S

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Son aquellas igualdades que relacionan funciones
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se
verifican para todo admisible, clasificándose de la
siguiente manera:
1.-IDENTIDADES RECIPROCAS
 Sen  . Cosec  = 1   R - n
 Cos  . Sec  = 1 R–(2n+1)
 Tan  . Cotan = 1   R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION
 Tan  = Sen  / Cos  R–(2n+1)/2
 Cotan  = Cos / Sen  R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS
 Sen2
 + Cos2
 = 1 R
 1 + Tan2
 = Sec2
 R–(2n+1)/2
 1 + Ctg2
 = Csc2
 R– n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
(1  senx  cosx)2
=2 (1  senx)(1  cosx)
Si: asenx +bcosx = C
22
bac 
Entonces:
c
b
x
c
a
senx  cos
 Si:
n
tgxxntgxx
1
secsec 
 Si:
m
ctgxxmctgxx
1
csccsc 

x
senx
senx
x
senx
x
x
senx
cos
1
1
cos
;
cos1
cos1






 (senx  cosx)2
= 1  2senx.cosx
RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
 Sen 2
2x + cos 2
2x = 1
 1+ tg 2
x/2 = sec 2
x/2
 Sen 5x . csc 5x = 1

x
xsen
xtg
10cos
10
10 
5. TIPOS
A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
ejercicios, estas son:
 Escoger el miembro más complicado de la
identidad.
 Colocar el miembro escogido en términos
de senos y cosenos.
Semana Nº 7

2. Lic. Rodolfo CarrilloVelásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
 Hacer uso de identidades algebraicas,
según sea el caso.
 Cuando haya potencias puede ser útiles
hacer factorizaciones
 De las identidades fundamentales se
podrán deducir otras.
Los ejercicios sobre IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
 Demostraciones
 Simplificaciones
 Condicionales
 Eliminación del ángulo
PROBLEMAS Resueltos
1. Simplifique:
  
 
cov x vers x cov x
E
vers x cov x
  

 
1 1
1
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x
D)2-cov x E) 2 + cov x
  
 
cov x versx cov x
E
versx cov x
  

 
1 1
1
     
   
senx cosx senx
E
cosx senx
           
   
1 1 1 1 1
1 1 1
 senx senx cosx senx cosx
E
cosx senx senx cosx
     
         
1 1
1 1
 senx cosx sen x
E
senxcosx
  
 
2 2
1
2
    cos x cos x cos x
E
cos x
   

2
1 1 1
2
  cosx cosx cosx
E
cosx
   

1 1 1
2
E cos x 1
E versx  1 1
E versx 2
2. Simplifique:
cos x
k
senx cos x

 
 
2 2
1
1
A) cos x
senx1
B) senx
cos x
1 C) 1- sen x
D) 1 + sen x E) cos x
senx1
cos x
K
senx cos x

 
 
2 2
1
1
senx cos x cos x
K
senx cos x
   

 
1 2 2
1
 
 
 
 
senx cosx senx cosx
K
senx cosx senx cosx
   

   
1 1
1 1
 senx cos x
K
senxcosx
 

2 2
1
2
    senx senx senx
K
senxcosx
   

2
1 1 1
2
  senx senx senx
K
senxcosx
   

1 1 1
2
  senx senx senx
K k
senxcosx cosx
 
  
1 2 1
2
3. Eliminar “x” si:
sec x atgx 2
2
csc x ctgx 2
2
A) a b2
B)a b 2 2
0
C) a b  0
D)a b  0 E) a b 2
 sec x atgx tg x    2 2
2 2 1
 atgx tg x atgx  2
1 ………(*)
 csc x bctgx ctg x    2 2
2 2 1
 b ctgx ctg x b ctgx  2
1
tg x b
tg x tgx


2
2
1
tg x b tgx 2
1 …………….…(*)(*)
(*) + (*) (*)
(a b)tgx a b    0 0
4. Si: Btg x sen x
A tg x
ctg x cos x



2 2
2 2
Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
 
 
sen x
sen x
sen x sec xcos x
cos x cos x csc x
cos x
sen x





2
2
2 22
2 2 2
2
2
1
1
 sen x tg x tg x tg x
tg x
cos x ctg x
tg x
     
   
g
2 2 2 2
6
2 2
2
1 1
11 1

3. Lic. Rodolfo CarrilloVelásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
 B
tg x A tg x6
1 A = 1; B = 6 A + B =7
PROBLEMAS DECLASE
1) Simplifique la siguiente expresión.
𝑐𝑠𝑐4
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡4
𝑥 + 1
cot2
x + cotx + 1
+ 2𝑐𝑜𝑡𝑥
A) 2𝑐𝑠𝑐2
𝑥 B) 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 C) 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥
D) 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 E) 2𝑡𝑎𝑛2
𝑥
2) Calcule elvalor de M para que la expresión
𝑀 = 𝑛(𝑐𝑠𝑐4
𝜃 + 𝑐𝑠𝑐2
𝜃) + 𝑐𝑜𝑡4
𝜃 + 3𝑐𝑜𝑡2
𝜃 sea
independiente de 𝜃.
A) – 4 B) – 2 C) 2 D) –1 E) 1
3) Si 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑏𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑎𝑏(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥),
calcule
𝑎
𝑏
𝑇𝑔2
𝑥
A)
𝑎−1
𝑏−1
B)
𝑏−1
1−𝑎
C)
𝑎−1
1−𝑏
D)
𝑏+1
1−𝑎
)
𝑎+1
1−𝑏
4) Si AOB es un sector circular. Determine la
longitud aproximada delarco AB.
(Considere 𝜋 =
22
7
).
A)
407
45
𝑢 B)
407
90
𝑢 C)
307
45
𝑢 D)
740
45
𝑢 E)
370
43
𝑢
5) Si 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑠𝑐2
𝜃 = 7, calcule
𝑠𝑒𝑛2
𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 3 √5.
A) 6 B) 1 C) 3 D) 5 E) 2
6) Calcule elvalor de la siguiente expresión
√𝑠𝑒𝑛4
𝑥 + 4 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + √𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛2
𝑥
A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) 3
7) Si 𝑡𝑎𝑛14
𝑥 = 15𝑐𝑜𝑡2
𝑥 + 14, calcule
( 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥) ( 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4
𝑥)( 𝑐𝑜𝑠8
+ 𝑠𝑒𝑛8
𝑥)
𝑐𝑜𝑠14
𝑥
A) –16 B) 14 C) –14 D) 12 E) –12
8) Si 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑦 𝑠𝑒𝑛∅ = 𝑐𝑜𝑡𝑥, calcule
𝑡𝑎𝑛2
𝑥
𝐶𝑠𝑐4
∅
−
𝑐𝑠𝑐2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝜃
A) – 2 B) 2 C) – 3 D) 1 E) – 4
9) Si 𝜃 ∈ 𝐼𝐶, tal que √
1+𝐶𝑜𝑠𝜃
1−𝑆𝑒𝑛𝜃
− √
1+𝐶𝑜𝑠𝜃
1+𝑆𝑒𝑛𝜃
= 𝑘
halle 𝑡𝑎𝑛𝜃 en términos de k.
A)
√2𝑘
2
B)−
√2𝑘
2
C) k+1 D) √2k +1 E) √2k −1
10)Si 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 1– 𝑐𝑜𝑠𝜃, calcule
1+𝑆𝑒𝑛𝜃−𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑆𝑒𝑛2 𝜃
A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) – 2
11)Si 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃+ 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎, calcule
𝑎𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃.
A) – b B) b/2 C) – a D) a E) – 2b
12)Si 𝑎 𝑠𝑒𝑐4
𝜃 + 𝑏𝑡𝑎𝑛4
𝜃 =
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
y a ≠ b.
Calcule 𝑆𝑒𝑛2
𝜃.
A) –
𝑏
𝑎
B)
𝑎
𝑏
C) −
2𝑎
𝑏
D)
2𝑏
𝑎
E) –
𝑎
𝑏
13)Si
1+𝐶𝑜𝑠𝜃
1−𝑆𝑒𝑛𝜃
= 𝑛, 𝜃 ∈ 𝐼𝐶. Calcule 𝑠𝑒𝑐𝜃 – 𝑡𝑎𝑛𝜃.
A)
1
2√ 𝑛+1
B)
1
√2𝑛−1
C)
1
2√ 𝑛−1
D)
1
√2𝑛+1
E)
1
√ 𝑛−1
14)Si 𝑓( 𝑠𝑒𝑛𝜃 + cos 𝜃) =
𝑠𝑒𝑛5 𝜃−𝑐𝑜𝑠5 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃−cos 𝜃
+ 𝑇𝑔𝜃 + 𝐶𝑡𝑔𝜃 ,
calcule 𝑓 (√2
4
).
A)
12√2+7
3
B)
12√2+5
3
C)
12√2+7
4
D)
12√2+3
4
E)
12√2+6
5
15)A partir de las siguientes condiciones
5𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑦 + 1– 4𝑐𝑜𝑠2
𝑥 – 𝑐𝑜𝑠2
𝑦 ≤ 0 (I)
5𝑠𝑒𝑛2
𝑥𝑠𝑒𝑛2
𝑦 + 1– 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 – 4𝑠𝑒𝑛2
𝑦 ≥ 0 (II)
Calcule elvalor de la expresión
3−𝐶𝑡𝑔2 𝑦
𝑇𝑔2 𝑥
A) 1 B) ½ C) 2 D) 1/3 E) 3
16)Si
𝑠𝑒𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛4 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥+𝑐𝑜𝑠4 𝑥
=
21
5
,Calcule 𝑡𝑎𝑛2
𝑥.
A) 2 B)
1
3
C) 3 D)
1
2
E) 4
17)De las siguientes condiciones
𝑠𝑒𝑐𝑥+ 𝑡𝑎𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑎… … (I)
𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑎……. (II)
Calcule 𝑡𝑎𝑛𝑦𝑠𝑒𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑎.
A) – ¼ B) ½ C) 4 D) – 2 E) – ½
18)Sabiendoque
4( 𝑐𝑜𝑡4
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4
𝑥) = 17𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑦 𝑥 ∈ 𝐼𝐶,

4. Lic. Rodolfo CarrilloVelásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
Calcule 2𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠3
𝑥 – 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 – 5𝑐𝑜𝑠𝑥.
A) 2 B) –1 C) 1 D) – 2 E) 3
19)De las siguientes condiciones
𝑡𝑎𝑛𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑡𝑎𝑛𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑡𝑎𝑛𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝐵
Calcule elvalor de 𝑡𝑎𝑛2
𝐵.
A)
√6−1
2
B)
√5−1
2
C)
√3+1
2
D)
√5+1
2
E)
√5−2
4
20)Elimine la variable angular de las siguientes
condiciones
𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 … … .. (I)
𝑎𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑏𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐 …….. (II)
A)𝑎2
+ 𝑏2
– 𝑐2
= 𝑎
2
3 𝑏
2
3(𝑎
2
3 – 𝑏
2
3)
B) 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎
1
3 𝑏
1
3(𝑎
2
3 + 𝑏
2
3)
C) 𝑎2
+ 𝑏2
– 𝑐2
= 𝑎
1
3 𝑏
1
3(𝑎
2
3 – 𝑏
2
3)
D) 𝑎2
+ 𝑏2
– 𝑐2
= 𝑎
2
3 𝑏
2
3(𝑎
2
3 + 𝑏
2
3)
E) 𝑎2
− 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎
2
3 𝑏
2
3(𝑎
1
3 – 𝑏
12
3 )
21)Simplifique la siguiente expresión
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑐𝑦
+
𝑆𝑒𝑐𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑥 − 𝐶𝑜𝑠𝑦
A) 1 B) – 1 C) 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦
D) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 E) 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 – 1
22)Reduzca la siguiente expresión
(
𝑆𝑒𝑛𝑥
1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥
+
1 + 3𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
) ( 𝐶𝑠𝑐𝑥 − 𝐶𝑡𝑔𝑥)
A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E) 8
23)De la igualdad, calcule A+B
𝑆𝑒𝑛4
𝑥 − 𝑆𝑒𝑛4
𝑥. 𝑇𝑔4
𝑥
𝑇𝑔2
𝑥 − 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
= 𝐴 + 𝐵𝑆𝑒𝑐2
𝑥
A) 3 B) 2 C) 0 D) – 1 E) 1
24)Si 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
3
4
,
Calcule
1+𝑇𝑔𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑥
+
𝐶𝑠𝑐𝑥
1+𝐶𝑡𝑔𝑥
A)−
7
3
B) −
5
3
C)−
3
5
D) −
4
7
E) −
3
7
25)Si 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 = 3, calcule 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 − 𝐶𝑠𝑐2
𝑥
A)√3 B)- √3 C)- √5 D) √5 E)- √2
26)Elimine la variable angular q, de las
siguientes condiciones
𝑠𝑒𝑛3
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠3
𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃+ 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑛 … … (𝐼)
(1 − 𝑆𝑒𝑛2
𝜃)(1 − 𝐶𝑜𝑠2
𝜃) = 𝑚 … … (𝐼)
A) (1– 𝑛)2
= 𝑚2
B) (1 + 𝑛)2
= 𝑚
C) (1– 𝑛)2
= 𝑚 D) (1 + 𝑛)2
= 𝑚2
E) 1–𝑛 = 𝑚2
27)Si 𝑠𝑒𝑛𝜃 –𝑡𝑎𝑛𝜃 = 1,
calcule 𝑐𝑜𝑡𝜃 – 𝑐𝑜𝑠𝜃.
A) 1 B) –1 C) 0 D) 1/2 E) –1/2
28)Si 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑇𝑔2
𝜃 = 2,
calcule 𝑐𝑜𝑠4
𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠2
𝜃
A) 1 B) 2 C) 3 D) ½ E)
3
2
29)Reduzca la siguiente expresión.
( 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝛼)2
+ 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛼
A) ½ B) 1 C) ¼ D) 2 E) 4
30)Simplifique la siguiente expresión.
𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐2
𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃
A) – 𝑐𝑜𝑠𝜃 B)𝑡𝑎𝑛𝜃 C) – 𝑠𝑒𝑛𝜃 D)𝑐𝑜𝑠𝜃 E) 𝑠𝑒𝑛𝜃
31)Calcule elvalor de la siguiente expresión.
𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1
cotx + 1
+
3𝑐𝑠𝑐𝑥+ 5𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑆𝑒𝑐𝑥
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1
32) Simplifique la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − (
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3
𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑡𝑥
)
A) 2–𝑡𝑎𝑛2
𝑥 B) 2 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 C) 2 – 𝑐𝑜𝑡2
𝑥
D) 2 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 E) 2 – 2𝑡𝑎𝑛2
𝑥
33)Si
𝑠𝑒𝑐𝜃
Cosθ
+
𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
= 5
calcule 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃
A) 3 B) 5 C) 2 D) 4 E) 6
34)Si
𝐹( 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥) = sec2
x + csc2
x +
2
senx.cosx
Calcule 𝐹(3)
A) 12 B) 20 C) 14 D) 15 E) 18