El documento explica las funciones cuadráticas, incluyendo su definición, representación gráfica como parábolas, y cómo calcular el vértice, ejes de simetría, puntos de corte, y raíces. Proporciona ejemplos resueltos de funciones cuadráticas y tablas de valores para ilustrar los conceptos.
2. Funciones cuadráticas
En matemática se estudia las
funciones cuadráticas que
también se emplean en otras
ciencias.
También aparecen en la
naturaleza, arte, diseño, etc...
Podés mirar este video:
https://www.youtube.com/watch?v=J3qQWvxqFI4&list=PL
iWRH3aE37VKInwqxMsk0fum88GdFD6By&index=3
3. Función cuadrática
• Una función es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor
de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama
imagen.
• Función cuadrática es aquella función que está determinada por la ecuación de segundo
grado (cuadrática) de la forma
• Donde a, b y c son números reales, y a ≠ 0, ya que si a = 0 se anula x2, y no sería una
ecuación cuadrática.
• La representación gráfica de una función cuadrática se denomina parábola.
4. Representación gráfica
• La parábola de la función cuadrática, es una curva simétrica con respecto a una
recta paralela al eje de las ordenadas, la cual se denomina eje de simetría.
• La parábola se compone de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la
ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c.
• El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por
un vértice, por el cual se traza el eje de simetría, los puntos de corte en el eje
x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le
denomina ramas de la parábola.
6. Ramas de la parábola
• Para determinar el sentido de las ramas de la parábola (hacia arriba o hacia
abajo), dependerá del coeficiente numérico a de x2.
• Si a es mayor que cero (o sea, a es un número positivo), las ramas de la
parábola irán hacia arriba, y si a es menor que cero (o sea, a es un número
negativo), las ramas de la parábola irán hacia abajo.
a > 0 a<0
7. Eje de simetría
Las rectas punteadas son los respectivos ejes. La
intersección de la parábola con el eje se llama vértice.
Ese eje es el eje de simetría de la parábola: todo punto
de la parábola tiene su simétrico respecto de él en la
parábola. En el vértice la curva pasa de ser creciente a
decreciente o viceversa.
Para obtenerlo se reemplaza los valores de b y de a en
la fórmula
8. Vértice
El vértice es el punto donde cambia de dirección la
parábola, es por donde pasa el eje de simetría. Cuando
a > 0 el vértice será el punto mínimo de la parábola, en
cambio, sí a < 0 el vértice será el punto máximo de la
parábola.
Fórmulas posibles para calcular el vértice
9. Punto de corte con el eje y Punto simétrico
Entonces, el punto de
coordenadas (0, c) de una
función cuadrática f (x) = ax2 + bx
+ c, corresponde al punto en que
la parábola corta al eje y.
El punto de corte en el eje y está
determinado por el valor del
término independiente c, ya que,
si analizamos una función
cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c,
con x = 0 obtenemos:
Es el punto simétrico a la
ordenada al origen con respecto al
eje de simetría
10. Puntos de corte con el eje X: raíces o ceros
Para determinar los puntos
donde la parábola atravesará
el eje x o de las abscisas,
analizaremos la función
cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c. Primero,
sabemos que los puntos sobre
el eje x tienen que tener
coordenada y igual a cero (x, 0),
por lo tanto la función es igual a
cero
y = f (x) = 0, para resolver la
ecuación cuadrática primero se
calcula el valor de los
coeficientes y del término
independiente
Tenemos una ecuación de segundo grado con una
incógnita, la cual podemos resolver con la fórmula
general:
11. Discriminante
Las raíces de una
ecuación cuadrática
dependen
del discriminante.
Recuerda que el
discriminante es la
cantidad subradical
b2 - 4 a c y se designa
con la letra delta.
Según el valor del
discriminante, la función
cuadrática corta dos, una
o ninguna vez el eje x
15. 1) Completar la tabla de
valores, representar la curva
y señalar en el gráfico el
vértice, y el eje de simetría
de cada una de las siguientes
funciones cuadráticas:
a) f(x) = x2 − 4
b) f(x) = x2 – 4x + 3
2) Completar las tablas de valores y
representar todas las funciones en
un mismo gráfico, con distintos
colores
x f(x)=x2 g(x)=x2 +1 h(x)=x2+2 i(x)=x2–2
0
1
2
–1
–2
• La variación del coeficiente c produce
un desplazamiento…………….
• Si c es positivo, la parábola se
desplaza hacia ……….; si c es negativo se
desplaza hacia……………..
Analizar los gráficos y completar:
16. 3) Observar atentamente las gráficas y las fórmulas y completen
las siguientes oraciones:
• El eje de simetría de todas estas parábolas es la
recta de ecuación x=………….
• El vértice de cada una de estas parábolas es el
punto……………
• Cuando a es positivo las ramas de la parábola se
dirigen hacia ……………….
• Cuando a es negativo las ramas de la parábola se
dirigen hacia ……………….
• A medida que el valor absoluto de a aumenta se
observa que las curvas son………
17. 4) Observar la figura y
responder las siguientes preguntas
a) ¿Cuáles de las funciones
representadas tienen dos raíces?
b) ¿Cuáles tienen un solo punto de
contacto con el eje de las x ?
c) ¿Cuáles no tienen ningún cero?
5) Resolver las ecuaciones
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