Explicación detallada sobre las funciones exponenciales

1. Funciones Exponenciales
Precálculo
Alfredo Rivera Mejías
Contenido
Introducción a las Funciones Exponenciales Ejercicios de Práctica
Gráficas de Funciones Exponenciales Ejercicios de Práctica
Ecuaciones Exponenciales (de bases iguales) Ejercicios de Práctica
La Función Exponencial General Ejercicios de Práctica
La Función Exponencial Natural Ejercicios de Práctica
Ejercicios de Repaso Clave del Repaso













2. Introducción a las Funciones
Exponenciales

3. La siguiente tabla contiene valores de f(x) = 3x – 1. En ella, la
diferencia de dos valores consecutivos de “x” es constante.
Compara la diferencia de dos valores consecutivos de f(x).
x f(x)
0 -1
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
La diferencia
entre valores
consecutivos
es constante.
(igual a 1)
La diferencia
entre valores
consecutivos
es constante.
(igual a 3)
Para cualquier
función lineal,
si la diferencia
de dos valores
consecutivos de
x es constante,
entonces la
diferencia de cada
dos valores
consecutivos de
“y” también es
constante.

4. Las siguientes funciones son lineales. En la tabla de valores
de cada una de ellas, la diferencia de dos valores consecutivos
de x es constante. Vea que las diferencias consecutivas para
“y” también son constantes.
y = -2x + 1 y = 3x – 2 y = 0.5x + 3
x y
-3 7
-2 5
-1 3
0 1
1 -1
x y
-3 -11
0 -2
3 7
6 16
9 25
x y
0 3
2 4
4 5
6 6
8 7

5. La siguiente tabla contiene valores de f(x) = x² + x – 1. La
diferencia de dos valores consecutivos de “x” es constante.
Compara la diferencia de dos valores consecutivos de f(x).
x f(x)
-3 5
-2 1
-1 -1
0 -1
1 1
2 5
1-5 = -4
Esas diferencias
No son constantes
Vamos a calcular las diferencias
de esas diferencias.
-1-1 = -2
-1- -1 = 0
1- -1 = 2
5-1 = 4
-2- -4 = 2
0- -2 = 2
2 – 0 = 2
4 – 2 = 2
Vea que las
segundas
diferencias
son constantes.
Para toda función
cuadrática, las
segundas diferencias
de las “y” son
constantes, si las
diferencias
correspondientes de
las “x” también son
constantes.

6. Las siguientes funciones son cuadráticas. En la tabla de
valores de cada una de ellas, la diferencia de dos valores
consecutivos de x es constante. Vea que las segundas
diferencias consecutivas para “y” también son constantes.
y = -2x² + x y = 3x² – 2x – 5
x y
-2 -10
-1 -3
0 0
1 -1
2 -6
x y
-3 28
-1 0
1 -4
3 16
5 60
7
3
-1
-5
Primeras
diferencias
-4
-4
-4
Segundas
diferencias
Primeras
diferencias
-28
-4
20
44
Segundas
diferencias
24
24
24

7. Si las funciones son cúbicas, y las diferencias entre valores
consecutivos de x es constante, entonces las terceras
diferencias de “y” también son constantes.
f(x) = x³ + 5x² - 2x – 3
x f(x)
-3 21
-2 13
-1 3
0 -3
1 1
2 21
Primeras
diferencias
-8
-10
-6
4
20
Segundas
diferencias
-2
4
10
16
Terceras
diferencias
6
6
6
Para cualquier función
definida por un polinomio
de grado 4, las cuartas
diferencias consecutivas
de las “y” son constantes,
siempre que las
diferencias de las x sean
constantes, y así
sucesivamente con
polinomios de otros
grados.

8. b"."baseladeexponente
elennteindependievariable
laesx1;aigualnopositiva
constanteunaesb""quelaen
,bf(x)esbásicomodeloSu
.lexponenciafuncióndenombre
elrecibeticacaracterísesa
tengaquefunciónToda
x

Existe una función, para la cual, si la diferencia de dos valores
consecutivos de “x” es constante, entonces la razón de los
valores correspondientes de “y” también es constante.
x y
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Diferencia
constante
de 1
½  ¼ = 2
1  ½ = 2
2  1 = 2
4  2 = 2
8  4 = 2
etc...,(5/3)q(x),(1.05)p(x),(1/2)h(x),4g(x)
:bf(x)modeloelsegúnlesexponenciasonfuncionessiguientesLas
xxxx
x



9. .2f(x)lexponenciafunciónlaparatablalaCompleta x

x f(x)
-2
-1
0
1
2
3
 2f(-2) -2
x
2f(x) 
¼¼
 2f(-1) -1
½½
 2f(0) 0
11
 2f(1) 1
22
42f(2) 2
 4
82f(3) 3
 8
Esa es la misma tabla, en la cual
calculamos que la razón
constante de las “y” es 2.
tabla.laen(1/4)g(x)
devaloreslosVerifica
x

x f(x)
-3 64
-2 16
-1 4
0 1
1 ¼
2 1/16
Nota que la
razón de
dos valores
consecutivos
de “y” es
constante.
(igual a ¼)

10. Hay ocasiones en que necesitamos aplicar leyes de exponentes
para conseguir valores de “y”, dados valores de x.
Leyes Ejemplos Precauciones
 
vecesn
n
b.b.b....bb 
813-3.-3.-3.-(-3)4
 81-(3.3.3.3)-3- 4

0b1,b0
 5° = 1 33(1)3x0

x
x
x-
b
1
b
1
b 






8
1
2
1
2 3
3-
 2
2
b
b
1

n mn
m
bb  46488 33 23
2
 definidono4-(-4) 2
1

nmnm
bb.b 
 532
xx.x  532
xxx 
n-m
n
m
b
b
b
 3
3-5-2
5
2
x
1
xx
x
x
 523
2-
3
xx.x
x
x

  m.nnm
bb    1/6422 6--23
 62232
yx)(yx 
xnxmxnm
b.a)b.(a    66223
9xx33x 
6223
x3)x(3 
xn
xmx
n
m
b
a
b
a





 32
3-
2-1
3
-2
yx
y
x
y
x






33
33
yx
y)(x
xy
yx 





 

11. x
4f(x)paratablasiguientelaCompleta 
x f(x)
2
1
0
-1
-2
½
3/2
-½
-3/2
x
4f(x) 
f(2) = 4² = 1616
44f(1) 1
 4
14f(0) 0
 1
1/44f(-1) -1
 1/4
16
1
4
1
4f(-2) 2
2-

244f(1/2) 1/2
 2
86444f(3/2) 33/2
 8
2
1
4
1
4
1
4f(-1/2) 1/2
-1/2

8
1
4
1
4
1
4f(-3/2)
33/2
3/2-

16
1
2
1
8
1

12. Podemos aplicar las leyes de exponentes para simplicar
funciones exponenciales más complicadas.
2-x
2
xx
2f(x)
2
2
f(x)
4
2
f(x)1) 
2
x
2
1
x
2
1
x
x
x
x
2
3
g(x)
2
3
g(x)
2
3
g(x)
2
3
g(x)2) 



























  2
t-tt
2h(t)2h(t)3) 

  x-x-1
x
2r(x)2r(x)
2
1
r(x)4) 






  6
6x
6
x
1
6
x
2
1
3
x
3 x3 x
2w(x)2w(x)22w(x)
]22[w(x)2.4w(x))24(w(x)5)



 )(

13.    
x3
xx
xxx
2x
x
8
1
4
1-
4
3
2
1
x
x
x-
x-
x-x-
xx3
532
532x13x31-x1-xxx
x
x
2xx
x1-x-x5x3x2xyxyxx
2
11-xx2x
3x
x
1-xx
x2x3
2
52-34-32
n
4f)(x)/(g30)[f(x)]g(x)29)4f(x)g(x)28)f(x).g(x)x,númerotodoPara27)
ejercicio.cadaenfalsoociertocontesta,8g(x)y2f(x)SiIV.
1-h(x)
g(x)-k(x)
d)y)-x).k(x-y).g(y-h(xc)
k(-x)g(x).h(x).b)g(2)-k(2)a):halla,6k(x)y3h(x),2g(x)Si26)
f)(2)o(gd)g)(2)o(fc)f)(x)o(gb)g)(x)o(fa):halla,xg(x)y2f(x)Si25)
f)(1)o(gd)g)(1)o(fc)f)(x)o(gb)g)(x)o(fa):halla3x,g(x)y2f(x)Si24)
)f(d))f(c))f(b))f(a):halla,
2
16
f(x)Si23)
valores.siguienteslosHallaIII.
3
4
4
3
22)3-2
3-2
1
21)2(2)220)
5
1-
519)33318)
85317)8216))(2215)2414)2
2
2
13))(2212)
)2(22211)2(2)210)4(2)29)(2)28)427)
Falso.oCiertoContestaII.
3816)
27
(9)3
5)(4)24)
8
125
3)822)(9)(27)31)
.bformalaenexprésalayexpresióncadaSimplificaI.
lesExponenciaFuncioneslasaónIntroducci:PrácticadeEjercicios
yx
2
y
1
x
1
3
1-
2
x
2
2
2
2
2
1


















 Para ver Parte V

14. f(x)
101-x
9
1
g(x)32)
f(x)
1-10x
8f(x)31)
función.cadaparagráficaladibujayvaloresdetablaslasCompletaV.
2
3
2
1-x
3
2-
3
1
x







-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2
 Ver Clave

15. Gráficas de Funciones Exponenciales

16. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
.x
2f(x)degráficalaDibuja 
x f(x)
-3 1/8
-2 ¼
-1 ½
-½ 0.707
0 1
½ 1.414
1 2
2 4
3 8
  2.66522fentonces,2xsiqueObserva 2

Podemos sustituir cualquier número real en “x” para
obtener siempre números positivos en “y”. La gráfica
de “g” es creciente, cóncava hacia arriba y continua
en toda su extensión. Su valor en el origen
(y- intercepto) es 1 y nunca toca ni atraviesa
al eje de “x”. Es una función uno a uno.
1.42 
2.665
f(x)

17. x
2
1
g(x)degráficalaDibuja 






x g(x)
3 1/8
2 ¼
1 ½
½ 0.707
0 1
-½ 1.414
-1 2
-2 4
-3 8
Podemos sustituir cualquier número real en “x” para
obtener números positivos en “y”. La gráfica de “g”
es decreciente, cóncava hacia arriba y continua en
toda su extensión. Su valor en el origen
(y- intercepto) es 1 y nunca toca ni atraviesa
al eje de “x”. Es una función uno a uno.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)

18. .edecrecientesbyentonces1,b0Si
.crecienteesby1,bsiqueObserva
x
x


x
3y  x
5y 
x
3
1
y 






x
5
1
y 






Además, en cada una de ellas, el dominio es (-, ) y el alcance es (0, ).
El valor en el origen es 1 y no atraviesan al eje de x (el eje de x es una
asíntota horizontal). Sus gráficas son continuas y cóncavas hacia arriba.
Son funciones uno a uno.

19. .3g(x)y2f(x)degráficaslasComparemos xx

f(x)
g(x)
Vea que g(x) es una curva más
inclinada que la de f(x). A la
izquierda del eje de “y”, g(x)
queda debajo de f(x), mientras
que a la derecha de ese eje queda
sobre la gráfica de f.
b"."seagrandemásmientrasinclinada,másesgráficasu1,bsi,byPara x

x
2
x
3
x
4
x
5

20. .
3
1
g(x)y
2
1
f(x)degráficaslasComparemos
xx













Vea que g(x) es una curva más
inclinada que la de f(x). A la
izquierda del eje de “y”, f(x)
queda debajo de g(x), mientras
que a la derecha de ese eje queda
sobre la gráfica de g.
g(x)
f(x)
b"."seamayormientrasinclinada,másesgráficasu1,bsi,
b
1
yPara
x







x
2
1






x
3
1






x
4
1






x
10
1







21. 1b,by x

1b,
b
1
y
x







Dominio: (-,  ), Alcance: (0, ) Dominio: (-,  ), Alcance: (0,  )
Su gráfica:
• Es creciente y continua.
• Es cóncava hacia arriba.
• Mientras mayor sea “b”, mayor
inclinación tiene la curva.
• No tiene ceros. El eje de x es una
asíntota.
• Tiene valor inicial igual a 1.
Su gráfica:
• Es decreciente y continua.
• Es cóncava hacia arriba.
• Mientras mayor sea “b”, mayor
inclinación tiene la curva.
• No tiene ceros. El eje de x es una
asíntota.
• Tiene valor inicial igual a 1.
Es una función uno a uno. Es una función uno a uno.

22. x
bydegráficaslasdecionesTransforma 
.2y,2y,2ydegráficaslasVea 1x1-xx 

0
1
2
3
4
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
2y 1x
2y 
 1x
2y 


23. x
bydegráficaslasdecionesTransforma 
2-
2
1
y2,
2
1
y,
2
1
ydegráficaslasVea
xxx



















-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2
2
2
1
y
x







2
2
1
y
x






 x
2
1
y 







24. x
bydegráficaslasdecionesTransforma 
.2y,2-y,2ydegráficaslasVea x-xx

-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
x
2y 
x-
2y 
x
2-y 

25.  
 
parcial.horizontalreflejoby
.horizontalcompresiónodilataciónby
vertical.compresiónodilataciónbcy
.bydehorizontalreflejoby
.bydeverticalreflejob-y
.bydeverticaltraslacióncby
.bydehorizontaltraslaciónby
x
)x(c
x
x)x-(
xx
xx
xcx






 

26. 0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3
 x
3
4F(x) 
Podemos hallar la ecuación que corresponde a la gráfica de una función
exponencial cuyo valor inicial es 1, si es dado otro de sus puntos.
F(x) (3, 4)
(0, 1)
3
x
b4
:F(x)delugaren4yxen3
ssustituimotantoloporgráfica,laenestá
Fde4)(3,puntoEl.bF(x)esgráficala
paraecuaciónla1,esinicialvalorelComo


3 33
b4 
3
4b   x
3
4F(x) 

27. 2-
x
b3
:G(x)delugar
en3yxen2-ssustituimotantolopor
gráfica,laenestáGde3)(-2,puntoEl
.bG(x)esgráficalapara
ecuaciónla1,esinicialvalorelComo


Halla la ecuación que corresponde a la gráfica de la siguiente función
exponencial.
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3
(-2, 3)
(0, 1)
2
b
1
1
3

13b2

3
1
3
3b2

3
1
b2

2
x
3
1
G(x) 






2
x
3
1
G(x) 






3
1
b2

3
1
b 
2
1
3
1
b 






G(x)

28.  
 
(0.95)y6)
2y5)
2y4)
y3)
y2)
3y1)
gráfica.sudeaproximadaformala
contienequecolumnalaenfuncionessiguienteslasdeunacadaColocaI.
lesExponenciaGráficas:PrácticadeEjercicios
x-
x-3
3x
x
2
5
x
4
3
x-







Columna 1 Columna 2
 Para ver Partes II y III

29.  
(0.95)y16)
(0.1)y15)
(0.9)y14)
y13)
(0.5)y12)
).[0,intervaloelengráficasuconfuncióncadaPareaIII
5y11)
(1.5)y10)
10y9)
3y8)
2y7)
).[0,intervaloelengráficasuconfuncióncadaPareaII.
x
x
x
x
4
3
x
x
x
x
x
x












a)
b)
c)d)e)
a)
b)
c)
d)
e)
 Para ver Partes IV y V

30. IV. Completa la tabla.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Función Dominio Alcance ¿Creciente o decreciente?
x
3f(x)17) 
x
(3)-f(x)18) 
x
3
1 )(f(x)19) 
x
3
1 )(-f(x)20) 
 2y29)
)(y28)
4y27)
(2)y26)
2(2)y25)
2y24)
12y23)
1-2y22)
(2)-y21)
ada).(entrecort2ydegráficalatambién
aparececoordenadosistemacadaEngráfica.suconfuncióncadaPareaV.
x
x
2
1
x
x
2
1
x
x
x
x
x
x










 Para
ver
Partes
VI y VII

31. x-1x
x
2f(x)31)2-4f(x)30)
dada.ffunciónladelay2g(x)degráficalaDibujaVI.


VII. Halla la ecuación que corresponde a la gráfica de la función exponencial
dada en cada ejercicio.
32) 33)
(-1, 5)
1 1
 3
2
2
-1
,
 Ver Clave

32. Ecuaciones Exponenciales
(Reducibles a Bases Iguales)

33. Las ecuaciones exponenciales son las que tienen su
variable en un exponente. En esta presentación vamos
a resolver solamente las que tienen las mismas bases, o
que podemos expresarlas de esa forma.
Las siguientes ecuaciones son exponenciales con bases
iguales:
2xx-1
32x1-3x
3
1
3
1
22












 
¿Cómo resolvemos ese tipo de ecuación?

34. original.lexponenciaecuaciónladesolución
lavezlaaesquesolución,lahallarasí
paravariablesudespejamoscuallaenecuación
otraesigualdadEsa.exponenteslosigualando
esiguales,sonbasessuscuandoles,exponencia
ecuacioneslasresolverdemaneralaquedecir
Quierem.nentonces,bbsitanto,lo
Poruno.aunosonlesexponenciafuncionesLas
mn

2xx-1
32x1-3x
3
1
3
1
2)
221)












 
32x1-3x 
312x-3x 
Solución: x = 4
2xx-1 
x2x1 
3x1 
Solución: x = ⅓

35. .anterioresejemploslosencomo
resolveryexponenteslosigualarluegoPodemos
común.baseunaconexpresadasserpuedenbases
esasembargo,Sinbase.mismalacontérminos
contienennolesexponenciaecuacionessiguientesLas
4
1
8
1
2)
5251)
x
x2-x






 Las bases no son iguales. La base
común es 5, ya que 25 = 5².
  x2x2
55 

  x42x
55 

2x – 4 = x  x = 4
  2-x3-
22    -2x3
22 

2-x3- 
-3 -3 9
4
x 
Las bases no son iguales. La base
común es 2: 2-3-
2
4
1
y2
8
1


36. En algunas ecuaciones exponenciales hay que hacer algunas
transformaciones algebraicas antes de obtener bases iguales
para igualar los exponentes.
42ó82 xx

    0.32212-2Resuelve:Ejemplo x2x

La ecuación, aunque es exponencial, tiene un modelo
cuadrático: u² - 12u + 32 = 0, .2udonde x

(u – 8)(u – 4) = 0
u = 8 ó u = 4
u.delugaren2escribimos,2uComo xx

2x3x
22ó22 
x = 3 ó x = 2

37. -2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2
       
 
 
    .bbbbSimplifica14)
ejes.loscon9-3f(x)degráficaladeonesinterseccilasHalla13)
.g(x)y9f(x)degráficaslasdealguno,sión,interseccidepuntoslosHalla12)
025)26(5-)(511)
1-210)36(3)29)12558)397)64(4x)6)
95)4)663)282)2791)
Resuelve.I.
IgualesBasesaReducidaslesExponenciaEcuaciones:PrácticadeEjercicios
2x-x2x-x
2x
4-x
3
1x-3
x2x
12-x
3
1xxx2xxx2x
3
x2x
8
1x
2
1
x
x5-x2xx3x
22
3
2
3
2









II. Contesta de acuerdo a la gráfica dada en cada ejercicio.
15) Halla la ecuación de la recta. 16) ¿Cuál es el área de los tres rectángulos?
-1 2
x
3f(x) 
-x
3f(x) 
 Ver Clave

38. La Función Exponencial General

39. Si una función es exponencial y la diferencia de dos valores
consecutivos de “x” es constante, entonces la razón de los
valores correspondientes de “y” también es constante.
x y
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Diferencia
constante
de 1
½  ¼ = 2
1  ½ = 2
2  1 = 2
4  2 = 2
8  4 = 2 b"."baseladeexponente
elennteindependievariable
laesx1;aigualnopositiva
constanteunaesb""quelaen
,bf(x)esbásicomodeloSu
.lexponenciafuncióndenombre
elrecibeticacaracterísesa
tengaquefunciónToda
x


40. Factor de
crecimiento
= 2
A esa razón de cambio constante en los valores de “y”,
cuando la diferencia de cada dos valores consecutivos de “x”
es 1, le llamaremos “factor de crecimiento” de la función
exponencial. Al valor de “y” cuando x = 0 le llamaremos
“valor inicial” de la función exponencial.
x
2y x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Diferencia
constante
de 1
½  ¼ = 2
1  ½ = 2
2  1 = 2
4  2 = 2
8  4 = 2
Valor inicial = 1
1.esinicialvalorelyb""es
ocrecimientdefactorel,by
lexponenciafuncióntodaPara
x

Expo. Valor
inicial
Factor
crec.
x
(1.4)y  1 1.4
x
(2/5)y  1 2/5

41. .ocrecimientdefactor
elb""yinicialvalorelesa""donde,abyes
y)(x,variablessusentrelexponenciarelacióndicha
describirparautilizamosquematemáticomodeloEl
1.dediferenteinicialvaloruntienen
l,exponenciaesvariablessusdeocrecimient
elcualeslosennaturales,fenómenosMuchos
x

Valor inicial
(a  0)
Factor de crecimiento
(b > 0, b  1)
x
a(b)y 

42. 0
1
2
3
4
5
6
-1 -0.5 0 0.5 1
Completa la siguiente tabla:
Función exponencial general Valor
inicial
Factor de
crecimiento
x
5(4)f(x)  5 4
x
2
1
1.8g(x) 





 1.8 ½
2
6  2 = 3
3
3  6 = ½
x y
0 2
1 6
x y
-1 6
0 3
0
1
2
3
4
5
6
-1 -0.5 0 0.5 1

43. 0
2
4
6
8
10
12
-2 -1 0 1 2
.3(2)f(x)degráficalaDibuja x

x f(x)
-2 ¾
-1 3/2
0 3
1 6
2 12
2
4
3
2
3 
2
2
33 
236 
2612 
Factor de crecimiento
constante b = 2.
Valor
inicial
f(x)
inicial.valorsues
diferenciaLa.bydelaasimilares
a(b)ydegráficalaqueObserva
x
x



44. 0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2
x
2
1
1.5g(x) 






x g(x)
-2 6
-1 3
0 1.5
1 .75
2 .375
36 = ½
1.5 3= ½
.75 1.5= ½
.375 .75= ½
Factor de crecimiento
constante b = ½
Valor
inicial
g(x)
Como b = ½ , la gráfica de g es
decreciente. Su valor inicial es 1.5.
Si la relación entre dos variables
es exponencial, pero sus valores
provienen de una situación real,
es posible que los puntos
correspondientes en su gráfica no
estén exactamente todos en la
misma curva. Veamos el siguiente
ejemplo.
Dibuja la gráfica de

45. En siguiente tabla aparece el costo de los sellos de correo en distintos años.
Año
(t)
Costo
(c)
1958 3 ¢
1963 4 ¢
1968 5 ¢
1972 6 ¢
1975 8 ¢
1976 9 ¢
1978 10 ¢
1982 12 ¢
1985 14 ¢
1988 15 ¢
1991 19 ¢
Usando una computadora o una calculadora gráfica podemos hallar la
curva que mejor se ajusta a la tendencia exponencial de los puntos.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1958 1961 1964 1967 1970 1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991
costo(centavos)
años
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1958 1961 1964 1967 1970 1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991
costo(centavos)
años

46. Halla la ecuación que corresponde a los siguientes valores:
x f(x)
0 0.2
1 0.6
2 1.8
3 5.4
4 16.2
5 48.6
0.60.2 = 3
1.8 0.6= 3
5.4 1.8= 3
16.2 5.4=3
48.6 16.2=3
Factor de crecimiento
constante  b = 3.
Valor
inicial
 x
30.2f(x)esecuaciónLa 
En este ejemplo fue posible
hallar “b” porque los valores
de “x” son enteros
consecutivos.
En los siguientes ejemplos
vamos a conseguir la
ecuación de una función
exponencial en la que se dan
solamente dos puntos. La
diferencia de sus abscisas no
es necesariamente 1.

47. (0, 4)
(2, 9)
f(x)
El valor inicial es a = 4.
f(x).delugaren9yxen2
,a(b)f(x)en4asustituiravamosb""hallarPara x

2
4(b)9 
4
4(b)
4
9 2

2
b
4
9

2
b
4
9

b = 3/2
.
2
3
4f(x)
esgráficalaparaecuaciónLa
x







Halla la ecuación para f(x).

48. (-1, 4)
(1, 1) g(x)
1-
1
x
a(b)4
a(b)1
.ecuacionesdosdesistemaunentoncesformaSe
.a(b)g(x)endadopuntocadassustituimo
inicial,valoreldadoesnodondecaso,esteEn



Halla la ecuación para g(x).

49. .a(b)4
enoa(b)1en
2
1
bEscribimos
-1
1



-1
1
a(b)4
a(b)1


-1
a(b)4 
b
a
4 
b
a
1
4

a4b 
ecuación.otra
ladea""en
4bsSustituimo
1
(4b)(b)1 
2
4b1 
4
4b
4
1 2

2
b
4
1

2
b
4
1

b
2
1

1
2
1
a1 






(2)
2
1
a(2)(1) 






a = 2
x
2
1
2g(x)esgráfica
laparaecuaciónLa







(Continuación)

50. En el último ejemplo hallamos la ecuación de una función
exponencial de la cual sabíamos los valores de “x” y “y” de dos
de sus puntos. Mediante el mismo proceso, podemos demostrar
el siguiente método para hallar esa ecuación, si son dados dos
puntos de cualquier función exponencial (y las “x” de esos
puntos son números enteros).
.p-q
r
t
bentoncesq,pyenterosnúmeros
sonq""yp""donde,a(b)f(x)lexponenciafunción
laapertenecenquepuntosdossont)(q,yr)(p,Si
x


En otras palabras, la base “b” de una función expo es un
radical cuyo índice lo consigues restando dos valores enteros de
“x”, y el radicando es la división de los valores
correspondientes de “y”.

51. (-1, 4)
(1, 1)
F(x)
.
2
1
4
1
4
1
bquedecirQuiere
.)b(aF(x)esgráficaesaparalexponenciamodeloEl
(-1)-1
x


a"."hallarparaconocidopuntocualquierdey""deyx""
devaloreslossSustituimo.
2
1
aF(x)tanto,loPor
x







.
2
1
2F(x)esecuaciónLa2.aobtenemosa""
despejarAl.
2
1
a1:entonces1),(1,escogemosSi
x
1














x F(x)
p r
q t
pq
x
r
t
b
a(b)F(x)Si



Halla la ecuación
para F(x).

52. El tiempo de duplicación de una variedad de mosca es de
2.5 días. Si empezamos con 10 moscas machos y 10
hembras, ¿cuántas moscas se espera que habrá en un
mes?
días.entiempoelrepresentax""donde,20byesocrecimientesedescribeque
modeloelmoscas,20conempezamosylexponenciaesy""ocrecimientelComo
x

El tiempo de duplicación es 2.5 días. Quiere decir que en ese momento hay 40
moscas, y la ecuación se transforma en:
2
5
2.5
20b4020b40 
Despejamos “b”:
2
5
b2 
20 20
5
2
2
5
5
2
b(2) 



 5
2
(2)b 
La ecuación que describe ese crecimiento es:
5
2x
20(2)y 
Para saber cuántas moscas hay en un mes,
sustituimos 30 en “x”:
moscas81,92020(2)20(2)y 5
2(30)
 12

53. Suponga que la vida media de un insecticida es de 10
años, y que un agricultor utiliza 50 libras, ¿cuánto
insecticida quedará aún activo a los 25 años?
os.naentiempoelrepresentax""
donde,50byesodecaimientesedescribequemodeloel
libras,50conempezamosylmenteexponenciadecreceosna
xdedespuésquedanqueainsecticiddey""libraslasComo
x
~
~

Su media vida es 10 años. Quiere decir que en ese
momento va a quedar 25 libras, y la ecuación se
transforma en:
10
50b25 
Despejamos “b”:
50 50
10
b
2
1

10 1010 b
2
1

10
1
2
1
b 






La ecuación que describe ese decrecimiento es:
10
x
2
1
50y 






Para saber cuántas libras quedarán dentro de
25 años, sustituimos 25 en “x”:
libras8.8
2
1
50y
10
25








54. Suponga que depositamos $3,000 en una
cuenta al 12% de interés compuesto
mensualmente. ¿Cuánto dinero habrá en la
cuenta al cabo de un año? ¿En 5½ años?
interés.ganacuentalaqueenos)na(entiempoeltyinteréselcalcula
sequeonaalvecesdecantidadndecimal),forma(eninterésdetasar
),(principaldepositasequedinerodecantidadPacumulado,dineroAdonde
,
n
r
1PA:escompuestointeréscalcularparafórmulalaqueRecuerda
tn
~
~








P =
r =
n =
t =
A =
3,000
0.12
12
1
lo que nos piden
 
$3,380.48
12
.12
13,000A
n
r
1PA
12tn













1
El dinero acumulado A a los t = 5½ años será:
$5,785.38
12
.12
13,000A
n
r
1PA
(5.5)12tn














55. Un matrimonio acaba de tener un bebé. ¿Cuánto
tendrán que depositar ahora al 9% de interés
compuesto diariamente, para tener dentro de 18
años $60,000 para la educación de ese hijo?
intereses.ganandoestaravacuentalaqueos)na(enen
tiempoeltyinteréselcalculasequeonaalvecesde
cantidadndecimal),forma(eninterésdetasardeposita,
sequedinerodecantidadPacumulado,dineroA
.
n
r
1PA:escompuestointerésparaFórmula
tn
~
~ 







A =
r =
n =
t =
P =
60,000
0.09
365
18
lo que nos piden
(18)365tn
365
.09
1P60,000
n
r
1PA 












P
1
60,000
(18)365
365
.09

 )(
Despejamos P:
 $11,876

56. 
North Bank South Bank

1 + 3 = 4
$ $
Si depositas en un banco $5,000 al 9% de interés compuesto diariamente, y en
otro banco depositas $5,000 al 9.5% de interés compuesto semestralmente, ¿en
cuál de las dos cuentas ganas más al cabo de 6 meses?
Depósitos al 9% de interés Depósitos al 9.5% de interés
computados diariamente. computados semestralmente.
tn
n
r
1PA 






P =
r =
n =
t =
A =
5,000
0.09
365
1/2
lo que nos piden
P =
r =
n =
t =
A =
5,000
0.095
2
1/2
lo que nos piden
$5,230.11
365
.09
15,000A
2
1
365














$5,460.13
2
.095
15,000A
2
1
4














La cuenta del 9.5% computada semestralmente paga más en los primeros 6 meses.

57. 3) 4) 5)
6) 7)
gráfica.cadaaecorrespondqueabf(x)lexponenciafunciónlaHallaII.
0.548810.670320.8187311.2214f(x)
64202-x
2)
15.187510.1256.754.532f(x)
543210x
1)
tabla.cadade
valoreslosaecorrespondqueabf(x)lexponenciafunciónlaHallaI.
GenerallExponenciaFunciónLa:PrácticadeEjercicios
x
x


3
3
(2, 12)
(1, 2)(-1, 8)
(1, 10)
(1, 6)
(2, 18)
(2, 1)
 5
2
1,-
 Para ver Parte III

58. III. Si un artículo costaba $50 en 1,990 y en el 2,010 costaba $100, y “t” es el
número de años después de 1,990, contesta:
8) Si el precio aumenta linealmente, consigue la función del precio P(t) en
términos del tiempo “t”. Luego completa la columna (a) de la tabla (11) abajo.
9) Si el precio aumenta exponencialmente, halla la función del precio P(t) según
pasa el tiempo. Completa la columna (b) de la tabla (11).
10) Dibuja las gráficas de las funciones de los ejercicios 8 y 9 en el mismo plano.
40
30
10010020
10
50500
lmenteexponenciaaumenta
cuandoartículodelPrecio(b)
elinealmentaumenta
cuandoartículodelPrecio(a)
osna
t
11)
~
 Para ver Parte IV

59. IV. Resuelve.
12) Suponga que un chisme se propaga exponencialmente, donde la cantidad de
personas enteradas P(t) es función del tiempo “t” en horas. Si el chisme
comienza con 5,000 personas, y al cabo de 10 horas se han enterado 5,120,000
personas, halla la función exponencial que sirve de modelo para ésta situación.
13) Estima el número de personas que se enteran de ese chisme en 20 horas.
14) Suponga que Yuya sin Cabulla pesó 150 libras al cumplir 20 años, y 170 al
cumplir 25 años.
a) Halla su peso cuando cumpla 50 años, suponiendo que su peso se
mantiene aumentando linealmente al mismo ritmo.
b) Si su peso siempre aumentó exponencialmente, ¿cuánto pesará
cuando cumpla 50 años?
15) Suponga que la población del barrio Cristobal Colón de Cataño era 860
personas en el 1990 y aumentó exponencialmente a 960 en el 2000. ¿Cuál fue la
población en el 1997?
 Ver Clave

60. La Función Exponencial Natural

61. k
k
1
1paravalorescalculamostablasiguientelaEn 






k
1
10
100
1,000
10,000
100,000
1,000,000
10,000,000
100,000,000
k
k
1
1devalor 






21/1)(1 1

2.593742461/10)(1 10

92.704813821/100)(1 100

22.716923931/1000)(1 1000

72.718145921/10000)(1 10000

72.718268231/100000)(1 100000

92.718280461/1000000)(1 1000000

32.71828169)1/10000000(1 10000000

2.718281820)1/10000000(1 100000000

s.matemáticayciencias
,ingenieríadeesaplicacionenaimportancigrandeEse"."llamamosle
irracionalnúmeroeseA...2.71828183
k
1
1,ksiqueVea
k







...2.71828183e 

62. Podemos aplicar las leyes de exponentes al número “e”.
e2
ec)eb)3ea):hallarparaacalculadorunaUtiliza
15.15ec)7.39eb)8.153ea) e2

    







8
e
5)ee4)e3)
e3e-
ee
2)eee1)
3
1
3
3
324-
2-
-14
35-
e
1
ee1) -1135-

3
e
-
3e-
e
3ee-
ee
2)
4
2
624
 8-4(-2)
ee3)    433
33
eeeee4) 
 
2
e
8
e
5)
3
1
3
1
3

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
0exe-xe2)ee1) -xx2x3-x2

2x3-x1) 2

menor).exponente
eltienenque(losxe
escomúnfactorel
repiten,seeyx
factoreslosComo
x-
03-2x-x2

01)3)(x(x 
1-xó3x 
0e)-(exe 2x-x

0e-eó0xe 2x-x

eeó0x 2x

12xó0x 
2
1
xó0x 

63. 0
1
2
3
4
ellas.deunacadaIdentifica.eydelay
3y,2ydegráficaslasaparecencoordenadoplanosiguienteelEn
.naturallexponenciafunciónlacomoconocidoesa(e)f(x)modeloEl
x
xx
x



x
2y 
x
3y 
x
ey 
les.exponenciafuncionesdemáslasdeticascaracterís
yspropiedadelastodasTiene.3ydelay2y
delaentreestáeydegráficala3,e2Como
xx
x



64. 2.-ey2,ey,eydegráficaslasVea xxx

x
ey 
2ey x

2ey x

-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2

65. x
ey  x-
ey 
)(e-y x

.ey,e-y,eydegráficaslasVea x-xx

-6
-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2

66. )(e2y x

x
ey 
 x2
ey 
Como ves, las transformaciones de la función exponencial
natural son similares a las transformaciones
correspondientes de cualquier otra función.
.ey,2ey,eydegráficaslasVea x2xx

0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2

67. continuo.
lexponenciaocrecimientcalcularparautilizaseP(e)AfórmulalaqueesoporEs
tiempo.eltodosea,oo,n~aalvecesninteresescalculamosquedecirQuiere
r.seaqueon~pequeloimportano,nentonces,kcuandokr,nComo
.P(e)Aenmatransforsecompuestointeréscalcularparafórmulalatanto,loPor
e.
k
1
1,kSi.
k
1
1P
kr
r
1P
n
r
1PA
:manerasiguientela
dermatranasfosecompuestointeréscalcularparafórmulalaentonceskr,nSi
interés.ganacuentalaqueenos)n~a(entiempoely t
~decimal),forma(eninterésdetasar
),(principaldepositasequedinerodecantidadPacumulado,dineroAdonde
,
n
r
1PA:escompuestointeréscalcularparafórmulalaqueRecuerda
rt
rt
kr tkkrttn
tn











































interéselcalcula
sequeonaalvecesdecantidadn

68. Si la población crece continuamente a una tasa anual del 1.7%,
¿cuál será la población dentro de 5 años, si en la actualidad es
aproximadamente 6 mil millones?
.PeAes
plazocortoaspoblacionedecontinuoocrecimientdemodeloEl
tr

En este ejemplo:
P =
r =
t =
A =
6 (mil millones)
0.017
5
La población dentro
de 5 años
personasdemillonesmil6.53
6ePeA (5).017tr



69. Si para el 2,000 había aproximadamente 8 millones de casos de
SIDA desde el comienzo de la epidemia y la enfermedad se
expande continuamente a una tasa de 16%, halla el número
total de casos de SIDA que se presentarán para el año 2,020.
os.na20pasadohan2,020elhasta2,000desdeporque20,ty0.16r
millones,8Pcaso,esteEn.PeAescontinuoocrecimientdemodeloEl tr
~

2,020.elenSIDAdecasosdemillones196
e8A )20(.16



70. P = P = P =
r = r = r =
n = n = n =
t = t = t =
A = A = A =
1,200
.079
4
3
?
1,200
.078
Continuo
3
?
Un periódico nacional publicó los
intereses que pagan tres bancos
principales del país a 3 años:
Banco del Pueblo: 7.8% (CC)
Banco del Ahorro: 7.9% (CQ)
Banco Unido: 7.85% (CD),
donde CC representa el interés compuesto continuamente, CQ el interés
compuesto trimestral y CD el interés compuesto a diario. Calcula el valor de
$1,200 invertidos en cada cuenta al completar 3 años.
Banco del Pueblo Banco del Ahorro Banco Unido
tr
PeA 
1,517.42$
4
.079
11,200A
(3)4








1,200
.0785
365
3
?
tn
n
r
1PA 






1,516.37$
1,200eA (3).078


1,518.61$
365
.0785
11,200A
(3)365








tn
n
r
1PA 







71. Te ofrecen un pagaré de $ 50,000 que vence dentro de 5 años.
¿Cuánto tienes que pagar por él si éste gana 6% de interés
compuesto continuamente?
.
~
tr
eAfórmulaladedespejarqueTenemos6%.r
decontinuoycompuestointerésunconosna5tdecabo
al50,000$obteneravasequedelprincipalelpidenNos
PP
P


tr
tr
tr
e
e
e
A P

e
A
tr
P 
Sustituimos A = 30 000, r = .009 y t = 10, para hallar P :
37,041$
e
50,000
(5).06
P
Al cabo de 5 años, $ 37,041 se convierten en $ 50,000
de acuerdo a las condiciones de dicho pagaré.

72. Suponga que la intensidad de la luz I con respecto a
la profundidad “d” en pies, para el Mar Caribe se
puede aproximar por
donde I0 es la intensidad de la luz en la superficie.
¿Qué por ciento de la luz de la superficie es visible
a una profundidad de 40 pies?
,)d(-.01
0 eII 
.paradadaecuaciónlausando
dprofundidadepies40aintensidadlahallar
quehayantesPeropiden.nosquecientoporel
calculamos
100
x
proporciónlaUtilizando
0
I
I
I
I

.
100
xe
entransformase
100
x
entonces,eComo
0
(40)-.01
0
0
(d).01-
0 
I
I
I
I
II
.superficieladeluzlade67%(100)ex (40)-.01


73. 1/ef))(e12)
1/ee)/ee11)
1/ed))(ee10)
ec))(e9)
eb)/ee8)
ea))(ee7)
Parea.II.
3y6)
3y5)
2y4)
2y3)
ey2)
ey1)
gráfica.suconfuncióncadaPareaI.
NaturallExponenciaFunciónLa:PrácticadeEjercicios
3-2-
53-2-
63-2-
63-2
53-2
3-2
x-
x
x-
x
x-
x






-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2
a)
b) c) d) e)
f )
 Para ver Parte III, IV, V y VI

74.  
 
   
e-y33)
2-ey32)
2ey31)
ey30)
ey29)
ey28)
.)eydelaesdaentrecortagráfica(Lagráfica.suconfuncióncadaPareaVI.
f)(0)o(g27))g)(/(f26)g)(x)/(f25)(f.g)(x)24)g(-1)23)f(0)22)
:halla,eg(x)yef(x)SiV.
2221)
e
1
e20)eee19)
Resuelve.IV.
e
e
18)
2
2
17)
2
2
16)515)214)(e)e13)
.SimplificaIII.
x
x
x
2)-(x
2)(x
x-
x
2
1
x-x
2eex13xx3-2x
π-5
π5
2e
e1
5-e
3-e
3 3ee3-3 e
1












-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
a) b) c )
d) e) f )
 Para ver Parte VII

75.       
  
   2x-x2x-x
x-xx-x
4x
2x-x2x-xx-xx-x
xx2
x-x-
1-2x3x
3x
10
x
eeee
eeee
:Simplifica39)
3e
eeeeeeee
:Simplifica38)
.3xe-exg(x)deceroslosHalla37)
.e-xef(x)deceroslosHalla36)
.ey,eydegráficaslasdeóninterseccidepuntoelHalla35)
.
e
e
eecuaciónlaResuelve34)
ejercicio.cadaenpidesequeloHallaVII.
2








 Ver Clave
40) Si se invierten $4,000 en una cuenta que paga el 11% de interés compuesto
continuamente, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 10 años?

76.  
   
 
 
hgráficad)ggráficac)fgráficab)egráficaa):esIcoordenado
sistemaelen3ydeóncontinuaciesqueIIcoordenadosistemadelfunciónLa10)
dgráficad)cgráficac)bgráficab)
agráficaa):es3ydegráficaLa0].[-2,intervaloelen
5y,3y,(2.3)y,(0.2)yfuncioneslasacontieneIcoordenadosistemaEl9)
creciente.esfdegráficaLad)1.esintercepto-yElc)).(0,esalcanceElb)
).,(-esfdedominioEla)?falsaessiguienteslasdecuál,f(x)Si8)
ón.contestacimejorlaEscogeII.
xf(x)h)4xf(x)d)xf(x)__4)
f(x)g)4xf(x)c)2)(xf(x)__7)4f(x)__3)
2f(x)f)2f(x)b)(2x)f(x)__6)22f(x)__2)
44xxf(x)e)2f(x)a)42f(x)__5)2f(x)__1)
e.equivalentformasuconfuncióncadaPareaI.
RepasodeEjercicios
x
x
xxxx
x
3
2
42
x
2
122x
x2x2x
23xxxx-
4
1
2
1










0
1
2
-2 -1 0
0
1
2
0 1 2
I II
a)
b)  c)
d)
h)
g)
 f )e)
 Para ver continuación
de Parte II

77.  
 
 
 
 
 
 
gráficas.susdeonesintersecciLasd)gdeintercepto-yc)
g.deCerosb)fdecerosLosa):hallax,eeg(x)yxeef(x)Si21)
g.yfdegráficaslasdeóninterseccidepuntoElc)
g.deCerosb)fdeintercepto-ya):halla,22g(x)y5
2
5
f(x)Si20)
e19)8218)
Resuelve.IV.
y17)
y16)
-y15)
2-y14)
y13)
gráfica.suconfuncióncadaPareaobscura).línea(encionestransformasus
deunadelayydegráficalaaparececoordenadoplanocadaEnIII.
9d)3c)2b)1a):xes93desoluciónLa12)
baseslasigualard)exponenteslosigualarc)exponenteslossumarb)
ceroaigualara):es1255resolverparapasoprimerEl11)
212x2x
x-x
x
x
e
1x3-x
x
3
1
x-
3
1
x
3
1
x
3
1
2-x
3
1
x
3
1
x2x
6x
2














a) b) c) d)
e)
 Para ver Parte V

78. V. Halla la función exponencial que corresponde a cada gráfica.
22) 23) 24)
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2
(-2, 0.16)
(-1, 8)
( ½ , 1) 2
e
1
2,
F(x) G(x) H(x)
 Ver Clave