Cálculo Diferencial para ingeniería

Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif,
Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén,
Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe
Cálculo
DiferencialPara estudiantes de ingeniería
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas.

III
Acerca de los autores.
Gabriel Villaseñor Aguilar.Doctor en Matemáticas por la Universidad
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) y Doctor en Ciencias
Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).
Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente
labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Depar-
tamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como ase-
sor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos
organizados el Tecnológico Nacional de México (TNM), ha participado
como jurado en los concursos organizados por la Asociación Nacional
de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI), colabora también como
docente de sistema abierto en la maestría de la Universidad Politécnica
de Aguascalientes (UPA), actualmente ocupa el cargo de coordinador de
educación continua y a distancia del Tecnológico de Morelia.
Enif Guadalupe Gutiérrez Guerrero. Doctora en Ciencias en el área
de Física por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidal-
go (UMSNH). Es miembro del Registro de Investigadores Michoacanos
(RIM) y del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labo-
ra en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrita al Departamen-
to de Ciencias Básicas y se ha destacado por participar como asesora del
equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organi-
zados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería
(ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con expe-
riencia docente hasta nivel Posgrado.
Carlos Fabián Escudero García. Maestro en Ingeniería Mecánica por el
Instituto Tecnológico de Morelia (ITM). Laboró para las empresas Can-
non Mills S.A. de C.V., Textil Alma S.A. de C.V., Meratex S.A. de C.V., Cano-
ﬁl S.A. de C.V. y Ponan Mills S.A. de C.V. desde 1993 a 2009. Docente co-
laborador en el Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad
Marista de Guadalajara (UMG) en varios semestres durante el periodo de
1998 a 2005. Actualmente labora en el ITM como Jefe del Departamento
de Ingeniería Eléctrica, desempeñandose antes también, como Jefe del
Departamento de Ciencias Básicas en la misma institución.

Salomón Espinosa Romero. Ingeniero Electrónico por el Instituto Tec-
nológico de Morelia (ITM) y candidato a obtener el grado de M.C. en
Ingeniería Eléctrica. Ha participado en la producción de distintos pro-
gramas locales y nacionales de radio y TV. Actualmente labora en el ITM
adscrito al Departamento de Ciencias Básicas, donde se ha destacado
por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo de
la Institución en los concursos organizados por la Asociación Nacional
de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacio-
nal de México (TNM), además de ser el responsable del Laboratorio de
Dibujo y Cómputo del mismo Departamento de Ciencias Básicas.
Rubén Vega Cano. Maestro en Ciencias por el Centro de Investigación
y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-
IPN). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM),
adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por par-
ticipar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITM
en los concursos organizados por el Tecnológico Nacional de México
(TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.
Josué Espinosa Romero. Ingeniero en Sistemas Computacionales por la
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Actual-
mente labora como docente interino en el Instituto Tecnológico de Mo-
relia (ITM).

VPrefacio
Caracterización de la asignatura.
La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian los
conceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variables, fun-
ciones y límites. Que al utilizarlo se puedan establecer uno de los conceptos más
esenciales del Cálculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cam-
bio entre dos variables, noción de trascendental importancia en las aplicaciones de la
ingeniería. Esta asignatura contiene los temas básicos e importantes para cualquier
área de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lógico,
formal, heurístico y algorítmico. En el Cálculo Diferencial el estudiante adquiere los
conocimientos necesarios para afrontar con éxito cálculo integral, cálculo vectorial,
ecuaciones diferenciales, asignaturas de física y ciencias de la ingeniería. Además,
contiene los principios y bases para el modelado matemático.
Intención didáctica.
La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los números reales y sus
propiedades básicas. Esto servirá de sustento para el estudio de las funciones de va-
riable real, tema de la unidad dos. En la tercera unidad se introduce el concepto de
límite de una sucesión, caso particular de una función de variable natural. Una vez
comprendido el límite de una sucesión se abordan los conceptos de límite y continui-
dad de una función de variable real. En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de
incremento y razón de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una función
continua de variable real. También se estudian las reglas de derivación más comunes.
Finalmente, en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas de
razón de cambio y optimización (máximos y mínimos).

Prólogo
Este texto está orientado de acuerdo a los planes de estudio requeridos para el curso de Cálculo Dife-
rencial que se imparte en el Tecnológico Nacional de México, y es el logro de un trabajo colegiado y
soportado por la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia, motivado por esta-
blecer un material de apoyo a las tradicionales notas para la clase de cada docente, con características
propias e inherentes a las capacidades actuales de nuestros estudiantes.
Una de las fortalezas en este material, es su posibilidad de mejorar continuamente los contenidos, pues
se enriquece al tomar las experiencias diaria de los docentes y su interacción con los estudiantes, garan-
tizando una constante inclusión de métodos y herramientas disponibles para tales efectos.
El desarrollo del material, hace énfasis en el entendimiento de los principales conceptos del Cálculo
Diferencial, buscando presentarlos de manera intuitiva, por lo que se sugiere al docente y estudiante
realizar un repaso de razonamientos previos a esta materia que se suponen conocidos.
Los temas a desarrollar se resumen en el nombre de sus cinco unidades temáticas, abordados de manera
gradual y en gran medida de forma intuitiva:
1. Números reales.
2. Funciones.
3. Límites.
4. Derivadas.
5. Aplicaciones de la derivada.
Es necesario enfatizar, que en el esfuerzo de este texto, se adicionan otros materiales de apoyo como lo
son fórmularios, gráﬁcos, ejercicios resueltos, autoevaluaciones, pero sobre todo, un importante curso
masivo, abierto y ofrecido en línea (MOOC) sobre Cálculo Diferencial, de manera gratuita a todos los
interesados en la modalidad de aprendizaje autodidacta, acondicionado para tomarlo a la par de esta
asignatura en un periodo semestral, herramienta que sin duda, es un punto y aparte en el esfuerzo por
reducir los índices de reprobación que se presentan en las asignaturas del área de ciencias básicas de
nuestro sistema.
Por último, es importante mencionar que estos trabajos, no sustituyen la aportación que desempeñan
libros clásicos del tema, pero sobre todo, la presencia del maestro y su interacción con el estudiante en
el aula.
Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia.

Competencias a desarrollar
Competencias específicas
Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de pri-
mer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, represen-
tando las soluciones en la recta numérica real.
Comprender el concepto de función real e identificar tipos de funciones, así como aplicar
sus propiedades y operaciones.
Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analítica-
mente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráfica-
mente los diferentes tipos de discontinuidad.
Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y
analiza la variación de una variable con respecto a otra.
Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de
variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximacio-
nes.
Competencias genéricas
Procesar e interpretar datos.
Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, alge-
braica, trascendente y verbal.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.
Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información.
Resolución de problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones.
Optimizar soluciones.
Toma de decisiones.
Reconocimiento de conceptos o principios integradores.
Argumentar con contundencia y precisión.

Objetivo general del curso(competencia específica a desarrollar
en el curso)
Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable y de su
derivada.
Competencias previas
Manejar operaciones algebraicas.
Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.
Resolver ecuaciones simultaneas con dos incógnitas.
Manejar razones trigonométricas e identidades trigonométricas.
Identificar los lugares geométricos que representan rectas o cónicas.
Sugerencias didácticas(desarrollo de competencias genéricas)
Con el dominio de los conceptos y con el conocimiento de la historia del cálculo, el profe-
sor abordará los temas de manera tal que propicie en el alumno el trabajo cooperativo y
la aplicación de dichos conceptos a través de la experimentación y el modelado logrando
con ello la realización de las tareas programadas para el desarrollo de la competencia.
Despertar la curiosidad de la investigación con anécdotas o problemas hipotéticos con
el fin de acrecentar el sentido y la actitud crítica del estudiante.
Utilizar software matemático, además de calculadoras graficadoras para facilitar la com-
prensión de conceptos, la resolución de problemas y la interpretación de resultados.
Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos ad-
quiridos y los relacionen con su carrera.
Proponer problemas que:
• Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución.
• Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posterio-
res.
• Modelen y resuelvan situaciones reales mediante conceptos propios de la asigna-
tura.
• Contribuyan a investigar sobre la extensión y profundidad de los conceptos.
Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos y
definiciones.

Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades de
investigación.
Sugerencias de evaluación
Evidencias de aprendizaje: reportes escritos, solución de ejercicios extra clase, activida-
des de investigación, elaboración de modelos o prototipos, análisis y discusión grupal.
Resolución de problemas con apoyo de software.
Ejercicios en clase.
Exámenes escritos.

XIÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL
PREFACIO V
PRÓLOGO VII
1 NÚMEROS REALES 1
1.1 Introducción 1
1.2 Conjunto de números y propiedades 2
Números naturales 3
Números enteros 4
Números racionales 4
Números irracionales 6
Números reales 7
1.3 La recta numérica 8
Representación de intervalos 9
1.4 Valor absoluto 9
1.5 Desigualdades 11
Propiedades de las desigualdades 14
Solución de desigualdades por método gráfico 15
Solución de desigualdades métodos algebraicos 16
1.6 Evaluaciones sumativas 28
Ejercicios 28
2 FUNCIONES 31
2.1 Introducción 32
2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real 34
Dominio de una función real 34
Gráfica de una función real 35
Rango de una función real 36
2.3 Tipos de funciones 39
Funciones algebraicas 39
Funciones trascendentes 47
2.4 Funciones inyectivas y suprayectivas 54
2.5 Funciones inversas e implícitas 55
Funciones pares e impares 58

2.6 Operaciones con funciones 59
2.7 Sucesiones 61
Ejercicios 63
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 67
3.1 Límite de una sucesión 68
3.2 Límite de una función real 69
3.3 Método gráfico 70
3.4 Método numérico o tabular 71
3.5 Método algebraico 73
Propiedades algebraicas de límites con funciones algebraicas 73
3.6 Límites al infinito y límites infinitos 74
3.7 Indeterminaciones 76
Indeterminación de la forma 0
0 77
Indeterminación de la forma ∞
∞ 78
Indeterminación de la forma 0·∞ 79
Indeterminación de la forma +∞−∞ 80
3.8 Límites de funciones trascendentes 80
Indeterminación de la forma exponencial 1∞
83
3.9 Métodos Avanzados 84
Cambio de variable 84
Cantidades infinitésimas 85
3.10 Continuidad 88
Ejercicios 90
4 DERIVADAS 95
4.1 Incremento o decremento de una variable 96
4.2 Definición de la derivada 97
4.3 Interpretación geométrica 98
4.4 Fórmulas de derivación 100
Derivada de orden superior 102
Regla de la Cadena 104
Derivadas implícitas 105
4.5 Regla de L’hopital 108
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 111
5.1 Recta tangente y normal a una curva 112
Recta tangente 112
Recta normal 113

5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial 114
Teorema de Rolle 114
Teorema del valor medio 115
5.3 Máximos y mínimos de una función 118
Introducción 118
Criterio de la primera derivada 119
Criterio de la segunda derivada 120
5.4 Diferenciales 123
Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. 126
5.5 Problemas de optimización 128
Ejercicios 130
A FÓRMULAS DE GEOMETRÍA 133
A.1 Figuras geométricas 2D 133
A.2 Figuras geométricas 3D 134
A.3 Geometría plana 135
B FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA 137
C FÓRMULAS DE DERIVADAS 139
D RESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS 141
BIBLIOGRAFÍA 155

1
1 Números Reales
Competencia específica a desarrollar
Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y
segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las solu-
ciones en la recta numérica real.
Actividades de Aprendizaje
Construir el conjunto de los números reales a partir de los naturales, enteros, racionales
e irracionales y representarlos en la recta numérica.
Plantear situaciones en las que se reconozca las propiedades básicas de los números
reales: orden, tricotomía, transitividad, densidad y el axioma del supremo.
Representar subconjuntos de números reales a través de intervalos y representarlos grá-
ficamente en la recta numérica.
Resolver desigualdades de primer grado con una incógnita.
Resolver desigualdades de segundo grado con una incógnita.
Resolver desigualdades con valor absoluto y representar la solución en la recta numérica.
1.1 Introducción
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la re-
solución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega
cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las re-
laciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros,
lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron
con la máxima de todo es número.
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una ter-
cera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última. El principio pitagórico de que todo
número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes
deben ser conmensurables, y por lo tanto todo número es racional.

2
NúmerosReales
1.2 Conjunto de números y propiedades Cálculo Diferencial.
Sin embargo ante problemas como el de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de
un triángulo rectángulo, esta afirmación carecía de sentido. En notación moderna, un trián-
gulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide 2. En una sección
posterior se muestra que 2 no es racional. Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al
principio pitagórico: todo número era racional, sin embargo, la hipotenusa de un triángulo rec-
tángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual nos dice que existen números
que no son racionales, esto implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las canti-
dades numéricas se manejaran por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo
de la matemática durante los dos milenios siguientes. Los griegos desarrollaron una geometría
basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéri-
cos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas no racionales, así, los números
irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo po-
dían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos
encontraron que si a
b es una aproximación a 2 entonces p = a +2b y q = a +b son tales que
p/q es una aproximación más precisa, (repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores
números que dan una mejor aproximación). Nuevos avances en el concepto de número real es-
peraron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió
la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por
ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma
mecánica, mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, números no
reales (lo que ahora conocemos como números complejos). Posteriormente, la invención del
cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos
que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el
concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma
infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal).
1.2 Conjunto de números y propiedades
Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática básica podemos
encontrar conjuntos sumamente importantes como los formados por números, en particular
tenemos la siguiente clasificación comenzando con el conjunto de números complejos1
, hasta
los números naturales.
1a pesar de que en este curso no se manejaran números complejos se agregan en el esquema para dar una visión
más general de los conjuntos de números.

3
Números
complejos
C
Números
reales
R
Números
racionales
Q
Números
enteros
Z
Números
Naturales
N
Números
Irracionales
Q'
Números
imaginarios
I
1.2.1 Números naturales
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las
tareas de contar y ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento
de las cantidades, comienzan con el uno (en algunos textos se incluye el cero) y se sigue hasta
inﬁnito.
Deﬁnición 1.1 Números naturales
Un número natural es aquel que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene
un cierto conjunto, los integrantes de este conjunto son:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
Al conjunto de números enteros usualmente lo denotamos con la letra N
Este conjunto de números se divide en conjuntos más pequeños como los siguientes;
1. Conjunto de números perfectos; son los números naturales que son iguales a la suma de
sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Ejemplos de estos números son:
6 = 1+2+3
28 = 1+2+4+7+14
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
2. Conjunto de números triangulares; que son de la forma n2
+n
2 , donde n es un número
natural. Ejemplos de estos números son:
1,3,6,10,15,21,28...
3. Conjunto de números primos; que son los números naturales mayores que 1 y que tiene
únicamente dos divisores, él mismo número y el 1. Ejemplos de estos números son:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79...

4
NúmerosReales
4. Conjunto de números pitagóricos; que son números primos de la forma 4n +1. El con-
junto de los números primos pitagóricos es exactamente el conjunto de los números pri-
mos que pueden ser la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados
enteros. Algunos números pitagóricos son
5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,...
1.2.2 Números enteros
Los números enteros extienden la utilidad de los naturales para contar cosas. Por ejemplo, pue-
den utilizarse para contabilizar pérdidas, incluso ciertas magnitudes, como la temperatura o
la altura toman valores por debajo del cero, estos datos se denotan con números negativos.
Formalmente podemos definir
Definición 1.2 Números enteros
El conjunto de los números enteros, está formado por todos los naturales agregándoles
los números negativos y el cero, algunos representantes de los números enteros son;
...−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5...
para referirnos al conjunto de números enteros usamos letra Z.
Algunos subconjuntos importantes de los números enteros son:
1. Conjunto de números pares: es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k,
donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Ejemplos de
estos números son:
−100,−50,−20,−10,−2,0,2,4,8,200
2. Conjunto de números impares: son los números enteros que se pueden escribir de la
forma: 2k+1, donde k es un entero. Ejemplos de estos números son:
−137,−33,−19,−11,−3,−1,1,2,23,201
1.2.3 Números racionales
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el
cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir,
una fracción común a
b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término racio-
nal alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por
Q que deriva de cociente. Este conjunto de números incluye a los números enteros, y es un
subconjunto de los números reales.
Formalmente podemos definir a los racionales como
Definición 1.3 Números racionales
Un número q se dice que es racional si se puede escribir como la división de dos números
enteros a
b con b distinto de cero, Algunos representantes de estos números son
5 =
5
1
,
3
4
,
1
216
,
999
888
...
Al conjunto de números racionales se le identifica con la letra Q.

5
En un número real con una cantidad infinita de decimales, decimos que contiene un perío-
do de repetición o simplemente período, si a partir de cierta posición el (los) número(s) se
repite(n) indefinidamente, este período es igual a la cantidad de números que se repiten, por
ejemplo
la cantidad 2.34533333... tiene período 1, y se escribe como 2.34533
la cantidad 0.34343434... tiene período 2, y se escribe como 0.3434
Podemos ahora enunciar el siguiente resultado, que nos permite identificar de manera general
cuando un número decimal es racional.
Teorema 1.1
Si un número tiene una cantidad finita de decimales ó si tiene infinidad de decimales
pero con un período definido t, entonces es racional.
Demostración .
Sin pérdida de generalidad, consideremos un número real r = a.a1a2a3a2a3a2a3... con
período t, donde cada ai toma valores del 0 al 9. Contar el número n de decimales hasta
incluir el primer período y multiplicar ambos lados de la igualdad, por 10n
(en este caso,
n = 3). Entonces
1000r = aa1a2a3.a2a3a2 (1.1)
enseguida, contamos la cantidad de decimales m que contiene, sin incluir ningún perío-
do, multiplicamos la cantidad original por 10m
(en este caso m = 1), y se lo restamos a la
ecuación (1.1), en cada lado de la igualdad, para obtener
990r = aa1a2a3 − aa1
y por lo tanto r = aa1a2a3−aa1
990 que es la división de dos enteros, por lo tanto r es racional.
En los siguientes ejemplos se muestra como funciona el método arriba descrito para identificar
la fracción correspondiente a un número racional dado.
1.1
Mostrar que el número 5.1203434 es racional y escribirlo como la división de dos enteros,
en su forma más simple.
Solución .
Escribimos r = 5.1203434 y multiplicamos por 100,000 ambos lados de la igualdad (la
cantidad tiene 5 decimales incluyendo solo el primer período), para obtener
100,000r = 512034.3434 (1.2)
después multiplicamos la cantidad original por 1000 en ambos lados de la igualdad (el
número real contiene 3 decimales, sin incluir ningún período), con lo cual tenemos
1000r = 5120.3434, esta cantidad se la restamos a la ecuación (1.2) para quitar la par-
te decimal, finalmente despejamos r y simplificamos para obtener como resultado que
5.1203434 = 253457
49500 .

6
NúmerosReales
El siguiente ejemplo nos muestra como se simplifica el método en el caso que la cantidad de
decimales de un número sea finita.
1.2
Mostrar que el número 0.12658 es racional y escribirlo como la división de dos enteros,
en su forma más simple.
Solución .
Escribimos r = 0.12658 y multiplicando por 100,000 ambos lados de la igualdad (la can-
tidad tiene 5 decimales), obtenemos 100,000r = 12658, finalmente al despejar r y sim-
plificar, tenemos que 0.12658 = 6329
50000 .
1.2.4 Números irracionales
El conjunto de números irracionales son un subconjunto muy complicado dentro de los reales,
esto debido a que solamente puede aproximarse hacia algún número fijo, pero no son exactos
como los racionales.
Definición 1.4 Números irracionales
Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción
p
q ,
donde p y q son enteros, con q diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Así
un irracional es cualquier número real que no es racional.
No existe una notación universal para indicar a los números irracionales. Las razones son que
el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo
son los Naturales (N), los Enteros (Z), los Racionales (Q), los Reales (R) y los Complejos (C).
Algunos autores manejan I para denotarlos, sin embargo es una elección poco conveniente,
puesto que con este símbolo se denota al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual
puede crear confusión.
La notación más aceptada es RQ que se lee el conjunto de los números reales menos los racio-
nales, en este libro se usara Q , entendiendo que Q = RQ.
1.3 Algunos números irracionales
El número e conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, cu-
yo valor aproximado es e = 2.71828182845904523536028... y se calcula usando el
límitea
l´ım
n→∞
1+
1
n
n
o usando la serieb
∞
n=0
1
n!
=
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+....
El número π = 3.14159265358979323846... cuyo valor es la relación entre la longi-
tud de una circunferencia dividida entre la longitud de su diámetro.
El número áureo Φ = 1.61803398875... cuyo valor está presente en muchas rela-
ciones de la naturaleza, se puede escribir como
1+ 5
2
.

7
Algunas raíces de números como 2, 3, 5....
El número 0.12345678910111213....
aEste tema se aborda en la unidad 3.
bEste tema se estudia en el curso de cálculo integral.
En el siguiente ejemplo mostraremos que la 2 es un número irracional.
1.4
Mostrar que 2 es irracional.
Solución .
Suponer que 2 es racional, entonces se puede escribir como la división de dos enteros
en su mínima expresión, es decir, enteros que son primos relativos
2 =
q
p
elevando al cuadrado
2 =
q2
p2
⇒ q2
= 2p2
es decir, q2
es número par, por lo tanto q es número par, por ejemplo q = 2a, sustituyen-
do en la ecuación
4a2
= 2p2
⇒ p2
= 2a2
es decir p2
es par y por lo tanto p es par. Pero es contradicción a lo considerado anterior-
mente que p,q son primos relativos.
1.2.5 Números reales
Los números reales, denotados como (R), incluyen tanto a los números racionales (positivos,
negativos y el cero) como a los números irracionales
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas,
siendo la caracterización más común la que cumple las siguientes propiedades:
1. Cerradura en la suma. Si x, y ∈ R, entonces x + y ∈ R.
2. Conmutatividad bajo la suma. Si x, y ∈ R, entonces x + y = y + x.
3. Asociatividad en la suma. Si x, y,z ∈ R, entonces (x + y)+ z = x +(y + z).
4. Neutro aditivo. Existe un real r ∈ R de manera que x +r = x.
5. Inverso aditivo. Para cada x ∈ R, existe y ∈ R tal que x + y = 0.
6. Cerradura en la multiplicación. Si x, y ∈ R, entonces xy ∈ R.
7. Conmutatividad en la multiplicación. Si x, y ∈ R, entonces xy = yx.
8. Asociatividad en la multiplicación. Si x, y,z ∈ R, entonces (xy)z = x(yz).
9. Neutro multiplicativo. Existe un real r ∈ R de manera que (x)(r) = x.

8
NúmerosReales
1.3 La recta numérica Cálculo Diferencial.
10. Inverso multiplicativo. Para cada x = 0 ∈ R, existe x−1
∈ R tal que x(x−1
) = 1.
11. Distributividad de la multiplicación en la suma. Si x, y,z ∈ R, entonces x(y+z) = xy+xz.
12. Tricotomía. Si x, y ∈ R, entonces sólo se cumple una de estas tres relaciones:
x < y x > y x = y
13. Transitividad. Si x, y,z ∈ R, x < y y y < z entonces x < z.
14. Monotonía de la suma. Si x, y,z ∈ R y x < y entonces x + z < y + z.
15. Densidad. Para cualesquiera dos números reales x = y existe z ∈ R tal que x < z < y.
16. Monotonía del producto. Si x, y,z ∈ R y x < y entonces xz < yz para z > 0.
17. Axioma del supremo. Si E es un conjunto no vacío acotado superiormente en R, enton-
ces tiene supremo en R.
Observación
Con los números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos ex-
cepciones importantes:
1. No existen raíces de orden par (cuadrada, cuarta, sexta, etc.) de números negativos,
dentro del conjunto de los números reales.
2. La división entre cero no está deﬁnida, ya que el cero no posee inverso multiplica-
tivo, es decir, no existe número x tal que 0(x) = 1.
1.3 La recta numérica
La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto
de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los posi-
tivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a
la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número
real. Se construye eligiendo de manera arbitraria un punto de una línea recta para que repre-
sente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen
para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1 2 3 4 5 6 7
Se considera que un número real es mayor que otro si su posición en la recta numérica se
encuentra a la derecha del segundo número.

9
1.4 Valor absoluto Cálculo Diferencial.
1.3.1 Representación de intervalos
Los intervalos dentro de la recta numérica se clasifican de la siguiente manera:
1. (a,b) intervalo abierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, ex-
cepto a y b, su representación gráfica es;
a b
2. [a,b) intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b,
incluye al número a, pero no a b.
a b
3. (a,b] intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b,
sin incluir al número a, pero si a b.
a b
4. [a,b] intervalo cerrado, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, in-
cluyendo a y b.
a b
5. [a,∞) intervalo cerrado al infinito, incluye todos los números reales mayores o iguales a
a.
a
1.4 Valor absoluto
Hemos visto que a cada número real se le asocia un único punto de la recta numérica, conside-
rando la distancia entre el origen (el cero) y el número dado. Esta distancia también se define
como el valor absoluto o como la magnitud del número. Formalmente se tiene la siguiente
definición.
Definición 1.5 Valor absoluto
El valor Absoluto de un número real a esta dado por
|a| =
a si a ≥ 0
− a si a < 0
De acuerdo a la definición podemos observar que obtener el valor absoluto de un número real,
significa escribir dicho número en forma positiva.
Veamos los siguientes ejemplos de valor absoluto.

10
NúmerosReales
1.4 Valor absoluto Cálculo Diferencial.
|−4| = 4, significa que el −4 se encuentra a una distancia de cuatro unidades del origen.
|7| = 7, significa que el 7 se encuentra a una distancia de siete unidades del origen.
| − 2| = 2, significa que el − 2 se encuentra a una distancia de 1.414··· unidades del
origen.
Propiedades importantes de los valores absolutos
Consideremos a,b números arbitrarios pero fijos y x una variable
P.1) |ab| = |a||b|.
P.2) |a +b| ≤ |a|+|b|, (desigualdad del triángulo).
P.3) |x| ≤ b si sólo si −b ≤ x ≤ b.
P.4) |x| ≥ b si y sólo si x ≤ −b, o b ≤ x.
Observación
En el caso del inciso P.2, se puede obtener la igualdad para ciertos números mientras que
en otros se da la desigualdad estricta.
1.5
Encontrar algún valor para a,b de tal forma se cumpla la igualdad en la propiedad P.2, y
otro valor en donde se tenga una desigualdad estricta.
Solución .
Consideramos los números −5 y −7 y veamos que nos representan una igualdad, pues
|−5−7| = |−12| = 12 y también |−5|+|−7| = 12.
Por otro lado con los números 4 y −9 obtenemos
|4−9| = |−5| = 5 además |4|+|−9| = 4+9 = 13.
que es una desigualdad estricta.
Los casos 3 y 4 indican ciertos intervalos dentro de los números reales, donde se cumple la
desigualdad escrita.
1.6 Propiedades P.3 y P.4
La expresión |x| ≤ 3 se puede escribir como −3 ≤ x ≤ 3 y significa que x toma todos
los valores desde −3 hasta 3.
La expresión |x| ≥ 3 se puede escribir como x ≤ −3 y también 3 ≤ x, y significa que
x toma todos los valores menores que −3 y los que son mayores a 3.

11
1.5 Desigualdades Cálculo Diferencial.
Una generalización del concepto de valor absoluto, se encuentra en la siguiente ecuación
|x −b| ≤ a
y representa a todos los puntos que se encuentran a una distancia menor o igual que a del
punto b.
b − a b b + a
Por otro lado la expresión
|x −b| ≥ a
representa a todos los puntos que se encuentran a una distancia mayor o igual que a del punto
b.
b − a b b + a
1.7
Dados los valores absolutos; a)|x − 3| ≤ 4, b)|x + 1| < 2 y c) |x − 9| ≥ 1
2 , describe sus ele-
mentos y dibuja el intervalo solución en la recta numérica.
a) |x −3| ≤ 4, contiene a todos los números que se encuentran a una distancia menor de
4 unidades respecto al número 3, su representación gráfica es:
−1 3 7
b) |x +1| < 2, contiene a todos los números que se encuentran a una distancia menor de
2 unidades respecto al número −1, su representación gráfica es:
−3 −1 1
c) |x − 9| ≥ 1
2 , contiene a todos los números que se encuentran a una distancia mayor
que 0.5 unidades, del número 9, su representación gráfica es:
8.5 9 9.5
1.5 Desigualdades
En una desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de mayor que (>) o me-
nor que (<). Si queremos permitir la igualdad dentro de nuestra relación debemos poner una
linea horizontal por debajo de la desigualdad para obtener el símbolo menor o igual que ≤ o
mayor o igual que ≥ respectivamente.
Antes de dar la definición formal, debemos conocer los conjunos en los cuales se puede realizar
esta comparación.

12
NúmerosReales
Definición 1.6 Conjunto ordenado
Un conjunto ordenado es aquel donde cualesquiera dos elementos se pueden comparar
entre si.
Notemos que el conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, por lo que es posible
dar una definición formal de desigualdad dentro de este conjunto.
Definición 1.7 Desigualdad
Dentro de los números reales o cualquier conjunto ordenado, una desigualdad es una
relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos.
1.8
Poner el símbolo de desigualdad que relaciona correctamente los siguientes números,
indicar si no es posible definir la desigualdad.
a) 4 6
b) 7 −0.7
c) 5
3 3
d) 10 |−10|
e) x x −2
f ) x 2x
g) x y +2
h) 5 x2
+5
Solución .
Considerando que x, y son números reales arbitrarios, las desigualdades deben quedar;
a) 4 < 6
b) 7 > −0.7
c) 5
3 < 3
d) 10 = |−10|
e) x > x −2
f ) no siempre es mayor uno que el otro.
g) no es posible dar una relación entre
ellos.
h) 5 ≤ x2
+5
Notemos que la solución de una desigualdad a diferencia de las igualdades es casi siempre
un conjunto de números por lo que necesitamos establecer una forma de representar estos
conjuntos.
Es posible expresar un conjunto de números en forma gráfica de acuerdo a como se estableció
en la sección 1.3.1, sin embargo podemos usar otras formas de representación para el conjunto
de números que quedan entre dos reales fijos a y b, usando la siguiente notación:

13
Forma algebraica
1) a < x < b, todos los valores de x entre a y b, sin incluir los extremos.
2) a ≤ x ≤ b, todos los valores de x entre a y b, incluyendo los extremos.
3) x < a o x > b, todos los valores de x menores que a o mayores que b, sin incluir
los extremos.
4) x ≤ a o x ≥ b, todos los valores de x menores que a o mayores que b, incluyendo
los extremos.
Forma de intervalos
1) x ∈ (a,b), todos los valores de x entre a y b, sin incluir los extremos.
2) x ∈ [a,b], todos los valores de x entre a y b, incluyendo los extremos.
3) x ∈ (−∞,a)∪(b,∞), todos los valores de x menores que a o mayores que b, sin
incluir los extremos.
4) x ∈ (−∞,a] ∪ [b,∞), todos los valores de x menores que a o mayores que b,
incluyendo los extremos.
Forma de conjuntos
1) {x ∈ R | a < x < b}, todos los valores de x tal que x está entre a y b, sin incluir los
extremos.
2) {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, todos los valores de x tal que x está entre a y b, incluyendo los
extremos.
3) {x ∈ R | x < a, x > b}, todos los valores de x tal que son menores que a o mayores
que b, sin incluir los extremos.
4) {x ∈ R | x ≤ a, x ≥ b}, todos los valores de x tal que son menores que a o mayores
que b, incluyendo los extremos.
1.9
Representar de forma algebraica y de intervalos al conjunto formado por todos los nú-
meros que son menores que −3 o mayores que 4.
Solución .
De acuerdo a la propiedad 3 de las formas anteriores, tenemos
En forma algebraica se escribe x < −3 o x > 4.
En forma de intervalos tenemos (−∞,−3)∪(4,∞).

14
NúmerosReales
1.5.1 Propiedades de las desigualdades
Dentro de las desigualdades podemos observar las siguientes propiedades para los números
reales a,b,c cualesquiera:
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados, es decir
si a una desigualdad a < b, se le suma una cantidad c, se cumple que a +c < b +c.
Numéricamente tenemos lo siguiente;
si a ambos lados de la desigualdad 3 < 10 se le suma 8, se obtiene 11 < 18
si a ambos lados de la desigualdad 1 > −2 se le suma -4, se obtiene −3 > −6
2. Una desigualdad no altera su sentido si se multiplica o divide por un número positivo,
es decir, si c es positivo y a < b, entonces ac < bc y también a
c < b
c
si a ambos lados de la desigualdad 3 < 10 lo multiplicamos por 4, se obtiene 12 < 40.
si a ambos lados de la desigualdad 1 > −2 se divide entre 3, se obtiene 1
3 > −2
3 .
3. Una desigualdad se invierte si se multiplica o divide por un número negativo, es decir,
si c es negativo y a < b, entonces ac > bc además a
c > b
c .
si a ambos lados de la desigualdad 3 < 10 lo multiplicamos por −4, se obtiene −12 >
−40.
si a ambos lados de la desigualdad 1 > −2 se divide entre −2, se obtiene −1
2 < 1.
Observación
De las propiedades 2 y 3 podemos concluir que en general no es posible pasar del
otro lado de la desigualdad multiplicando o dividiendo una expresión que conten-
ga variables, pues no sabemos si se va a conservar o invertir la desigualdad, sin
embargo cuando estemos seguros de que la expresión no cambia de signo, si po-
demos realizar este paso.
Por ejemplo, veamos las siguientes expresiones
a) En la desigualdad
1
x
= 2, no es posible pasar la x del lado derecho multiplicando.
b) En la desigualdad
1
x2
= 2, si se puede pasar la x2
del lado derecho multiplicando,
pues siempre es positiva.
4. Cuando se comparan los inversos multiplicativos en una desigualdad, ésta se invierte,
es decir, si a < b, entonces 1
a > 1
b , consideremos las siguientes expresiones
a) En la desigualdad 3 < 7, al comparar sus inversos, tenemos
1
3
>
1
7
.
b) En la desigualdad
2
3
< 5, al comparar sus inversos multiplicativos, se tiene
3
2
>
1
5
.
Para resolver desigualdades, se procede de la misma forma que con las igualdades pero apo-
yándose de las propiedades arriba mencionadas, la diferencia es que no podemos multiplicar
o dividir expresiones con variables arbitrariamente, por lo que se buscan algunas alternativas
para evitar este paso.

15
1.5.2 Solución de desigualdades por método gráfico
Una manera de resolver desigualdades es a través de un análisis gráfico. Para esto, es necesario
recordar que dada una función y = f (x) los puntos de intersección entre su gráfica y el eje X se
determinan al resolver la ecuación f (x) = 0.
Observación
En el caso que tengamos la expresión f (x) < 0, significa que la solución es el intervalo
del eje X para el cual la gráfica esta por debajo del propio eje, mientras que si f (x) >
0, la solución corresponde a los valores de x en los que la gráfica está por arriba, en el
caso general de tener f (x) < g(x) realizamos ambas gráficas y la solución será todos los
valores de x en los cuales la gráfica de f (x) este por debajo de g(x).
1.10
Encontrar la solución de la desigualdad |3x| < 5x +6, usando el método gráfico.
Solución .
Pasamos todos los térmi-
nos del lado izquierdo de
la desigualdad para ob-
tener |3x| − 5x − 6 < 0, a
continuación realizamos
la gráfica
y = |3x|−5x −6. y=|3x|-5x-6
-2 2 4 6
x
-15
-10
-5
5
10
y
La solución esta constituida por todos los valores de x en los cuales la gráfica está por
debajo del eje X , pues la desigualdad es menor que cero. En este caso la solución es el
intervalo −3
4 ,∞ que es igual a la obtenida en el ejemplo 1.26.
1.11
Encontrar la solución de la desigualdad x2 −1 < x +4, usando el método gráfico.
Solución .
Pasamos todos los térmi-
nos del lado izquierdo de
la desigualdad para obte-
ner x2 −1 − x +4 < 0,
la función a graficar es
y = x2 −1− x +4.
y= x2
-1 - x + 4
-4 -2 2 4 6
Y
-2
2
4
X
La solución esta constituida por todos los valores de x en los cuales la gráfica está por
debajo del eje X . Es decir,
x ∈ [(−1.8,1)∪[1,2.8)]
que es aproximadamente igual a la obtenida en el ejemplo 1.22.

16
NúmerosReales
En algunos casos es conveniente graficar cada una de las expresiones, considerando que la
solución estará dada por aquellos valores de la variable, donde la gráfica cuya expresión es
menor, se encuentre por debajo de la otra.
1.12
Encontrar la solución de la desigualdad doble 9
x+2 ≤ 4
x−3 < 5, usando el método gráfico.
Solución .
Comenzaremos por rea-
lizar la gráfica de cada
una de las expresiones
que conforman la de-
sigualdad, es decir
1. y = 9
x+2 ,
2. y = 4
x−3 ,
3. y = 5.
-5 5
X
-6
-4
-2
2
4
6
Y
La solución esta constituida por todos los valores de x en los cuales la gráfica y = 5 está
por encima de y = 4
x−3 y ésta, a su vez queda arriba de y = 9
x+2 . El intervalo donde se
cumple esta situación e:
(−∞,−2)∪(3.9,7].
que es aproximadamente igual a la obtenida en el ejemplo 1.24.
1.5.3 Solución de desigualdades métodos algebraicos
Una forma alterna de obtener los intervalos solución para una desigualdad son los métodos
algebraicos, éstos nos permitirán tener más precisión que en la forma gráfica, sin embargo
éstos pueden ser más complicados por lo que se dividen en métodos específicos dependiendo
de la forma de la desigualdad.
Solución de desigualdades de primer grado
Se resuelve de igual forma que una igualdad despejando la variable, solo hay que tener cuidado
de invertir la desigualdad cuando se multiplique o divida por un número negativo, a continua-
ción se muestra algunos pasos sugeridos para resolver este tipo de desigualdades.
Pasos para resolver una desigualdad polinomial de primer grado.
P.1) Se desarrollan completamente tanto la expresión de la izquierda como la de la dere-
cha.
P.2) Se pasan del lado izquierdo, todos los términos que contengan a la variable, y de
lado derecho aquellos que no la contengan.
P.3) Se factoriza tomando como factor común, la variable.
P.4) Si es necesario se pasa multiplicando o dividiendo los términos que multiplican a la
variable, sin olvidar que, si son negativos la desigualdad se debe invertir.

17
1.13
Resolver la desigualdad 3x −15 < 20.
Solución .
Sumando 15 a ambos lados de la desigualdad, se tiene 3x < 35 y dividiendo entre 3 resulta
x < 35
3 . Es decir x ∈ (−∞, 35
3 )
1.14
Resolver −2x +28 > x −23.
Solución .
Restando x en ambos lados de la desigualdad se obtiene
−3x +28 > −23
luego restando 28, queda
−3x > −51
y finalmente dividiendo entre −3,
x < 17.
Expresando en forma de intervalo se tiene que x ∈ (−∞,17).
En algunos casos podemos tener desigualdades de primer grado, que a primera vista parecen
ser de grado mayor, debemos ser cuidadosos en ese sentido.
1.15
Resolver la desigualdad (3x −4)2
−2x +28−5x2
≤ 4x2
−21.
Solución .
Al desarrollar y simplificar ambas partes de la desigualdad, tenemos
4x2
−26x +44 ≤ 4x2
−21
al pasar los términos que tienen la variable x del lado izquierdo, los que no la contienen
del lado derecho
4x2
−26x −4x2
≤ −21−44
es decir,
−26x ≤ −65
y finalmente dividiendo entre −26, el resultado es x ≥ 5
2 .
Solución de desigualdades polinomiales de grado superior
Cuando tenemos desigualdades que incluyen polinomios de grado mayor o igual a 2, encon-
trar su solución puede ser algo complicado, pues normalmente existen varios intervalos que

18
NúmerosReales
son solución y debemos identificar a cada uno de ellos. Una sugerencia para resolver estas de-
sigualdades se presenta a continuación
Pasos para resolver una desigualdad polinomial de grado superior.
P.1) Se debe pasar todos los términos de un lado de la desigualdad y se factoriza al
máximo, es decir hasta tener factores lineales o cuadráticos.
P.2) A continuación se realiza una tabla de signos para encontrar los intervalos que cum-
plen la desigualdad, considerando lo siguiente;
a) Se iguala a cero cada uno de los factores y se despeja la variable.
b) Se escriben intervalos comenzando desde −∞ hasta el valor más pequeño
obtenido en el inciso anterior, luego de éste, hasta el siguiente más pequeño y
así sucesivamente, hasta llegar a +∞.
c) Se escriben estos intervalos en una tabla (uno en cada columna), luego se
ponen los factores (uno en cada renglón), a continuación se toma un valor arbi-
trario del intervalo y se evalúa en el factor, el signo de la evaluación se escribirá
en el cruce de estos datos.
P.3) Al final se multiplican todos los signos de cada columna y se identifica este signo con
el intervalo al que pertenece.
P.4) La solución será, la unión de los intervalos que satisfagan la desigualdad.
1.16
Resolver la siguiente desigualdad x2
−4 ≤ 2x +3.
Solución .
Pasando todos los términos a un sólo lado de la desigualdad y simplificando, se obtiene
la expresión
x2
−2x −7 ≤ 0, (1.3)
luego, factorizando nos queda la expresión
(x −1−2 2)(x −1+2 2) ≤ 0
al igualar cada factor a cero, se tiene x1 = 1 + 2 2 y x2 = 1 − 2 2, con esta información
construimos la tabla de signos, en la siguiente manera.
(−∞,1−2 2] [1−2 2,1+2 2] [1+2 2,∞)
x −1−2 2 − − +
x −1+2 2 − + +
producto + − +
La solución es la unión de los intervalos con producto negativo o cero, pues la ecuación
1.3 es menor o igual a cero, es decir x ∈ [1−2 2,1+2 2].
Se pueden despreciar los factores cuadráticos que no cambian de signo, siempre y cuando se
considere lo siguiente:

19
Si se desprecio un factor cuadrático que es siempre negativo, a los intervalos ﬁnales se
les debe cambiar de signo.
Se debe analizar si existen un valor de la variable que hace cero al factor, y quitarlo de la
desigualdad si ésta es estricta.
1.17
Resolver la siguiente desigualdad x3
−4+2x ≥ 2x +4.
Solución .
Al pasar y factorizar todos los términos a un sólo lado de la desigualdad, se obtiene la
expresión
x3
−8 ≥ 0 es decir (x −2)(x2
−2x +4) ≥ 0
observemos que aquí no es necesario construir la tabla de signos, pues el término cua-
drático no cambia de signo, por lo que se puede despreciar y sólo consideramos el factor
(x−2) para su análisis. Por lo tanto obtenemos el mismo resultado si resolvemos la ecua-
ción
x −2 ≥ 0,
cuya solución es x ≥ 2, la cual también es la solución de nuestra ecuación.
Observación
Es un buen habito matemático, que siempre que resuelvas una desigualdad compruebes
tus resultados al ﬁnalizar las operaciones, es decir, que todos los valores de tu resultado,
cumplan la desigualdad propuesta y sean los únicos.
Desigualdades fraccionarias, con variable en el denominador
Para resolver una igualdad fraccionaria, lo más común es multiplicar todos los términos por el
máximo común denominador para evitar las fracciones, en desigualdades de este tipo, pode-
mos proceder de una forma similar a las desigualdades polinomiales de grado superior.
Observación
Por ningún motivo, debes pasar multiplicando o dividiendo una expresión que pueda
cambiar de signo.
Veamos a continuación un método sugerido para resolver estas ecuaciones

20
NúmerosReales
Pasos para resolver una desigualdad fraccionaria.
P.1) Identificar todos los valores que hacen cero los denominares de cada término.
P.2) Pasar todos los términos de un lado de la desigualdad y se realiza la operación
fraccionaria hasta obtener una sola fracción.
P.3) Factorizar todos los términos tanto del numerador como del denominador.
P.4) Realizar una tabla de signos para encontrar los intervalos que cumplen la desigual-
dad.
P.5) Multiplicar todos los signos de cada columna y se identifica este signo con el intervalo
al que pertenece.
P.6) La solución será, la unión de los intervalos que satisfagan la desigualdad, quitando
todos los valores obtenidos en el primer paso.
1.18
Resolver la desigualdad 1
x < 20.
Solución .
Pasamos todos los términos del lado izquierdo, para obtener
1
x
−20 < 0,
al resolver esta resta fraccionaria, tenemos
1−20x
x
< 0,
como ya no se puede factorizar más, ni el denominador ni el numerador, igualamos a
cero cada uno de los factores para obtner x1 = 1
20 , x2 = 0, con esto construimos la tabla
de signos,
(−∞,0) (0, 1
20 ) ( 1
20 ,∞)
1−20x + + −
x − + +
Producto − + −
Como la desigualdad debe ser menor que cero, la solución es (−∞,0)∪( 1
20 ,∞).
Observación
En los casos en que se pueda identificar rápidamente donde cambia de signo el denomi-
nador, podemos dividir la desigualdad en dos casos (dividendo el intervalo justo donde
el denominador cambia de signo), y resolver cada uno de ellos por separado, la solución
será la unión de ambas soluciones.

21
1.19
x ≤ x
Solución .
Como x = 0, hace cero al denominador debemos quitar este valor de nuestra solución,
además, como el denominador cambia de signo cuando x = 0, se divide la desigualdad
en dos casos:
Caso 1 Consideramos todos los valores que cumplen x > 0. Con estas condiciones, po-
demos multiplicar por x ambos lados de la igualdad, para obtener la ecuación
2 ≤ x2
cuya solución es, luego de realizar los pasos para resolver una ecuación de grado
superior x ∈ [−∞,− 2] ∪ [ 2,∞). ﬁnalmente considerando que aquí solamente
tenemos valores positivos para x, nuestra solución de este caso es x ∈ [ 2,∞).
Caso 2 Consideramos todos los valores que cumplen x < 0. Con estas condiciones, po-
demos multiplicar por x ambos lados de la igualdad, para obtener la ecuación
2 ≥ x2
, (Se invirtió la desigualdad porque x es negativa)
cuya solución es x ∈ [− 2, 2). y considerando que aquí solamente tenemos valo-
res negativos para x, nuestra solución de este caso es x ∈ [− 2,0].
Por último, la solución general de la desigualdad es la unión de las soluciones de ambos
casos, quitando x = 0, es decir x ∈ [− 2,0)∪[ 2,∞)
1.20
Resolver la desigualdad x−1
4x−5 < x−3
4x−3
Solución .
Pasando las dos fracciones a un sólo lado de la desigualdad y realizando la resta fraccio-
naria tenemos
10x −12
(4x −5)(4x −3)
< 0,
igualando cada factor a cero y despejando x, se obtiene x = 6
5 , 5
4 , 3
4 respectivamente. Se
ordenan de menor a mayor, estableciendo intervalos y se construye la tabla de signos.
(−∞, 3
4 ) (3
4 , 6
5 ) (6
5 , 5
4 ) (5
4 ,∞)
10x −12 − − + +
4x −5 − − − +
4x −3 − + + +
producto − + − +
La solución son los intervalos con producto negativo, es decir x ∈ (−∞, 3
4 )∪(6
5 , 5
4 ).

22
NúmerosReales
Solución de desigualdades con raíz cuadrada
Para encontrar los intervalos solución de una desigualdad que contiene raíz cuadrada, debe-
mos considerar los siguientes puntos:
La expresión que esta adentro del radical, debe ser positivo para todo valor de x.
En el resultado, se tomará en cuenta únicamente la raíz positiva.
Teniendo claro lo anterior, veamos un método sugerido para resolver estas desigualdades
Pasos para resolver una desigualdad con raíz cuadrada.
P.1) Tomar la parte de adentro de la raíz y resolver la desigualdad, considerando que
debe ser mayor o igual a cero, esto se hace por cada radical que tengamos en la
expresión.
P.2) Se realiza la intersección de todos los intervalos solución obtenidos en el inciso an-
terior, ésto conformará el dominio de nuestra desigualdad.
P.3) Despejar completamente el radical y elevar al cuadrado para eliminar la raíz cuadra-
da.
P.4) Pasar todos los términos de un solo lado de la desigualdad, enseguida igualar a cero
la expresión y resolver para encontrar todos los puntos donde la desigualdad cambia
de signo.
P.5) Formar intervalos usando los extremos de nuestro dominio obtenido en el paso 2 y
los puntos de cambio de signo del paso anterior.
P.6) tomar un punto en el interior de cada intervalo y evaluarlo en la desigualdad inicial, si
la cumple, el intervalo completo es parte de la solución, en caso contrario se desecha
todo el intervalo.
Veamos algunos ejemplos que nos muestran como se resuelven desigualdades con radical usan-
do los pasos descritos anteriormente.
1.21
Resolver la desigualdad x +5x ≤ 4
Solución .
En este caso, la parte interior de la raíz es x, al expresarla como mayor o igual a cero y
resolver obtenemos nuestro dominio el cual será el intervalo [0,∞).
Enseguida despejamos x y al elevar al cuadrado obtenemos la desigualdad
x +5x ≤ 4 ⇒ x ≤ 4−5x ⇒ x ≤ (4−5x)2
Luego, pasamos todos los términos de un solo lado e igualamos a cero
x ≤ (4−5x)2
⇒ (4−5x)2
− x = 0 ⇒ 25x2
−41x +16 = 0
Al resolver esta igualdad obtenemos los puntos donde la desigualdad cambia de signo,
estos son x1 = 16
25 y x2 = 1, así los intervalos que se forman dentro de nuestro dominio
son 0, 16
25 , 16
25 ,1 y [1,∞).

23
Ahora tomamos un punto arbitrario dentro de cada intervalo y evaluamos en la desigual-
dad inicial
En el primer intervalo podemos tomar x = 0.1 y al evaluar en la desigualdad
0.1+5(0.1) ≤ 4, se observa que se satisface la desigualdad por lo que este intervalo
pertenece a la solución.
En el segundo consideramos x = 0.9, es decir 0.9+5(0.9) ≤ 4, aquí no se satisface
la desigualdad por lo que desechamos este intervalo.
En el tercer intervalo nos sirve x = 2, si evaluamos, obtenemos 2 + 5(2) ≤ 4 que
no se satisface, por lo que no se toma en cuenta.
Finalmente la solución será la unión de los intervalos obtenidos anteriormente, es decir
el intervalo x ∈ 0, 16
25 .
Consideremos ahora un ejemplo donde se tienen dos radicales en una misma desigualdad.
1.22
Resolver la desigualdad x2 −1 < x +4
Solución .
Resolviendo las desigualdades x2
−1 ≥ 0 y x +4 ≥ 0 tenemos como solución (−∞,−1]∪
[1,∞) y [−4,∞) respectivamente, como necesitamos que se satisfagan ambas desigual-
dades, realizamos la intersección para obtener nuestro dominio.
[(−∞,−1]∪[1,∞)]∩[−4,∞) = [−4,−1]∪[1,∞) (1.4)
Enseguida, elevamos ambos lados de la desigualdad original al cuadrado, despejamos e
igualamos a cero
x2
−1 < x +4 ⇒ x2
− x −5 = 0
cuya solución es x1 = 1
2 − 21
2 y x2 = 1
2 + 21
2 . Al formar los intervalos con nuestro dominio
se obtienen
−4,
1
2
−
21
2
,
1
2
−
21
2
,−1 , 1,
1
2
+
21
2
,
1
2
+
21
2
,∞
Al evaluar en la desigualdad original los puntos x = −2,−1.5,2,3 que están respectiva-
mente en el interior de cada uno de los intervalos descritos, notaremos que los unicos
intervalos que forman parte de la solución son el segundo y tercero, por lo que tenemos
como la solución de la desigualdad a los intervalos
1
2
−
21
2
,−1 ∪ 1,
1
2
+
21
2
.

24
NúmerosReales
Observación
En la mayoría de los casos y debido a que las raíces tiene restricciones, es fácil y suficien-
te, realizar un análisis de los valores que cumplen la desigualdad, sin realizar todos los
cálculos.
1.23
Resolver cada una de las siguientes desigualdades haciendo un análisis inductivo de los
valores que las satisfacen.
1. x2 −5x +4+2x2
< −1.
2. x −2 ≤ 2x +1+2
3. 5
x
> 4
4. x2 −4 < x + 1− x
Solución .
Recordemos que el resultado de una raíz siempre es positiva, por lo que se puede pasar
multiplicando o dividiendo sin alterar el resultado.
1. No existe ningún valor de x, que satisfaga la desigualdad, pues la parte izquierda
es siempre positiva y no puede ser menor a algo negativo.
2. El resultado es todo R, pues esta desigualdad sólo está definida en el intervalo
[2,∞) y ahí es claro que cualquier valor la cumple.
3. Si despejamos x, se tiene x < 5
4 , de aquí x < 25
16 y el intervalo solución es 0, 25
16 .
4. No tiene solución, pues al obtener los valores donde están definidas las raíces tene-
mos que para x2 −4 su intervalo es (−∞,−2)∪(2,∞), el radical x esta definido
solo para (0,∞) y 1− x necesita que x ∈ (−∞,1), pero se puede observar que no
hay valor de x que este en los tres intervalos al mismo tiempo.
Solución de desigualdades dobles
Estas desigualdades aparecen muy frecuentemente en matemáticas, puede estar incluida cual-
quier tipo de desigualdad de las que hemos estudiado anteriormente, la diferencia es que ahora
debemos resolver dos desigualdades en vez de una.
Para resolver estas desigualdades procedemos como sigue;
Pasos para resolver una desigualdad doble.
Consideramos desigualdades dobles de la forma p(x) ≤ q(x) ≤ r(x)
P.1) Se separa en dos desigualdades p(x) ≤ q(x) y q(x) ≤ r(x).
P.2) Se resuelve cada desigualdad por separado.
P.3) El resultado sera la intersección de ambos resultados, es decir, los valores de x que
están en ambos intervalos solución.

25
1.24
x+2 ≤ 4
x−3 < 5.
Solución .
Quitamos los valores x = −2,3 del dominio de la desigualdad. Resolvemos primero 9
x+2 ≤
4
x−3 , para esto, pasamos todos los términos a un sólo lado de la desigualdad y realizamos
la operación fraccionaria,
9
x +2
−
4
x −3
≤ 0 es decir
5(x −7)
(x −3)(x +2)
≤ 0,
al igualar a cero los factores, obtenemos que x = 7,3,−2. Con esta información la tabla
de signos queda;
(−∞,−2) (−2,3) (3,7) [7,∞)
(x −7) − − − +
x −3 − − + +
x +2 − + + +
producto − + − +
entonces la solución de esta primera parte es (−∞,−2)∪(3,7].
Por otro lado en la desigualdad 4
x−3 < 5, al pasar todos los términos de un lado y realizar
las operaciones, tenemos
−5x +19
x −3
< 0
con lo que podemos construir la tabla
(−∞,3) 3, 19
5
19
5 ,∞
(x −3) − + +
−5x +19 + + −
producto − + −
y el resultado de esta segunda desigualdad es el intervalo (−∞,3)∪ 19
5 ,∞ . El resultado
ﬁnal será la intersección de las dos soluciones
[(−∞,−2)∪(3,7]]∪ (−∞,3)∩
19
5
,∞ = (−∞,−2)∪
19
5
,7 .
En algunos casos sencillos no es necesario separar en dos desigualdades, basta con ir realizan-
do las operaciones simultáneamente en las tres partes de la desigualdad.
1.25
Resolver la desigualdad −4 ≤ 1−3x
5 ≤ 8
Solución .
Si multiplicamos toda la desigualdad por 5
−20 ≤ 1−3x ≤ 40

26
NúmerosReales
luego restando la unidad
−21 ≤ −3x ≤ 39
y dividiendo entre −3, obtenemos la solución
7 ≥ x ≥ −13.
o sea el intervalo [−13,7].
Solución de desigualdades con valor absoluto
Debido a las propiedades P.3 y P.4 de valor absoluto vistos en la sección 1.4, es posible resolver
una desigualdad de este tipo partiendo la recta real en intervalos mas pequeños que dependen
del valor absoluto que se tenga, como lo muestra el siguiente método.
Pasos para resolver una desigualdad con valor absoluto.
P.1) Descomponer la recta real, en intervalos pequeños, esto se hace igualando a cero
la expresión dentro de cada valor absoluto y despejando la variable para obtener los
puntos de división.
P.2) En cada intervalo, quitar los valores absolutos de la ecuación de acuerdo a la deﬁni-
ción y resolver la expresión que queda considerando únicamente los valores dentro
del propio intervalo.
P.3) La solución general, es la unión de las soluciones de cada intervalo.
1.26
Resolver la desigualdad |3x| < 5x +6
Solución .
Igualando a cero la parte interna del único valor absoluto obtenemos x = 0 como punto
de división, por lo que los intervalos serán (−∞,0) y [0,∞).
en el intervalo (−∞,0) la expresión 3x es negativa por lo que al quitar el valor abso-
luto la ecuación queda como −(3x) < 5x +6, al resolver tenemos que x > −3
4 , como
estamos trabajando dentro del intervalo (−∞,0) entonces únicamente tomamos
como solución el intervalo −3
4 ,0 .
en el intervalo [0,∞) la expresión 3x es positiva por lo que al quitar el valor abso-
luto la ecuación queda como (3x) < 5x +6, al resolver tenemos que x > −3, como
estamos trabajando dentro del intervalo [0,∞) entonces nuestra solución es [0,∞).
Finalmente la solución general de la ecuación es la unión de cada solución particular es
decir −3
4 ,0 ∪(0,∞) = −3
4 ,∞ .

27
1.27
Resolver la desigualdad |4x −2| > 3x −1.
Solución .
Igualando a cero la parte interna del único valor absoluto obtenemos x = 1
2 como punto
de división, por lo que los intervalos serán −∞, 1
2 y 1
2 ,∞ .
en el intervalo −∞, 1
2 la expresión 4x −2 es negativa por lo que al quitar el valor
absoluto la ecuación queda como −(4x − 2) < 5x + 6, al resolver tenemos que x <
−3
7 , que es la solución del intervalo.
en el intervalo 1
2 ,∞ la expresión 4x − 2 es positiva por lo que al quitar el valor
absoluto la ecuación queda como (4x − 2) < 5x + 6, al resolver tenemos que x >
1, que también queda como solución pues cae dentro del intervalo que estamos
trabajando.
decir x ∈ (−∞, 3
7 )∪(1,∞).
Para resolver ecuaciones que sólo contienen un valor absoluto, existen otros métodos que nos
pueden ayudar bastante o que requieren un poco menos de esfuerzo sin embargo para casos
más generales es muy útil este procedimiento.
1.28
Resolver la desigualdad |9x −7| ≤ |2x −1|
Solución .
Igualando a cero la parte interna de cada valor absoluto obtenemos x = 7
9 y x = 1
2 como
puntos de división, por lo que los intervalos serán −∞, 1
2 , 1
2 , 7
9 y 7
9 ,∞ .
en el intervalo −∞, 1
2 la expresión 9x − 7 es negativa, de igual manera la ex-
presión 2x − 1, por lo que al quitar el valor absoluto la ecuación queda como
−(9x − 7) ≤ −(2x − 1), al resolver tenemos que x ≥ 6
7 , como estamos dentro del
intervalo −∞, 1
2 concluimos que este intervalo no tiene solución.
en el intervalo 1
2 , 7
9 la expresión 9x −7 es negativa mientras que 2x −1 es positiva
por lo que al quitar el valor absoluto la ecuación queda como −(9x−7) ≤ (2x−1), al
resolver tenemos que x ≥ 8
11 , como estamos dentro del intervalo 1
2 , 7
9 , la solución
es 8
11 , 7
9 .
en el intervalo 7
9 ,∞ ambas expresiones son positivas por lo que al quitar el valor
absoluto la ecuación queda como (9x −7) ≤ (2x −1), al resolver tenemos que x ≤ 6
7 ,
como estamos dentro del intervalo 7
9 ,∞ , la solución es 7
9 , 6
7 .
decir 8
11 , 7
9 ∪ 7
9 , 6
7 = 8
11 , 6
7 .

28
NúmerosReales
1.6 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.
1.6 Evaluaciones sumativas
1.6.1 Ejercicios
1.•
Identificar si las siguientes expresiones corresponden a números racionales o irracionales.
a.•
1+ 3
b.•
2 11
c.•
( 3)4
d.• 1
π
e.• 2−3 6.25
(4 3)2
2.•
Convertir los siguientes números racionales a su forma fraccionaria.
a.•
1.56475
b.•
0.0036
c.•
2.108
d.•
0.09516
e.•
0.195
f.•
8.727
g.•
0.09636
h.•
0.1316
i.•
100.100
j.•
0.9
3.•
En las siguientes afirmaciones, escribe su representación en forma gráfica, de desigual-
dad, de intervalos y como conjuntos.
a.•
El conjunto de números reales menores o iguales a 12.5.
b.•
El conjunto de números reales menores que −3 pero mayores o iguales a −50
c.•
El conjunto de números reales menores a 7 y mayores que 32.
d.•
El conjunto de todos los números reales excepto el 5.
e.•
El conjunto de números reales mayores o iguales a −3 y menores o iguales a 0.
f.•
El conjunto de números reales mayores de −1/5.
g.•
El conjunto de números reales que estén entre −12 y 23 incluyendo el −12.
h.•
El conjunto de números reales cuyo valor absoluto sea mayor a 10.
i.•
El conjunto de números reales cuyo valor absoluto sea menor o igual a 1.
j.•
El conjunto de números reales cuyo cuadrado sea menor a 0.
4.•
Resolver las siguientes desigualdades polinomiales de primer grado.
a.•
2x −5 > 3x
b.•
3x −2 ≤ 2x −1
c.•
5(x −2)−3x ≥ 3(x +2)
d.•
3x −4 < 3x −5
e.• 1
2 x −5 ≤ 3
4 (x −4)+ 4x−2
3
5.•
Resolver las siguientes desigualdades polinomiales de grado superior.
a.•
(x +5)(x −2)(x −1) ≤ 0
b.•
x2
− x < 6
c.•
3x2
− x −2 > 0
d.•
2x2
+5x −12 < 0
e.•
(6x +2)(x −1) ≤ (2x −3)(3x −2)
6.•
Resolver las siguientes desigualdades con fracciones.
a.• 1
x > 1−x
x
b.• x
x+2 < 4
c.• 3x
4x−5 ≤ x +3.
d.• 1
x+2 ≤ 3
x−5 .

29
e.• 2x+1
3x−6 ≤ 3.
7.•
Encuentra el intervalo de números que satisface cada una de las desigualdades con raíz.
a.•
x2 − x −12 < x
b.•
2 x − 2x2 −3x −5 ≥ 1
c.•
x +1−1 ≤ x.
d.•
−x + x −2 < x +3.
8.•
Resolver las siguientes desigualdades dobles.
a.•
−2x ≤ −2 ≤ 3x −1
b.•
3x < 4+ x ≤ 2+3x
c.•
x −2 ≤ 3x −1 ≤ x2
.
d.• 1
x ≤ x < x2
.
e.•
2 < 1− x2
≤ 5x−1
x2 .
9.•
Indica los valores que puede tomar la variable x, de tal forma que satisfaga las siguientes
desigualdades con valor absoluto.
a.•
|x −5| < 3
b.•
|x −5| ≤ 2x +2.
c.•
|3x +2| ≥ 4.
d.• |x−1|
x < 0.
e.• |x|
x+2 < 2.
10.•
Resuelve los siguientes ejercicios de desigualdades, usando un método apropiado.
a.•
x3
−2x2
< x2
(x −2)−3(x −1)
b.•
|2x−3
3x−2 | ≤ x −5.
c.•
3+ 1
x−2 ≥ 4
x+1 .
d.• 5x2
+9x+34
x2+4x+6
≥ 4
e.•
|2x−3
x2−1
| ≥ 2.
f.• 3x2
−16x−12
x+4
≥ 0.
g.•
|2−x
3 |+3 ≤ x
h.•
|3x−1
x+1 | < 2.
i.•
|6x −5| ≤ |3x −5|.
j.•
|2x +1| ≤ 3−|x −3|.
k.•
|3x −1|−3 ≤ |3x +1|.
l.•
4x2
−19|x|−5 < 0.
m.•
(3− x)|x +5| < 7.
n.•
|x2
−6x +10| < 2.
ñ.•
|2x2
+5x −21| < x +17.5.
o.• 3
x +1 x −1 ≤ 0.
p.• |x−1|
3
x−1
≥ 0.
q.•
2x −8+ x −5 > 3x −9.
r.• 2x 5−3
x 5−2
≤ 0.
11.•
Resolver los siguientes problemas usando desigualdades.
a.•
El triple de un entero, más cuatro, menos el doble de éste, está entre 10 y 15. Determine
todos los enteros que satisfagan la expresión anterior.

30
NúmerosReales
b.•
Un fabricante puede vender todas las unidades que produce a $80 cada una. Tiene
costos fijos de $1500 al mes; y además, le cuesta $30 producir cada articulo. ¿Cuántas unidades
puede producir y vender la compañía para obtener utilidades?
c.•
Una fábrica de maletas desea saber si le conviene fabricar ciertos forros para los bolsi-
llos, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $8.00 la unidad. La fabricación de
estos forros incrementará sus costos fijos en $4800 al mes, pero sólo le costará $5.50 fabricar
cada forro . ¿Cuántos forros debe hacer la empresa cada mes para justificar la elaboración de
sus propios forros?
d.•
Una empacadora produce tapas rectangulares que tienen el largo de dos unidades ma-
yores que el triple del ancho.
1. Si el largo de las tapas está entre 35 y 50 cm, ¿En qué intervalo esta el ancho?
2. ¿En qué intervalo está el área de las tapas?
e.•
En una hacienda, 10 recolectores recogen entre 150 y 180 kg de un producto al día; si
la mitad de ellos recogen el doble de los demás ¿Entre qué valores están los kg que recoge un
trabajador rápido?
12.•
Hallar todos los valores de x para los cuales las expresiones representan números reales.
a.•
x2 +5x +6.
b.•
4−2x.
c.• x−1
2−x
.
d.•
lnx + x2 +1.

31
2 Funciones
Competencia específica a desarrollar
Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propieda-
des y operaciones.
Actividades de Aprendizaje
Identificar, cuando una relación es una función entre dos conjuntos.
Identificar el dominio, el codominio y el recorrido de una función.
Reconocer cuando una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
Representar una función real de variable real en el plano cartesiano. (gráfica de una fun-
ción).
Construir funciones algebraicas de cada uno de sus tipos.
Construir funciones trascendentes, trigonométricas circulares y funciones exponencia-
les haciendo énfasis en las de base e.
Reconocer las gráficas de las funciones trigonométricas circulares y gráficas de funciones
exponenciales de base e.
Graficar funciones con más de una regla de correspondencia.
Graficar funciones que involucren valores absolutos.
Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de fun-
ciones.
Reconocer el cambio gráfico de una función cuando ésta se suma con una constante.
Mediante un ejercicio utilizar el concepto de función biyectiva para determinar si una
función tiene inversa, obtenerla, y comprobar a través de la composición que la función
obtenida es la inversa.
Identificar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.
Proponer funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números
reales.

32
Funciones
2.1 Introducción Cálculo Diferencial.
2.1 Introducción
En la vida diaria, estamos acostumbrados a interactuar con las personas que nos rodean, resul-
ta fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, a los miembros o elementos de un
conjunto con los de otro. Por ejemplo, por cada casa hay una familia que la habita; para cada
libro corresponde por lo menos un autor, etcétera. En matemáticas estamos interesados en un
tipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor único denominada función.
Antes de de entrar de lleno al estudio de las funciones veamos como surgen.
Definición 2.1 Relación de conjuntos
Una relación entre 2 conjuntos es una regla de asociación que indica la forma que cada
elemento del primer conjunto está relacionado con un elemento del segundo conjunto.
A BR
1
4
2
3
65
7
9
8
11
11
6
9
10
8
75
4
3
2
1
Para indicar la relación de los elementos entre los dos conjuntos, usamos la notación
R(a) = b
que indica que al elemento a ∈ A se le esta asociando con el elemento b ∈ B. Además al elemen-
to a se le conoce como argumento o variable independiente y al elemento b como el resultado
o variable dependiente de la relación.
Aunque las relaciones entre conjuntos son muy importantes, nuestro interés se centra solo en
aquellas relaciones que cumplen ciertos requisitos, dos en particular, bajo estas condiciones
cualquier relación entre conjuntos recibe el nombre de función. Formalmente tenemos la si-
guiente definición.
Definición 2.2 Funciones
Dados dos conjuntos A y B, una función entre ellos es una regla de asociación f que
a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el
dominio de f y que B es su codominio.
Es decir una regla de asociación es una función si y sólo si cumple las dos siguientes propieda-
des.
1. Todos los elementos del primer conjunto, deben estar relacionados con alguno del se-
gundo.

33
2.1 Introducción Cálculo Diferencial.
2. Un elemento del primer conjunto, no puede estar relacionado con dos elementos del
segundo.
Podemos ver en un diagrama sagital de funciones, como se reﬂejan estas propiedades
A BR1
4
2
3
6
7
8
6
4
3
2
1
9
11
9
8
7
5
No es función
(a) No se cumple la propiedad 1
A BR
1
4
3
6
9
11
9
7
3
2
1
No es función
(b) No se cumple la propiedad 2
A
Codominio o Contradominio
B
Dominio
f1
4
3
6
9
11
9
7
3
2
1
Si es función
(c) Cumple ambas propiedades
Figura 2.1. Relaciones y funciones
La notación estándar para indicar que una relación es función es
f : A → B
que signiﬁca que la función f va del conjunto A al conjunto B.
2.1
Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones. Considera al conjunto A
como el dominio y al conjunto B como el codominio.
1. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, la relación es R(x) = x +1.
2. A = N y B = Z, la relación es R(x) = x+1
2 .
3. A = N y B = Q, la relación es R(x) = x+1
2 .
4. A = R y B = R, la relación es R(x) = x.
5. A = R+
y B = R+
, la relación es R(x) = x.
6. A el conjunto de números primos y B conjunto de números impares, la relación es
R(x) = x.

34
Funciones
2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real Cálculo Diferencial.
Solución .
Debemos verificar que se cumplan las dos características para ser función, así
1. No es función, observemos que el número 9 del dominio no esta relacionado con
ningún elemento del codominio.
2. No es función, pues los números pares del dominio no esta relacionado con nin-
gún elemento.
3. Si es función.
4. No es función, pues los números negativos del dominio no esta relacionado con
ningún elemento, además un elemento de A se relaciona con dos de B.
5. Si es función.
6. No es función, dado que el número 2 del dominio no esta relacionado con ningún
elemento.
En lo sucesivo denotaremos las función con las letras f ,g o h y el dominio de la función con la
letra X , además el codominio con la letra Y .
2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real
2.2.1 Dominio de una función real
De acuerdo a la definición 2.2, el dominio de una función real f es el mayor subconjunto del
conjunto de números reales para los que f (x) es un número real.
Aunque estamos acostumbrados a considerar el conjunto de números reales como nuestro
conjunto de salida cuando manejamos funciones, en una gran variedad de ellas, no todos los
reales forman parte del dominio.
Para obtener el dominio de una función, debemos considerar todos los números reales y quitar
aquellos que al momento de evaluarlos no dan como resultado un número real.
Observación
En caso de que la función contenga raíces de orden par, debemos incluir solamente
aquellos valores de la variable que hacen que el radicando sea positivo.
2.2
Determina el dominio de la función f (x) =
1
x
+ x2 −3x +2
Solución .
Inmediatamente podemos observar que x = 0 no puede ser parte del dominio, pues no
esta definida la operación
1
0
. Por otro lado la raíz cuadrada no esta definida si el radi-
cando es negativo, por lo que debemos tomar sólo aquellos valores que cumplen que
x2
− 3x + 2 ≥ 0, para obtener dichos valores resolvemos la desigualdad, al factorizar te-
nemos (x − 2)(x − 1) ≥ 0, realizando la tabla de signos concluimos que la solución de la
desigualdad es (∞,1)∪(2,∞) y finalmente el dominio de f es (−∞,0)∪(0,1)∪(2,∞).

35
En los casos que tengamos en el denominador un polinomio de grado superior, debemos igua-
larlo a cero y resolverlo, quitando todos los valores obtenidos del dominio.
2.3
Determina el dominio de la función f (x) =
3x −4
x2 −7x +10
+
1
x2 +2
Solución .
Igualamos a cero el denominador del primer término y resolvemos
x2
−7x +10 ⇒ x1 = 5,x2 = 2,
como el radicando de la raíz siempre es mayor que cero, no hay nada que quitar en el
segundo término y el dominio de f está formado por los intervalos (−∞,2)∪(2,5)∪(5,∞).
Observación
Si una función es polinomial, sin raíces cuadradas y sin fracciones con variable en el
denominador, entonces el dominio consiste de todos los números reales.
2.2.2 Gráfica de una función real
En campos como ciencia, ingeniería y negocios, a menudo se usa una función para describir los
fenómenos. A fin de interpretar y utilizar datos, es útil representar éstos en forma de gráfica. Sin
embargo, antes de comenzar nuestro estudio de gráficas, transformemos nuestros conjuntos
y la función entre ellos, a un sistema de dos rectas perpendiculares entre si, donde cada recta
representan un conjunto, llamado plano cartesiano, como lo muestra el siguiente diagrama.
y
x X
Y
Codominio
YX
CodominioDominio
f
1
4
x
6 7
y
2
1
Dominio
f(x)=y
Para realizar la gráfica de una función, se le asignan algunos valores arbitrarios a x y se obtie-
nen los correspondientes valores de y = f (x) con lo que se forman pares ordenados (x, y) que
representan puntos dentro del plano cartesiano, estos puntos se unen y forma la gráfica.

36
Funciones
2.4
Realizar la gráfica de la función f (x) = 2x3
−5 x.
Solución .
Observemos que el dominio de la función son todos los valores positivos. Para graficar
hacemos una tabulación con algunos valores arbitrarios para x y su correspondiente va-
lor f (x), con esto se identifican los puntos en el plano y se unen con una curva suave,
como lo indica la figura.
x f (x)
0 0
0.5 -3.28
1 -3
1.5 0.62
2 8.92
2.5 30.04
3 52.75
-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
X
-4
-2
2
4
6
8
Y
2.5
Realizar la gráfica de la función g(x) =
x −2
x2 − x −2
+
1
x
.
Solución .
El dominio de esta función (−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,∞). Para realizar la gráfica, en este caso,
debemos dar al menos 3 valores en cada intervalo.
x f (x)
-4 -0.58
-3 -0.83
-2 -1.5
-0.8 3.75
-0.5 0
-0.2 -3.75
1 1.5
2 0.83
3 0.58
-3 -2 -1 1 2 3
X
-5
5
Y
A las líneas punteadas verticales en los puntos x = −1,0 se les conoce como asíntotas1
.
2.2.3 Rango de una función real
Como se puede apreciar en la figura 2.1 inciso c), una función no necesariamente cubre a todo
el codominio, pueden existir una cantidad de puntos dentro del segundo conjunto que no estén
relacionados con ningún elemento del primero. Dentro del estudio de funciones nos interesan
1En geometría, línea recta que prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin llegar
nunca a encontrarla.

37
aquellos elementos que son el resultado de aplicar la función a un elemento del dominio, este
conjunto recibe un nombre especial.
Deﬁnición 2.3 Rango e imagen de una función
Al elemento y del codominio, que corresponde a un elemento seleccionado en el domi-
nio X , se denomina, imagen de x o valor de la función en x y se escribe como f (x). El
conjunto de elementos formado por todas las imágenes de los correspondientes valores
en X se llama rango de la función.
Y
X
Imagen de x
Dominio
x f(x)
Rango
Codominio
f
Figura 2.2. Relación entre Dominio, rango e imagen de una función
Un método algebraico para determinar el rango de una función f (x), consiste en lo siguiente:
Pasos para encontrar el rango de una función.
P.1) Se escribe la función f (x) como y = f (x).
P.2) Se despeja x de la ecuación anterior para obtener x = g(y) a
.
a) El dominio de x = g(y) es igual a la imagen de y = f (x).
b) El dominio de y = f (x) es igual a la imagen de x = g(y).
aEsta ecuación, no siempre representa una función, en la sección 2.5 se indicará que condiciones debe
de cumplir f (x) para que g(y) sea función, en caso de serlo se le conoce como función inversa.
2.6
Determinar el rango de la función f (x) =
x −3
x +1
+1.
Solución .
Escribimos y =
x −3
x +1
+1, para despejar x, multiplicamos la ecuación por el denominador
y(x +1) = x −3+(x +1)
enseguida se desarrollan ambos lados de la igualdad y se pasan todos los términos con x

38
Funciones
del lado izquierdo
yx −2x = −3+1− y ⇒ x(y −2) = −2− y
finalmente, tenemos que x =
−2− y
y −2
, el dominio aquí es {y ∈ R : y = 2} que es igual a la
imagen de la función f (x).
Observación
En algunas ecuaciones resulta muy complicado hacer el despeje, incluso en ocasiones es
hasta imposible realizarlo, por lo que es recomendable tomar en cuenta otros métodos
para esos casos.
Dada una función real, el rango se puede determinar usando un método gráfico, es decir apli-
cando lo que se conoce como prueba de la línea horizontal, y que consiste en lo siguiente; se
toma un valor de y arbitrario y se traza una recta horizontal infinita, si esta línea toca a la gráfi-
ca en algún punto, entonces este valor de y pertenece al rango de f , en caso contrario no forma
parte de las imágenes de f .
2.7
Determinar el rango de la función f (x) = 3x2
−2x +1.
Solución .
Al graficar esta función y tra-
zar lineas horizontales, pode-
mos observar que a partir de
y =
2
3
hacia arriba, cualquier lí-
nea horizontal toca a la gráfica,
mientras que por debajo de es-
te valor ninguna recta horizon-
tal la tocará.
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
X
-1
1
2
3
4
5
6
Y
El rango de f es igual a {y ∈ R : y ∈
2
3
,∞ }
2.8
Determinar el rango de la función f (x) =
x −2
x +1
.
Solución .

39
2.3 Tipos de funciones Cálculo Diferencial.
Podemos observar que
la única línea horizontal
que no toca a la gráfica es
y = 1, fuera de ese valor
cualquier línea horizon-
tal toca a la gráfica. -5 5
X
-1
1
2
3
Y
El rango de f es igual a {y ∈ R : y = 1}
2.3 Tipos de funciones
En esta sección estudiaremos una clasificación de las funciones de acuerdo a su estructura y
operaciones internas que contienen; esto nos ayuda a dividirlas en grupos más pequeños de
tal forma que su estudio sea más fácil.
2.3.1 Funciones algebraicas
Definición 2.4 Funciones Algebraicas
Una función algebraica es una función que consiste de operaciones como suma, resta,
división, multiplicación, raíz o exponentes de expresiones polinómicas.
Dentro de las funciones algebraicas tenemos: funciones polinomiales, racionales, irracionales,
valor absoluto y funciones a trozos, a continuación trataremos las características esenciales de
cada una de ellas.
Funciones polinomiales
Definición 2.5 Funciones polinomiales
Una función polinomial real tiene la forma:
f (x) = anxn
+ an−1xn−1
+···+ a1x + a0
donde los ai son números reales constantes, n ≥ 0.
Algunos ejemplos de funciones polinomiales son las siguientes
f (x) = 5x8
+9x3
−6
g(x) = x8
h(x) = 3
i(x) =
1
3
x2
+ 2x
El exponente más alto, que contiene la expresión, determina lo que se conoce como grado de
la función polinomial.

40
Funciones
Características de una función polinomial.
C.1) El dominio es todo R.
C.2) Si la función es de grado impar, el rango es todo R, cuando es de grado par nunca
serán igual el rango y el contradominio.
C.3) La trayectoria formada por las funciones polinomiales de grado 1,2 y 3 es:
a) De primer grado, corresponde una línea recta. Ver figura 2.3 inciso a).
b) De segundo grado, corresponde una parábola que puede abrir hacia arriba o
hacia abajo. Ver figura 2.3 inciso b).
c) De tercer grado, dibuja una curva tipo S. Ver figura 2.3 parte c).
-3 -2 -1 1 2 3
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y
(a) Primer grado
-2 -1 1 2
X
-2
-1
1
2
3
Y
(b) Segundo grado
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
X
-2
-1
1
2
Y
(c) Tercer grado
Figura 2.3. Funciones polinomiales
Funciones Racionales
Definición 2.6 Funciones racionales
Una función de la forma:
f (x) =
Pn(x)
Qm(x)
=
anxn
+ an−1xn−1
+···+ a1x + a0
bmxm +bm−1xm−1 +···+b1x +b0
donde Pn(x) y Qm(x) son funciones polinomiales y Qm(x) = 0, es llamada función racio-
nal.
Algunos ejemplos de funciones racionales son las siguientes
f (x) =
1
x
g(x) =
5x8
+9x3
−6
x
h(x) =
3x −5
2x −1
i(x) =
1
x2 − 3
En este tipo de funciones, debemos tener cuidado de no hacer cero el denominador pues en
ese caso, no está definida la función.

41
Características de una función racional.
C.1) El dominio es todo R, excepto los puntos donde se hace cero el denominador.
C.2) El rango se puede obtener a partir de su gráfica, normalmente es todo R y solo le
quitamos algunos puntos que se reflejan en asíntotas horizontales.
C.3) Para graficar funciones racionales, debemos considerar lo siguiente:
a) Identificar todos los intervalos que contiene el dominio, quitando los ceros del
denominador.
b) Por cada intervalo asignar al menos tres valores a la variable independiente y
evaluar la función en estos valores.
c) Los puntos que hacen cero al denominador forman una asíntota vertical y la
gráfica va aproximándose cada vez más a ésta, subiendo o bajando según su
trayectoria pero sin tocarla.
2.9
Dada la función f (x) = 3x−4
(x−5)(x+1) . Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.
Solución .
Los puntos que hacen cero al denominador son x = −1,5, quitando estos puntos, el do-
minio está formado por los intervalos (−∞,−1)∪(−1,5)∪(5,∞). Para graficar asignamos
por lo menos 3 valores en cada intervalo, así tenemos
x f (x)
−4 −16
27
−3 −13
16
−2 −10
7
0 4
5
1.5 −0.05
4 −8
5
6 2
7 17
16
8 20
27
-5 5 10
X
-4
-2
2
4
Y
De la gráfica podemos observar que el rango corresponde a todo R pues la parte de en
medio cubre todo el eje Y .
2.10
Dada la función g(x) = 2x2
−1
(x−1)(x2−4)
. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.
Solución .
Los puntos que hacen cero al denominador son x = −2,1,2, quitando estos puntos, el
dominio está formado por los intervalos (−∞,−2) ∪ (−2,1) ∪ (1,2) ∪ (2,∞). Para graficar
asignamos por lo menos 3 valores en cada intervalo, así tenemos

42
Funciones
x g(x)
−5 − 7
18
−4 −31
60
−3 −17
20
−1 1
6
−.5 −0.09
0 −1
4
1.3 −3.43
1.6 −4.77
1.9 −17.72
3 17
10
4 31
36
5 7
12
-6 -4 -2 2 4 6
X
-5
5
Y
De la gráfica podemos observar que el rango corresponde a todo R. Aquí las partes de las
orillas cubren todo el eje Y excepto el 0, el cual es cubierto con la gráfica en el intervalo
de (−2,1).
Funciones Irracionales
Definición 2.7 Funciones Irracionales
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática contiene radicales
de la forma
n
f (x)
donde f (x) puede ser una función polinomial o racional.
Algunos ejemplos de funciones irracionales son las siguientes
f (x) = x −1
g(x) = 4
x
h(x) =
3x −5
2x −1
i(x) =
3
3x −2
Si el indice de la raíz es impar, la función está definida para todo R, si n es par entonces sólo se
define para valores positivos del radicando.

43
Características de una función irracional.
C.1) Para obtener el dominio de una función irracional, dividimos en dos casos:
a) Cuando el orden de la raíz n−ésima es par, el dominio consiste de todos los
valores donde f (x) mayor o igual a cero y esté bien definido, es decir, que no
tenga divisiones entre cero.
b) Cuando el orden de la raíz n− ésima es impar, el dominio será igual a todos los
valores de x para los cuales f (x) esté bien definido.
C.2) El rango generalmente es igual a los reales positivos si n es par, y a todos los reales
si es impar, esto considerando que f (x) este definido para todo real.
C.3) Para graficar funciones irracionales, debemos considerar lo siguiente:
a) Identificar el o los intervalos que contiene el dominio.
b) En caso de raíces pares, es recomendable comenzar a asignar valores por el
de la variable que hace cero el radicando. Por cada intervalo asignar al menos
tres valores a la variable independiente y evaluar la función en estos valores.
c) En caso de contener fracciones, los puntos que hacen cero al denominador
forman una asíntota vertical y la gráfica va aproximándose cada vez más a
ésta, subiendo o bajando según su trayectoria pero sin tocarla.
2.11
Dada la función f (x) = x3 −1. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.
Solución .
Resolviendo la desigualdad x3
− 1 ≤ 0 obtenemos que el dominio está formado por el
intervalo [1,∞). Para graficar asignamos algunos valores dentro del dominio
x f (x)
1 0
2 7
3 26
4 3 7
5 2 31
1 2 3 4 5
X
2
4
6
8
10
12
Y
De la gráfica se puede observar que el rango corresponde a el intervalo (0,∞) sobre el eje
Y .
2.12
Dada la función g(x) = 3 x
x−1 . Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.
Solución .
Como es raíz impar, únicamente debemos quitar los puntos que hacen cero al denomi-
nador y es x = 1, así el dominio está formado por los intervalos (−∞,1) ∪ (1,∞). Para

44
Funciones
graficar asignamos por lo menos 3 valores en cada intervalo, así tenemos
x g(x)
−3 0.91
−2 0.87
−1 0.79
0 0
2 1.26
3 1.14
4 1.1
-2 -1 1 2 3
X
-3
-2
-1
1
2
3
4
Y
De la gráfica podemos observar que el rango corresponde a todo R{0}.
Observación
Debemos tener cuidado al usar un graficador para raíces de orden impar, pues normal-
mente al calcular el valor de un número negativo, estos toman como resultado la raíz
principal, la cual no es real y por lo tanto omiten una parte de la gráfica.
Función valor absoluto
Para la siguiente función debemos recordar la definición de valor absoluto dada en la sección
1.4,
Definición 2.8 Funciones de valor absoluto
La función valor absoluto tiene la forma f (x) = |g(x)|, donde g(x) puede ser función
polinomial, racional o irracional.
Algunos ejemplos de funciones con valor absoluto son las siguientes:
f (x) = |x −9|
g(x) = |x3
− x|
h(x) = |9x|
i(x) =
3x
x −2
Características de una función valor absoluto
C.1) El dominio de la función f (x) = |g(x)| es exactamente igual al dominio de la función
interior, es decir de g(x).
C.2) El rango está compuesto por los valores positivos del eje Y .
C.3) Para graficar una función f (x) = |g(x)| se siguen las reglas de la función g(x).
2.13
Dada la función f (x) = |1− x2
|. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.
Solución .
El dominio es todo R pues la función interior es polinomial. Para graficar asignamos al-

45
gunos valores arbitrarios dentro del dominio para obtener
-4 -2 2 4
X
2
4
6
8
Y
Claramente el rango corresponde a valores y ∈ [0,∞).
2.14
Dada la función g(x) =
1− x
x −2
. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.
Solución .
El dominio es todo R pues la función interior es polinomial. Para graficar asignamos al-
gunos valores arbitrarios dentro del dominio para obtener
-2 -1 1 2 3 4 5
X
-1
1
2
3
4
5
6
Y
Funciones por partes
Definición 2.9 Función a trozos
En matemáticas, una función definida a trozos o por partes, es una función cuya regla
de correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable independiente, es decir
esta compuesta de varias funciones en intervalos pequeños.
Este tipo de funciones es muy importante porque permite estudiar más de un comportamiento
en una misma función. Algunos ejemplos de estas funciones son:
1. f (x) =
1, si x<0;
2, si x>0;.
2. g(x) =
x2
, si x<0;
3x, si x>0;.
3. h(x) =
x2
−1, si x>2;
x3
−1, si x ≤ 2.

46
Funciones
4. i(x) =



x −1, si x ∈ (−∞,5);
|x|, si x ∈ [5,8);
2x−5
x−4 , si x ∈ [8,∞).
Características de una función a trozos
C.1) El dominio es la unión de cada una de las funciones que la componen.
C.2) El rango es la unión de las imágenes de cada función y se puede obtener a través de
la gráfica.
C.3) Para graficar una función se asignan al menos tres valores a cada una de las funcio-
nes que la componen.
2.15
Dada la función f (x) =
x2
, si x ≤ 0;
1− x, si x > 0.
Indicar dominio y rango, además realizar su
gráfica.
Solución .
El dominio es todo R pues la primera función cubre todos los valores positivos, mientras
que la segunda función lo hace con los negativos.
En la gráfica el círculo
con relleno significa que
la función x2
toma el va-
lor de x = 0, mientras que
el círculo sin rellenar nos
indica que la función 1−
x no considera el valor
x = 0.
-3 -2 -1 1 2 3
X
-4
-2
2
4
Y
2.16
Dada la función h(x) =



2x−5
x−2 , si x ∈ (−∞,2);
|x|, si x ∈ [2,4);
8− x, si x ∈ (4,∞).
Indicar dominio y rango, además reali-
zar su gráfica.
Solución .
El dominio es todo R{4}, pues cada función esta completamente definida dentro de su
intervalo de definición, pero el valor x = 4 no está contemplado. La gráfica correspon-
diente es:

47
-1 1 2 3 4 5 6
X
-1
1
2
3
4
5
6
Y
De acuerdo a la gráfica el valor más pequeño es y = 3 y corresponde a x = 4, la pri-
mer función cubre todos los valores superiores hasta infinito, por lo que el rango está
compuesto de los valores y ∈ [ 3,∞).
2.3.2 Funciones trascendentes
Otro tipo de funciones aparte de las algebraicas son las funciones trascendentes, es decir fun-
ciones que trascienden al álgebra, en el sentido que no puede ser expresada en términos de
una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación o división de
polinomios.
Definición 2.10 Funciones trascendentes
Una función que no es algebraica, es decir no satisface una ecuación polinomial se co-
noce como función trascendente.
Dentro de las funciones trascendentes tenemos tres tipos esencialmente; función exponencial,
logarítmica y trigonométrica.
Función Exponencial
Una función exponencial se identifica rápidamente porque la variable se encuentra como ex-
ponente y no en la base como para las funciones polinomiales.
Definición 2.11 Función exponencial
Una función exponencial tiene la forma f (x) = ax
, donde a es cualquier constante.
Una de las funciones exponenciales de gran importancia y muy usual, es la función exponencial
natural
ex
donde e = 2.71828183...
que es conocida como la función de Euler, en honor al matemático francés del mismo nombre
que la propuso. En lo sucesivo nos referiremos como función exponencial a la función de Euler,
y sólo de ser necesario usar otra base, se mencionara en el momento.

48
Funciones
Características de la función exponencial
C.1) El dominio son todos los números reales.
C.2) El rango corresponde sólo a los números reales positivos.
C.3) Esta función, crece muy rápidamente a medida que avanzamos sobre el eje X , por
lo que al momento de graficar debemos asignar valores relativamente pequeños a la
variable.
Algunas gráficas que contienen a la función exponencial son:
-� -� -� � �
�
�
�
�
�
(a) f (x) = ex
-� -� -� � �
�
-�
-�
�
�
�
�
��
�
(b) h(x) = x +ex
-� -� -� � � �
�
-��
-�
�
��
�
(c) g(x) = x2 −ex
Figura 2.4. Gráficas de funciones exponenciales
Se puede generalizar la función exponencial, en la forma f (x) = eg(x)
donde g(x) puede ser
cualquier expresión algebraica, en este caso el rango y el dominio pueden sufrir modificaciones
de acuerdo a la forma y restricciones que tenga g.
2.17
Encontrar el dominio, rango y realizar la gráfica de la función ex−9x2
Solución .
Como el exponente de la fun-
ción es polinomial, el dominio
sigue siendo todo R, por otro la-
do, de la gráfica, se puede ob-
servar que el valor máximo de
la función es aproximadamen-
te 1.28, por lo que el rango es el
intervalo (0,1.28).
-� -� � � �
�
-��
��
��
��
�
Funciones Logarítmicas
Recordemos que el logaritmo de un número es el inverso de la exponencial por lo que es de
esperarse que la función logaritmo represente a la función inversa de la función exponencial.
Definición 2.12 Funciones logarítmicas
La función logarítmica f (x) = loga x, se identifica como la expresión inversa de la fun-
ción exponencial g(x) = ax
.

Cálculo Diferencial para ingeniería

Cálculo Diferencial para ingeniería

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Cálculo Diferencial para ingeniería

Similar a Cálculo Diferencial para ingeniería (20)

Más de INGSEGOVIA

Más de INGSEGOVIA (12)

Último

Último (20)

Cálculo Diferencial para ingeniería