Guía variación matemáticas

GUÍA DIDÁCTICA N°3
INTEGRACIÓN DIDÁCTICA IV
ESTRATEGIAS DEL TALLER PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMÁTICA
DESCRIPCIÓN
Ministerio de Educación Nacional
Tomado de los Lineamientos curriculares de Matemática
“Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar
en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos
fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, que
involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar,
organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del
hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre
como sustrato de ellas.
En esta forma se amplía la visión de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el intento de
cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes.
Una rápida visión a la evolución histórica, desde las matemáticas, del estudio de la variación
permite afirmar que éstas inicia con las tablas babilónicas, con las gráficas de variación (Oresme
en la Edad Media) y con las fórmulas algebraicas de origen renacentista. Particularmente, el
contexto de la variación proporcional para modelar las situaciones de variación cobra especial
relevancia por ser la única teoría matemática con la que se contaba en la Edad Media. Pero es en
el contexto del estudio matemático del movimiento donde se alcanza la construcción matemática
de la variación, lo que configura el Cálculo.
Esta breve e incompleta presentación histórica de la variación, hace necesario desmenuzar los
conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación para poner al descubierto las
interpelaciones entre ellos. Un primer acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite
identificar algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está involucrada la
variación:
sucesivas, divisibilidad;
ación geométrica, particularmente la
noción y significado de la variable es determinante en este campo;
cambio absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad cobra especial significado.
En los contextos de la vida práctica y en los científicos, la variación se encuentra en contextos de
dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía (conocida como
medición de la variación absoluta o relativa).
Estos conceptos promueven en el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del
lenguaje matemático. Abordado así el desarrollo del pensamiento variacional se asume por
principio que las estructuras conceptuales se desarrollan en el tiempo, que su aprendizaje es un
proceso que se madura progresivamente para hacerse más sofisticado, y que nuevas situaciones

DE LAS MATEMÁTICA
problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones
propias de las matemáticas.
Entre los diferentes sistemas de representación asociados a la variación se encuentran los
enunciados verbales, las representaciones tabulares, las gráficas de tipo cartesiano o sagital, las
representaciones pictóricas e icónicas, la instruccional (programación), la mecánica (molinos), las
fórmulas y las expresiones analíticas.
El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y
sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos
escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica. La
organización de la variación en tablas, puede usarse para iniciar en los estudiantes el desarrollo
del pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas que involucren procesos aritméticos,
inicia también la comprensión de la variable y de las fórmulas. En estos problemas los números
usados deben ser controlados y los procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética
que se estudia. Igualmente, la aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos
usados en la solución de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una herramienta
necesaria en la iniciación del estudio de la variación.
Adicionalmente la tabla se constituye en un elemento para iniciar el estudio de la función, pues es
un ejemplo concreto de función presentada numéricamente. Y aunque en algunas ocasiones
enfatiza la variación numérica discreta, es necesario ir construyendo la variación numérica
continua. Así mismo, las situaciones problemáticas deben seleccionarse para enfrentar a los
estudiantes con la construcción de expresiones algebraicas o con la construcción de las fórmulas.
Tal como lo señala Demana (1990) la exposición repetida de construcciones de fórmulas, como
expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la
sintaxis de las expresiones algebraicas que aparecerán después del estudio del álgebra. La tabla
también se constituye en una herramienta necesaria para la comprensión de la variable, pues el
uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede tener un
número infinito de valores de reemplazo. Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a
la escritura de las expresiones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el
cambio.
Otra herramienta necesaria para iniciar el estudio de la variación desde la primaria la constituye el
estudio de los patrones. Éstos incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías y
representaciones pictóricas e icónicas. En las matemáticas los escenarios geométricos o
numéricos también deben ser utilizados para reconocer y describir regularidades o patrones
presentes en las transformaciones. Estas exploraciones permiten, en una primera instancia, hacer
una descripción verbal de la relación que existe entre las cantidades (el argumento y el producto
terminado que se lee primero) que intervienen en la transformación. Los contextos de variación
deben incluir patrones aditivos y multiplicativos.
Las tablas se pueden usar posteriormente para llevar a los estudiantes a la graficación de
situaciones problema de tipo concreto, aunque quede restringida al primer cuadrante. La
identificación de la variable independiente y dependiente es más significativa cuando se inicia
desde la representación de situaciones concretas. Más adelante se formaliza el sistema
cartesiano con el aprendizaje de su sintaxis.
Por su parte, las gráficas cartesianas también pueden ser introducidas tempranamente en el
currículo. Ellas hacen posible el estudio dinámico de la variación. La relación explícita entre las
variables que determinan una gráfica puede ser iniciada con situaciones de variación cualitativa y
con la identificación de nombres para los ejes coordenados.
Los contextos de la variación proporcional integran el estudio y comprensión de variables
intensivas con dimensión, así como también ayudan al estudiante a comprender el razonamiento
multiplicativo.
Particularmente la gráfica tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia entre variables,
gestando la noción de función como dependencia. Los contextos donde aparece la noción de

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función establecen relaciones funcionales entre los mundos que cambian, de esta manera emerge
la función como herramienta de conocimiento necesaria para “enlazar” patrones de variación entre
variables y para predecir y controlar el cambio. Los modelos más simples de función (lineal, afín,
cuadrática, exponencial...) encapsulan modelos de variación como la proporcionalidad.
La introducción de la función en los contextos descritos preparan al estudiante para comprender la
naturaleza arbitraria de los conjuntos en que se le define, as í como a la relación establecida entre
ellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes a situaciones donde la función no exhiba una
regularidad, con el fin de alejar la idea de que su existencia o definición está determinada por la
existencia de la expresión algebraica. A la conceptualización de la función y los objetos asociados
(dominio, rango...) le prosigue el estudio de los modelos elementales, lineal, afín, cuadrático,
exponencial, priorizando en éstos el estudio de los patrones que los caracterizan (crecientes,
decrecientes). La calculadora gráfica se constituye en una herramienta didáctica necesaria para
lograr este propósito.
En lo referente a la construcción del continuo numérico, los escenarios deben ser los numéricos y
los geométricos. Particularmente el trabajo con las representaciones decimales, cobra especial
relevancia. Los procesos infinitos deben ser introducidos en contextos geométricos. Una
propuesta didáctica para el tratamiento de las funciones está desarrollada en los Programas de la
Renovación Curricular.
El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y
sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos
escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica”.
 Objetivo
Al terminar el modulo de la intervención 3 los estudiantes del Programa la lincenciatura en
matemática y física, estaran en capacidad de explorar, reconocer y construir conceptos
algebraicos a partir del trabajo orientado desde la visualización y lectura de superficies, utilizando
el material de apoyo propuesto para los temas.
 Expresar en lenguaje algebraico la superficie de figuras geométricas en función de ciertas
longitudes.
 Representar geométricamente una expresión algebraica.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el cuadrado de la diferencia de dos números.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el producto de la suma de dos números
cualesquiera por la diferencia de los mismos.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el cuadrado de un polinomio.
 Confrontar geométricamente la no igualdad de ciertas expresiones
CONTENIDO

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DESARROLLO
Guía de Intervención
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
Desarrollo elementos de escucha y participación, se desarrolla de manera individual y tendrá una
duración de 30 min.
Actividad 1
Reconocer los integrantes del
grupo, los conceptos básicos de
geometría plana
TAREA 1
1. Escuchar la explicación sobre las guías de trabajo
2. Repartir las guías a los diferentes equipos
3. Lectura inicial sobre las guías de trabajo. Justificación,
objetivos, actividades. LECTURA N°1
TAREA 2
En parejas crear una estructura de cómo enseñar los
conceptos básicos del algebra

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ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN
Esta actividad se desarrolla en grupos de 3 estudiantes, donde cada uno debe hacer su proceso
individual para entregarlo.
Tiene un tiempo aproximado de 30 min
Actividad 1
Construcción del material
denominado “Caja de
Polinomios”
Actividad 2
El taller como proceso de
construcción colectiva de
conocimiento, a través de
materiales didácticos no
convencionales.
TAREA 1
Abrir el archivo en Power Point denominado Factorización
Tarea 2
Desarrollo del Taller “Áreas Mágicas”
Tarea 3
Desarrollo del taller “Caja de polinomios”
ACTIVIDAD DE CULMINACIÓN
Esta actividad se desarrolla en grupos de 3 estudiantes,
Tiene un tiempo aproximado de 15 min
ACTIVIDAD
Reconozcamos habilidades
y fortalezas en el
pensamiento variacional de
los
TAREA
1. Desarrollar el taller “Geometría y Álgebra”, las actividades,
son tomadas del Trabajo de Tesis de la alumna Margarita
Orozco de la Funlan y del trabajo del Docente Jesús
Camara del Colegio Rural Agrupado “Sierra de Pinares”
España.
2. Construir el material “Caja de polinomio”.
3. Realizar la lectura sobre Pensamiento vaiacional y hacer un
comentario sobre el
EVALUACIÓN
Según la guía anterior, ¿Qué evaluación propondrías como profesor de matemáticas?
BIBLIOGRAFIA/ CIBERGRAFIA
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=418

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SOLUCIÓN REALIZADA POR MARÍA ALEJANDRA PULGARÍN NARANJO
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
TAREA 2
Una posible estructura para la explicación de diversos conceptos del algebra podría alejarse de
una explicación netamente teórica, sino también, que se pueda explicar por medio de la
implementación de juegos como loterías, crucigramas, domino, e incluso con la ayuda de la
geometría.

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ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN
TAREA 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
PROYECTO MATEMÁTICAS Y FÍSICA BÁSICAS EN ANTIOQUIA
Código: MA-09 No. de páginas: 2
Materiales: Regletas.
1. Selecciona entre en los cuadriláteros los rectángulos y los cuadrados:
2. Completa:
 El área de un cuadrado es: L x L
 El área de un rectángulo es: B x A
Naranja Verde Rojo
1
1 a b
1
C
b

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c
Termina de llenar la tabla:
FIGURA COLOR AREA
Cuadrado pequeño
Rectángulo 1
Rectángulo 2
Rectángulo 3
Cuadrado mediano
Cuadrado grande
Naranja
Verde
Rojo
Amarillo
Naranja
morado
1
1a
1b
1c
bxb
cxc
3. Forma los rectángulos correspondientes a las áreas que se te indica, júntalos (suma
sus áreas) para formar otro rectángulo, con todos los que tenías:
#
AREA 1
AREA
2
ARE
A 3
AR
EA
4 AREA FINAL
1 2 x 1 2 x 5 2 x 3 2 x 9
2 2 x 3 3 x 6 3 x 3 3 x 11
3 1 x a 2 x a 4 x a 7 x a
4 a x b 5 x b 2 x a 10 (a+5)(b+2)
5 a x b 3 x a 5 x b 15 (a+5)(b+3)
6 a x b 3 x b 2 x a 6 (a+3)(b+2)
7 a x b 4 x a 2 x b 8 (a+2)(b+4)
8 a x a 5 x a 6 12 x a
9 b x b 4 x b 3 (b+3)(b+1)
10 a x a 6 x a 8 (a+4)(a+2)
11 b x b 6 x b 9 (b+3)(b+3)
12 a x a 8 x a 16 (a+4)(a+4)
13 b x b 3 x b 2 (b+2)(b+1)
14 a x a -5 x a 6 (a-2)(a-3)
15 b x b -2 x b 1 (b-1)(b-1)

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16 a x a -7 x a 12 (a-3)(a-4)
17 b x b -3 x b 2 (b-1)(b-2)
18 a x a -a x 1 a(a-1)
19 b x b -1 (b-1)(b+1)
20 a x a -4 (a-2)(a+2)
21 b x b 4 x b -12 (b+6)(b-2)
22 a x a a -2 (a+2)(a-1)
23 b x b 2 x b -15 (b+5)(b-3)
24 a x a -2 x a -3 (a+1)(a-3)
25 a x a -2 x a -8 (a+2)(a-4)
26 a x a -3 x a -10 (a+2)(a-5)
27 2 x a x a 7 x a 3 (2a+1)(a+3)
28 3 x b x b 8 x b 4 (3b+2)(b+2)
29 3 x a x a -8 x a 4 (3b-2)(b-2)
30 2 x b x b -3 x b 1 (2b-1)(b-1)
31 3 x a x a a x 1 -2 (3a-2)(a+1)
32 3 x b x b 5 x b -2 (3b-1)(b+2)
33 3 x a x a -a -4 (a+1)(3a-4)
34 2 x a x a -2 x a -12 (2a+4)(a-3)
Solución gráfica
1.
2.

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3.
4.
5.
6.

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7.
8.
9.
10.

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11.
12.
13.

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29.
30.

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31.
32.
33.
34.
Autor: Elízabeth Montoya y Juan David Montoya
Bibliografía:
Modificado: Mayo 19 de 2000

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TAREA 3
PROYECTO: LA CAJA DE POLINOMIOS GUÍA No. 0: Historia y Fundamentación
Matemática de la Caja de Polinomios
La Caja de Polinomios conjuga los aportes de cuatro matemáticos famosos: Euclides, siglo III a.C.
quien con su libro de Los Elementos entrega a la humanidad el primer texto científico
perfectamente sistematizado; de este libro de extracta el teorema 43 del Libro I que permite la
construcción de fichas rectangulares de distintas dimensiones pero de igual área y que se apoya en
la proposición 34 del mismo texto en la que demuestra que cualquier diagonal de un paralelogramo
lo divide en partes iguales; así mismo se utiliza el tercer axioma o noción común en el cual Euclides
asevera: “Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son
iguales;” estos conceptos se revisarán más adelante. El segundo matemático es Tabit ben Qurra el
Harani, siglo X d.C. matemático dedicado a la contemplación de las cantidades y quien de manera
generosa presenta el concepto de homogeneización, concepto que permite tratar a los polinomios a
través del manejo de las áreas de rectángulos, atendiendo a las dimensiones de la base y de la
altura. Por último, el juego extiende su aplicación a polinomios con coeficientes negativos con la
utilización del plano cartesiano, cuya creación se indilga a Pierre de Fermat y a Renato Descartes,
siglo XVII d.C. El plano cartesiano ideado por estos franceses, conjuga sobre una misma
representación la posición de un objeto en el tiempo, logrando describir de manera lógica y
evidente una trayectoria.
Esta guía utiliza algunas de las concepciones de estos prohombres, que permitieron la existencia de
un mediador del conocimiento algebraico que se ha llamado Caja de Polinomios, como también
algunos fundamentos matemáticos que encierra el juego.
1) La construcción de fichas de igual área, que se utilizan con el principio de sustitución en la Caja
de Polinomios, se fundamenta en el teorema 43 de los elementos de Euclides y del que se dispone a
continuación su enunciado y demostración, por ser importante para la discusión sobre el soporte
matemático del material didáctico que acompaña a esta cartilla:
Proposición 43: En cada paralelogramo los complementos de dos cualesquiera paralelogramos
construidos alrededor de una diagonal del primer paralelogramo son iguales (equiextensos).
W Demostración. Sea el paralelogramo ABCD y AC una diagonal; y alrededor de AC sean EH y
FG paralelogramos y BKKD, paralelogramos llamados complementos; se trata de demostrar que
BK es igual al complemento KD.

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Como ABCD es un paralelogramo y AC es una de sus diagonales los triángulos ABC y ACD son
iguales. Nuevamente y como EH es un paralelogramo y AK es su diámetro, los triángulos AEK y
AHK son iguales
Por la misma razón, los triángulos KFC y KGC también son iguales.
Ahora, como el triángulo AEK es igual al triángulo AHK y KFC igual a
KGC, el triángulo AEK junto con KGC es igual al triángulo AHK junto con KFC.
El triángulo total ABC también es igual al triángulo total ADC; en consecuencia los complementos
BK y KD que son las partes restantes también son iguales. Y con esto termina la prueba.
La demostración presentada por Euclides se apoya en la proposición 34: “En las áreas de los
paralelogramos, los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal las divide en dos
partes iguales.” Y también utiliza la tercer noción común o axioma que explicitó en el libro I de los
Elementos: “Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.” Estas dos
conclusiones permiten evidenciar la siguiente
demostración sin palabras:
Paso1 Paso2 Paso3
Paso7 Paso8
Con este recurso es factible construir una ficha equivalente en área a otra de
diferentes dimensiones; en particular se puede replicar una ficha rectangular
equivalente con una cuadrada cuando se da uno de sus lados con sólo repetir
la construcción de la proposición 43 tal y como de manera gráfica se explica
en la siguiente secuencia y que parte del cuadrado dado y de un lado del
futuro rectángulo como se indica en la gráfica que aparece a la derecha:
Paso4 Paso5 Paso6

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La construcción, parte de la prolongación del lado izquierdo del cuadrado en una longitud igual a
la del lado del rectángulo. La secuencia gráfica que sigue, indica el procedimiento a seguir:
Y con esto, se tiene dos fichas de diferentes dimensiones pero con igual área.
ACTIVIDAD 1
Subrayar los nombres de los matemáticos que han aportado conceptos en la existencia de la
Caja de Polinomios:
1. Isaac Newton 2. Arquímedes 3. Euclides
4. Tabit ben Qurra 5. Eratóstenes 6. Pierre Fermat
7. Luis Cauchy 8. Renato Descartes 9. Pitágoras
Definir brevemente cada uno de los siguientes conceptos:
Caja de Polinomios: permite la representación de polinomios de grado menor que cuatro y
rectángulos o cuadrados cuya longitud de los lados están determinados por polinomios.
Homogeneización: permite tratar a los polinomios a través del manejo de las áreas de rectángulos,
atendiendo a las dimensiones de la base y de la altura
Plano Cartesiano: El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. Tiene como finalidad describir la posición de
puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Rectángulo: es un paralelogramo que tiene los lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos

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ACTIVIDAD 2
Construir un rectángulo cuya área sea igual a la de un cuadrado b2 si uno de sus lados es b/2
Estudiar la relación existente entre los lados del rectángulo.
Los lados del rectángulo opuestos entre si tienen la misma medida, como ya sabemos la altura del
rectángulo que es b/2 falta averiguar su base para comprobar que cumpla con la condición dada,
para eso tenemos que:
b2
= x. b/2
(2 b2
)/b =x
2b =x
Por lo tanto tenemos que la base del rectángulo es 2b y su altura es b/2
Construir un rectángulo cuya área sea igual a la de un cuadrado b2 si uno de sus lados es 2b.
Estudiar la relación existente entre los lados del rectángulo.
Los lados del rectángulo opuestos entre si tienen la misma medida, como ya sabemos la altura del
rectángulo que es 2b falta averiguar su base para comprobar que cumpla con la condición dada,
para eso tenemos que:
b2
= x. 2b
(b2
)/2b =x
b/2 =x
b
b/2
b
2b

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Por lo tanto tenemos que la base del rectángulo es b/2 y su altura es 2b
ACTIVIDAD 3
Siguiendo el proceso de construcción indicado en el teorema 43 del libro I de los Elementos
de Euclides, construya rectángulos de igual área que los cuadrados dados b2 si uno de los
lados del rectángulo es el segmento a.
1.
2.
3.
1 2
3 4
b
a
b
a
b
a

DE LAS MATEMÁTICA
4.
2) Este método de anexión de áreas permite resolver problemas que conducen a ecuaciones lineales
y a ecuaciones cuadráticas y es un avance de corte algebraico conocido y desarrollado por los
griegos 300 años antes de nuestra era. De aquí, debe saltarse al siglo X para inspirarse en el criterio
de homogeneización de Tabit a fin de consolidar el proyecto que ha culminado en convertir a los
polinomios en objetos tangibles siempre que sus coeficientes sean números enteros o también
racionales.
En la página 57 del libro Recorriendo el Álgebra editado por Colciencias y escrito por las
profesoras Myriam Acevedo de Manrique y Mary Falk de Losada, se expone brevemente sobre el
uso de unas tarjetas rectangulares que posibilitan la representación de polinomios de grado dos en
una variable y con coeficientes enteros positivos. Se otorga el crédito de la idea central a Tabit ben
Qurra el Harani, algebrista árabe que murió en el año
901.
Tabit ben Qurra el-Harrani es el matemático árabe, segundo en importancia después de
Muhammad ben Musa al-Khwarizmi y antes de Omar Khayyam. Tabit murió en el año 901 de
nuestra era y su nacimiento se ubica entre los años 824 al 836. Tabit es uno de los primeros en
identificar una dificultad relacionada con la interacción entre las soluciones algebraica y
geométrica de una ecuación cuadrática, dificultad que determina no sólo los orígenes del Álgebra
sino que también alumbra el camino de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática.
Al intentar solucionar problemas que ahora se representarían de la forma x + mx= n , Tabit ben
Qurra evidencia que no se puede igualar área con longitud, ni áreas y longitudes con números
(objetos adimensionales) e introduce una unidad de medida (e) que le permite escribir la ecuación
anterior como x+ m(e)x= n(e)2
El mecanismo de introducir (e) se conoce como proceso de homogeneización y ha permitido
elaborar una representación geométrica que se usa para factorizar, multiplicar, dividir, sumar y
restar expresiones cuadráticas de manera tangible mediante la utilización de fichas que se
consiguen en sitios especializados o se elaboran en las instituciones escolares, como las que se
representan a continuación. Estas fichas con la incorporación de la unidad de medida se
representan mediante rectángulos que concretizan ciertas medidas de áreas.
b
a

DE LAS MATEMÁTICA
Figura 2
La interpretación geométrica de Tabit ben Qurra permite adoptar x2
como un cuadrado de lado x, la
variable x está representada por un rectángulo de lados x y 1 y el 1 es un cuadrado de lado 1. Así
las cosas, la factorización de x2
+4x + 4, por ejemplo, se realiza tomando un cuadrado x2
, cuatro
rectángulos x y cuatro cuadrados 1, para proceder con ellos a configurar un rectángulo en el que las
figuras vecinas tienen coincidencia en la longitud de sus lados.
El gráfico anterior decide de manera evidente que x2
+4x +4 = (x+ 2)2
como se ve al igualar la
suma de las áreas de todas las fichas con el área del cuadrado que se puede configurar con ellas, al
multiplicar sus lados.
El trabajo de homogeneización de una ecuación introduciendo una unidad de medida (e) permitió
convertir expresiones unidimensionales y adimensionales en áreas rectangulares y al dividir
objetos de dimensiones superiores por potencias adecuadas de (e), se consigue representar
cualquier polinomio en enteros como una suma de áreas; así, x3
/e, x4
/e2
. son
expresiones algebraicas que se pueden concretizar como rectángulos. En estas guías, se hace un
estudio sobre este tipo de trabajo con polinomios de grado superior a 2 introduciendo de manera
tangible el recurso matemático del cambio de variable de uso frecuente en el estudio del Álgebra y
del Cálculo. El cambio de variable se posibilita por el concepto de homegeneización de
expresiones permitiendo tratar exclusivamente con rectángulos y es el fundamento central de estas
guías y de la construcción del material didáctico que la acompaña.
Los griegos también hicieron esfuerzos sobresalientes por representar de manera geométrica ciertas
entidades algebraicas; fruto de estos esfuerzos es la aparición de un cálculo denominado Álgebra
Geométrica cuyos elementos primarios son los segmentos de recta. En este sentido, la
representación de números mediante segmentos es más amplia puesto que números de la forma n
son construibles con regla y compás. Estos números, si no son cuadrados perfectos, son números
irracionales que por aquella época eran desconocidos.
Con los segmentos, como una forma de representación más amplia, fueron definidas todas las
operaciones básicas elementales: la suma consistía en anexar un segmento a continuación de otro,
la sustracción era la eliminación de una parte de un segmento, la multiplicación condujo a la
construcción bidimensional de un rectángulo y si el producto era de tres factores, este se leía con la
Figura 3

DE LAS MATEMÁTICA
construcción de un paralelepípedo; el producto de un número mayor de tres factores no podía
considerarse; y por último, la división se podía efectuar siempre que la dimensión del dividendo no
fuese menor que la del divisor.
En resumen, el concepto de homogeneización permite representar cualquier potencia de x en los
mundos unidimensional, bidimensional o tridimensional, según se requiera como se indica en los
siguientes gráficos:
ACTIVIDAD 4
Señalar cuales de los siguientes enunciados son verdaderos (V) y cuales falsos (F). Utilice los
paréntesis ubicados al comienzo de cada proposición:
( V ) Todo polinomio de grado 2 en una variable se puede representar como una figura rectangular.
( F ) Todo polinomio de grado 2 en una variable se puede representar como una figura poligonal.
( V ) Toda figura poligonal conformada con fichas de la Caja de Polinomios representa a un
polinomio.
(F ) Tabit ben Qurra el Harani, es el primer matemático del que se tiene noticia logra representar
cualquier polinomio de una variable de una manera consisa, representación basada en el concepto
de área.
( V ) La idea original de Tabit, permite la representación de polinomios siempre que sus
coeficientes sean positivos.
3) El trabajo de representar en un solo elemento la posición de un objeto en un tiempo determinado
hizo concebir a Renato Descartes el plano cartesiano, que en nuestros días ha tomado la apariencia
que se muestra a continuación en la figura 4.
Este plano cartesiano, permite el desarrollo operatorio algebraico con polinomios de coeficientes
enteros siendo que en el primer y tercer cuadrantes se disponen los términos con coeficientes
positivos y en el segundo y cuarto los de coeficientes negativos.

DE LAS MATEMÁTICA
Como todo el juego operatorio, se fundamenta en la construcción de rectángulos alrededor del
origen, los ejes coordenados son fundamentales para determinar las dimensiones de los rectángulos
que se construyen; tal y como se mostrará en las guías subsiguientes.
Figura 4
ACTIVIDAD 5
Discutir las razones por las cuales las fichas ubicadas en los cuadrantes PRIMERO y
TERCERO son positivas y si se ubican en los cuadrantes SEGUNDO y CUARTO son
negativas.
Sobare el plano de la Figura 4, señalar las partes positiva y negativa de cada uno de los ejes
coordenados.
Como el plano cartesiano son dos rectas numéricas, a la izquierda del origen, en el eje de las
abscisas (x), se encuentran los valores negativos, y a la derecha los positivos. En el eje de las
ordenadas (y), del origen hacia arriba, se encuentran los valores positivos y hacia abajo, los
negativos, de donde resulta lo siguiente:
Primer cuadrante: abscisa positiva y ordenada positiva, lo que da origen a un cuadrante
positivo.
Segundo cuadrante: abscisa negativa y ordenada positiva, lo que da origen a un cuadrante
negativo
Tercer cuadrante: abscisa negativa y ordenada negativa, lo que da origen a un cuadrante
positivo.
Cuarto cuadrante: abscisa positiva y ordenada negativa, lo que da origen a un cuadrante
negativo

DE LAS MATEMÁTICA
4) La Caja de Polinomios contiene 11 clases de fichas; con ocho de estas clases se puede realizar
todo el juego operatorio con polinomios de cuarto grado en una variable; pero en teoría el
grado es ilimitado, sólo que la cantidad de clases de fichas aumentaría de forma polinómica, lo
que la haría inmanejable.
El número de clases de fichas para trabajar con polinomios de grado n está dado por la expresión:
Por ejemplo, las fichas básicas para trabajar con polinomios de grado 2 son 3 y se muestran a
continuación con sus dimensiones:
Figura 5
+
+
-
-

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Las fichas básicas para acceder al trabajo con polinomios de grado 3 son 5 y se han representado
en la Figura 6:
En la Figura 7 se ha dispuesto la cantidad de fichas requeridas para el desarrollo operatorio con
polinomios de grado 4 :
Figura 7
En la siguiente tabla se disponen algunos valores sobre la cantidad de fichas requeridas para
representar polinomios de acuerdo a un grado determinado:
Grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Clases de
Fichas
1 3 5 8 11 15 19 24 29 35 41 48 55 63
Como puede verse, acceder con el rompecabezas a grados altos significa producir demasiadas
clases de fichas lo que tornaría al instrumento en un recurso inmanejable.
Figura 6

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ACTIVIDAD 6
Discutir y diseñar las clases de fichas que se requieren para desarrollar la operatoria
algebraica con polinomios de grado 5 y 6 en una variable.
Para grado 5:
Como n es impar tenemos que:
Por lo tanto las fichas básicas para trabajar con polinomio de grado 5 son 11
Para grado 6:
Como n es par tenemos que:

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X
4
1 x X2
X3
X4
X5
1
X
X2
X3
Discutir y diseñar las clases de fichas que se requieren para desarrollar la operatoria
algebraica con polinomios de grado 3.
Para grado 3:
Como n es impar tenemos que:
X4
X5
X5
X6
X5
X6
X6

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PARA RECORDAR
La existencia de la Caja de Polinomios como instrumento mediador del conocimiento algebraico y
particularmente de su desarrollo operatorio se fundamenta en tres conceptos:
Concepto de sustitución de variables: que tiene su raíz ene. Teorema 43 del Libro I de los
Elementos de Euclides, el cual permite la construcción de fichas rectangulares de diferentes
dimensiones pero con igual área.
Concepto de Homogeneización: originado en la preocupación de representar de manera coherente
un polinomio, como la anexión de áreas rectangulares; problema que discute y soluciona el
matemático árabe Tabit ben Qurra el Harani.
Concepto de Plano Cartesiano cimentado en las ideas de los franceses Pierre Fermat y Renato
Descartes. La idea de situar un objeto de acuerdo a un sistema coordenado brinda el contexto
adecuado para representar polinomios de una o más variables de manera tangible, sin importar que
algunos o todos los coeficientes sean enteros negativos.
De esta manera, la Caja de Polinomios se convierte en un instrumento mediador del conocimiento
que presenta una nueva forma de representar las expresiones algebraicas, representaciones que a su
vez, en el desarrollo operatorio construyen algoritmos y procedimientos novedosos que se ejecutan
a modo de un rompecabezas. La Caja de Polinomios, de esta manera, incorpora lo lúdico a la
aprehensión del conocimiento y es una de las razones por las que ese conocimiento es significativo
y perdurable.

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ACTIVIDAD DE CULMINACION
TAREA 1
Geometría, álgebra y fórmulas notables
Actividades para la Educación Secundaría Obligatoria
Justificación de la propuesta
Muchos autores, respaldados por consideraciones fisiológicas, defienden que cada uno de los
hemisferios cerebrales representan procesos mentales diferentes; el izquierdo sería el soporte del
pensamiento abstracto, analítico y lógico; al hemisferio derecho correspondería el pensamiento
concreto, global e intuitivo que corresponde a procesos espaciales. Con la geometría estaríamos
trabajando el pensamiento concreto, la visión espacial y la intuición (hemisferio derecho);
llegaríamos a través de él a la generalización, la abstracción... (hemisferio derecho).
Hacemos nuestras las palabras de Dreyfus-Eisenberg (1986). Debe desarrollarse en cada tema
los aspectos analíticos y visuales para que cada estudiante se enfrente al material que esté
más próxima a su orientación cognitiva.
A los estudiantes se les puede clasificar en tres grupos, según cómo se enfrentan a la resolución
de problemas:
 VISUAL O GEOMÉTRICO. Están dotados de una habilidad especial para
interpretar visualmente relaciones matemáticas abstractas.
 ANALÍTICO O NO VISUAL. No tienen necesidad de recurrir a ningún
soporte para trabajar con esquemas abstractos.
 ARMÓNICO O INTERMEDIO. Se da un equilibrio entre las aproximaciones
visuales y analíticas.
Los Programas de Enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales de los
alumnos. Para llegar mejor a todos los alumnos deben desarrollarse en cada tema aspectos
analíticos y visuales para que cada estudiante se enfrente al material de la manera que esté más
próxima a su orientación cognitiva.
La geometría es un recurso de esta unidad didáctica para:
 Pasar del lenguaje matemático geométrico al algebraico
 Pasar del lenguaje algebraico al geométrico
 Para demostraciones
 Para verificar algunos errores cometido por los alumnos
Metodología
La unidad didáctica está diseñada para que el propio alumno llegue a la formalización del
conocimiento matemático a través de actividades en un aprendizaje por descubrimiento
dirigido. Como puede generar errores se recurre a las puestas en común para "reconducir"
errores. Al alumno se le obliga a razonar, a construir su propio conocimiento. Se sale de la
tradicional clase de matemáticas en la que el Profesor imparte el conocimiento formal y él lo
recibe, para hacer después unos cuantos ejercicios de aplicación.
Dice Novak: "El conocimiento adquirido de memoria pronto se pierde, pronto se olvida y no
puede ser utilizado de manera efectiva para resolver problemas."

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Entendemos que desarrollar todo el temario de matemáticas con este método, quizás, implicaría
no completar todo el temario del curso; pero sería adecuado, al menos, trabajar dos o tres temas
con este método.
Tipos de actividades diseñadas en la Unidad Didáctica
 De adiestramiento en la expresión algebraica de superficies
 De representación geométrica de expresiones algebraicas
mediante superficie
 De demostración mediante un aprendizaje por descubrimiento
dirigido del cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia, el producto de la suma de dos
números por su diferencia y el cuadrado de un polinomio.
 De ejercicios de aplicación de las fórmulas notables. (Son los
típicos y no se ha expuesto ninguno).
 De confrontación entre los cuadrados de los binomios y la suma o
diferencia de cuadrados.
Objetivos didácticos
 Expresar en lenguaje algebraico la superficie de figuras geométricas en
función de ciertas longitudes. Actividades 1 y 3.
 Representar geométricamente una expresión algebraica. Actividad 2.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el cuadrado de la suma de dos
números. Actividad 4.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el cuadrado de la diferencia de
dos números. Actividad 5.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el producto de la suma de dos
números cualesquiera por la diferencia de los mismos. Actividad 6.
 Demostrar geométricamente a qué es igual el cuadrado de un polinomio.
Actividad 7.
 Confrontar geométricamente la no igualdad de ciertas expresiones:
a2
+ b2
y (a + b)2
a2
- b2
y (a - b)2
a2
+ b2
+ c2
y (a + b + c)2
Actividad 8
 Expresar matemáticamente lo que se indica en ciertas expresiones
verbales. Actividad 9.
Algunos comentarios a las actividades
Las actividades donde se expresan algebraicamente las superficies de formas geométricas
presentan la ventaja de que se puede llegar a la misma solución haciendo la descomposición de la
figura de diversas formas. Es enriquecedor la aportación de las diversas descomposiciones.
Véase como ejemplo la figura F del ejercicio 2. La descomposición puede hacerse así:

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La superficie de la primera figura sería la suma de los dos rectángulos con superficies ab-b2
y ab.
La segunda figura se considera como la suma de los dos rectángulos iguales de superficie ab-b2
cada uno y un cuadrado de superficie b2
. Incluso habría otras descomposiciones.
Advertencia
En la expresión algebraica de superficies, en un momento dado, debe imponerse alguna cláusula
restrictiva en la descomposición de figura: no pueden hacerse descomposiciones de superficie 1/2
b2
. De no ser así algunos alumnos basarían todas las descomposiciones en cuadrados de
superficie b2
ó 1/2 b2
. Póngase como ejemplo la figura P del ejercicio 6 :
Su superficie sería 8b2
. Con la cláusula impuesta las descomposiciones podrían ser éstas:
Se llegaría a la expresión 4ab-2 b2
. Si no se pusiera la restricción se tendría que aceptar la
igualdad:
8b2
= 4ab - 2b2
Esta igualdad sólo es cierta cuando a = 5/2 de b.

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Actividades
1. Calcula la superficie de las figuras que se encuentran entre trazos gruesos o coloreadas en
función de las longitudes a y b que tienes en la parte superior del dibujo.
1. a2
2. b2
3. (a-b)2
4. (a-b)2
– b2
5. a2
+ b2
5. a2
6. a2
– b2

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Un poquillo más complicados
8. a2
+ 8b2
9. a2
10. 2b2
11. a2
– 2b2
12. a2
– 2b2
13. a2
+ 4b2
Las figuras se complican.

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14. a2
- 4b2
15. a2
16. a2
+ 8b2
17. a2
– b2
/2
18. a2
– b2
/2
19. b2
+ b2
/2
............
3. Dibuja en la trama cuadrada la superficie de las siguientes expresiones algebraicas:
a2 - 3b2
a2 + ab + b2

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b2 - 3ab + 2a2
(a + b) · a
3. Calcula la superficie de las figuras en color. Cuando dividas la superficie en partes no
debes dejar superficies de medio b2
.

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A. a2
– 4b2
B. 10b2
C. 4b2
D. a2
– 4b2
E. 12b2
F. 5b2
Se complican más los ejercicios.
G. a2
– b2
H. b2
I. 3b2
J. a2
– 3b2
K. 7b2
L. a2
- 7b2

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Un poquito más difícil.
M 9b2
N 9b2
P 10b2
Q 12b2
R 4b2
DEMOSTRACIONES
4. EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS CUALESQUIERA. Sea el cuadrado de la
figura A.

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¿Cuánto mide el lado del cuadrado A?
a+b
¿La superficie del cuadrado A es (a + b)2
?
Si
Escribe la superficie de la parte coloreada de las siguientes figuras. En las numeradas de 2 a 4
tendrás que calcular la superficie en relación con la anterior.
1 a2
2 a2
+ ab
3 a2
+ 2ab
4 (a + b)2
¿Tienen la misma superficie las figuras A y 4?
Si
Luego se puede escribir: (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2

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5. EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS NÚMEROS CUALQUIERA. Fíjate en el
cuadrado coloreado
¿Cuánto mide el lado del cuadrado coloreado de la figura A?
a - b
¿La superficie de este cuadrado es (a - b)2
?
Si
Halla la superficie de las figuras coloreadas siguientes. En las numeradas del 2 al 4 tendrás que
calcular su superficie en relación con la inmediata anterior.
1. a x a = a2
2. a2
+ b2
3. (a2
+ b2
) - ab
4. (a2
+ b2
) - 2ab
¿Tienen igual superficie las figuras coloreadas A y 4?
Sí
Luego podemos escribir: (a - b)2
= a2
-2ab+ b2

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6. PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS POR SU DIFERENCIA. Fíjate en el
rectángulo coloreado.
¿Cuánto mide la longitud del lado?
a - b
¿Cuánto mide su anchura?
a + b
¿Cuál es su superficie?
(a + b)(a – b)
a2
– b2
Escribe la superficie de las siguientes figuras coloreadas. En la 2 y en la 3 tendrás que poner su
superficie en relación con la inmediata anterior.
1. a2
2. a2
– b2
3. a2
– b2
- [(a - b)b] + [(a - b)b] = a2
– b2
¿Tienen la misma superficie los rectángulos de las figuras A y 3?
Si

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Luego podemos escribir: (a + b)·(a - b) = a2
– b2
7. EL CUADRADO DE LA SUMA DE VARIOS NÚMEROS. Fíjate en el cuadrado de la figura A
¿Cuánto mide su lado?
a + b + c + d
¿Cuál será su superficie?
( a + b + c + d ) ( a + b + c + d )
( a + b + c + d )2
Escribe la superficie coloreada de las figuras que aparecen a continuación. La superficie de las
figuras 2 a la 5 estará relacionada con la inmediata anterior.

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1. a2
+ b2
+ c2
+ d2
2. a2
+ b2
+ c2
+ d2
+2ab
3. a2
+ b2
+ c2
+ d2
+2ab + 2ac + 2ad
4. a2
+ b2
+ c2
+ d2
+2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd
5. a2
+ b2
+ c2
+ d2
+2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = ( a + b + c + d )2
¿Tienen la misma superficie los cuadrados A y 5?
Si
Luego podemos escribir: (a + b + c + d)2
= a2
+ b2
+ c2
+ d2
+2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
8. Dadas las longitudes a, b y c, representa en la trama cuadrangular mediante superficies
las expresiones algebraicas siguientes:
 a2
+ b2
 (a + b)2
 a2
- b2
 a2
+ b2
+ c2
 (a + b + c)2


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Soluciones:
a2
+ b2
(a + b)2
a2
- b2

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a2
+ b2
+ c2
(a + b + c)2

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9. Escribe de forma algebraica:
La suma de los cuadrados de tres números cualesquiera
a2
+ b2
+ c2
El cuadrado de la diferencia de dos números
(a – b)2
La suma de los cuadrados de dos números
a2
+ b2
El cuadrado de la suma de tres números
(a + b + c)2
La diferencia de cuadrados de dos números
a2
- b2
El cuadrado de la suma de cuatro números...
(a + b + c + d)2
Bibliografía:
SIGMA. Págs. 6-52 del número 18 de la Revista de Matemáticas. Servicio Central de
Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao. 1997.

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TAREA 3
Pienso que el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos posibilita una mejor
relación del estudiante con la matemática y con el mundo, en la medida en que establece por
medio de sus tres ejes conceptuales diversas relaciones entre las distintas formas de promover
procesos de variación. Además es importante el uso de patrones y regularidades para mejorar la
eficiencia de la enseñanza con relación a unos procesos de observación e interpretación de
situaciones algebraicas que posibilita desde una perspectiva dinámica los procesos de
experimentación, reflexión, construcción de significados y formas de expresar la generalidad como
resultado de los procesos de modelación matemática de diferentes tipos de situaciones.
EVALUACIÓN
Yo considero que esta guía es demasiado extensa, por lo que diría que la solución en si misma de
cada una de las actividades podría ser la evaluación, junto con la sustentación de uno de los
puntos de cada actividad.

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