M11. Continuidad de una función real. Problemas de aplicación.pptx

Continuidad de una
función real. Problemas
de aplicación
Módulo 11
Matemática Básica
2020-2
Semana 12

Saberes previos
Límites laterales

Motivación
¿Qué semejanzas y diferencias tienen las
gráficas?

Motivación
Un mayorista vende azúcar a 4 soles el kilogramo, en cantidades
no mayores a 100 kilogramos. Si se trata de cantidades entre 100
pero no mayores a 200 kilogramos, la tarifa es de 3 soles el
kilogramo y para órdenes por encima de los 200 kilogramos, el
precio es de 2 soles el kilogramo.
a) Encuentra la función que representa el costo del azúcar.
b) Grafica la función y analiza su continuidad.
Caso

Logro
Al término del módulo, el
estudiante resolverá ejercicios y
problemas aplicados al estudio
de fenómenos naturales,
económicos y tecnológicos,
haciendo uso de las
propiedades de continuidad de
una función real; argumentando
de manera lógica.
Aprendizaje esperado

Tema: Continuidad de una función real. Problemas de aplicación
Temario
Continuidad
de una
función
Noción intuitiva
Definición
Discontinuidad -
Tipos
Situaciones
significativas

1. Noción intuitiva
Función continua en R Función continua en R Función continua en R
       








x
y
       








x
y
       








x
y
Ejemplo 1 Ejemplo 3
Ejemplo 2
𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦 = 𝑥 − 𝑥3
Si se analiza el gráfico de una función, se tiene que ésta es continua cuando se puede trazar su gráfica sin
levantar el lápiz del papel.

2. Definición de continuidad de una función en un punto
Si al menos una de las condiciones no cumple, decimos que f no es continua en x=a.
)
(
lim x
f
a
x 
existe
2
3 )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


f (a) existe
1
FUNCIÓN CONTINUA
Una función f es continua en el punto 𝑥 = 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓, si y sólo si, se cumplen las tres condiciones
siguientes

𝑓 𝑥 =
𝑥2
+ 7, 𝑥 < 2
5𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 2
Sea la función 𝑓 cuya regla de correspondencia está dada por:
¿Es continua la función en 𝑥 = 2 ?
Se tiene que verificar las tres condiciones.
1. Calcularemos 𝑓 2 ,
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2
𝑓 𝑥 .
Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales
3. Se cumple que f 2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2
𝑓 𝑥 .
Por lo tanto, la función 𝑓(x) es continua en 𝑥 = 2
Ejemplo 1
para ello reemplazamos 𝑥 = 2 en la función:
𝑓(2) = 5(2) + 1 = 11.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2−
𝑓 𝑥 = 22
+ 7 = 11 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2+
𝑓 𝑥 = 5 2 + 1 = 11
Dado que los límites laterales son iguales, entonces existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2
𝑓 𝑥 = 11
Solución:
Gráficamente:
Por lo tanto, f(2) existe.

Determinar si la función 𝑓 𝑥 =
2𝑥−5
𝑥−3
es continua en el punto 𝑥 =
9
2
= 4,5.
Solución:
a)
b)
c)
Ejemplo 2
Dado que se cumplen las tres condiciones, se tiene que la
función 𝑓(x) es continua en 𝑥 = 9/2 .
Analizaremos los tres criterios:
𝑓
9
2
=
2
9
2
− 5
9
2 − 3
=
2
3
2
=
4
3
∴ 𝑓
9
2
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠
4
3
.
lim
𝑥→
9
2
2𝑥 − 5
𝑥 − 3
=
2
9
2
− 5
9
2 − 3
=
2
3
2
=
4
3
lim
𝑥→
9
2
2𝑥 − 5
𝑥 − 3 =
4
3
lim
𝑥→
9
2
2𝑥 − 5
𝑥 − 3
= 𝑓
9
2

𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙 − 𝟓
𝒙 − 𝟑











0
,
0
,
1
)
( 2
2
x
x
x
x
x
f
Determinar si la función f(x) es continua en el punto x=0.
Solución:
Existe
a) 1
1
)
0
(
)
0
( 2




f
b) 1
)
1
(
lim 2
0





x
x
0
)
(
lim 2
0


 

x
x
)
(
lim
0
x
f
x
∄
Ejemplo 3
Dado que la función no cumplió el segundo criterio, se tendría que la
función 𝑓(x) no es continua en 𝑥 = 0

Tipos de Discontinuidad
Discontinuidad no evitable
De primera clase De segunda clase
Discontinuidad evitable o
removible
El límite no
existe
El límite
existe.
Límites
laterales
diferentes
Límite
infinito
3. Discontinuidad

3a. Discontinuidad removible o evitable: Si existe el límite
a) Existe lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 y 𝑓 𝑎 . Pero:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎 .
b) Existe lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 , pero no existe 𝑓 𝑎 .
Una función 𝑓 tiene una discontinuidad removible o evitable en 𝑥 = 𝑎, si :
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 3
𝒇 𝟐 ∄

3a. Discontinuidad removible o evitable: Observación
Si la función presenta una discontinuidad removible, ésta función se puede redefinir o definir
𝑓 𝑎 como el valor de lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 , con esto se tendría que la nueva función 𝑓 resultaría continua
en 𝑥 = 𝑎.
𝑓∗ 𝑥 =
𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎
En este caso diremos que 𝑓∗
𝑥 es una extensión continua de 𝑓 𝑥

𝒇 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟏𝟔, 𝒙 < 𝟓
𝒙 + 𝟒, 𝒙 > 𝟓
Ejemplo
Sea la función 𝑓 cuya regla de correspondencia es:
Tenemos que verificar los tres criterios:
1. 𝑓 5 : No existe.
Pues la función no está definida en 𝑥 = 5. f 5 ∄
2. Existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→5
𝑓 𝑥 = 9.
En efecto. Al calcular los límites laterales, éstos son iguales
𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 5−
𝑓 𝑥 = 52
− 16 = 9 ; 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 5+
𝑓 𝑥 = 5 + 4 = 9
3. Se cumple que f 5 ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→5
𝑓 𝑥 .
Luego, la función 𝑓(𝑥) presenta una discontinuidad en 𝑥 = 5.
Solución:
El tipo de discontinuidad es removible.

Dado que la función presenta una discontinuidad removible, se puede redefinir de forma continua a la
función 𝑓:
𝒇∗ 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟏𝟔, 𝒙 < 𝟓
𝒙 + 𝟒, 𝒙 > 𝟓
𝟗 , 𝒙 = 𝟓
𝒇∗ es una función continua en 𝑥 = 5.

Ejemplo
𝒇 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟏, 𝒙 < 𝟒
𝟏𝟎, 𝒙 = 𝟒
𝟐, 𝟓𝒙 + 𝟓, 𝒙 > 𝟒
1. Existe 𝑓 4 .
Pues al reemplazar en la función, se tiene que f 4 = 10
2. Existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑓 𝑥 = 15.
Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales
En efecto.
3. Pero f 4 ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑓 𝑥 .
La función 𝐟(x) presenta una discontinuidad removible en 𝒙 = 𝟒
Analizaremos las tres condiciones.
Solución:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 4−
𝑥2
− 1 = 42
− 1 = 15 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 4+
2.5𝑥 + 5 = 2.5 ∗ 4 + 5 = 15
Dado que los límites laterales son iguales, se tiene que: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟒
𝒇 𝒙 = 𝟏𝟓.

Dado que la función presenta una discontinuidad removible, se puede redefinir de forma continua a la
función 𝑓:
𝒇∗ es una función continua en 𝑥 = 4.
𝒇∗ 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟏, 𝒙 < 𝟒
𝟏𝟓, 𝒙 = 𝟒
𝟐, 𝟓𝒙 + 𝟓, 𝒙 > 𝟒

3b. Discontinuidad no removible o inevitable: No existe el límite
Discontinuidad no removible de primera clase
Diremos que 𝑓 𝑥 tiene una discontinuidad no removible de primera clase en
𝑥 = 𝑎, si existen lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 y lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 , pero son diferentes.
Discontinuidad no removible de segunda clase
Diremos que 𝑓 𝑥 tiene una discontinuidad no removible de segunda clase en
𝑥 = 𝑎, si se cumplen al menos uno de los siguientes límites:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = ±∞
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = ±∞
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 ≠ lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥

𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 4, 𝑥 < 3
5𝑥 + 6, 𝑥 ≥ 3
Ejercicio
1. 𝑓 3 = 5 3 + 6 = 21 .
Por lo tanto, 𝑓 3 existe.
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 .
Calculamos los límites laterales:
3. 𝑓 3 ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 .
Por lo tanto,
Analizaremos las tres condiciones.
Solución:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 3−
𝑥2
+ 4 = 32
+ 4 = 13 ; 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 3+
5𝑥 + 6 = 5 3 + 6 = 21
Dado que los límites laterales son diferentes, se tiene que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 no existe.
La función 𝒇(𝒙) presenta una discontinuidad No Removible en 𝒙 = 𝟑.

𝒇 𝒙 =
𝟑𝒙 − 𝒂, 𝒙 < 𝟏
𝟑𝒂 − 𝟏, 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐
𝟐𝒃𝒙 + 𝟏, 𝒙 ≥ 𝟐
Halle el valor de a y b.
Si la función 𝒇 es continua en todo su dominio:
Dado que la función es continua en todo su dominio, analizaremos la continuidad
en x = 1 y x = 2.
1.- En 𝑥 = 1
𝑓 1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 1−
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 1+
𝑓 𝑥
Entonces calculamos: 𝑓 1 = 3a − 1
Igualando se tendría:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
3𝑎 − 1 = 3𝑎 − 1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
3𝑥 − 𝑎 = 3 1 − 𝑎 = 3 − 𝑎
Ejemplo
Solución:
Dado que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 1, se tendría:
3𝑎 − 1 = 3 − 𝑎
4𝑎 = 4
𝑎 = 1

Respuesta: El valor de a=1 y b=1/4
2.- En 𝑥 = 2
𝑓 2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2−
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 2+
𝑓 𝑥
Entonces calculamos: f 2 . Como: 𝑓 x = 2bx + 1
𝑓 2 = 2b 2 + 1 = 4b + 1
Igualando se tendría:
Dado que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 2, se tendría:
3𝑎 − 1 = 4𝑏 + 1
3 1 − 1 = 4𝑏 + 1
𝑏 =
1
4
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
2𝑏𝑥 + 1 = 2𝑏 2 + 1 = 4𝑏 + 1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
3𝑎 − 1 = 3𝑎 − 1
Reemplazamos el valor de 𝑎 = 1:
2 = 4b+1

4. Situaciones significativas
En una edificación se tiene los siguientes gastos de materiales de construcción, que está dado por la función:
donde 𝑥es el presupuesto en miles de dólares. Diga si los gastos del material de construcción tienen un
comportamiento continuo, cuando el presupuesto es igual a $ 1 000 000.
1
 
0,4 100; 0 1000
2000
; 1000
3000
x si x
f x x
si x
x
  


 

 

Solución: 1° Analizamos la situación:
2° Planteamos el problema: Se analiza la continuidad de la función en 𝑥 = 1000
f(x) = Gastos de los materiales en construcción
x = Presupuesto en miles de dólares
3° Aplicamos la estrategia de resolución:
Analizamos en x=1000
a) 𝑓 1000 = 0,4 1000 + 100 = 500 Existe
b) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→1000
𝑓 𝑥 =
𝐿𝑖𝑚
𝑥→1000−
𝑓 𝑥
𝐿𝑖𝑚
𝑥→1000+
𝑓 𝑥
= 0,4 1000 + 100 = 500
=
2000 1000
1000 + 3000
= 500 Existe
c) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→1000
𝑓 𝑥 = 𝑓 1000 Cumple con las tres condiciones
4° Respondemos e interpretamos: Los gastos de material de construcción son continuos cuando el
presupuesto es de 1 000 000 dólares.

4. Situaciones significativas
El cargo mensual en dólares por x kilowatt / hora (kwh) de electricidad usada por un consumidor residencial
en Luz del Sur, está dado por la siguiente función:
Si analizamos la función cargo mensual podríamos decir que:
¿f es continua en todo su dominio?
2
𝑓 𝑥 =
2.55 + 0.5296𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 700
373.27 + 0.7894 𝑥 − 700 , 700 < 𝑥 ≤ 1400
925,85 + 0.9874 𝑥 − 1400 , 𝑥 > 1400
Solución: I) Analizaremos la continuidad en 𝒙 = 𝟕𝟎𝟎
a) 𝑓 700 = 2.55 + 0.5296 700 = 373.27
b) lim
𝑥→700
𝑓(𝑥)
Calcularemos los límites laterales:
lim
𝑥→700+
373.27 + 0.7894 𝑥 − 700 = 373.27 + 0.7894 700 − 700 = 373.27
𝑥 > 700
lim
𝑥→700−
2.55 + 0.5296𝑥 = 2.55 + 0.5296 700 = 373.27
𝑥 < 700

𝑓 𝑥 =
2.55 + 0.5296𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 700
373.27 + 0.7894 𝑥 − 700 , 700 < 𝑥 ≤ 1400
925,85 + 0.9874 𝑥 − 1400 , 𝑥 > 1400
Dado que los límites laterales son iguales,
afirmamos que lim
𝑥→700
𝑓(𝑥) existe.
c) lim
𝑥→700
𝑓 𝑥 = 𝑓(700)
Dado que se cumplen los tres criterios, concluimos que la función es continua en 𝑥 = 700
II) Analizaremos la continuidad en 𝒙 = 𝟏𝟒𝟎𝟎
a) 𝑓 1400 = 373.27 + 0.7894 1400 − 700 = 925.85 b) lim
𝑥→1400
𝑓(𝑥)
Calcularemos los límites laterales: lim
𝑥→1400+
925,85 + 0.9874 𝑥 − 1400 = 925,85 + 0.9874 1400 − 1400 = 925.85
lim
𝑥→1400−
373.27 + 0.7894 𝑥 − 700 = 373.27 + 0.7894 1400 − 700 = 925.85
Dado que los límites laterales son iguales, afirmamos que lim
𝑥→1400
𝑓(𝑥) existe.
c) lim
𝑥→1400
𝑓 𝑥 = 𝑓(1400)
Dado que se cumplen los tres criterios, concluimos que la función es continua en 𝑥 = 1400
De I) y II) concluimos que la función 𝑓 es continua en todo su dominio.

Solución:
𝐶 𝑥 =
4𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 100
3𝑥, 𝑠𝑖 100 < 𝑥 ≤ 200
2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 200
C = costo total por la compra de azúcar, en soles.
x = cantidad de kilogramos de azúcar comprados.
Un mayorista vende azúcar a 4 soles el kilogramo, en cantidades no mayores a 100
kilogramos. Si se trata de cantidades entre 100 pero no mayores a 200 kilogramos, la
tarifa es de 3 soles el kilogramo y para órdenes por encima de los 200 kilogramos, el
precio es de 2 soles el kilogramo.
b) Grafica la función y analiza su continuidad.
Caso

I) Analizaremos la continuidad en 𝑥 = 100
a) 𝑓 100 = 4 100 = 400
b) lim
𝑥→100
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→100+
3𝑥 = 3 100 = 300
𝑥 > 100
lim
𝑥→100−
4𝑥 = 4 100 = 400
𝑥 < 100
Dado que los límites laterales son diferentes, afirmamos que
lim
𝑥→100
𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 existe.
c) lim
𝑥→100
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(100)
Dado que no se cumplen los tres criterios, concluimos que la función C presenta una
discontinuidad inevitable de primer orden en 𝑥 = 100.
𝐶 𝑥 =
4𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 100
3𝑥, 𝑠𝑖 100 < 𝑥 ≤ 200
2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 200

II) Analizaremos la continuidad en 𝑥 = 200
a) 𝑓 200 = 3 200 = 600
b) lim
𝑥→200
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→200+
2𝑥 = 2 200 = 400
𝑥 > 200
lim
𝑥→200−
3𝑥 = 3 200 = 600
𝑥 < 200
Dado que los límites laterales son diferentes, afirmamos que
lim
𝑥→200
𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 existe.
c) lim
𝑥→200
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(200)
Dado que no se cumplen los tres criterios, concluimos que la función C presenta una discontinuidad inevitable
de primer orden en 𝑥 = 200.
𝐶 𝑥 =
4𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 100
3𝑥, 𝑠𝑖 100 < 𝑥 ≤ 200
2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 200

Conclusiones
1) Una función f es continua en un número “a”, si se cumplen:
)
(
lim x
f
a
x 
existe
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


f (a) existe
FUNCIÓN CONTINUA
FUNCIÓN DISCONTINUA
Removible o Evitable (si existe el límite)
2) Una función discontinua puede ser:
No removible o Inevitable (Si el límite no existe o es infinito)
Existe lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 y 𝑓 𝑎 , pero lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎 o
Existe lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 pero no existe 𝑓 𝑎 .
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 ≠ lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = ∞ o lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = ∞

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