1)x
n − 1
|π
0 −
π
0
sin(n + 1)x
n + 1
+
sin(n − 1)x
n − 1
sin 2xdx
bn = −
3
2n
π
0
sin(n + 1)x
n + 1
+
sin(n − 1)x
n − 1
sin 2xdx
Usando la identidad trigonométrica
bn = −
3
2n
1
n + 1
1
2
π
0
(cos(n + 1)x − cos(n + 3)xπ) dx
−
3
2n
1
n − 1
1
2
π
0
(cos(n − 3)x − cos(n + 1)x)dx = 0, ∀ n = 3
Para n = 3 el cálculo directo, produce:
b3 = −
3
2 · 3 · 2
π
2
2
π
= −
1
4
Por tanto, la serie de Fourier de f en [−π, π]es:
3
4
sin(x) −
1
4
sin(3x)
58

Problema 7
Sea f(x) = x(sin x), para −π ≤ x ≤ π, entonces:
a) Determine la serie de esta función.
b) Pruebe la convergencia de la serie:
∞
n=1
(−1)n
n2 − 1
=
1
4
c) Pruebe que esta serie se puede diferenciar término a término y utilice
este hecho para obtener el desarrollo de Fourier de sin (x) + x cos (x) .
Solución
a) La función f(x) es par, es decir f(x) = f(−x) ∀ x ∈ (−π, π),
entonces:
bn = 0
a0 =
1
π
π
0
f(x)dx =
1
π
π
0
x sin xdx =
∴ a0 =
1
π

[x (− cos x)]π
0 +
π
0
cos xdx

 = 1
an =
2
π
π
0
f(x) cos(nx)dx =
2
π
π
0
x sin x cos(nx)dx
Para n = 1
an =
1
π
π
0
x [sin ((n + 1) x) − sin ((n − 1) x)] dx
Integrando por partes, queda
an =
1
π
x −
cos ((n + 1) x)
(n + 1)
+
cos ((n − 1) x)
(n − 1)
π
0
−
−
1
π
−
sin ((n + 1) x)
(n + 1)2 +
sin ((n − 1) x)
(n − 1)2
π
0
Evaluando los l´ımites de la integral produce
59

∴ an =
2 (−1)n+1
n2 − 1
Para n = 1
a1 =
2
π
π
0
x sin x cos xdx =
1
π
π
0
x sin(2x)dx = −
1
2
Por tanto, la serie de Fourier de f para x ∈ [−π, π]es:
f (x) = 1 −
1
2
cos x + 2
∞
n=2
(−1)n+1
n2 − 1
cos (nx)
b) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la
serie converge a f(0)
f(0) = 0 = 1 −
1
2
cos 0 + 2
∞
n=2
(−1)n+1
n2 − 1
cos (0)
Finalmente
∞
n=2
(−1)n+1
n2 − 1
=
1
4
c) Sea f(x) = x(sin x), para −π ≤ x ≤ π.
i) Como f (x) = x sin x ,es producto de funciones continuas, es continua
en [−π, π] .
ii) f (x) = sin x + x cos x ,es producto y suma de funciones continuas,
es continua en [−π, π] .
iii) Existe f (x) = 2 cos x − x sin x, y también es continua en [−π, π] .
Además f (−π) = (−π) (sin (−π)) = (−π) (− sin (π)) = π sin π = f (π)
Por tanto, se satisfacen las hipótesis del teorema de diferenciación de
la serie de Fourier, entonces para −π < x < π
60

f (x) = 1 −
1
2
cos x + 2
∞
n=2
(−1)n+1
n2 − 1
cos (nx)
=⇒ f (x) = sin x + x cos x =
1
2
sin x + 2
∞
n=2
(−1)n
n2 − 1
sin (nx)
Problema 8
a) Desarrollar en serie de Fourier la función per´ıodica de per´ıodo 2π.
Representar graficamente y estudiar la convergencia de la serie en R.
f(x) =
0, si − π ≤ x ≤ 0
x, si 0 < x ≤ π
b) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:
∞
n=1
1
(2n − 1)2
c) Pruebe que esta serie se puede integrar término a término y obtener
un desarrollo en serie trigonométrica para
x
−π
f (u) du en [−π, π] .
Solución
a) Calculemos los coeficientes de Fourier.
a0 =
1
2π
π
−π
f(x)dx =
1
2π


0
−π
f(x)dx +
π
0
f(x)dx

 =
1
2π
π
0
xdx
∴ a0 =
1
2π
x2
2
π
0
=
π
4
an =
1
π
π
−π
f(x) cos(nx)dx =
1
π
π
0
x cos(nx)dx
Usando el método de integración por partes se tiene:
an =
1
π
x cos(nx)
n
+
cos(nx)
n2
π
0
=
1
π
0 − 0 +
(−1)n
n2
−
1
n2
an =
(−1)n
− 1
n2π
=
0 si n par
− 2
n2π
si n impar
61

As´ı:
a2n = 0 ∀ n
a2n−1 = −
2
(2n − 1)2π
∀ n.
bn =
1
π
π
−π
f(x) sin(nx)dx =
1
π
π
0
x sin(nx)dx
=
1
π
−x cos(nx)
n
+
sin(nx)
n2
π
0
= −
cos(nπ)
n
luego estos coeﬁcientes son:
∴ bn =
(−1)n+1
n
Por lo tanto, la serie de Fourier de f para x ∈ [−π, π] ,es:
π
4
+
∞
n=1
−
(−1)n−1
n2π
cos nx +
(−1)n+1
n
sin(nx)
Esta serie converge a:
i) f(x) = 0 para −π < x ≤ 0, puesto que, son puntos de continuidad
de f.
ii) f (x) = x para 0 < x < π, son puntos de continuidad de f.
iii)
f (π+) + f (π−)
2
=
π
2
en los puntos de discontinuidad del tipo
x = π + 2nπ con n ∈ Z.
b) Aplicando el criterio de convergencia en x = 0, f (0) = 0 se tiene
0 =
π
4
−
2
π
1
12
+
1
32
+
1
52
+ ...
de donde
π
4
=
2
π
1
12
+
1
32
+
1
52
+ ...
y de aqu´ı
∞
n=1
1
(2n − 1)2
=
π2
8
62

c) Como f(x) =
0, si − π ≤ x ≤ 0
x, si 0 < x ≤ π
es una función seccionalmente
continua en [−π, π] , con serie de Fourier
π
4
+
∞
n=1
−
2
π (2n − 1)2 cos ((2n − 1) x) +
(−1)n+1
n
sin(nx)
se satisface las hipótesis del teorema de integración de series de Fourier,
luego puede integrase término a término. Entonces, para cualquier x ∈
[−π, π] , se tiene:
Primero,
x
−π
f (u) du =
0, si − π ≤ x ≤ 0
x2
2
si 0 < x ≤ π
en [−π, π]
Segundo, integrando la serie produce
x
−π
π
4
+
∞
n=1
−
2 cos ((2n − 1) u)
π (2n − 1)2 +
(−1)n+1
sin(nu)
n
du
=
π
4
u +
∞
n=1
−
2 sin ((2n − 1) u)
π (2n − 1)3 −
(−1)n+1
cos(nu)
n2
x
−π
=
π
4
x + π2
+
∞
n=1
−
2 sin (2n − 1) x
π (2n − 1)3 +
(−1)n+1
cos(nx)
n2
−
1
n2
Por tanto, la función f queda representada por la serie anteriormente
obtenida.
1.9.2. Integral de Fourier
Problema 9
a) Halle la representación de la integral de Fourier de la función f(x) =
x, |x| < π
0, |x| ≥ π
b) De esta representacion deducir que:
∞
0
sin(wπ)
w2
sin(wx)dx = π
∞
0
cos(wπ)
w
sin(wx)dx
63

Solución
a) Como f es una función impar, entonces
f (x) =
∞
0
B(w) sin(wu)dw
con coeficiente
B (w) =
2
π
π
0
u sin(wu)du
=
2
π
−u
cos(wu)
w
+
sin(wu)
w2
π
0
B (w) =
2
π
−π
cos(wπ)
w
+
sin(wπ)
w2
Por consiguiente
f (x) =
2
π
∞
0
−π
cos(wπ)
w
+
sin(wπ)
w2
sin(wx)dw
Es la integral de Fourier de f para |x| = 0
b) En particular cuando |x| > π, se tiene f (x) = 0. Entonces la
integral converge a cero
0 =
2
π
∞
0
−π
cos(wπ)
w
+
sin(wπ)
w2
sin(wx)dw
Por tanto,
∞
0
sin(wπ)
w2
sin(wx)dw = π
∞
0
cos(wπ)
w
sin(wx)dw
64

Problema 10
Halle la representación de la integral de Fourier de la función f(x) =
xe−|x|
si x ∈ (−∞, ∞) y estudie su convergencia en R.
Solución
Se tiene que f(x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen las
condiciones de existencia de integral de Fourier.
En primer lugar
∞
−∞
xe−|x|
dx = 2
∞
0
xe−x
dx
= 2

−xe−x
|∞
0 +
∞
0
e−x
dx


= 2 · 1 = 2
la integral es convergente
Además, f es continua y diferenciable ∀x.
Los coeficientes de Fourier de f son:
A(w) = 0 ya que f es una función impar
B(w) =
∞
−∞
ue−|u|
sin(wu)du =
4w
(1 + w2)2
Entonces, para todo x la integral de Fourier converge a:
xe−x
=
4
π
∞
0
w
(1 + w2)2 sin(wx)dw
65

Problema 11
Sea f la función pulso rectangular unitario de per´ıodo 2 definida por
f (x) =
1
2δ
si −δ < x < δ
0 si −1 ≤ x < δ ó δ < x ≤ 1
a) Representar graficamente f (x)
b) Obtener la serie de Fourier de f (x) .
c) Si an (δ) es el coeficiente n-ésimo de la serie anterior, calcular los
l´ımites:
l´ım
n→∞
( l´ım
δ→0+
(an (δ)) , l´ım
δ→0+
( l´ım
n→∞
(an (δ)))
Solución
b) Como f es una función par de per´ıodo 2 ,entonces :
a0 =
1
0
f (x) dx =
δ
0
1
2δ
dx =
1
2
an = 2
1
0
f (x) cos(nπx)dx = 2
δ
0
1
2δ
cos (nπx) dx =
1
δ
sen(nπδ)
nπ
= an (δ)
donde en este caso definimos an(δ) =
1
δ
sin(nπδ)
nπ
bn = 0 ∀n
Luego, se tiene que:
f (x) ∼
1
2
+
1
δ
∞
n=1
sen(nπδ)
nπ
cos (nπx) , x ∈ [−1, 1]
c) En primer lugar calculemos:
l´ım
δ→0+
( l´ım
n→∞
(an (δ))) = l´ım
δ→0+
( l´ım
n→∞
1
δ
sen(nπδ)
nπ
n→∞
) = l´ım
δ→0+
(0) = 0
En segundo lugar
l´ım
n→∞
( l´ım
δ→0+
(ak (δ)) = l´ım
n→∞
( l´ım
δ→0+
1
δ
sen(nπδ)
nπ
) = l´ım
n→∞
(1) = 1
66

Problema 12
Dada la función f(x) = xe−x
con x 0,
a) Verifique que considerando las extensiones par e impar de la función
f:
∞
0
1 − w2
(1 + w2)2
cos wx dw =
∞
0
2w
(1 + w2)2
senwx dw
b) Estudiar la convergencia de la IF para deducir que:
∞
0
1
(1 + w2)2
dw =
∞
0
w2
(1 + w2)2
dw
Solución
Consideremos para f(x) = xex
con x 0 su extensión par
fp (x) =
xe−x
si x 0
−xex
si x < 0
=⇒
fp (x) ∼
1
π
∞
0
A (w) cos wxdw con A (w) = 2
∞
0
xe−x
cos wx dx
Ahora, consideremos la extensión impar de f
fi (x) =
xe−x
si x 0
xex
si x < 0
=⇒
fi (x) ∼
1
π
∞
0
B (w) sin wxdw con B (w) = 2
∞
0
xe−x
senwx dx
Podemos calcular los coeficientes A (w) y B (w) integrando por partes:
67

A (w) = 2
∞
0
xe−x
cos wx dx = 2
∞
0
e−x
(x cos wx)dx =⇒
A (w) = 2
xe−x
(− cos wx + wsenwx)
(1 + w2)
−
e−x
((1 − w2
) cos wx − 2wsenwx)
(1 + w2)2
∞
0
A(w) = 2
1 − w2
(1 + w2)2
B (w) = 2
∞
0
xe−x
sin wx dx = 2
∞
0
e−x
(x sin wx)dx =⇒
B (w) = 2
xe−x
(− sin wx − w cos wx)
(1 + w2)
−
e−x
((1 − w2
) sin wx + 2w cos wx)
(1 + w2)2
∞
0
B(w) = 2
2w
(1 + w2)2
Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teo-
rema de la convergencia , puesto que f es una funci´on seccionalmente
suave ∀x 0 ,se tiene que :
xe−x
=
2
π
∞
0
1 − w2
(1 + w2)2
cos wxdw
xe−x
=
2
π
∞
0
2w
(1 + w2)2
senwxdw
Por lo tanto, las extensiones son iguales:
∞
0
1 − w2
(1 + w2)2
cos wx dw =
∞
0
2w
(1 + w2)2
sin wx dw
b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas,
luego ambas integrales convergen a f(0) = 0
∞
0
1 − w2
(1 + w2)2
dw = 0 =⇒
∞
0
1
(1 + w2)2
dw =
∞
0
w2
(1 + w2)2
dw
68

Problema 13
Si f (x) es una función par ,con integral de Fourier f (x) = 1
π
∞
0
A (w) cos(wx)dw,
demuestre que:
a) xf (x) = 1
π
∞
0
A∗
(w) cos(wx)dw, donde A∗
(w) = −dA(w)
dw
b) x2
f (x) = 1
π
∞
0
A∗
(w) cos(wx)dw, donde A∗
(w) = −d2A(w)
dw2
Solución
a) Se tiene que xf (x) = 1
π
∞
0
A∗
(w) sin(wx)dw, es una función impar,
entonces A∗
(w) = 2
∞
0
v f (v) sin(wv)dv (1).
Como f (x) = 1
π
∞
0
A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2
∞
0
f (v) cos(wv)dv.
Entonces, derivando el coeficiente queda dA(w)
dw
= −2
∞
0
vf (v) sin(wv)dv (2)
Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tienedA(w)
dw
= −A∗
(w)
b) Como x2
f (x) = 1
π
∞
0
A∗
(w) cos(wx)dw, es una función par,
entonces A∗
(w) = 2
π
∞
0
v2
f (v) cos(wv)dv (1)
Como, f (x) = 1
π
∞
0
A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2
∞
0
f (v) cos(wv)dv.
Por consiguiente dA(w)
dw
= −2
∞
0
vf (v) sin(wv)dv =⇒
69

d2A(w)
dw2 = −2
∞
0
v2
f (v) cos(wv)dv (2)
Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d2A(w)
dw2 = −A∗
(w) .
1.10. Ejercicios propuestos
1.- Sea f una función de per´ıodo π dada por
f(x) =
sin 2x si 0 ≤ x ≤ π/2
0 si π/2 ≤ x ≤ π
a) Obtener la serie de Fourier de f(x).
b) Deducir la convergencia de la serie:
∞
n=1
1
4n2−1
2.- Sea f una función dada por f(x) =
x (π − x) si 0 < x < π
x (π + x) si −π < x < 0
a) Represente graficamente la función f usando Maple
b) Obtener la serie de Fourier de f(x).
c) Deducir la convergencia de la serie:
∞
n=1
(−1)(n−1)
(2n−1)3
3.- Un pulso triángular simétrico de altura y ancho ajustables es
descrito por: f(x) =
a 1 − x
b
si 0 ≤ x ≤ b
0 si b ≤ x ≤ π
a) Muestre que los coefientes de Fourier son: a0 = ab
2π
, an = 2ab
π
(1−cos nb)
(nb)2
b) Tome a = 1 y b = π
2
calcule y represente las cinco primeras
sumas parciales.
70

4. Sea f una función dada por f(x) = 1 + |x| x ∈ [−1, 1]
a) Obtener la serie de Fourier de f(x).
∞
n=1
1
(2n−1)2
5. Encontrar la serie de coseno de Fourier de la función per´ıodica de
per´ıodo 4, dada por f (x) = e−[x]
0 ≤ x ≤ 2.
∞
n=1
1
2n−1
c) Usando la identidad de Parseval deducir la convergencia de la serie:
∞
n=1
1
(2n−1)2
6. Sea f (x) = x sin x, −π ≤ x ≤ π
a) Obtener la serie de Fourier de f.
b) Pruebe que esta serie se puede diferenciar término a término.
c) Use el resultado anterior para obtener el desarrollo de Fourier.
de sin x + x cos x, −π ≤ x ≤ π.
b) Deducir la convergencia de la serie
∞
n=1
1
(2n−1)6
7. Sea f(x) =
0 si −π ≤ x ≤ 0
x si 0 < x ≤ π
a) Obtener la serie de Fourier de f.
b) Pruebe que esta serie se puede integrar término a término.
c) Use los resultados anteriores para obtener el desarrollo en
serie trigonométrica para
x
−π
f (u) du
8. a) Establecer que si f(x) = x, −π < x < π entonces
x = 2
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin nx
b) Con la identidad de Parseval deducir la convergencia
∞
n=1
1
n2 = π2
6
c) Muestre que la integración de la serie de Fourier de f(x) = x, −π <
x < π
71

conduce a.
∞
n=1
(−1)n+1
n2
=
π2
12
d) Sea f(x) una función continua definida en −π < x < π con serie de
Fourier a0 +
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx). Si g(x) = f(x − π) pruebe que
la serie
de Fourier de g(x) es
a0 +
∞
n=1
((−1)n
an cos nx + (−1)n
bn sin nx)
e) Aplicando los resultados de a) y d), obtener la serie de Fourier de
per´ıodo
2π de la función definida por g(x) = x − π , 0 < x < π.
9. Sea f(x) una función seccionalmente cont´ınua, impar de per´ıodo 2π,
con
serie de Fourier
∞
n=1
bn sin(nx)
a) Verificar que g(x) =
x
0
f(t)dt, x ∈ R
es función par de per´ıodo 2π
b) Deducir que
∞
n=1
bn
n
(1 − cos(nx)) es la serie de Fourier de g(x) y
que
∞
n=1
bn
n
= 1
π
π
0
(
x
0
f(t)dt)
10. Sea f (x) , x ∈ R función impar con integral de Fourier
Ii = 1
π
π
0
B (w) sin wx dw. Pruebe que la integral de Fourier de
g (x) = f (x) sin x es: Ip =
π
0
A (w) cos(wx) dw, con
A(w) =
1
π
[B (w + 1) − B (w − 1)] w 1
1
π
[B (w + 1) + B (w − 1)] 0 ≤ w < 1
72

11. Sea f(x) =
1 − x2
si |x| ≤ 1
0 si |x| > 1
, obtener la integral de Fourier
y estudie su convergencia en x0 = 0.
12. a) Obtener la integral de Fourier de f(x) =
cos x si |x| ≤ π
0 si |x| > π
b) Estudiar la convergencia de la IF en x0 = 0 , x1 = π.
13. Establecer la igualdad
2
π
∞
0
w
1 + w2
sin wπdw = e−x
si x > 0 y de
esto deducir el valor al cual converge
∞
0
w2
(1+w2)2 dw.
14. Obtener la Integral de Fourier de f (x) = e−|x|
, x ∈ R.
Del resultado, deducir el valor de
∞
0
cos(wx)
(1+w2)
dw.
15. Aplicando la la representaci´on de la integral de Fourier
demostrar que:
a)
∞
0
cos(πw/2) cos wx
1 − w2
dw =
π
2
cos x si |x| < π
2
0 si |x| > π
2
b)
∞
0
1 − cos πw
w
sin(wx)dw =
π
2
si 0 < x < π
0 si x > π
16. Si f (x)es una funci´on par con integral de Fourier
f (x) =
∞
0
A (w) cos(wx)dw, demuestre que:
f (ax) = 1
πa
∞
0
A w
a
cos(wx)dw, a > 0
17. Pruebe que la integral de Fourier de f puede escribirse como
l´ım
w→∞
1
π
∞
−∞
f (t)
sin(w(t − x))
t − x
dt
73

1.10.1. Respuestas
1) a)
f (x) ∼
1
π
+
1
2
sin 2x −
2
π
∞
n=1
1
4n2 − 1
cos 4nx
b) Estudie la convergencia en f π
2
∞
n=1
1
4n2 − 1
=
1
2
2) a) f(x) =
x (π − x) si 0 < x < π
x (π + x) si −π < x < 0
b)
f (x) ∼
8
π
∞
n=1
1
(2n − 1)3
sin(2n − 1)x
c) Como f(x) es discontinua en x = π la serie converge a f(π+) + f(π−)
2
luego
∞
n=1
(−1)(n−1)
(2n − 1)2
=
π3
32
3) Si a = 1 y b = π
2
el gráfico de la función es
4)
a)
74

f (x) ∼
3
2
−
4
π2
∞
n=1
1
(2n − 1)2
cos(2n − 1)πx
b) Como f(x) es continua ∀x la serie converge a f(0), luego
∞
n=1
1
(2n − 1)2
=
π2
8
c) Aplicando la identidad de Parseval, se tiene:
∞
n=1
1
(2n − 1)4
=
π4
96
5. a)
f (x) ∼
1 + e−1
2
+
2
π
1 − e−1
∞
n=1
sin(nπ
2
)
n
cos(
nπ
2
x)
b) Como f(x) es discontinua en x0 = 2 converge a los l´ımites
laterales en ese punto, entonces se tiene la convergencia
∞
n=1
1
2n − 1
=
π
4
6. a)
x sin x = π −
1
2
π cos x + 2π
∞
n=1
(−1)n+1
n2 − 1
cos (nx) , -π ≤ x ≤ π
b) f y f son seccionalmente suave en −π ≤ x ≤ π y f (−π) = f (π) ,
luego se satisfacen las condiciones del teorema de diferenciaci´on.
c)Tenemos que
x cos x + senx =
1
2
π sin x + 2π
∞
n=1
(−1)n
n2 − 1
n sin (nx) , − π ≤ x ≤ π
7. a)
75

f (x) ∼
1
4
π+
∞
n=1
(−1)n
− 1
πn2
cos (nx) +
(−1)n+1
n
sin (nx) , −π ≤ x ≤ π
b) f es seccionalmente continua en −π ≤ x ≤ π ,entonces se
satisfacen las condiciones del teorema de integracion. Luego,
su serie puede integrarse término a término
c) Tenemos que
x
−π
f (u) du =
0 −π ≤ x ≤ 0
x2
2
0 < x ≤ π
Esta función esta representada por la serie obtenida al integrar
la serie de Fourier anterior
1
4
πx +
1
4
π2
+
∞
n=1
(−1)n
− 1
πn2
sin (nx)
n
+
(−1)n+1
n
(− cos nx + (−1)n
)
n
8)e)
x − π = −2
∞
n=1
sin(nx)
n
11)a)
1
π
∞
0
4 sin w
w3
−
4 cos w
w2
cos wx dw
b) La función es continua en x0 = 0 luego la IF converge a f(0)
∞
0
4 sin w
w3
−
4 cos w
w2
dw = π
12)
a) Comof(x) es una función par se tiene que:
A(w) =
2
π
π
0
cos v cos(wv) dv =
2
π
w sin wπ
1 − w2
B (w) = 0
76

Por lo tanto,
IF =
2
π
π
0
w sin wπ
1 − w2
cos wxdw.
b) En x0 = 0 hay un punto de continuidad de f (x), entonces
2
π
π
0
w sin wπ
1 − w2
dw = f (0) = 1
y x1 = π es un punto de discontinuidad de f (x), entonces:
2
π
π
0
w sin 2wπ
1 − w2
dw =
f (π+
) + f (π−
)
2
=
0 + 1
2
13) Considere una extensión impar de f(x), entonces
A (w) = 0 y B (w) = 2w
1+w2
La Integral de Fourier de f(x)es 2
π
∞
0
w
1+w2 sin wx dw.
Usando la identidad de Parseval
∞
0
w2
(1+w2)2 dw = π
4
14) Como f es par tiene Integral de Fourier f(x) = 2
π
∞
0
cos(wx)
(1+w2)
dw.
Al estudiar la continuidad en x0 = 1 se obtiene la convergencia
∞
0
cos(w)
(1+w2)
dw = π
2e
1.11. Auto evaluaciones
En el aprendizaje de Cálculo Avanzado como parte de la matemática
se requiere el dominio de dos tipos básicos de conocimientos:
a) el conocimiento conceptual y
b) el conocimiento procedimental.
El primero está vinculado al razonamiento y reflexión, se caracteriza
por ser un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva,
77

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