Este documento introduce conceptos básicos sobre ensayos mecánicos de materiales, incluyendo: 1) Los ensayos mecánicos miden la respuesta de los materiales a fuerzas externas para caracterizar sus propiedades y predecir su comportamiento. 2) Los ensayos siguen protocolos estandarizados y usan modelos matemáticos para interpretar los resultados. 3) Algunos ensayos comunes incluyen tracción, compresión y flexión para determinar la resistencia y elasticidad de los materiales.

1. 1
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA
DE MATERIALES
Teorías de la Elasticidad y Plasticidad
Eugenia Blangino
67.16 Ensayos Industriales - FIUBA 2008
2011 - 2do Cuatrimestre

2. 2
Ensayos mecánicos
Conceptos previos
El objetivo de esta introducción es poner de manifiesto los aspectos ingenieriles de las técnicas
de ensayos mecánicos de los materiales (con énfasis en el comportamiento de los metales).
Interesará desarrollar los elementos que permiten la interpretación de los ensayos y del efecto de
las variables que en ellos intervienen, más que profundizar en la técnica de realización de los
mismos, que regularmente esta determinada por alguna norma o protocolo.
Los ensayos mecánicos tienen por finalidad proveer información que permita predecir la
respuesta de los materiales frente a solicitaciones mecánicas externas (fuerzas o momentos).
Estas solicitaciones pueden originarse en el uso de los materiales como componentes o partes de
una estructura o mecanismo, en cuyo caso es necesario conocer los valores límite que pueden
soportar sin fallar a fin de determinar valores de diseño. Asimismo el control de calidad también
es un motivo que lleva a la realización de ensayos para la verificación de las propiedades
previstas para un dado material.
Por otra parte, el objetivo puede ser darle a un producto semielaborado con un dado material
alguna forma adecuada para que cumpla determinada función y que -para ello- sea necesario
someterlo a un proceso cuyas características deben ser tales que las condiciones físicas y
mecánicas sean las más convenientes para la obtención del resultado final.
Finalmente durante el desarrollo de nuevos materiales y procesos de elaboración de los mismos,
conocer el comportamiento mecánico que presenta un dado material, como se modifica dicho
comportamiento durante las distintas etapas de fabricación es un móvil para la realización de
ensayos mecánicos.
La finalidad del ensayo es, entonces, caracterizar la respuesta mecánica de un material frente a
una solicitación externa.
Los ensayos son experimentos controlados, ya que sobre el procedimiento a seguir, los
dispositivos a utilizar y las probetas que se ensayen, se hacen numerosas hipótesis que buscan
acotar las repuestas que pueden obtenerse, reduciéndolas a estándares.
Es por eso que deben atenerse a normas/protocolos, para que se puedan aplicar fórmulas
estandarizadas cuyos resultados sean interpretables en términos del fenómeno que intentan
representar. Sus resultados tienen valor estadístico.
Los cálculos necesarios para obtener los parámetros característicos del comportamiento de un
material bajo las condiciones de ensayo se basan, pues, en el modelo que se haya establecido
para ese material. Por lo tanto, comentaremos brevemente que es un modelo matemático para un
fenómeno o comportamiento físico:
Entenderemos por modelo matemático al conjunto de relaciones (pueden ser o no ecuaciones)
que permiten describir una idealización de los fenómenos bajo ciertas hipótesis (pueden o no
producir resultados numéricos).
Un modelo matemático consta de un conjunto de variables que describen la situación dada junto
con una o más ecuaciones y/o inecuaciones que relacionan esas variables y que se las supone
válidas. Se utilizan los resultados que se obtienen para predecir situaciones o comportamientos
del mundo real.
Si el modelo es demasiado detallado, puede ser difícil arribar a una solución; si es demasiado
simple, los resultados pueden ser inexactos o aun inútiles. Hay, entonces, un compromiso
inevitable entre lo físicamente realista y lo matemáticamente viable. Se deben encontrar caminos
para simplificar el modelo matemático sin sacrificar rasgos esenciales de la situación del mundo
real que se intenta describir.

3. 3
Dentro de los modelos matemáticos, los modelos numéricos son aquellos que siempre proveen
un resultado numérico (que puede ser exacto o aproximado).
La calibración de los parámetros del modelo se hace mediante experimentos y ensayos
adecuados que se planifican teniendo en cuenta las hipótesis hechas sobre el fenómeno de
interés. Estas suposiciones están basadas en el marco teórico elegido para la formulación del
modelo. Entonces, al tratar de analizar un fenómeno en observación, no analizamos las
observaciones, sino el modelo que sobre ellas hemos construido.
El marco teórico adecuado para la elaboración de un modelo que represente un fenómeno “a
escala del ojo humano” suele ser la física clásica. En particular la mecánica clásica ofrece dos
aproximaciones: la mecánica estadística (que promedia en número) y la mecánica del continuo
(que promedia en volumen).
El modelo que propone la mecánica del continuo establece ciertos principios de conservación o
balance, regularmente formulados bajo la forma de ecuaciones diferenciales; en la geometría de
los cuerpos involucrados (lo que provee las condiciones de contorno para las ecuaciones
diferenciales) y una cantidad suficiente de relaciones (las ecuaciones constitutivas) y que son
propias el material que constituye el medio continuo y que permiten resolver el sistema
diferencial.
En los fenómenos en estudio intervienen objetos, que pueden idealizarse como puntos u
ocupando un volumen en el espacio (teniendo en cuenta la diferencia entre el objeto y el espacio
que ocupa). Se asumirá que los objetos “llenan continuamente” la región del espacio que
ocupan, lo que permitirá el uso del cálculo diferencial en la descripción matemática de las
interacciones y sus respuestas. Estos modelos “irreales” proveen, no obstante, excelentes
descripciones en la medida en que la longitud característica de la microestructura sea
considerablemente menor que la longitud característica del problema físico de interés.
En este marco teórico, los postulados fundamentales de una teoría puramente mecánica son los
siguientes:
* Principio de determinismo para las tensiones: determinados por la historia del movimiento del
cuerpo.
* Principio de acción local: para la determinación del estado tensional de una dada partícula
puede despreciarse el movimiento fuera de un entorno.
* Principio de indiferencia de marco referencial: las ecuaciones constitutivas son independientes
del marco de referencia elegido para su formulación.
Las ecuaciones de conservación/balance para el problema puramente mecánico son las
siguientes:
(1)

4. 4
Las relaciones constitutivas describen el comportamiento macroscópico resultante de la
constitución interna de un material. NO son constantes físicas, tampoco son un descriptor
matemático del material per se, sino del comportamiento particular exhibido bajo las
condiciones de interés.
En este contexto, caracterizar el material significa conocer las relaciones constitutivas
adecuadas. Múltiples relaciones pueden ser necesarias para describir la gran cantidad de
comportamientos exhibidos por el mismo material bajo distintas condiciones. Cada una de ellas
será la formulación matemática de las observaciones físicas aproximadas de la respuesta del
material en el rango convenientemente restringido.
Aun teniendo “relaciones constitutivas adecuadas” no necesariamente “comprendemos” las
causas que producen ciertos efectos. En muchos casos nuestras “leyes” son fenomenológicas y/o
simples correlaciones empíricas.
Realización de los ensayos
Los ensayos mecánicos pueden clasificarse en dos grandes grupos: los ensayos mecánicos
propiamente dichos y los ensayos numéricos (que no se tratarán en esta introducción).
Los ensayos mecánicos propiamente dichos suelen agruparse en:
* (quasi) Estáticos (si las velocidades involucradas son suficientemente lentas como para que
puedan tratarse con los principios de la estática)
* Dinámicos, que pueden ser de impacto o cíclicos
* Otros (como por ejemplo los ensayos de creep)
En las normas, que establecen las condiciones bajo las cuales deben realizarse los ensayos
mecánicos, se tiene en cuenta:
* Las condiciones de semejanza mecánica (características de aplicación de las cargas, velocidad
de deformación, restricciones en los desplazamientos), semejanza física (condiciones de
temperatura, presión, entre otras) y semejanza geométrica (forma y dimensiones de las
probetas). Es de gran importancia la terminación superficial de las probetas, la ubicación de las
entallas, si las hubiere, y todo otro detalle que deba tenerse en cuenta para que lo que realmente
se analice mediante el ensayo sea la o las características del material y no de la pieza particular
que se ensaya.
* Las condiciones del o los dispositivos que se utilizan para realizar el ensayo, de forma que las
observaciones puedan interpretarse dentro del marco teórico elegido.
A título de ejemplo se incluyen los esquemas de algunos de los ensayos usuales en la figura 1.

5. 5
Figura 1.
Elasticidad Ideal (caso isotérmico)
Un material se comporta como idealmente elástico cuando un cuerpo formado por ese material
recupera completamente su forma original cuando se retiran las fuerzas que causaban la
deformación. En ese caso, para una dada temperatura, la relación entre el estado de tensiones y
el estado de deformaciones es biunívoca.
Si el material se considera homogéneo y no presenta direcciones preferenciales (isótropo) las
observaciones sobre su comportamiento no dependerán de la posición ni de la orientación que se
elija para realizarlas. Si, además se observa una relación lineal entre fuerzas y alargamientos o

6. 6
acortamientos en la respuesta del material, este podrá describirse mediante la ley de Hooke
generalizada:
εij= ((1+ν)/E)*σij – ν*σkk*δij/E. (2)
La teoría de la elasticidad lineal es una simplificación de la teoría general de la elasticidad, y es
suficiente para muchas de las aplicaciones ingenieriles.
Puede aplicarse bajo las siguientes hipótesis:
a) deformaciones infinitesimales
a1) los desplazamientos son pequeños.
a2) los gradientes de desplazamientos son pequeños,
b) existencia de un estado neutro en el que las tensiones y deformaciones son nulas;
c) proceso de deformación isotérmico y adiabático (la termoelasticidad amplía la teoría a
procesos no isotérmicos).
Nota: Salvo indicación en contrario el material será sólido isótropo y homogéneo.
En la figura 2, se observan las respuestas de diferentes materiales a una solicitación uniaxial. En
estas curvas el comportamiento elástico corresponde al rango de tensiones por debajo de la
tensión de fluencia y muestran la respuesta característica de diferentes familias de materiales
ingenieriles:
Figura 2.

7. 7
Esquemas para estados planos en elasticidad lineal
Cuando una de las dimensiones cuerpo es notablemente diferente de las dos restantes, es posible
hacer una simplificación en la formulación del problema, originalmente tridimensional, y
reducirlo a una formulación bidimensional. Esta simplificación se debe a que, la propia
geometría y las condiciones de contorno, permiten identificar una de las dimensiones como
irrelevante, pudiéndose plantear el problema en forma independiente de la misma. Tales son los
casos que se conocen como estado de tensiones planas y estado de de deformaciones planas.
Tensiones planas: puede usarse esta aproximación cuando una de las dimensiones es
notablemente menor que las otras dos (que determinan el plano de análisis) y que las acciones,
desplazamientos impuestos y vector tracción están contenidos en el plano de análisis y no
dependen de la tercera dimensión, como se muestra en la figura 3.
Figura 3.
Hipótesis: a) el estado tensional de la forma:
(3)
b) las tensiones no nulas no dependen de z.
Las ecuaciones constitutivas tienen la siguiente forma
(4)
El estado de deformaciones correspondientes es
(5)










=
000
0
0
yyyx
xyxx
σσ
σσ
σ
[ ]
[ ]
[ ] 0
2
1
,........
0
2
1
.,.........
1
2
1
.,.........
1
==+−=
==−=
=−=
yzyzyxxx
xzxzxyyy
xyxyyxxx
GE
GE
GE
σεσσ
ν
ε
σενσσε
σενσσε
)(
1
..,.........
00
0
0
),,( yyxxzz
zz
yyyx
xyxx
tyx εε
ν
− ν
ε
ε
εε
εε
ε +
−
=










=

8. 8
Deformaciones planas: puede aplicarse esta aproximación cuando la geometría de la pieza y las
acciones sobre ella pueden generarse a partir de una sección bidimensional (coordenadas x e y)
que se traslada sobre una generatriz recta, perpendicular a la misma; solo hay desplazamientos
según las direcciones x e y, y tanto éstos como las acciones, desplazamientos y condiciones de
contorno son independientes de la tercer coordenada. Una situación de ese tipo se muestra en la
figura 4.
Figura 4.
Hipótesis sobre los desplazamientos
Deformaciones (6)
(7)
Relaciones constitutivas
Tensiones (8)
(9)
( )
( )










=
0
,
,
yxu
yxu
u y
x
0,......
2
1
0...........,.........
0............,.........
=





∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
yz
yx
xy
xz
y
yy
zz
x
xx
x
u
y
u
y
u
x
u
εε
εε
εε
0..,.........
)1(
)(
)1()21)(1(
)1(
)1()21)(1(
)1(
==
+
=
+=






+
−−+
−
=






−
+
−+
−
=
yzxzxyxy
yyxxzz
yyxxyy
yyxxxx
E
E
E
σσε
ν
σ
σσνσ
εε
ν
ν
νν
ν
σ
ε
ν
ν
ε
νν
ν
σ
)(...,.........
00
0
0
),,( yyxxzz
zz
yyyx
xyxx
tyx σσνσ
σ
σσ
σσ
σ +=










=

9. 9
Otras expresiones para las tensiones y las deformaciones
En las curvas tensión vs deformación de las figuras anteriores, se muestran las relaciones
calculadas en base a mediciones de fuerzas y alargamientos o acortamientos registrados en
ensayos controlados de tracción o compresión uniaxial. Estas fuerzas y desplazamientos están
relacionados con la geometría del espécimen utilizado, por lo tanto da cuenta de la reacción de
la pieza frente a las solicitaciones impuestas. Si queremos independizarnos de la forma y
dimensiones de la probeta debemos efectuar ciertas operaciones con los valores medidos; eso
lleva a concepto de ciertas “magnitudes intensivas”, como son las tensiones (fuerza aplicada
dividida por área de la sección, magnitud “acuñada” por L. Euler en 1757) y las deformaciones
(alargamiento o acortamiento dividido por la longitud inicial).
Se observa en el gráfico correspondiente a metales que en el período lineal no se producen las
mayores deformaciones; superada la tensión de fluencia, la pendiente de la curva se hace más
suave hasta llegar a un máximo y luego cae. Esto sucede porque las tensiones y deformaciones
involucradas (llamadas convencionales o ingenieriles) están calculadas en base a las
dimensiones originales de la probeta, es decir, difieren de los valores de carga y alargamiento en
factores de escala.
Entonces, para analizar la respuesta del material a la carga impuesta, estas curvas no proveen
“toda” la información de interés porque la probeta dispone ahora de otra geometría para hacer
frente a las solicitaciones, de donde surge la utilidad de definir medidas de tensiones y
deformaciones basadas en las dimensiones instantáneas de los especimenes.
Un concepto de gran utilidad es el de deformación verdadera o logarítmica, en la cual el cambio
de longitud está referido a la longitud instantánea y no a la longitud original:
Deformación lineal convencional Deformación lineal logarítmica
00
0
00
L
L
L
LL
L
dl
e
L
L
∆
=
−
== ∫ 0
ln
0
L
L
L
dl
L
L
== ∫ε
Entre ambas, la relación es la siguiente:
)1ln(ln1
00
+==⇒=+ e
L
L
L
L
e ε
(10)
Un concepto que utilizaremos con frecuencia es la relación entre deformaciones y variación de
volumen unitario:
En elasticidad lineal (con la aproximación de pequeñas deformaciones) considerando
direcciones principales, se llegaba a la siguiente expresión para la variación de volumen unitario
(en la que se despreciaron los términos no lineales):
yyxzyx
zyx
eeeeee
dxdydz
dxdydzdxdydzeee
V
V
++≈−+++=
−+++
=
∆
1)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
(11)
En plasticidad de metales es frecuente despreciar la variación unitaria de volumen frente a la
magnitud de las deformaciones plásticas, esto es, considerar constancia de volumen en el rango
plástico mientras la deformación sea uniforme:

10. 10
1)1)(1)(1(1
1)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
≈+++=+
∆
⇒
−+++=
−+++
=
∆
zyx
zyx
zyx
eee
V
V
eee
dxdydz
dxdydzdxdydzeee
V
V
(12)
Entonces, tomando logaritmos, resulta:
zyxzyx eee εεε ++=+++++= )1ln()1ln()1ln(0 (13)
En la figura 5 se representaron las deformaciones convencionales y las logarítmicas en función
del estiramiento x/xo ; puede apreciarse que la diferencia es muy pequeña hasta deformaciones
de aproximadamente 0.1 (que son las que habitualmente aparecen en el campo elástico en
metales).
Figura 5.
Esto es, cuando el estiramiento x/x0 es próximo a 1 (estado no deformado) ambas definiciones
proveen el mismo resultado a los efectos prácticos.
Otra ventaja de las deformaciones logarítmicas es que, cuando la deformación es uniforme, la
deformación verdadera total es la suma de las deformaciones incrementales.
n
n
n
n
nn
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
εεεε +++=+++=





==
−−
...ln...lnln...lnln 21
11
2
0
1
11
2
0
1
0
(14)
Esta aditividad es particularmente útil cuando se trata de calcular la deformación total de un
proceso que se realiza en varias etapas.
La tensión verdadera se define como la carga aplicada dividida por el área instantánea de la
sección:
Tensión uniaxial convencional Tensión uniaxial verdadera
0A
P
s =
A
P
=σ (15)
Cuando puede asumirse constancia de volumen, ambas están relacionadas de la siguiente
manera:

11. 11
)1(1
000
0
00 +===⇒+==⇒= es
L
L
A
P
A
P
e
L
L
A
A
ALLA σ (16)
No haremos comentarios respecto de las curvas de solicitación uniaxial para cerámicos y
polímeros, puesto que su comportamiento se asume conocido de otras asignaturas.
En el estudio de estados triaxiales es de utilidad descomponer aditivamente los tensores de
tensiones y deformaciones en una parte hidrostática y otra desviadora, puesto que -en muchas
situaciones- las causas de las modificaciones en el estado del material pueden asociarse solo con
una parte de los tensores.
Definimos, para el tensor de tensiones (σ), las componentes esférica (σe) y desviadora (σd) de la
siguiente manera:










−
−
−
+










=










=+=
3/333231
233/2221
13123/11
3/
3/
3/
333231
232221
131211
00
00
00
ii
ii
ii
ii
ii
ii
de
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σ
σ
σ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
(17)
En la figura 6 se muestra un esquema del estado general y las componentes esférica y
desviadora.
Figura 6.
Similarmente, el tensor de deformaciones (ε), se descompone en suma de un tensor esférico (εe)
y uno desviador (εd):










−
−
−
+










=










=+=
3/333231
233/2221
13123/11
3/
3/
3/
333231
232221
131211
00
00
00
ii
ii
ii
ii
ii
ii
de
εεεε
εεεε
εεεε
ε
ε
ε
εεε
εεε
εεε
εεε
(18)

12. 12
Finalmente, al tratar estados complejos de tensiones y deformaciones, es de gran utilidad
disponer de un valor único para las tensiones y otro para las deformaciones, que sean
representativos del estado en lugar de las 9 componentes de cada uno de los tensores que
pueden reducirse a 6, si las matrices son simétricas o a 3 si tomamos valores principales.
Para el caso de materiales isótropos y homogéneos con tensores de tensiones y deformaciones
constantes y simétricas, se define:
Tensión equivalente (los subíndices numéricos indican tensiones principales)
( )
( ) 2/1222222
2/12
13
2
32
2
21
)(6)()()(
2
1
)()()(
2
1
zxyzxyxzzyyx
eqiv
τττσσσσσσ
σσσσσσσ
+++−+−+−=
=−+−+−=
(19)
y deformación equivalente (los subíndices numéricos indican deformaciones principales)
( )
( ) 2/1222222
2/12
13
2
32
2
21
)(6)()()(
3
2
)()()(
3
2
zxyzxyxzzyyx
eqiv
εεεεεεεεε
εεεεεεε
+++−+−+−=
=−+−+−=
(20)
Estos conceptos que, en el caso de metales y bajo hipótesis muy fuertes, proveen una serie de
ventajas importantes (como veremos cuando estudiemos plasticidad) carecen absolutamente de
significación si alguna de las hipótesis asumidas (que se explicitarán al utilizarlos) no se
verifica.
Por eso tendremos especial cuidado en recalcar bajo qué condiciones la tensión y la deformación
equivalente nos provee información sobre el estado del material.
Introducción al tratamiento de la plasticidad
A partir de las experiencias de carga-alargamiento en solicitaciones uniaxiales practicadas para
la mayoría de los materiales ingenieriles convencionales, se deduce que -pasado un período en el
cual la relación es proporcional- se producen deformaciones irrecuperables, cuya descripción
matemática presenta serias dificultades. Algunos de los motivos son los siguientes: el proceso no
es reversible; no es posible determinar una única respuesta; a diferencia de lo que ocurre en
elasticidad, aquí el estado actual de deformaciones depende de la historia de cargas y no solo de
los estados inicial y final; en los metales el endurecimiento dificulta la descripción del proceso
de deformación.
El conocimiento de las características del proceso de deformación plástica (el que produce
transformaciones no recuperables) es necesario tanto en cuestiones de diseño como de
producción. Por tanto, se trata de establecer teorías que permitan el cálculo de los parámetros
relevantes del proceso y/o ayuden a una mejor comprensión de los fenómenos involucrados en el
mismo. Sigue siendo un área de investigación permanente.
Es de particular interés comparar la curva de tensión verdadera vs deformación verdadera
(usualmente llamada curva de fluencia) obtenida a partir de un ensayo uniaxial con las curvas
teóricas que -en virtud de su mayor o menor acuerdo con la curva que surge del ensayo- tendrán
la capacidad predictiva suficiente para el propósito perseguido (diseño a elasticidad o a
plasticidad, laminado, conformado o trabajado, etc...)

13. 13
Para un primer tratamiento de la plasticidad en metales, es necesario asumir que los siguientes
efectos NO se producen: anelasticidad (figura 7a)), histéresis (figura 7b)), efecto Bauschinger
(figura 7c)).
Figura 7.
También se asume la hipótesis de homogeneidad el material (esto es, el tratamiento de
imperfecciones se hace en otra etapa).
A efectos de interpretar los resultados experimentales es útil contar con una expresión única que
aproxime los resultados obtenidos. Existen varias propuestas al respecto, siendo una de la más
difundidas la ecuación de Hollomon para aproximar la curva de flujo:
).(....:,....... )(
UTS
d
d
overificandk UTS
n
σ
ε
σ
εσ σσ
== =
(21)
donde σ y ε son la tensión verdadera y la deformación verdadera, respectivamente y σ (UTS) es
el valor de la tensión verdadera correspondiente a la resistencia a la rotura. De la condición de
tangencia resulta que el exponente de endurecimiento n es el valor de la deformación verdadera
que corresponde a la máxima tensión ingenieril (resistencia a la rotura): n= εUTS. La constante de
Hollomon k se despeja planteando la ecuación de la tensión verdadera correspondiente a la
resistencia a la rotura: k = σUTS / (nn
).
Los valores de k y n están tabulados (ver Dieter, por ejemplo) por que no se trata de “una”
aproximación potencial, sino de “la” que verifica la condición de tangencia en el ensayo de
tracción uniaxial:
Del diagrama de carga-alargamiento, asumiendo condiciones de regularidad suficientes para la
curva, se tiene, en el punto de carga máxima:
dP(σ,A) = 0=A.dσ+σ.dA => dσ/σ = -dA/A=dε
pues,por constancia de volumen:
A0.l0 =(A+dA)(l+dl)=A.l, de donde, operando, resulta: A/dA = 1-l/dl=-l0/dl=-1/dε
Los valores límite para n son: n=1 =>σv = k.εv (perfectamente elástico)
n=0 =>σv = k (perfectamente plástico)
Este modelo de comportamiento -si bien es útil en algunos cálculos, como veremos- no permite
comprender la naturaleza de los fenómenos involucrados en los procesos que llevan al
comportamiento plástico del material, por lo que resulta importante disponer de teorías que
tengan en cuenta la historia de las cargas y deformaciones que sufrió el material.

14. 14
Nota: en lo que sigue asumiremos que todos los subíndices toman los valores (1, 2, 3) o (x, y,
z).
Para estudiar analíticamente las relaciones entre tensiones y deformaciones en un material en
todo el rango de cardas de servicio, es necesario plantear:
a) las ecuaciones de equilibrio estático,
b) las ecuaciones de compatibilidad,
c) las condiciones de contorno,
d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico,
e) un criterio de fluencia que establezca la transición del régimen elástico al plástico,
f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico,
g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó
endurecimiento o ablandamiento.
Los puntos a) a d) son comunes al estudio del comportamiento elástico; los tres últimos propios
del análisis plástico.
e) Planteo de un criterio de fluencia
En un ensayo de tracción o compresión uniaxial, la transición entre el comportamiento elástico y
el plástico está determinada por la tensión de fluencia. Cuando un material experimenta un
estado complejo de tensiones, los criterios de fluencia proveen las hipótesis con respecto al
límite de elasticidad. El tratamiento formal para establecer dichas hipótesis requiere de nuevos
conceptos:
Definimos espacio de tensiones al espacio vectorial real de dimensión nueve cuyas coordenadas
son las componentes del tensor de tensiones en una base dada. Cada punto del espacio
representa un estado tensional para el material.
Si el material verifica el principio de conservación del momento angular (condición que NO
hemos incluido en la fig. 1 porque hay materiales que no la requieren) su tensor de tensiones es
simétrico y la dimensión del espacio de tensiones se reduce a seis. Los materiales tradicionales
de ingeniería verifican este principio, por lo que en el curso asumiremos que los tensores de
tensiones son simétricos.
Si, además, el material es isótropo no hay direcciones preferenciales y la descripción no varía
por rotación ortogonal del sistema de referencia; entonces, la dimensión del espacio puede
reducirse a tres. Este se llama espacio de tensiones principales porque en los ejes coordenados se
representan los autovalores σi (i=1, 2, 3) del tensor de tensiones σ = [σij].
Dado que los autovalores del tensor de tensiones son invariantes por cambio de coordenadas
cartesianas ortogonales, también lo son las funciones (“simétricas en σi” en el sentido de que los
valores de σi sean intercambiables) de ellos, en particular:
3213
133221
2
12
3211
)det(
)()(
2
1
)(
σσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσ
==
++−=−=
++===
I
II
TrI
ijij
ii
(22)
donde Tr indica traza del tensor y det, su determinante.
Los invariantes J que se construyen a partir de los invariantes I:

15. 15
)(
3
1
)(
2
1
)(
3
3
2
2
11
σσσσ
σσσ
σ
TrJ
TrJ
TrIJ
kijkij
ijij
==
==
==
(23)
Y lo mismo para los autovalores de la parte desviadora de [σij] (que llamaremos s = [sij],
con



≠
=
=−=
ji
ji
s ijkkijijij
,0
,1
,
3
1
δσδσ ) :
kijkij
ijij
ij
sssIJ
ssIJ
sTrIJ
3
1
''
2
1
''
0)(''
33
22
11
==
==
===
(24)
Otros espacios pueden definirse a partir de los invariantes anteriores; en particular, el que tiene
como ejes las coordenadas unificadas de Haigh-Westergaard:
2/3
2
3
2
1
'
'
2
33
)3cos(..,....
'2
3
J
J
donde
f
J
f
I
c
c
=
=
=
θθ
ρ
ξ
(25)
donde fc es una constante de normalización .
Volviendo al espacio de tensiones principales, se definen eje hidrostático E (σ1=σ2=σ3) y plano
octaédrico Π (σ1+σ2+σ3= cte.). Se muestra un esquema en la figura 9.
Figura 9.
E

16. 16
Con estas definiciones, cualquier estado tensional queda caracterizado unívocamente por I1, J’2 y
J’3. En la figura 10 se muestra la ubicación de un punto en el espacio de tensiones principales y
sus coordenadas unificadas (con constante de normalización fc=1) las tensiones σ-octaédrica
(
3
ξ
σ =oct ) y τ-octaédricas (
3
ρ
τ =oct ) y el ángulo de Lode (θ):
Figura 10.
Las condiciones de simetría asumidas, reducen la región a analizar en cada plano octaédrico Π a
la zona sombreada en la figura 11.
Figura 11.
Estas proyecciones sobre Π presentan características muy diferentes en distintos materiales. Se
ejemplificará más adelante.
A partir de la estructura del espacio de tensiones principales, diremos que un programa de cargas
que es cualquier curva lisa en el espacio de tensiones.
Para caracterizar la región en la cual cualquier combinación de tensiones mantiene al material en
régimen elástico definimos dominio elástico en el espacio de tensiones al que contiene a todos
los estados tensionales para los cuales el material está en régimen elástico. Su borde se
denomina superficie de fluencia, si el material no ha sufrido endurecimiento o ablandamiento
previo, de lo contrario se denomina superficie de carga.
Las expresiones generales para estos conjuntos son:

17. 17
Dom.elástico: Eσ ={σ=(σ11,σ12,σ13,σ21,σ22,σ23,σ31,σ32,σ33), σij números reales / F(σ,α) <0}
Superficie de fluencia: ∂ Eσ ={σ / F (σ,0)=0},
Superficie de carga: ∂ Eσ ={σ / F (σ,α)=0},
donde F es una función escalar F = F(σ,α) y α una variable funcional adecuada que toma el
valor cero si el material no sufrió deformación previa . Asumiremos que el material tiene un
estado neutro que corresponde a tensiones y deformaciones nulas; de esta manera, el origen es
un punto del dominio elástico.
Si, como dijimos, consideraremos tensores de tensión simétricos y materiales isótropos F=
F(I1, I2, I3,α).
En este contexto, los criterios de fluencia son funciones de las componentes del tensor de
tensión que -especializadas en un estado tensional particular- permiten inferir si el material entró
en fluencia o aún permanece en régimen elástico por comparación con una constante
conveniente. Para materiales isótropos, su expresión será f = f(I1, I2, I3). Diremos que el material
entró en fluencia si f(I1, I2, I3) = cte (si f(I1, I2, I3) < cte el material permanece en régimen
elástico).
Con este último concepto, la función de fluencia puede escribirse como:
F (I1, I2, I3,α)= f(I1, I2, I3) - σy(α) (26)
donde σy(α) (que también es una función escalar) toma, para α = 0, un valor que indica el
ingreso en fluencia de un material sin endurecimiento o ablandamiento previos. Las definiciones
de dominio elástico y superficies de carga de fluencia son consistentes con el concepto de
criterio de fluencia. En metales es habitual tomar σy(0)=σy, la tensión de fluencia del material en
un ensayo de tracción uniaxial.
La experiencia demuestra que, para metales, la deformación plástica sólo depende de la parte
desviadora del tensor de tensiones. En este caso f = f(J’2, J’3).
Los criterios más comunes para metales son:
i) criterio de von Mises
El material permanece en régimen elástico mientras se verifique:
yequivJJf σσ <== 22 '3)'( (27)
Figura 12.

18. 18
ii) criterio de Tresca
El material permanece en régimen elástico mientras se verifique:
yJJf σσσ <−= 3132 )','( (28)
donde se ha supuesto que la tensiones principales están ordenadas: σ1 > σ2 > σ3 .
Figura 13.
En ambos criterios, notar que estas funciones que los definen verifican
f(σ1, σ2, σ3 ) = f(-σ1, −σ2, -σ3 ) lo que presupone que el material presenta el mismo
comportamiento en tracción y en compresión.
La proyección de los diagramas de las figuras 12 y 13 en el plano xy se muestra en la figura 14.
Figura 14.
Notar que para un mismo estado tensional, ambos criterios pueden arrojar un resultado
diferente, como puede verse en el siguiente.

19. 19
Ejemplo numérico:
Se ensayó una pieza de un material caracterizado por los siguientes parámetros:
E=210 GPa, ν= 0.33, σy = 950 MPa, determinándose que su estado tensional (en el
sistema de coordenadas elegido) queda descrito por la matriz de tensiones:
σ = [σij] =










−
−
8000300
04000
30000
Se desea saber si entró en fluencia.
Solución:
Al aplicar el Criterio de Tresca (después de haber hallado las tensiones principales)
obtenemos:
( ) 9501000900100 >=−−
por lo que podemos concluir que “entró en fluencia”
Aplicando ahora el Criterio de Von Mises:
( )[ ] 950025.8665005001000
2
1~ 2
1
222
<=++⋅





=σ
El resultado obtenido indica que, según este criterio el material “no entró en fluencia”.
Puede notarse que según el criterio que se adopte, el resultado puede ser diferente, con lo
cual se pone aquí de manifiesto que serán las circunstancias del caso las que hagan decidir
por la aplicación de uno u otro criterio.
A título informativo se enuncia a continuación un criterio de fluencia útil en el estudio de
materiales que presentan respuesta diferente en tracción y en compresión. En la expresión, φ es
el ángulo de rozamiento interno y c es la cohesión. Como este criterio es importante en
mecánica de suelos, los signos para las tensiones están invertidos y -en el primer cuadrante del
gráfico- las tres tensiones principales son de compresión:
iii) Criterio de Mohr y Coulomb
El material permanece en régimen elástico mientras se verifique:
φφσσσσ cos.2)()()',',( 3131321 csenJJIf <+−−= (29)
En las figuras 12, 13 y 15 el dominio elástico es la región sombreada y la superficie de fluencia
(o carga, según corresponda) su borde.

20. 20
Figura 15.
f) Hasta ahora hemos tratado de sistematizar el tratamiento de los estados de tensiones para
determinar la entrada en fluencia, ahora debemos relacionarlos con las deformaciones
permanentes, para establecer relaciones constitutivas.
En la literatura se encuentran dos tipos de formulaciones: las teorías de la deformación total
(Hencky, 1924) y las teorías incrementales o teorías del flujo. Ambas arriban a resultados
similares bajo hipótesis sumamente restrictivas, por ejemplo para programas de cargas radiales y
condiciones apropiadas de contorno. Sin embargo en casos más generales el tratamiento
matemático (particularmente el numérico) de las primeras es sumamente engorroso, cuando es
posible. Las del segundo tipo tienen un tratamiento numérico más natural y son más adecuadas
para tener en cuenta la dependencia de la historia de cargas y deformaciones.
Sólo enunciaremos algunos resultados de las teorías incrementales para materiales ideales, según
las hipótesis simplificativas que en cada caso estableceremos
Estos materiales ideales presentan curvas de flujo lineales o lineales a trozos y admiten modelos
reológicos sencillos que no analizaremos.
a
b
Figura 16.

21. 21
Teoría de Prandlt y Reuss (para materiales elástico-plásticos ideales, fig 16 b)):
Bajo la hipótesis de que los ejes principales de tensiones y deformaciones coinciden y de que los
incrementos de deformaciones totales pueden descomponerse aditivamente en un incremento de
deformación elástica más uno de deformación plástica (dε = dεe
+dεp
), esta teoría postula que
los incrementos de deformación plástica son instantáneamente proporcionales a las tensiones
desviadoras actuantes:
λ
εεεεεε
d
s
d
s
d
s
d
s
d
s
d
s
d
zx
p
zx
yz
p
yz
xy
p
xy
zz
p
zz
yy
p
yy
xx
p
xx
====== (30)
donde dλ es una función instantánea del punto del cuerpo en el que se considera el estado.
Una forma de calcular dλ es la siguiente:
rquiv
p
equiv
equivijijijij
p
equiv
p
ij
p
ij
ij
p
ij
d
d
dssdsddddd
ecuaciónsdd
σ
ε
λ
σλλλεεεε
λε
2
3
)(
3
2
3
2
)(
3
2
).)(
3
2
()()
3
2
(
))30((.
2222
=⇒
====
⇒=
(31)
Para escribir los incrementos de la deformación elástica en función de las tensiones, se toman
incrementos en la ecuación (1), que es la Ley de Hook generalizada. Para calcular los
incrementos de la deformación plástica se utiliza en cada caso la ecuación 30 y la expresión para
sij de la ecuación (17), de donde resulta:
xy
equiv
p
equivxy
ij
xy
xy
zzyyxx
equiv
p
equiv
zzyyxx
zzyyxxzzyyxxxx
ijijkkij
p
ij
e
ijij
d
G
d
sd
G
d
d
d
ddd
E
dddd
E
d
ejemplopor
sdd
E
d
E
ddd
σ
σ
εσ
λ
σ
ε
σσσ
σ
ε
σσνσ
σσσλσσνσε
λδσ
ν
σ
ν
εεε
+=+=
+−++−=
=+−++−=
+−
+
=+=
2
.
2
)](
2
1
[)]([
1
........
)](
2
1
.[
3
2
)]([
1
:.
.)
)1(
(
(32)
Teoría de Levy y Mises (para materiales rígido-plásticos ideales, fig.16 a)):
Con las hipótesis de la teoría de Prandlt y Reuss y suponiendo que los incrementos de las
deformaciones elásticas son despreciables frente a los de deformación plástica, se tendrá dε =
dεp
, con lo que las relaciones (30) y (31) pueden repetirse reemplazando los incrementos de
deformaciones plásticas por los incrementos de deformaciones totales. En lugar de las
expresiones de las relaciones (32) tendremos ahora:

22. 22
xy
equiv
equiv
xy
zzyyxx
equiv
equiv
zzyyxxxx
ij
p
ijij
d
d
d
dd
ejemploporsddd
σ
σ
ε
ε
σσσ
σ
ε
σσσλε
λεε
=
+−=+−=
==
)](
2
1
[)](
2
1
.[
3
2
:.,...
(33)
g) El último punto a tratar en el esquema que hemos propuesto para el análisis del
comportamiento plástico es cómo se modifica la superficie de fluencia por endurecimiento o
ablandamiento. Los modelos ideales para endurecimiento de metales se muestran en la figura
17.
Figura 17.
Comparar con la figura 15 en la que no había endurecimiento. Solo trataremos someramente in
caso particular de endurecimiento lineal.
La necesidad de modificar la superficie de fluencia o carga cuando la deformación progresa se
debe a cuestiones de consistencia en la formulación matemática que requieren que el espacio de
tensiones admisibles en plasticidad quasiestática sea:
Eσ
adm
= Eσ U ∂ Eσ = {σ / F (σ,α)≤ 0}.
Las suposiciones más simples sobre la variación de una superficie de carga en el espacio de
tensiones principales son los siguientes:
i) Endurecimiento isotrópico: la superficie mantiene su forma mientras el crecimiento de su
tamaño es controlado por un parámetro de endurecimiento.
ii) Endurecimiento cinemático: la superficie no cambia de forma ni de tamaño, pero se traslada
en el espacio de tensiones principales, de manera que si originalmente estaba descripta por una
ecuación F(σ,α)=0 , después de un incremento de deformaciones, su descripción será
F(σ−χ0,α)=0 (χ0 son las coordenadas del nuevo centro y la dirección de la traslación está
determinada por la del incremento de deformación plástica). No trataremos este caso.
Supongamos, entonces que el endurecimiento es isotrópico (la expresión de f(I1, I2, I3) en la
ecuación (26) no varía), mostraremos, en el caso de solicitación uniaxial, como describir la
evolución de la superficie de carga para la curva de la figura 16 b) .

23. 23
En el espacio de las tensiones admisibles Eσ
adm
las siguientes situaciones son posibles:
j) En régimen elástico ( ∈σ Eσ):
σ = E ε => dσ = E dε , (Ley de Hooke) (34)
jj) En régimen elasto-plástico ( ∈σ ∂ Eσ):
en descarga:
dF(σ,α)<0 => dσ = E dε , (Ley de Hooke) (35)
en carga plástica:
dF(σ,α)=0 (36)
postulamos que la relación es:
dσ = Eplast
dε , (37)
queremos hallar una expresión para Eplast
.
Elegiremos, como variable (funcional) de endurecimiento α= α(σ, εp
) a una función que
verifique: p
dsignd εσα )(= y α(εp
=0) = 0. Si el proceso de deformación es monótono creciente
α= εp
, esto no es válido bajo condiciones generales de deformación.
Dar una ley de endurecimiento significa especificar la función σy(α) que aparece en la ecuación
(26), que en este caso será:
σy(α)=σy + H’α => dσy(α)=H’dα (38)
Figura 18.
Completamos la expresión de F, que en este caso (ya sea que usemos el criterio de Tresca o de
von Mises en la fórmula (26)) es:
)'(),( ασσασ HF y +−= . (39)
Sobre la superficie de fluencia ∂ Eσ se verifica F(σ,α)=0. Por lo tanto diferenciando y teniendo
en cuenta (36), se tiene:

24. 24
.'
0)(')(')(
0)(
p
p
y
dHd
dsignHdsigndHdsign
dd
εσ
εσσσασσ
ασσ
=⇒
=−=−⇒
=−
(40)
de (35), (36) y (40), con la hipótesis de aditividad de los incrementos de deformación resulta
(ver figura 19):
'
'
.......
'
'
'
'
)
'
11
(
'
11
HE
H
EEd
HE
H
Ed
d
EH
HE
d
HE
d
H
d
E
ddd
plast
pe
+
=⇒
+
=⇒
+
=+=+=+=
εσ
σσσσεεε
(41)
Figura 19.
La expresión (41) permite explicar diversos comportamientos:
l) H’>0 => Eplast
>0 lo que indica endurecimiento (ver figura 20 a)). En particular, si H’= ∞ =>
Eplast
=E y no hay fluencia.
ll) H’=0 => Eplast
=0 es el caso de elasto-plasticidad ideal (figura 16 b))
lll) H’<0 => Eplast
<0, plasticidad con ablandamiento. Si H’= -E => Eplast
=-∞ (ver figura 20 b))
a b
Figura 20.

25. 25
Para tratar la plasticidad en estados complejos de tensiones solo comentaremos dos tendencias
en el caso de metales con endurecimiento (asumiendo que la variación unitaria de volumen es
despreciable, que los ejes de tensiones y de incrementos de la deformación se mantienen
paralelos a los largo de todo el proceso y -como antes- que el endurecimiento es isotrópico, que
la expresión de f(I1, I2, I3) está determinada por el criterio de von Mises y la ley de
endurecimiento es lineal):
m) hipótesis de curva universal de flujo (endurecimiento por deformación).
Esta suposición asume que ∫= )( p
equivequiv dH εσ , donde ∫ )( p
equivdH ε es una función
conveniente. Bajo las hipótesis de proporcionalidad requeridas para la aplicación de las teorías
de Prandlt-Reuss o de Levy-Mises, suponiendo, además, que las cargas son aplicadas
radialmente, que producen componentes de tensión proporcionales y que sigue siendo válida la
hipótesis de pequeñas deformaciones, es posible integrar los incrementos plásticos obteniendo
entonces una relación de la forma )( p
equivequiv H εσ = .
Las expresiones
equiv
p
equiv
equiv
equiv d
do
d
d
σ
ε
λ
σ
ε
λ
2
3
....
2
3
== (de acuerdo a si es posible o no despreciar la
componente elástica del incremento de deformación) para dλ continúan siendo válidas aún con
endurecimiento. Como ahora hay una expresión funcional que relaciona σequiv y εequiv, que se
supone derivable,
'2
3)(
'
H
d
d
d
d
d
dH
H
equiv
equiv
p
equiv
equiv
p
equiv
p
equiv
σ
σ
λ
ε
σ
ε
ε
=⇒== (42)
lo que permite generalizar la fórmula incluida en (32), obteniéndose:
ij
ij
ij
ij
p
ij
e
ijij s
H
d
d
E
ddd .
'2
31
σ
σ
σεεε +=+= (43)
La expresión (43) es muy similar a la primera cadena de igualdades en (41).
Si pueden despreciarse los incrementos de deformaciones elásticas, se obtiene la relación:
ij
ij
ijp
ijij s
H
d
dd .
'2
3
σ
σ
εε == (44)
mm) se asume que la tensión equivalente σequiv es una función del trabajo plástico total
(endurecimiento por trabajado).
Es un caso particular del anterior en el que la relación universal se puede expresar en términos
del potencial plástico. Bajo hipótesis suficientes, esta teoría propone la siguiente relación
∫== p
equivequivppequiv dWconWG εσσ ..),..( . Procediendo de manera similar al caso anterior y
notando que:
2
2
3
2
3
equiv
p
equiv
p
equivp
equivequivp
dWd
dddW
σσ
ε
λεσ ==⇒= (45)
se obtienen las expresiones:

26. 26
ij
equiv
p
ij
p
ij
e
ijij s
dW
d
E
ddd .
2
31
2
σ
σεεε +=+= (46)
y, cuando es posible despreciar los incrementos de deformaciones elásticas,
ij
equiv
pp
ijij s
dW
dd .
2
3
2
σ
εε == (47)
Cabe recalcar la importancia de obtener una curva única que extienda a la curva de flujo de un
ensayo de uniaxial a todo el rango de servicio de un material, ya que ésta proveerá información
importante para diseño o para procesos de deformación que sobre piezas del material deban
efectuarse.
Caso particular: fluencia plana.
Se conoce con este nombre al proceso de deformación plástica en el que las mayores
deformaciones se producen solamente en un plano (pudiéndose despreciar las que resultan en la
dirección normal a dicho plano). Esto puede suceder porque el mismo material restringe las
deformaciones o porque la herramienta usada en el proceso impide las deformaciones en una
dirección. Es el caso de la laminación de metales o de compresión de planchas entre placas
paralelas.
Si llamamos xy al plano en el que se produce la deformación, se tienen las siguientes
Conclusiones
t) si el flujo de deformación es siempre paralelo al plano xy y es independiente de la variable z,
lo que implica que los únicos incrementos de deformación nulos serán dεxx, dεyy y dεxy que sólo
dependen de x e y.
tt) si los incrementos de deformaciones elásticas son despreciables frente a los correspondientes
a las deformaciones plásticas, pueden aplicarse las relaciones de Levy-Mises. En particular, de
la última expresión de (33) se obtiene
00
00
=⇒==
=⇒==
yzyz
rquiv
equiv
yz
xzxz
rquiv
equiv
xz
d
d
d
d
σσ
σ
ε
ε
σσ
σ
ε
ε
(48)
lo que significa que la dirección z es principal y vale (también por (33)):
2
0)](
2
1
[
yx
zyxz
rquiv
equiv
zz
d
d
σσ
σσσσ
σ
ε
ε
+
=⇒=+−= (49)
Compárese esta última expresión con la ecuación (8).
ttt) si se asume constancia de volumen, de la ecuación (13) se deduce que dεxx = -dεyy.