Cinemática sin teoría

1.- Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña
ubicadoa540km,sielbusmarchaarazónde45km/h?
Solución:
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
A problemas de aplicación
2.- Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y
efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velo-
cidad constante), ¿después de que tiempo hará im-
pacto la bala?
Solución:
t horas=12
d vt t= ⇒ =540 45
3.- Dos autos se mueven en sentidos contrarios con ve-
locidades constantes.¿Después de que tiempo se en-
cuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?
(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).
Solución:
d vt t= ⇒ =170 85
t s= 2
t De la figura:
e v t tA A= = 40
e v t tB B= = 60
4.- Dos autos se mueven en el mismo sentido con veloci-
dadesconstantesde40m/sy60m/s.¿Despuésdeque
tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.
Solución:
2000 = +e eA B
2000 40 60 2000 100= + ⇒ =t t t
t s= 20
t De la figura:
e v t tA A= = 60
e v t tB B= = 40
e eA B= + 200
60 40 200 20 200t t t= + ⇒ =
t s=10
OBSERVACIÓN
Tiempo de Encuentro:
e : espacio de separación
inicial
t
e
v v
E
A B
=
+
NOTA
Antes de realizar cualquier operación es necesario
homogenizar el sistema de unidades,si fuese necesario.
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

Cinemática
5.- Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de
30 m/s,se encuentra detrás de un móvil“B”a una dis-
tancia de 50 m,sabiendo que los móviles se mueven
en la misma dirección y sentido, y que la velocidad
de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiem-
po,“A”estará 50 m delante de“B”?
Solución:
OBSERVACIÓN
Tiempo de Alcance:
e : espacio de separación inicial
t
e
v v
AL
A B
=
− v vA B>
t De la figura:
e v t tA A= = 30
e v t tB B= = 20
e eA B= + +50 50
30 50 20 50 10 100t t t= + + ⇒ =
t s=10
1.- Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.
Luego va hacia el Este recorriendo 720 m.Determinar
el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).
Solución:
B problemas complementarios
2.- Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,
B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia
entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de
qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,
si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.
Solución:
t Espacio = ?
e OA AB= +
e = +540 720
t Distancia = ?
d OB=
d= +540 720
2 2
b g b g
d m= 900
8 32 23 1+ + = +e e x
40 23 1+ = +v t v t x
40 13 10 2+ = +t t x
40 3 2+ =t x ............ (1)
e e x2 1 8= + −
v t v t x2 1 8= + −
15 10 8t t x= + −
5 8t x= − ............ (2)
t s=
24
7
3.- Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.
¿Cuántodemoraríaensubirlamismaescalerasilohace
con el triple de velocidad?
Solución:
t De (1) y (2):
t Cuando el
muchacho baja
t De la figura:
t También:
t De (1) y (2):
t Cuando el
muchacho sube
L v= 30b g ..... (1)
L v t= 3 b g ..... (2)
t s=10
e m= 1260
Cuandoelmuchachobaja
Cuandoelmuchachosube

t h= 2
4.- Una persona sale todos los días de su casa a la misma
hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m.Un día se trasla-
da al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su
trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su
casa?
Solución:
5.- Dos móviles A y B situados en un mismo punto a
200 m de un árbol, parten simultáneamente en la
misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos
móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).
Solución:
t De la fig (1):
t De la fig (2):
Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.
d vt= ..... (α)
d v t= −2 1b g .... (β)
t De (α) y (β):
vt v t= −2 1b g
fig (1)
6.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al in-
gresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s
en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?
Solución:
De la figura:
d d xB A= + 2
v t v t xB A= + 2
t x=
6 4 2 2 2t t x t x= + ⇒ =
............ (1)
d xA + = 200
4 200t x+ =
t (1) en (2):
t
t
............ (2)
4 200t t+ =
t s= 40
La distancia que recorre el tren es el mismo que reco-
rre el punto A.
7.- De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de
Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con
velocidad constante saliendo a las 8 a.m.y llega a Ba-
rranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por
Huacho?
Solución:
d vt=
200 10 50+ =L b g
L m= 300
8.- Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si
viaja a 60 km/h llegará una hora antes,pero si viaja a
40 km/h llegará una hora después. Si en ambos ca-
sos la hora de partida es la misma, encontrar dicha
hora de partida.
t Lima a Barranca:
t Lima a Huacho:
Dato: velocidad constante = 50 km/h
Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m.ó 11h 12m a.m.
d vt=
200 4 50= ⇒ =v v km hb g /
d vT=
160 50 3 2= ⇒ =T T h,
fig (2)

Cinemática
Solución:
10.- Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras
quesecruzanen90°simultáneamentedelpuntodecru-
ce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s.Si las carrete-
ras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la
distancia de separación entre móviles es de 90 m?
t De la figura (1):
t De la figura (2):
t De la figura (3):
t De (b) y (c):
Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m.
d vt= ........................ (a)
d t= −60 1b g ............ (b)
d t= +40 1b g ............ (c)
60 1 40 1 5t t t h− = + ⇒ =b g b g
9.- Dos trenes corren en sentido contrario con velocida-
des de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s.Un pasajero del pri-
mer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasar
por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo
tren? (Se supone que el pasajero está inmóvil miran-
do a través de la ventana).
Solución:
t Supongamos que el pasajero se encuentra en la
parte delantera del tren (1)
t Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidad
de 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s,
pero en sentido contrario.
Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él,
que tiene el tren (2)?.La respuesta es (15 + 20) es
decir 35 m/s,y esto es lógico pues el pasajero verá
moverse al tren (2) con mayor rapidez.
Visto esto,podemos suponer al tren (1) en reposo,
pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.
t Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,
t Tren (2) ya pasó por completo al pasajero.
t Para el pasajero: e vt L= ⇒ = 35 6b g
L m= 210
fig.(1)
fig.(2)
fig.(3)

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
Solución:
1.- Dos móviles parten de un punto A en direcciones per-
pendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y
8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de que
tiempo se encontrarán separados 100 m?
Rpta. 10 s
2.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento
en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallar
su velocidad.
Rpta. 5 m/s
3.- Javier un joven estudiante, desea saber a qué distan-
cia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual
emiteungritoycronómetroenmano,compruebaque
el eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distancia
en metros? (vsonido = 340 m/s).
Rpta. 510 m
4.- Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sen-
tido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de
1 minuto.¿Qué distancia los separa?
Rpta. 120 m
5.- Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si en
un quinto de minuto recorre 40 m más.
Rpta. 200 m
t Por motivos didácticos tomaremos parte de las
carreteraslosladosAByCDdeunparalelepípedo.
t Al formar el triángulo DFE,se tiene:
t Ahora, en el triángulo DEB:
L t t= +2 4
2 2
b g b g
L t= 2 5
90 102 2 2
= +L
90 2 5 102 2 2
= +td i
8100 20 1002
= +t
8000 20 2
= t
t2
400=
t s= 20
6.- Una moto y un auto se encuentran a una distancia
de 1 000 m.Si parten simultáneamente en la misma
dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s res-
pectivamente. ¿En que tiempo se produce el en-
cuentro?
Rpta. 25 s
7.- Dos móviles con velocidades constantes de 40 y
25 m/s parten de un mismo punto,y se mueven en
la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Des-
pués de cuanto tiempo estarán separados 13 km?
Rpta. 200 s
8.- Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h,pero a la mitad
del camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿con
que velocidad debe continuar su viaje para llegar a
tiempo a su destino?
Rpta. 100 km/h
9.- Dos móviles se mueven en línea recta con velocidades
constantes de 10 m/s y 20 m/s,inicialmente separados
por 15 m.¿Qué tiempo transcurre para que el segundo
después de alcanzar al primero se aleje 15 m?
Rpta. 3 s
10.- Dosmóvilesconvelocidadesconstantespartensimul-
tánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-

Cinemática
rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la dis-
tancia que los separa después de 30 s.
Rpta. 900 m
1.- Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con
velocidad constante a razón de 30 km/h, pensando
cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se
malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad
debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h
de adelanto?
Rpta. 50 km/h
2.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tiene
una longitud de 100 m.¿Qué tiempo demorará el tren
en cruzar un túnel de 200 m?
Rpta. 15 s
3.- “A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocida-
des constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s.Al llegar
“B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesiva-
mente hasta que“A”llega a la meta. ¿Qué espacio to-
tal recorrió“B”?
Rpta. 600 m
4.- Dos móviles se desplazan en la misma pista con ve-
locidades constantes. Luego de 10 s el móvil“A”gira
180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo
emplean hasta encontrarse desde las posiciones in-
dicadas?
Rpta. 15 s
5.- Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. El
primero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de
90 km/h,el segundo parte de“B”hacia“A”a las 12 m.
Si se encuentran a las 3 p.m.Hallar AB,sabiendo ade-
más que el espacio del primero es al del segundo
como 2 es a 1.
Rpta. 1 080 km
6.- Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y se
dirige al colegio a velocidad constante v1 llegando
siempre a las 8:00.Si el alumno un día sale de su casa a
las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a
tiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte),lle-
gando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1.
Rpta.
7.- Dos autos separados a una distancia, parten simul-
táneamente con velocidades constantes de 30 m/s y
20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarse
en un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s des-
pués, el encuentro de los autos sería “x” m antes de
“P”, calcular “x”.
Rpta. 120 m
8.- Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emi-
te un grito.Si registra los ecos después de 3 s y 4 s de
haber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que se-
para las montañas? velocidad del sonido en el aire,
considerar 340 m/s.
Rpta. 1 190 m
9.- Un avión desciende con velocidad constante de
100km/hbajounángulode16°conelhorizonte. ¿Qué
tiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objeto
que se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25).
Rpta. 150 s
10.- Dos trenes de longitudes diferentes van al encuen-
tro por vías paralelas con velocidades v1 y v2 demo-
rando en cruzarse 20 s.Si van al encuentro con velo-
cidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cru-
zarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse si
viajan en la misma dirección con velocidades v1 y v2
respectivamente.
Rpta. 180 s
v
v
2
1
2=

1.- Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s
acelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Qué
distancia logró aumentar en dicha operación?
Solución:
2.- Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego fre-
na,de tal modo que se logra detener por completo en
6 s.¿Cuál es su aceleración?
Solución:
Notamos que el movimiento es acelerado.
20 10 2 5
2 2
b g b g b g= + d
d m= 30
3.- Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V.si al
partir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidad
tuvo al término del recorrido?
Solución:
Movimiento retardado
v km h m so = =108 60/ /
a a=
−
⇒ =
−v v
t
F o 0 60
6
d
v v
t
vo F F
=
+F
HG I
KJ ⇒ =
+F
HG I
KJ2
30
4
2
5
4.- Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su
velocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar lue-
go de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/s
despega?
Solución:
5.- Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera
uniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segun-
dos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to
segundo de su
movimiento?
Solución:
Notamos que el movimiento es acelerado.
v m sF =160 /
Distancia recorrida hasta los 5 segundos
Distancia recorrida hasta los 4 segundos
v v dF o
2 2
2= ± a
v v dF o
2 2
2= + a
v v eF o
2 2
2= ± a
v v dF o
2 2
2= + a
vF
2
0 2 8 1600= + b gb g
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

Cinemática
La distancia recorrida en el 5to segundo será: x d d= −5 4
x v vo o= +
L
NM O
QP− +
L
NM O
QP5
1
2
5 4
1
2
4
2 2
b g b g b g b ga a
x = + × ×
L
NM O
QP− + × ×
L
NM O
QP20 5
1
2
2 25 20 4
1
2
2 16b g b g b g b g
x m= 29
1.- Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimo
segundo de su movimiento 20 metros más que lo re-
corrido en el quinto segundo; determinar el espacio
recorrido desde que inicio el movimiento hasta el fi-
nal del octavo segundo de su movimiento.
Solución:
2.- Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h,aplica los
frenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cada
segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que
recorrió en el último segundo de su movimiento.
Solución:
t Espacio recorrido en el quinto segundo.
t Espacio recorrido en el décimo segundo.
t Nos piden el espacio recorrido desde el inicio del
movimiento hasta el final del octavo segundo.
x d d= −5 4
Reposo: d v t to= +
1
2
2
a
d t=
1
2
2
a
08
x = −
1
2
5
1
2
4
2 2
a ab g b g
x = −
25
2
8a a ..................... (1)
x d d+ = −20 10 9
x + = −20
1
2
10
1
2
9
2 2
a ab g b g
x + = −20 50
81
2
a a
t De (1) y (2):
............(2)
a = 4 2
m s/
d v t to= +
1
2
2
a
d= +0
1
2
4 8
2
b gb g
d m=128
3.- Dos móviles que parten del reposo se dirigen al en-
cuentro con movimiento uniformemente acelerado
desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan
10 s en cruzarse.Los espacios recorridos por estos mó-
viles están en la relación de 4 a 5.Calcular las acelera-
ciones de dichos móviles.
t Calculando el tiempo que demora en detenerse .
t El espacio que recorrió en el último segundo.
v v tF o= ± a
x d d= −15 14
0 60 4 15= − ⇒ =t t s
x v vo o= −
L
NM O
QP− −
L
NM O
QP15
1
2
15 14
1
2
14
2 2
b g b g b g b ga a
x = − × ×
L
NM O
QP− − × ×
L
NM O
QP60 15
1
2
4 15 60 14
1
2
4 14
2 2
b g b g b g b g
216 60km h m s/ /=
x m= 2

v m sB = 12 /
4 20 0
1
2
100 1 62 2
2
b gb g b g= + ⇒ =a a , /m s
5 20 0
1
2
100 21 1
2
b gb g b g= + ⇒ =a a m s/
Solución:
4.- Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2
se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marcha
con velocidad constante de 8 m/s.¿Después de cuanto
tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m?
Solución:
t Distancia total:
t Con el móvil (1):
t Con el móvil (2):
180 5 4= +x x
x = 20
d vo= +10
1
2
101
2
b g b ga
d vo= +10
1
2
102
2
b g b ga
5.- Un automóvil está esperando en reposo que la luz del
semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a
verde, el automóvil aumenta su velocidad uniforme-
mente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 se-
gundos, después de los cuales se mueve con veloci-
dad uniforme. En el instante que el automóvil empe-
zó a moverse después del cambio de luz, un camión
lo sobrepasa en la misma dirección,con el movimien-
to uniforme a razón de 10 m/s.¿Cuánto tiempo y cuán
lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán
a estar juntos?
Solución:
t Con el auto (vo = 0)
t Con el camión (v = 8 m/s = cte)
20 64 0
1
2
2 2
+ + = +x tb g
84 2
+ =x t ...... (1)
t De (1) y (2):
x vt=
x t= 8
t s=14
.............. (2)
t Con el camión:
t Con el automóvil:
Entre A y B :
Entre A y C :
t (1) = (2)
Finalmente:
e x y T= + =10 .......................... (1)
v v tF o= + a
vB = +0 2 6b g
x y v TB+ = + −
1
2
2 6 6
2
b gb g b g
x674 84 y
6 74 84
x y T+ = + −36 12 6b g .............. (2)
10 36 12 6T T= + −b g
10 36 12 72T T= + −
T s=18
e x y T= + = =10 10 18b g
e m=180
d v t to= +
1
2
2
a

Cinemática
x t d= − + −5 25
2
b g
x t t d= − +2
10
10 2
t t x d= − +
10 2
t d t x= + −e j
6.- Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en
víasparalelasensentidosopuestosycuandoseencuen-
tran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleracio-
nes constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo
que demoran los trenes en cruzarse completamente.
Solución:
7.- Un conductor viaja por una autopista recta con una
velocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista
50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la acelera-
ción mínima que puede asegurar la parada del vehí-
culo justamente antes de golpear al venado si el cho-
fer demora 0,30 s en reaccionar?
Solución:
t Cuando los trenes están a punto de cruzarse
t Momento en que“A”cruza a“B”completamente.
e v t tA o= = +600
1
2
2
a
600 30
1
2
6 2
= +t tb g
t t2
10 200 0+ − =
t s=10
8.- Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separa-
dos una distancia“d”(B detrás de A).Si ambos se mue-
ven en el mismo sentido“B”con velocidad constante
de 10 m/s y“A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2.
Después de que tiempo de iniciado el movimiento la
distancia de separación es mínima. (Ambos móviles
no se encuentran).
Solución:
t Antes que el conductor reaccione su velocidad
sigue siendo constante
Cuando el conductor reacciona,éste presiona los fre-
nos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya veloci-
dad final es cero (para no atropellar al venado).
e vAB = =0 30 20 0 30, ,b g b g
e mAB = 6
e mBC = − =50 6 44
t Entre B y C :
0 20 2 44
2
= −b g b ga
De donde:
t
t
t (2) y (3) en (1):
Para que x sea mínimo:
e d e xB A= + −b g .............. (1)
e v t tA o= +
1
2
2
a
e t tA = + ⋅ ⋅0
1
2
2 2
e tA = 2
.............. (2)
e v tB B=
e tB =10 .............. (3)
t − =5 0
t s= 5
9.- Un pasajero desea subir a un microbús que se encuen-
tra detenido y corre tras él con una velocidad uniforme
de 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús,éste par-
te con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiem-
po que demora el pasajero en alcanzar al microbús.(Si
lo alcanza).
v v eF o BC
2 2
2= − a
88 400 4 55 2
a a= ⇒ = , /m s
(mov.retardado)

Solución:
t Suponiendo que lo alcanza:Para ello en el instante
de alcance la velocidad del microbús no deberá ser
mayor que la del pasajero (5 m/s).
e eH M− = 6
10.- Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h,
luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte y
con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/h
constante venía un tren desde el norte,si se cruzó con
el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos
con el segundo tren?
Solución:
5
1
2
62
t v t to− +
F
HG I
KJ=a
t t2
5 6 0− + =
t Analizando:
De donde: t s ó t s= =2 3
Si: t s v v tM o= ⇒ = +2 a
vM = +0 2 2b gb g
v m s m sM = <4 5/ /
Si: t s vM= ⇒ = +3 0 2 3b g
v m s m sM = >6 5/ / (no cumple)
t s= 2
1.- Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza
50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?
Rpta. 4 m/s2
2.- Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s
y7m/syM.R.U.V.Sidichospuntosestánseparados50m.
¿Qué tiempo empleó en el recorrido?
Rpta. 10 s
t Cálculo del tiempo de encuentro entre“B”y“C”
t De la figura:
t
x
v
= =
+
4
60 30
............ (1)
x t t= − −
F
HG I
KJ30 30
10
60
t (2) en (1):
4
60
5
30
=
+v
3.- Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una acelera-
ciónde6m/s2
.¿Quévelocidadenm/stendráluegode5s?
Rpta. 40 m/s
4.- Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incre-
mentada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2.
¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los
2 primeros segundos de este movimiento variado?
Rpta. 30 m
5 0
1
2
2 6 5 62 2
t t t t t− + ⋅
F
HG I
KJ= ⇒ − =
t Finalmente:
x km= 5
v km h= 45 /

Cinemática
5.- Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m de-
moró 8 s. Si por el primer punto pasa con una veloci-
dadde20m/s.Determinarconqué velocidadpasapor
el segundo punto (en m/s).
Rpta. 25 m/s
6.- Un móvil parte del reposo con una aceleración cons-
tante.Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada
5 s.Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minu-
to (en metro).
Rpta. e = 3 600 m
7.- Un móvil parte del reposo con una aceleración cons-
tante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que
recorre en los 4 s siguientes.
Rpta. x = 96 m
8.- Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 s
recorre 50 m.Calcular el espacio que recorre en el ter-
cer segundo de su movimiento.
Rpta. 10 m
9.- Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,
desacelerando constantemente.Si luego de 3 s su ve-
locidad se ha reducido a 30 m/s.¿Cuánto tiempo más
debe transcurrir para lograr detenerse?
Rpta. 6 s
10.- Durante el 6to segundo de su desplazamiento una
pelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio era
de 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniforme-
mente su movimiento?
Rpta. – 4 m/s2
1.- Durante que segundo de movimiento, un móvil que
parte del reposo y tiene M.R.U.V.recorrerá el triple del
espacio recorrido en el quinto segundo.
Rpta. N = 14avo segundo
2.- Un auto corre una pista horizontal con una acelera-
ción de 2 m/s2,después de 5 s de pasar por el punto A,
posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad te-
nía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A?
Rpta. 8 m/s
3.- Dos móviles que parten del reposo en la misma direc-
ción y sentido, están separados 200 m, si se observa
que el alcance se produce 10 s después de iniciado
los movimientos. Determinar sus aceleraciones si es-
tas están en la relación de 3 a 1.
Rpta. a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2
4.- Un tren va frenando y lleva un movimiento uniforme-
mente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego
30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilóme-
tro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse.
Rpta. 602,08 m
5.- Unboteinicialmenteenreposoaceleraarazónde2m/s
2
durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad
constante.Enelinstantequeelboteparte,unalanchaque
se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad
constantede10m/slo pasa.¿Despuésdequétiempoya
qué distancia se encontrarán nuevamente?
Rpta. 18 s ; 180 m
6.- Un ratón de regreso a su agujero,a la velocidad cons-
tante de 1 m/s,pasa al lado de un gato,despertándo-
lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s
2
y el agujero
está a 5 m.¿Atrapa el gato al ratón?.Si lo atrapa,¿a qué
distancia del agujero lo hace?
Rpta. Lo atrapa a 1 m del agujero
7.- UnautoquesemuevedescribiendounM.R.U.V.encier-
toinstante,pasóconunarapidezde15m/sporunpun-
to“A”situado entre dos montañas como se muestra.Si
en este instante toca el claxón, con que aceleración
deberá moverse a partir de ese instante,para escuchar
los ecos simultáneamente (vsonido = 320 m/s).
Rpta. 10 m/s
2
8.- Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuen-
tra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de
la liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidad
mínima constante de la zorra de tal modo que pueda
atrapar a la liebre ¿y comérsela?
Rpta. 6 m/s
9.- Dos móviles se encuentran en una recta,inicialmente
en reposo, separados por una distancia de 400 m. Si
parten al mismo instante acercándose mutuamente
con aceleraciones de 3 m/s2 y5m/s2.Calcular después
de qué tiempo vuelven a estar separados por segun-
da vez una distancia de 200 m.
Rpta. 13,10 s
10.- Unapartículapartedelorigenhacialaderechaconuna
velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2
hacia la izquierda.¿Cuáles son los instantes en que su
distancia desde el origen es 1 m?
Rpta. t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s

Cinemática
h m= 5
Tiempototal t tsubida bajada= +
1.- Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba con
velocidad de 80 m/s. Calcular el tiempo que demora
en alcanzar su máxima altura (g = 10 m/s2).
Solución:
2.- Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 10 m/s.Se pide:
a) Calcular la altura que subirá.
b) El tiempo que demora en subir.
c) El tiempo que demora en bajar.
d) El tiempo que demora en regresar al lugar de
partida.
e) La velocidad de llegada.
(Considerar g = 10 m/s2
).
Solución:
t Entre A y B
El cuerpo sube:
v m so = 80 /
vF = 0
g m s=10 2
/
t tAB = = ?
v v gtF o= ±
v v gtF o= −
0 80 10 8= − ⇒ =t t s
a) Entre A y B
0 10 2 102 2
= −b g b gh
20 100h=
b) Entre A y B
(Mov.retardado)
(Mov.retardado)
v v gtF o= −
0 10 10= − t
c) Entre B y C
h v t gto= +
1
2
2
(Mov.acelerado)
5 0
1
2
10 2
= +b g b gt t
Nótese que el tiempo de subida es igual al tiempo de
bajada.
d)
e) Entre B y C
Nótesequelavelocidaddesubidaesigualalavelocidad
de llegada al mismo nivel.
v v m sc c= + ⇒ =0 10 1 10b g /
(Mov.acelerado)v v gtF o= +
v v ghF o
2 2
2= −
t s= 1
t s= 1
t stotal = 2
ttotal = +1 1
CAÍDA LIBRE

H H m− = ⇒ =25 20 45
v v m sF F= + ⇒ =0 10 5 50b g /
v m sF =147 /
vo = ?
t s= 10
g m s= 9 8 2
, /
h m= 980
g m s=10 2
/
v m sF =10 /
v m so = 50 /
3.- Se dispara un proyectil verticalmente hacía arriba con
una velocidad de 50 m/s. Al cabo de que tiempo la
velocidad es de 10 m/s por primera vez y a que altura
se encuentra (g = 10 m/s2).
Solución:
4.- ¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo para
que caiga 980 m en 10 s; y cual será su velocidad al
cabo de 10 s.
Solución:
t Entre A y B
t = ?
v v gtF o= − (sube)
10 50 10= − t
t s= 4
t Calculando la altura entre A y B
h
v v
tF o
=
+F
HG I
KJ2
h=
+F
HG I
KJ10 50
2
4
5.- Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de
125 m de altura.Calcular cuánto tardará en caer y con
que velocidad llegará al suelo (g = 10 m/s2).
t Entre A y B
t Calculando la velocidad final
h v t gto= +
1
2
2
(baja)
v v gtF o= +
vF = +49 9 8 10, b g
(baja)
Solución:
1.- Un cuerpo es dejado caer en el vacío sin velocidad ini-
cial. Si en el último segundo recorre 25 m; calcular la
altura desde el cual fue abandonado.
Solución:
t Entre A y B
h v t gto= +
1
2
2
125 0
1
2
10 2
= + b gt
t2
25=
t s= 5
t Calculando la velocidad final
v v gtF o= +
2.- Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad
de su caída se realiza en el último segundo,calcular el
tiempo total en segundos (g = 10 m/s2).
Solución:
t Entre B y C
h v t gto= +
1
2
2
25 1
1
2
10 1
2
= +vBb g b gb g
25 5= +vB
v m sB = 20 /
t Entre A y B
20 20 25
2
b g b g= −H
t Entre A y B
h v t g to= − + −1
1
2
1
2
b g b g
h g t= + −0
1
2
1
2
b g
h g t= −
1
2
1
2
b g
h m=120
............ (1)
v v ghF o
2 2
2= +
v HB
2
0 2 10 25= + −b gb g
980 10
1
2
9 8 10
2
= +vob g b gb g,
v m so = 49 /

Cinemática
v m sc = 5 /
Ttotal = + +0 5 0 5 8, ,
T t t ttotal AB BC CD= + +
3.- Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una
velocidad constante de 5 m/s;cuando se encuentra a
una altura de 360 m, se deja una piedra, calcular el
tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie
terrestre (g = 10 m/s2).
Solución:
t Entre A y C
2
1
2
2
h gt= ............ (2)
t Reemplazando(1)en(2)
2 1
2 2
t t− =b g
t s= +2 2d i
4.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacía arriba desde
una ventana y luego de 4 segundos triplica su veloci-
dad. Hallar la máxima altura alcanzada por el cuerpo
respecto al lugar de lanzamiento (g = 10 m/s2).
t Entre A y B
t Entre B y C
(sube)
0 5 10= − t
v v gtF o= −
t s= 0 5,
t s= 0 5,
(Ya que el tiempo
de subida es igual al tiempo de bajada)
(A y C tiene el mismo nivel).
t Entre C y D
h v t gto= +
1
2
2
(baja)
360 5
1
2
10 2
= +t tb g
360 5 5 2
= +t t
t t t t2
72 0 9 8 0+ − = ⇒ + − =b gb g
t s= 8
t Finalmente:
Solución:
5.- Una esfera se deja caer desde 80 m de altura y al rebo-
tar en el piso se eleva siempre la cuarta parte de la
altura anterior.¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que
se produce el tercer impacto? (g = 10 m/s2).
Solución:
t Dato:
t Entre A y B
t Entre C y D
t (2) y (3) en (1)
t Nuevamente entre A y B
2 41 2t t s+ = ....... (1)
v v gtF o= −
0 10 1= −v t
t
v
1
10
= ................ (2)
(sube)
v v gtF o= +
3 10 2v v t= +
t
v
2
5
= ................ (3)
2
10 5
4
v vF
HG I
KJ+ =
2
5
4 10
v
v m s= ⇒ = /
h
v v
tF o
=
+F
HG I
KJ2
1
h=
+F
HG I
KJF
HG I
KJ0 10
2
10
10
T t t tAB BC DE= + +2 2b g b g ................ (1)
t Entre A y B
80 5 42
= ⇒ =t t sAB AB
h gtAB=
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2 2
⋅ − =g t gtb g
(baja)
T stotal = 9
h m= 5

v pies sB = 64 /
5 340 511
2
1t t= −b g
5 3401
2
2t t=
6.- En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y una
persona ubicada en el borde de ésta escucha el soni-
do del impacto luego de 51 segundos.¿Cuál es la pro-
fundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s ;g = 10 m/s2).
Solución:
t Entre C y D
t Entre E y F
t En (1):
T = + + =4 2 2 2 1 10b g b g
T s=10
7.- Un ingeniero situado a 105 pies de altura,en la venta-
na del décimo octavo piso ve pasar un objeto raro
hacia arriba y 4 s después lo ve de regreso,hallar con
qué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso.
(g = 32 pies/s2).
Solución:
t Con el cuerpo:
h gt t= =
1
2
1
2
101
2
1
2
b g
h t= 5 1
2
............... (1)
t Con el sonido:
h vt t= =2 2340
h t= 340 2 ............ (2)
t Dato:
t t1 2 51+ =
t t2 151= − ............ (3)
t (1) = (2)
......... (4)
t (3) en (4):
t s1 34=
Luego: t s2 17=
t En (2):
8.- Se suelta una piedra de un edificio llegando al piso en
2 segundos.¿Con qué velocidad mínima se debe arro-
jar la piedra hacia arriba para alcanzar la altura del
edificio? (g = 10 m/s2).
t Datos:
t Entre B y C
t Entre A y B
0 32 2= −vB b g
v v ghF o
2 2
2= −
v v gB A
2 2
2 105= − b g
64 2 32 105
2 2
b g b gb g= −vA
h h m= ⇒ =340 17 5780b gb g
Solución:
1
er
Caso:
Reemplazando:
H v t gto= +
1
2
2
t s= 2
H t= × + ×0
1
2
10 2
2
b g
H m= 20
h v t gto CD CD= +
1
2
2
20 0
1
2
10 2
= +t tCD CDb g b g
t s t sCD BC= ⇒ =2 2
h v t gto EF EF= +
1
2
2
5 0
1
2
10 2
= +t tEF EFb g b g
t s t sEF DE= ⇒ =1 1
t t sBC CD+ = 4
t t sBC CD= = 2
v v gtF o BC= −
v pies sA = 104 /

Cinemática
0 22
= −v ha
9.- Un trozo de madera se suelta a un metro de distancia
de la superficie libre de un estanque lleno de agua,si
el agua produce una desaceleración de 4 m/s2 sobre
la madera. ¿Qué profundidad máxima alcanza la ma-
dera en el estanque? (g = 10 m/s2).
Solución:
2
do
Caso:
La velocidad de partida será mínima siempre y cuan-
do la piedra llegue a la cima del edificio con velocidad
cero.
v v gHF o
2 2
2= −
0 2 10 202
= − × ×vmin
v m smin /= 20
10.- Desde el borde de la azotea de un edificio se suelta
una esferita y en ese mismo instante un muchacho de
1,70 m de estatura, parado a 10 m del punto de im-
pacto de la esferita, parte acelerado con 1,25 m/s2. Si
al llegar a dicho punto, la esferita da en la cabeza del
muchacho.¿Qué altura tiene el edificio? (g = 10 m/s2).
Solución:
t En el aire:
(mov.acelerado)
v2
0 2 10 1= + × b g
v2
20=
t En el agua:
(mov.retardado)
t Con el muchacho (M.R.U.V.)
e v t to= +
1
2
2
a
t Con la esferita
x v t gto= +
1
2
2
t Finalmente: H x= +170,
H= +80 170,
H m= 8170,0 20 2 4 2 5= − × ⇒ =h h m,
10 0
1
2
1 25 42
= + ⇒ =t t t s,b g
x x m= × + ⇒ =0 4
1
2
10 4 80
2
b g
1.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una
velocidad de 20 m/s. Luego de que tiempo su veloci-
dad será de 80 m/s (g = 10 m/s2).
Rpta. 6 s
2.- Sedejacaerunobjetodesdeunaalturade45m,calcular
con que velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s2).
Rpta. 30 m/s
3.- Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo com-
probándose que desciende 120 m en 4 s.¿Cuál fue la
velocidad inicial del lanzamiento?
Rpta. 10 m/s
4.- Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el
aire 10 s.Hallar su altura máxima (g = 10 m/s2).
Rpta. 125 m
v v gHF o
2 2
2= +
v v hF o
2 2
2= − a

5.- Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar el
tiempo que tarda en llegar al piso (g = 10 m/s2).
Rpta. 5 s
6.- Hallar la velocidad adquirida y la altura recorrida por
un móvil que tarda 10 s en caer libremente.
Rpta. v = 100 m/s
h = 500 m
7.- Una piedra es abandonada y cae libremente ¿Qué dis-
tancia logra descender en el 5° segundo de su movi-
miento? (g = 10 m/s2).
Rpta. 45 m
8.- Dos esferitas macizas se lanzan ver-
ticalmente y simultáneamente des-
de A y B tal como se muestra.¿Qué
distancia las separa 2 s antes de cru-
zarse, si inicialmente estaban sepa-
radas 160 m? (g = 10 m/s2).
Rpta. 80 m
9.- Un globo aerostático asciende verticalmente con una
velocidad cte. de 10 m/s. Una persona situada en el
globo suelta una pelotita justo cuando el globo se
encuentra a 120 m de altura respecto al suelo.¿Luego
de qué tiempo la pelotita impacta en el suelo?
(g = 10 m/s2).
Rpta. 6 s
10.- Se tiene un pozo vacío cuya profundidad es de 170 m.
Una persona en la parte superior lanza una piedra
verticalmente hacia abajo con una velocidad de
(125/3) m/s. ¿Luego de que tiempo escucha el eco?
(vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).
Rpta. 3,5 s
3.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y vuel-
ve a tierra al cabo de 5 s.¿Qué altura habrá recorrido en
el último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2).
Rpta. 20 m
4.- Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arriba
con velocidad“v”la cual toca el césped con velocidad
2v, considerando que la mano del árbitro suelta la
moneda a 1,2 m sobre le césped halle v en m/s
(g = 10 m/s2).
Rpta.
5.- Un globo aerostático sube verticalmente con una ve-
locidad de 30 m/s.El piloto del globo al encontrarse a
una altura 240 m con respecto al suelo,lanza vertical-
mente hacia abajo un tomate, con una velocidad res-
pecto a su mano de 20 m/s.Al cabo de que tiempo el
tomate tocará el suelo? (g = 10 m/s2).
Rpta. 8 s
6.- Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea de
un edificio. Después de 4 s otro objeto se deja caer
libremente y 4 s después choca con el primero. ¿Con
qué velocidad se lanzó el primero? (g = 10 m/s2
).
Rpta. 30 m/s
7.- Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 20 m/s. ¿A qué distancia del punto
de lanzamiento dicho cuerpo tendrá una velocidad de
30 m/s? (g = 10 m/s2
).
Rpta. –25 m
8.- Una plataforma se desplaza en línea recta y mante-
niendo una velocidad de 7 m/s. Si de ésta se tira una
piedra verticalmente hacia arriba y retorna luego de
haber recorrido 70 m la plataforma. ¿Con qué veloci-
dad se lanzó la piedra? (g = 10 m/s2).
Rpta. 50 m/s
9.- Una alumna desea comprobar las leyes de caída libre,
para lo cual se deja caer desde la parte superior de un
edificio de 256 pies de altura. Un segundo más tarde
aparece superman para lanzarse inmediatamente y
salvar a la alumna justo cuando está por chocar al sue-
lo. Hallar la velocidad con que se lanza superman en
caída libre (g = 32 pies /s2).
Rpta. 37,3 pies/s
10.- Un ascensor presenta una v = cte de –10 m/s,en cier-
to instante del techo del mismo se desprende un per-
no; e impacta en el piso luego de (4/7) s. ¿Qué altura
tiene la cabina del ascensor? (considere g = 9,8 m/s2
).
Rpta. 1,6 m
2 2 m s/
1.- Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectil
hacia arriba si ésta se reduce a la tercera parte cuando
a subido 40 m (g = 10 m/s2).
Rpta. 30 m/s
2.- Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo vertical-
mentehaciaarribaconunavelocidadde30m/sllegan-
do al piso luego de 8 s.Hallar la altura del edificio
(g = 10 m/s2).
Rpta. 80 m

1.- Un móvil se desplaza con M.R.U.según el gráfico.Cal-
cular el espacio recorrido al cabo de 10 segundos.
Solución:
2.- Una partícula parte del reposo con M.R.U.V. Cuando
t = 2 s, su velocidad es 4 m/s manteniéndola cons-
tante.Calcular el espacio recorrido por el móvil has-
ta los 6 segundos.
Solución:
e A= = 5 10b gb g
e m= 50
A A A= +1 2
Luego: e m= 20
3.- Un auto parte del reposo y describe el gráfico adjun-
to.Determinar la velocidad al cabo de 5 segundos.
Solución:
4.- Una partícula posee el siguiente gráfico de su movi-
miento (v vs t). Representar el gráfico (e vs t).
Solución:
a = = =
F
HG I
KJ ⇒ =tan /θ 2
5
10
v
v m s
A= + − =
2 4
2
6 2 4 20
b gb g b gb g
t Entre A y B (mov.acelerado)
t e= ⇒ =0 0
t e A= ⇒ = =3 181
GRÁFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTO

t s= 1
5.- El gráfico v = f (t) nos muestra el movimiento de dos
móviles “M” y “N”. Si “M” parte 3 s después que “N”. ¿Al
cabo de qué tiempo ambos móviles alcanzan igual
velocidad,si“M”acelera a 2,3 m/s2 y“N”inicia su movi-
miento a 8,6 m/s?
Solución:
t e A= ⇒ = =3 181
t Entre B y C (mov.retardado)
e A A
e
e
= −
= −
=
1 2
18 18
0
t Finalmente:
1.- Una partícula se mueve a lo largo de la horizontal de
acuerdo a la gráfica (x – t) mostrada.¿Cuál es la veloci-
dad de la partícula en t = 1 s?
t Para N:
v m so = 8 6, /
v v tF o= + a
.............. (1)
a = °tan37
t Para M:
vo = 0 v t= + −0 2 3 3, b g......... (2)
v t= +8 6
3
4
,
v v TF o= + a
t (1) = (2):
t s=10
Solución:
2.- El gráfico representa el movimiento de un móvil en
línea recta. Hallar el desplazamiento y espacio reco-
rrido por el móvil entre t = 0 s y t = 8 s.(radio = 2 m).
Solución:
t vo = 0 , ya que tan 0° = 0
t Para x = 4 cm
x v t to= +
1
2
2
a (mov.retardado)
4 0 2
1
2
2 2
2 2
= + ⇒ =b g b ga a cm s/
t Para:
a = 2 2
cm s/
vo = 0
vF = ?
v v tF o= + a
vF = +0 2 1b gb g
v cm sF = 2 /
A A
R
1 2
2 2
2
2
2
2= = = =
π π
π
b gt
t = ⇒6
(Ya que el móvil
cambia de sentido)
;
;
;
;
;
;
a =
3
4
2
m s/
a = 2 3 2
, /m s

Cinemática
3.- Dado el siguiente gráfico, determine la posición del
móvil en el instante t = 2 s.
Solución:
t d = desplazamiento
d A A d= − = ⇒ =1 2 0 0
t Espacio recorrido:
e A A= +1 2
t tanθ = =
30
6
5
t En el triángulo sombreado:
t Analizando el problema:
tanθ =
−
⇒ =
x x
6 2
5
4
x = 20
x m= −20
4.- Construir la gráfica (v – t)para un móvil cuya posición
respecto al tiempo se indica en el gráfico.
Solución:
Como la parábola es cóncava hacia abajo el movi-
miento es retardado (M.R.U.V.).Nótese que cuando
el móvil llega al punto“A”ya no se mueve: vF = 0
t Entre O y A:
e
v v
to F
=
+F
HG I
KJ2
100
0
2
10 20=
+F
HG I
KJ ⇒ =
v
v m so
o /
t Finalmente:
5.- El diagrama corresponde al movimiento de dos partí-
culasqueinicialmenteestánseparadospor200m.¿Qué
tiempo tarda el móvil“A”para encontrar al móvil“B”?
Solución:
t Con el móvil“A”(M.R.U.): v = 35 m/s
t Con el móvil“B”(M.R.U.): v = 15 m/s
t Interpretando el problema:
Nos piden el tiempo de encuentro: t
e
v vA B
=
+
F
HG
I
KJ
t t s=
+
F
HG
I
KJ ⇒ =
200
35 15
4
NOTA
A continuación se explicará otro método para la resolu-
ción del presente problema.
e A A= +1 2
200 35 15= +t t
t s= 4
e e m= + ⇒ =2 2 4π π π

d A A A A= − + + +1 2 3 4
6.- Un móvil en t = 0 está en xo = −50 m.Hallar la posición
en t = 15 s.Si la siguiente gráfica (v – t) le corresponde.
Solución:
t En el triángulo sombreado (inferior):
tanα = =
10
2
5
t En el triángulo sombreado (superior):
tan /α = =
−
⇒ =5
7 2
25
v
v m s
t A
A
1
2
1
2
2 10 10
1
2
7 2 25 62 5
= =
= − =
b gb g
b gb g ,
A3 10 7 25 75= − =b gb g
A4
12 5 25
2
15 10 93 75=
+F
HG I
KJ − =
,
,b g
x d= − 50
x x m= − ⇒ =221 25 50 171 25, ,
7.- El gráfico corresponde a un móvil que parte del repo-
so y luego de recorrer 1 800 m se detiene.¿Qué tiem-
po tarda en recorrer dicha distancia?
Solución:
8.- En el diagrama,¿qué
tiempo tarda el mó-
vil “B” para alcanzar
al móvil“A”?
Solución:
t El punto de intersección que muestra el gráfico,es
cuando el móvil“B”alcanza en velocidad al de“A”.
Hasta ese momento sólo han pasado 3 segundos.
Estosignificaqueelmóvil“B”alcanzaráalmóvil“A”
después de superar la velocidad de 9 m/s (como
es lógico).
t Transformando el grafico (a - t) a (v - t)
t tanα = =
v
t1
12
tanβ =
−
=
v
t t2 1
6
b gt ............ (2)
..................... (1)
t De (1) y (2): t t2 13=
Nótese: v = 12t1
t Finalmente: t t s2 23 10 30= ⇒ =b gt
d d= − + + + ⇒ =10 62 5 75 93 75 221 25, , ,
e A A= = +1800 1 2
1800
2 2
1 2 1
= +
−vt v t tb g
1800 12
2
12 3
2
1
1 1 1 1
= +
−
t
t t t t
b g b gb g
1800 6 12 101
2
1
2
1= + ⇒ =t t t s

Cinemática
3
4
2
4
=
−vf
tan37
2
9 5
° =
−
−
vft El problema nos dice que“B”alcanza a“A”ya que
ambas parten al mismo tiempo.
A AA B=
...... (1)
.............. (2)
(2) en (1): 9
1
2
3 6t t t t s= ⇒ =b g
9.- Dos automóviles presentan movimientos donde sus
velocidades varían con el tiempo tal como indica la
figura. Si inicialmente se encontraban juntos, ¿qué
separación existe entre ellos en t = 9 s?
Solución:
t Las velocidades tienen signos diferentes,esto nos
indica que los automóviles se van alejando: nos
piden la separación para t = 9 s.Tenemos que cal-
cular la suma de espacios hasta t = 9 s.
10.- En el movimiento lineal del gráfico:vo = −12,5m/s. ¿En
que instante“t”la velocidad es cero?
Solución:
t Con el móvil“A”:
tan53
1
9
°=
−vF
4
3
1
9
=
−vF
A AA A= + ⇒ =1 9
1
2
9 12 63b gb g b gb g
t Con el móvil“B”:
Trabajaremossóloconvalorabsoluto,yaqueelsignone-
gativo tan sólo nos indica el sentido del movimiento.
A AB B= − + − ⇒ =9 5 2
1
2
9 5 3 14b gb g b gb g
t Finalmente: e A AA B= +
e e m= + ⇒ =63 14 77
NOTA
Enunmovimientodondela
aceleraciónvaríauniforme-
mente respecto al tiempo,
eláreabajolarectadelgrá-
fico (a – t) representa el
cambio de velocidad entre
dos puntos.
A v vF o= −
t En nuestro caso:
A t= −
1
2
2
2
b g
t s=7
9
1
2
t t vf= b g
tanθ = = =
9
3
3
v
t
f
v tf = 3
vf = 13
5⇒ =v m sf /
1
2
2
2
t v vf o− = −b g
1
2
2 0 12 5
2
t − = − −b g b g,
t
t

1.- ¿Cuál es la velocidad que lleva el móvil entre los 10 y
los 20 segundos?
Rpta. 0
2.- Según el gráfico,determinar el espacio recorrido,has-
ta el quinto segundo a partir de t = 0
Rpta. 30 m
3.- ¿Cuál es la aceleración del móvil según el gráfico?
Rpta. – 5 m/s2
4.- El gráfico representa el movimiento de un móvil en
una línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espacio
recorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 10 s
Rpta. Desplazamiento = 25 m
Espacio = 35 m
5.- La velocidad de tres partículas 1,2 y 3 en función del
tiempo son mostrados en la figura. Calcular la razón
entre las aceleraciones mayor y menor.
Rpta. 10
6.- El gráfico pertenece a un móvil que se mueve a lo lar-
go del eje x. Si recorre 120 m en los primeros siete
segundos, determinar el valor de su velocidad en el
quinto segundo.
Rpta. 20 m/s
7.- Un auto viaja a 40 m/s y frena, desacelerando unifor-
memente de acuerdo al gráfico de su movimiento.Ha-
llar el espacio recorrido entre t = 7 s y t = 10 s.
Rpta. 35 m
8.- En el gráfico adjunto. ¿Cuál es la posición del móvil
cuando t = 10 s?
Rpta. 32 m
9.- Si el móvil parte con vo = 2 m/s ¿ Cuál es su velocidad
al cabo de 6 s ?
Rpta. 3 m/s
10.- En la gráfica a – t, determinar la velocidad en el 5to s
de movimiento si el móvil parte del reposo.

Cinemática
Rpta. 2 m/s
1.- Del diagrama v – t de la figura. Deducir el diagrama
x – t, si la posición inicial xo = 0
Rpta.
2.- Del diagrama a – t de la figura deducir el diagrama
v – t si se sabe que la posición y la velocidad inicial
es 0.
Rpta.
3.- Un cohete parte, con velocidad inicial de 8 m/s y su
aceleración viene dada por la gráfica mostrada en la
figura.¿Cuál es su velocidad en t = 8 s?
sugerencia: a = vf − vo
Rpta. 36 m/s
4.- De la gráfica v – t de la figura deducir las gráficas x – t y
a – t; considere que el móvil parte del origen de coor-
denadas.
Rpta.
5.- La gráfica (v – t) muestra el movimiento horizontal de
un móvil,si para t = 1 s el móvil se encuentra a 3 m a la
izquierda del observador. Hallar la posición del móvil
para t = 11 s.
Rpta. 9 m a la derecha del observador
6.- El movimiento de una partícula viene dado por la grá-
fica x – t,determinar la gráfica v – t correspondiente a
dicho movimiento.

Rpta.
7.- Hallar la velocidad instantánea en t = 10 s; x = posi-
ción, t = tiempo
Rpta. 1 m/s
9.- Lafiguranosindicadiagramasvelocidadtiempodedos
móviles A y B que se mueven sobre la misma recta, y
que parten de una misma posición inicial. Al cabo de
qué tiempo,en segundos,se encontrarán los móviles.
Rpta. 18 s
10.- El gráfico describe el movimiento de un auto y un ca-
mión que pasan por un mismo punto en t = 0.Calcu-
lar el instante en el cual volverán a estar juntos.
Rpta. 18 s
8.- El gráfico representa la velocidad en función del tiem-
podedosmóvilesMyNquepartendeunmismopun-
to sobre la misma recta. Si N parte 5 s después de M,
calcular en qué instante N alcanza a M.
Rpta. 25 s

Cinemática
1.- Unnadadorcuyavelocidadesde30m/senaguastran-
quilas decide cruzar un río de 300 m de ancho, cuyas
aguas tienen una velocidad de 40 m/s,para tal efecto
se lanza perpendicularmente a la orilla del río. Calcu-
lar el espacio recorrido por el nadador.
Solución:
2.- Una lancha a motor parte desde la orilla de un río
de 120 m de ancho con una velocidad constante de
30 m/s perpendicular a él; las aguas del río tienen
una velocidad de 15 m/s. ¿Qué tiempo tarda la lan-
cha en llegar a la otra orilla?
Solución:
Aplicaremos el principio de independencia de los
movimientos.
t Entre A y B (M.R.U.): e vt=
300 30 10= ⇒ =t t s
t Entre A y C (M.R.U.): e = ?
e vt=
e e m= ⇒ =50 10 500b g
MOVIMIENTO COMPUESTO

3.- Una pelota sale rodando del borde de una mesa de
1,25 m de altura;si cae al suelo en un punto situado a
1,5 m del pie de la mesa.¿Qué velocidad tenía la pelo-
ta al salir de la mesa? (g = 10 m/s2).
Solución:
Aplicaremos el principio de independencia de los
movimientos.
t Entre A y B (M.R.U.):
e vt=
120 30 4= ⇒ =t t s
4.- Unaviónquevuelahorizontalmentearazónde90m/s,
dejacaerunabombadesdeunaalturade1000m¿Con
qué velocidad aproximada llega la bomba a tierra?
(g = 10 m/s2).
Solución:
t Verticalmente:
(caida libre)
vo = 0
h gt=
1
2
2
125
1
2
10 2
, = b gt
t s= 0 5,
t Horizontalmente (M.R.U.):
e vt=
15 0 5 3, , /= ⇒ =v v m sb g
t Verticalmente (caida libre)
(baja)
5.- Una pelota fue lanzada con una velocidad inicial de
10 m/s, formando con el horizonte un ángulo de 40°,
hallar.
a) ¿Cuanto tiempo se encontró en movimiento?
b) ¿Hasta que altura subió la pelota?
c) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cayó
la pelota?
sen 40° = 0,642 8 ; cos 40° = 0,766 0 ; g = 10 m/s2
Solución:
t
1.- Una pelota lanzada horizontalmente choca con una
pared que se encuentra a 5 m de distancia del sitio
desde la cual se lanzó. La altura del punto en que la
pelota choca con la pared es un metro más bajo que
laalturadesdeelcualfuelanzada.Determinarconqué
velocidad inicial fue lanzada la pelota.
a) Entre A y B (verticalmente):
v v gtF o= − (sube)
t s= 0 6428,
T stotal =12856,
b) Entre A y B (verticalmente):
h
v v
tF o
=
+F
HG I
KJ2
h h m= × ⇒ =5 0 6428 0 6428 2 07, , ,b gb g
c) Entre A y C (horizontalmente): M.R.U.
e vt=
x x m= × ⇒ =10 0 766 0 12856 9 85, , ,b gb g
v v ghF o
2 2
2= +
vB
2
0 2 10 1000= + b gb g
vB
2
20 000=
v v vR B
2 2 2
= +
vR
2 2
90 20 000= +b g
v V m sR R
2
8 100 20 000 167= + ⇒ = /
0 10 40 10 40= ° − ⇒ = °sen t t sen
T t ttotal AB BC= + = +0 642 8 0 642 8, ,
h
sen
=
+ °F
HG I
KJ0 10 40
2
0 642 8,
x Ttotal= °10 40cosb gb g

Cinemática
Solución:
2.- Determinar el ángulo de lanzamiento de una partícu-
la de tal modo que su alcance horizontal sea el triple
de su altura máxima.
Solución:
t Verticalmente
(entre A y B) :
vo = 0
g m s= 9 8 2
, /
h v t gto= +
1
2
2
t s=
1
4 9,
t Horizontalmente (M.R.U.):
e vt=
5
1
4 9
1107= × ⇒ =v v m s
,
, /
3.- Desde el descansillo de una escalera se lanza una bola
con velocidad de 3 m/s. Si el alto y ancho de cada es-
calón es de 0,25 m c/u. ¿En qué escalón caerán por
primera vez la bola? (g = 10 m/s2).
Solución:
t Verticalmente (A y B):
............... (1)
t Horizontalmente (A y C) : T t= 2
............ (2)
t (1) : (2)
1
3 4
53= ⇒ = °
tanθ
θ
e v th=
4.- Un automóvil se mueve horizontalmente con una ve-
locidad de 20 m/s.¿Qué velocidad se le dará a un pro-
yectil, disparado verticalmente hacia arriba desde el
auto,para que regrese nuevamente sobre él,después
que el auto haya recorrido 80 m? (g = 10 m/s2).
Solución:
t Verticalmente:
h v t gto= +
1
2
2
h t= ×
1
2
10 2
h t= 5 2 ....... (a)
t Horizontalmente:
e vt t= = 3
e t= 3 ....... (b)
t (a) = (b) ya que: e = h
t En (b):
e e m=
F
HG I
KJ ⇒ =3
3
5
18,
N Escalón° ≅ ≅ ≅ °
180
0 25
7 2 8
,
,
,
t Con el proyectil (verticalmente):
t Con el proyectil (horizontalmente)
0 10
10
= − ⇒ =v t t
v
e v T v th h= = 2b g
80 20
2
10
20= × ⇒ =
v
v m s/
3 5
3
5
2
t t t s= ⇒ =
h m=1
1 0
1
2
9 8 2
= +t tb g b g,
h
vsen
t=
+F
HG I
KJ0
2
θ
h
vsen
t=
F
HG I
KJθ
2
h
v v
tf o
=
+F
HG I
KJ2
3 2h v t= cosθb gb g
v v gtf o= −

x x m= × ⇒ =50 2 2 5 2 1000d i
5 4 2 0 9 3, , /= × ⇒ =v v m sb g
5.- Un jugador de fútbol patea una pelota, que sale dis-
parada a razón de 15 m/s y haciendo un ángulo de 37°
con la horizontal. Pedro, un jugador se encuentra a
27 m de distancia y delante del primero,corre a reco-
ger la pelota.¿Con qué velocidad debe correr este úl-
timo para recoger la pelota justo en el momento en
que ésta llega a tierra? (g = 10 m/s2).
Solución:
6.- Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de
45°yunavelocidadinicialde100m/s.Untanqueavan-
za, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidad
de 4 m/s, sobre un terreno horizontal. ¿Cuál es la dis-
tancia entre el tanque y el mortero en el instante del
disparo,si hace blanco? (g = 10 m/s2).
Solución:
t Con la pelota (verticalmente):
t Con la pelota (horizontalmente):
t Con Pedro:
0 9 10 0 9= − ⇒ =t t s,
x vT v t= = 2b g
x x cm= × ⇒ =12 2 0 9 216, ,b g
y x m= − =27 5 4,
y vT v t= = 2b g
t Con el proyectil (verticalmente de subida):
7.- En la figura, la plataforma se desplaza a razón cons-
tante de 6 m/s. ¿Con qué velocidad respecto a la pla-
taforma debe el hombre correr sobre la plataforma
para salir horizontalmente del borde y llegar justo al
otro extremo? (g = 10 m/s2).Desprecie la altura de la
plataforma.
0 50 2 10 5 2= − ⇒ =t t s
t Con el tanque:
t Con el proyectil (horizontalmente):
t Finalmente:
e v T tH= =b g b g50 2 2
e v T v t= =b g b g2
y y m= × × ⇒ =4 2 5 2 56 6,
d x y= +
Solución:
t Entre A y B (verticalmente): vo = 0
h v t gto= +
1
2
2
125 0
1
2
10 0 52
, ,= × + × ⇒ =t t t s
Ilustrando:
v v gtf o= −
v v gtf o= −
d d m= + ⇒ =1000 56 6 1056 6, ,

Cinemática
8 6 2= + ⇒ =v v m sh h /
t Entre A y B (horizontalmente) M.R.U.
e v ttotal=b g
4 0 5 8= ⇒ =v v m stotal total, /b g
t Pero: v v vtotal P h= +
8.- Un apache desea clavar perpendicularmente una fle-
cha en la pradera, lanzándola con un ángulo de 53°
con la horizontal.Determinar la razón x/y.
Solución:
Nótese que la flecha por tener velocidad solo horizon-
tal en B”,se encuentra en el punto de altura máxima.
............ (1)
Además:
................... (2)
t Horizontalmente (entre A y B)
............. (3)
t (2) en (3):
............. (4)
t Dividiendo (4) entre (1):
Solución:
10.- Una partícula es lanzada desde la ventana de un edifi-
cio ubicado a 100 m de altura, con una velocidad de
50 m/s y formando un ángulo de 37° con la horizontal.
Determinar el tiempo que tarda en impactar con la
colina (g = 10 m/s2).
t Horizontalmente:
t Verticalmente:
x vt=
4
5
10L t=b g
t L=
2
25
............ (1)
3
5
1
2
10
2
25
18 75
2
L L L m=
F
HG I
KJ ⇒ =b g ,
............ (2)
t (1) en (2):
Solución:
t Horizontalmente (entre A y C):
e vt=
t Verticalmente (entre A y C):
...... (1)
..... (2)
t (1) en (2):
Recomendación:
Investigar método vectorial para problemas de caída
libre.
9.- Desde la parte superior de un plano inclinado 37° con
la horizontal,se lanza horizontalmente una esfera con
una velocidad inicial de 10 m/s.Determinar el alcance
“x”de la esfera a lo largo del plano inclinado.
y gt L gt= ⇒ =
1
2
3
5
1
2
2 2
3
5
50 100 30
10
2
2 52
t t t t s− = − ⇒ =
4
5
40L t=
L t= 50
t Verticalmente (entre A y B): v v gyf o
2 2
2= −
0 53 2
2
= ° −vsen gyb g
y
v sen
g
=
°2 2
53
2
v v gtf o= −
0 53= ° −vsen gt
t
vsen
g
=
°53
x v t= °cos 53b g
x v
vsen
g
= °
°
cos53
53
b gb g
x
y sen
x
y
=
°
°
⇒ =
2 53
53
3
2
cos
y v t gt
L
t gto= − ⇒ −
F
HG I
KJ= −
1
2
3
5
100 30
1
2
2 2

1.- Un avión vuela a 1 470 m de altura con una velocidad
de 144 km/h.¿A qué distancia antes de estar sobre el
blanco deberá soltar la bomba?
Rpta.
2.- Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una
altura de 36 m con velocidad de 45 m/s. Calcula: El
tiempo que dura el proyectil en el aire y el alcance
horizontal del proyectil (g = 10 m/s2).
Rpta.
3.- En qué relación deben estar las velocidades de lanza-
miento de la partícula si se desea que caiga en los
puntos A y B.
Rpta.
4.- Una piedra es lanzada con un inclinación de 60° con la
horizontal y una velocidad inicial de 40 m/s. ¿Al cabo
de qué tiempo se encontrará nuevamente en el suelo?
Rpta.
5.- Un cañón dispara un proyectil con una velocidad ini-
cial de 100 m/s y a una inclinación de 37° con respec-
to al horizonte.Calcular a qué distancia llega.
Rpta. 960 m
6.- Un cañón dispara una bala con una velocidad de
91 m/s. Cuando el ángulo de elevación es de 45°;
el alcance es de 820 m. ¿Cuánto disminuye el al-
cance la resistencia del aire?
Rpta. 8,1 m
7.- Se arroja una piedra a un pozo con ángulo de 60° res-
pecto a la horizontal con velocidad de 10 3 m/s. Si
en 4 s llega al fondo del pozo. ¿Qué altura tendrá di-
cho pozo? (g = 10 m/s2).
Rpta. 20 m
8.- Calcular la mínima velocidad que debe tener un mó-
vil para pasar un obstáculo,como en la figura mostra-
da (g = 10 m/s2).
Rpta. 20 m/s
9.- Un avión vuela horizontalmente y suelta una bomba
al pasar justo sobre un camión enemigo que se des-
plaza a 120 km/h y logra destruirlo 500 m más adelan-
te. ¿Desde que altura se soltó la bomba?
Rpta. 1 102,5 m
10.- Un partícula es lanzada desde “A” con una velocidad
de 50 m/s.¿Determinar el valor de“H”? (g = 10 m/s2).
Rpta. 35 m
v
v
A
B
=
2
3
1.- En la figura tenemos una porción de la trayectoria
de un movimiento parabólico, si la velocidad en el
punto“A”es 40 2 m/s.Hallar la altura que hay entre
“A”y “B”si:
Rpta. 160 m
2.- La pelota mostrada se impulsa a 3 2 m/s con ángulo
de tiro de 45°. Al
impactar sobre la
ventana lo hace a
5 m/s. Hallar“x”
(g = 10 m/s2).
Rpta. 2,10 m
t s x m= =
6 5
5
54 5;
α θ= ° = =45
3
4
10 2
, ( / ).g m s
2 3 s
40 294 m

Cinemática
3.- Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de
45°yunavelocidadinicialde100m/s.Untanqueavan-
za, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidad
de 4 m/s; sobre un terreno horizontal. ¿Cuál es la dis-
tancia entre el tanque y el mortero en el instante del
disparo si hace blanco? (g = 10 m/s2
).
Rpta.
4.- Una pelota sale rodando del borde de una escalera
con una velocidad horizontal de 1,08 m/s, si los esca-
lones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho.¿Cuál
será el primer escalón que toque la pelota?
Rpta. Caerá en el 2do escalón
5.- Un ciclista que va a una velocidad de 108 km/h, entra
a un túnel de 20 m de largo,y al momento de entrar al
túnel deja caer su gorra desde una altura de 1,65 m
del suelo ¿La gorra caerá dentro del túnel?
Rpta. Si,caerá dentro del túnel
6.- Se lanzan al mismo instante dos piedras, una con ve-
locidad “v1” que hace 30° con la horizontal y la otra
“v2”que forma 53° con la horizontal, si el tiempo que
demoró caer aTierra la que tiene“v1”,es 5 veces lo que
demoró en caer a Tierra la que tiene“v2”. Hallar: v1/v2
(g= 10 m/s2).
Rpta. 8
7.- Sobre una pista lisa inclinada,tal como se muestra,se
lanza una bolita con una velocidad de 50 m/s y un án-
gulo de 53°.¿Cuál es el alcance horizontal de la bolita?
(g = 10 m/s2).
Rpta. 400 m
8.- Dos cuerpos lanzados simultáneamente de los pun-
tos“A”y“B”chocan en el punto“P”tal como se mues-
tra.¿Cuánto vale“α”? (g = 10 m/s2).
Rpta. 45°
9.- Si“A”y“B”seimpulsansimultáneamenteychocanalcabo
de 6 s,en el instante en que“B”logra su máxima altura.
Hallar la distancia de separación vertical entre los pun-
tos de lanzamiento si“A”se lanzó con 160 pies/s.
Rpta. 384 pies
10.- Un proyectil se lanza desde el punto“A”con una velo-
cidad de 25 m/s como se indica,choca elásticamente
en el punto“B”para finalmente impactar en el punto
“C”. Determine a qué distancia desde el punto de lan-
zamiento impacta en“C”,y con qué velocidad llega.
Rpta. 20 m, 25 m/s
d m= +40 25 2d i

ω
π
ω
π
= ⇒ =
2
672 336
rad h/
ω
π
ω π= ⇒ =
2
5
0 4, /rad s
1.- Unapartículadescribeunacircunferenciaderadioigual
a 30 cm y da 4 vueltas en 20 segundos;calcular:
a) El período
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
Solución:
2.- Considerando que el período de la Luna alrededor de
la Tierra es 28 días. Determinar la velocidad angular
de la Luna respecto de la Tierra en rad/h.
Solución:
a)
b)
c)
T
Tiempototal
devueltas
=
#
T T s= ⇒ =
20
4
5
ω
π
=
2
T
3.- En un reloj de agujas,determinar la velocidad angular
del horario y minutero,en rad/h.
Solución:
T díasLuna = 28
T hLuna = 672
t Calculando la velocidad angular: ω
π
=
2
T
⇒ = ×T días
h
día
Luna 28
24
1
t
4.- Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es de
33 cm. Calcular la velocidad angular.
Solución:
t Velocidad angular del horario
t Velocidad angular del minutero
5.- Una rueda durante su recorrido necesita 3 s para girar
un ángulo de 234 radianes; su velocidad angular al
cabo de este tiempo es de 108 rad/s. Determinar su
aceleración angular constante.
v km h m s= =80
200
9
/ /t
t Cálculo de la velocidad angular: v R=ω
200
9
0 33=ω ,b g
f
de vueltas
Tiempototal
=
#
ω ω
π
= ⇒ =
Ángulorecorrido
Tiempoempleado
rad
h
2
12
ω ω
π
= ⇒ =
Ángulorecorrido
Tiempoempleado
rad
h
2
1
ω =
200
297
rad s/
f f Hz= ⇒ =
4
20
0 2,
ω
π
=
6
rad h/
ω π= 2 rad h/
MOVIMIENTO CIRCULAR

Cinemática
a =1 2
m s/
Solución:
1.- Un disco rota uniformemente alrededor de su eje,
v1 es la velocidad del punto “1” y v2 es la velocidad
del punto“2”. Los puntos“1”y“2”distan de“O”1,5 y
2 cm respectivamente.Calcular la relación entre ve-
locidades: v2/v1
.
t Datos:
t Calculando la velocidad angular inicial:
t Calculando la aceleración angular (α):
t s= 3
θ = 234 rad
ωF rad s=108 /
α = ?
θ
ω ω
=
+F
HG I
KJo F
t
2
234
108
2
3 48=
+F
HG I
KJ ⇒ =
ω
ωo
o rad s/
α
ω ω
=
−F o
t
α α=
−
⇒ =
108 48
3
20 2
rad s/
Solución:
t Como se verá: Los puntos (1) y (2) giran en torno
a un mismo centro:
2.- Un cono gira con período de 4 s.¿En qué relación es-
tán las velocidades lineales de los puntos P y Q?
ω ω ω1 2= =
v1 15=ω ,b g
v2 2 0= ω ,b g
t Velocidades tangenciales:
t (2) : (1)
v
v
v
v
2
1
2
1
2
1
3
2
4
3
= ⇒ =
Solución:
3.- Una partícula gira en un círculo de 3 m de diámetro a
una velocidad de 6 m/s,tres segundos después su ve-
locidad es 9 m/s.Calcular el número de vueltas que ha
dado al cabo de 6 s.
Solución:
t Relación de radios:
t Datos: T = 4 s
Como P y Q giran en torno a un mismo eje, sus
velocidades angulares son iguales.
3
18
1
6
= ⇒ =
R
R
R
R
P
Q
P
Q
ω ωP Q=
v
R
v
R
v
v
R
R
P
P
Q
Q
P
Q
P
Q
= ⇒ = =
1
6
v
v
P
Q
=
1
6
t v m so = 6 /
v m sF = 9 /
t s= 3
a = ? ( / )m s2
U
V
|||
W
|||
a =
−v v
t
F o
a =
−9 6
3
t v m so = 6 /
t s= 6
S m= ? ( )
U
V
|||
W
|||
S v t to= +
1
2
2
a
S= +6 6
1
2
1 6
2
b g b gb g
S m= 54
t S m= 54
R m=15,
θ = ? ( )rad
U
V
||
W
||
S R= θ
54 15=θ ,b g
θ = 36rad
......... (1)
......... (2)
a =1 2
m s/

4.- Un ventilador gira con velocidad correspondiente a
una frecuencia de 900 R.P.M.al desconectarlo, su mo-
vimiento pasa a ser uniformemente retardado hasta
que se detiene por completo después de dar 75 vuel-
tas.¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en
que se desconecta el ventilador hasta que se detiene
por completo?
Solución:
5.- Se tiene un cascarón esférico que gira con velocidad
angular constante a razón de 200 rev/s respecto a un
eje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmente
de tal modo que pasa por el centro del cascarón.De-
terminar la velocidad angular del cascarón sabiendo
que su radio es igual a 1 m. Determinar también la
máxima velocidad del proyectil de tal modo que atra-
viesa el cascarón haciendo un solo agujero.
Solución:
t Finalmente:
2π rad 1 vuelta
36 rad x
x vueltas= 5 73,
t Dato:
fF = 0
t Aplicando: ω π= 2 f
t Luego:
U
V
|||
W
|||
ω πo rad s= 30 /
ωF = 0
t = ?
#de vueltas =75
2π rad 1 vuelta
θ = ? 75 vueltas
θ π=150 rad
θ
ω ω
=
+F
HG I
KJF o
t
2
150
30 0
2
10π
π
=
+F
HG I
KJ ⇒ =t t s
t ω π π= =2 2 200f b g
t Con el proyectil: e vt=
2= vt ........... (1)
6.- Tres ruedas A, B y C, se encuentran en contacto tal
como muestra el gráfico.Siendo la velocidad angular
de“B”200 rad/s.Hallar la velocidad angular de“A”y“C”
en rad/s si los radios son iguales a 20, 10 y 15 cm res-
pectivamente.
Ahora para que el proyectil penetre un sólo agu-
jero,el cascarón deberá dar media vuelta.
Luego:
t
T
=
2
; siendo: T = período de revolución
t En (1):
2
2
= v
T
; pero: T
f
=
1
2
1
2 200
800=
×
F
HG I
KJ ⇒ =v v m s/
Solución:
v v vA B C= =
ω ω ωA A B B C CR R R= =
t
t ωA 20 200 10b g b g=
t ω ωB B C CR R=
200 10 15b gb g b g=ωc
7.- La rueda“A”presenta una velocidad angular constan-
te de 40 rad/s.¿Cuál es el valor de la velocidad angular
de la rueda“D”?
ω π= 400 rad s/
ωA rad s=100 /
ωc rad s=133 33, /
f
rev
s
rev
s
o = × =900
1
60
15
min
min

Cinemática
Solución:
t v vA B=
ω ωA A B BR R=
40 3 2 60b gb g b gr r rad sB B= ⇒ =ω ω /
t ω ωB C rad s= = 60 /
v
r
C
C
= 60
v
r
v rC
C= ⇒ =60 60
t v vC D=
60r RD D= ω
60 5 12r r rad sD D= ⇒ =ω ωb g /
8.- Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hue-
co a cierta distancia del centro por donde pasa un
móvilqueluegoalcaerpasaporelmismohueco.¿Cuál
es la velocidad angular del disco en (rad/s)? (conside-
re:g = 10 m/s2).
Solución:
9.- Una bolita está pegada sobre un disco liso de radio“R”,
a una distancia 0,6R de su eje de giro. Si el disco está
girando a 8 rev/min y bruscamente se despega la bo-
lita.¿Después de cuanto tiempo saldrá despedida del
disco?
Solución:
t Analizando el movimiento parabólico (verti-
calmente)
v v gtF o= −
0 12 10 12= − ⇒ =t t s,
t Analizando el movimiento de rotación del
disco.
Para que el móvil regrese al mismo hueco,el tiem-
po de rotación de dicho hueco,debe ser también
2,4 s.
t Se tiene: θ π= °=180 rad
ω
θ
=
t
t f
rev
s
f rev s= × ⇒ =8
60
2
15min
min
/
ω π π ω
π
= =
F
HG I
KJ ⇒ =2 2
2
15
4
15
f rad s/T t T stotal total= = ⇒ =2 2 1 2 2 4, ,b g t
(cuando el móvil sube)
ω
π
ω= ⇒ =
2 4
1 31
,
, /rad s

ω ω αF o t= +
10.- Las paletas de un ventilador que parte del reposo du-
rante 5 segundos giran experimentando cambios de
rapidez a razón constantealcanzando así una frecuen-
cia de 2 400 R.P.M.¿Cuántas vueltas realizó durante el
tercer segundo de su rotación?
Solución:
t Calculando la velocidad de la bolita.
v r=ω
v R v R= ⇒ =
4
15
0 6
4
25
π
π,b g ........... (1)
t En el triángulo ACB:
t Finalmente:
x R=
8
10
........... (2)
x vt= ................ (3)
t (1) y (2) en (3):
8
10
4
25
R Rt= π
t
ω π πF Ff= =2 2 40b gt
t Se tiene:
ω ω πo F rad s t s= = =0 80 5; / ;
t Calculando la aceleración angular (α)
t Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 2 se-
gundos
80 0 5 16 2
π α α π= + ⇒ =b g rad s/
θ2 = ? ( )rad
t s= 2
ωo = 0
α π=16 2
rad s/
θ ω α= +ot t
1
2
2
t Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 3 se-
gundos
θ3 = ?( )rad
t s= 3
ωo = 0
α π=16 2
rad s/
1.- Un cuerpo que posee M.C.U.gira a razón de 10 rad/s.
Si el móvil recorre 20 m en 5 s.Calcular el radio de giro.
Rpta. 0,4 m
2.- Un disco A gira razón de 120 R.P.M. y un punto P se
encuentra a 30 cm del centro de rotación. Otro disco
B gira A razón de 90 R.P.M y un punto Q se encuentra a
40 cm del centro de rotación.¿Cuál de los puntos (P o
Q) tiene mayor velocidad lineal?
Rpta. Tienen igual velocidad lineal = 120 cm/s
t El ángulo recorrido en el 3° segundo será:
t El número de vueltas en el 3° segundo:
#de vueltas = 20
ω πF rad s= 80 /
t s=
5
π
3.- A las doce del día, las agujas de un reloj están super-
puestas ¿Al cabo de cuántos minutos,el minutero y el
horario formarán un ángulo de 30° por primera vez?
Rpta. 5,45 minutos
4.- Los puntos periféricos de un disco que gira uniforme-
mente, se mueven a 40 cm/s. Si los puntos que se en-
cuentran a 2 cm de la periféria giran a 30 cm/s. ¿Qué
diámetro tiene el disco?
Rpta. 16 cm
f rev sF = 40 /
;
;
;
;
# de vueltas
rad
rad
= =
40
2
20
π
π
θ π θ π3
2
30 3
1
2
16 3 72= × + ⇒ =b gb g rad
θ π θ π2
2
20 2
1
2
16 2 32= + ⇒ =b gb g b gb g rad
θ θ θ θ π= − ⇒ =3 2 40 rad
f
rev rev
F = = ×2 400 2 400
1
60min min
min

Cinemática
5.- En la figura, si la rueda mayor gira a razón de 3 rad/s.
Calcular la velocidad angular de la rueda menor.
Rpta. 9 rad/s
6.- Si la aceleración tangencial de“A”es 3 m/s2.calcular la
aceleración angular de“C”en rad/s2.
(RA = 2 cm, RB = 8 cm, RC = 6 cm).
Rpta. 0,5 rad/s2
7.- Una rueda gira con velocidad de 2 rev/s y se detiene
en 0,5 minutos. Si la desaceleración es uniforme, cal-
cular el ángulo descrito.
Rpta. 60π rad
8.- Lavelocidadangulardeunmotorquegiraa1800R.P.M.,
en 2 segundos desciende uniformemente hasta
1 200 R.P.M.¿Cuál es la aceleración angular?Y ¿Cuántas
vueltas dió el motor en dicho tiempo?.
Rpta. α = −10π rad/s2 ; n = 50 vueltas
9.- Hallar la velocidad lineal con que giran los puntos de
la superficie terrestre que se encuentra a latitud
60° Norte (radio de la Tierra = 6 370 km).
Rpta. 834 km/h
10.- ¿Con qué velocidad deberá volar un avión en el Ecua-
dor,de Este a Oeste,para que sus pasajeros les parez-
ca que el sol está fijo en el firmamento?
(radio de la Tierra = 6 370 km).
Rpta. 1 668 km/h
1.- La figura nos indica dos poleas coaxiales, fijas entre
ellas, de radio r1 = 0,3 m y r2 = 0,2 m y una tercera
polea de radio r = 0,4 m. El cuerpo F desciende con
aceleración constante a = 8 m/s2 partiendo del repo-
so.Calcule la velocidad angular de la polea de radio r
en un instante t = 5 s. Si se sabe que no hay desliza-
miento entre las poleas.
Rpta. 150 rad/s
2.- Un tocadisco gira a 33 R.P.M. Al cortar la corriente la
fricción hace que el tocadisco se frene con desace-
leración constante, observándose que luego de 3 s
gira a 32,5 R.P.M. ¿Qué tiempo en segundos, tarda el
tocadisco para detenerse?
Rpta. 198
3.- Un cuerpo que parte del reposo posee una aceleración
angular constante y tarda 2 minutos en recorrer entre
2 puntos de la trayectoria circular un desplazamiento
angular de 24 revoluciones. Si cuando pasa por el se-
gundo punto gira a 18 R.P.M.Hallar el número de revo-
luciones entre el primer punto y el punto de partida.
Rpta. 3 vueltas
4.- Los radios de las ruedas de la bicicleta que se mueve en
la trayectoria circular mostrada en la figura, están en la
relación de 5 a 1,determinar en qué relación estarán el
número de vuel-
tas que dió cada
llanta, si se sabe
que el ciclista dió
lavueltacompleta
a la pista en 120 s
y R = (20/π ) m.
Rpta. 5 a 1
5.- En el sistema de transmisión de la figura: rA = 0,3 m;
rB = 0,5 m y rC = 0,2 m.Si la rueda A acelera a razón de
10 rad/s2, ¿Qué velo-
cidad adquirirá el
bloque P a los 15 s de
iniciado su movi-
miento? (en m/s).
Rpta. 18 m/s

6.- A 4,9 m de altura sobre un punto“P”marcado en la pe-
riferia de un disco de 45 R.P.M.se deja caer una piedra
en el preciso instante en que el disco empieza a girar
(ω = cte).Al caer dicha piedra sobre el disco.¿A qué dis-
tancia del punto “P” lo hará? Radio del disco = 15 cm
(g = 9,8 m/s2).
Rpta.
7.- Determinar con qué velocidad tangencial giran los
puntos sobre la superficie terrestre ubicados a 45° de
latitud y sobre el nivel del mar.
(R = radio de la tierra = 6 400 km).
Rpta.
8.- Un cilindro gira a 5 rad/s;un proyectil lo atraviesa con
una velocidad inicial de 340 m/s y una velocidad final
de 300 m/s. Determinar el ángulo que forma entre sí
las perforaciones y el eje del cilindro.
Rpta. 0,25 rad
9.- SiconsideramosqueelradiodelaTierraesde6360km
y que ella tarda 24 h en dar una vuelta.Calcular la velo-
cidad lineal de un punto del Ecuador.
Rpta. 530π km h/
10.- Setieneunabarrahorizontalenreposocuyalongitudes
de 80 3 cm sostenida por dos cuerdas unidas a 2 po-
leasqueempiezanagirar,logranhacerquelabarrasuba;
si las poleas giran con
velocidad angular de
120/π R.P.M. ¿Al cabo
de cuánto tiempo la
barra formará un án-
gulo de 60° con la ho-
rizontal? (r1 = 10 cm ;
r2 = 30 cm).
Rpta. 1,5 s
15 2 cm
800
3
π
km h/

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