Cartilla profesores matematicas1

Matemáticas DOCENTES
Apreciad@ Maestr@,

En este documento se presenta los aspectos conceptuales que se abordan en los materiales
dirigidos a los estudiantes, así como las respuestas a los ejercicios planteados.

El área de Matemáticas, para este programa se presenta en 10 sesiones, y tiene como
propósito que los estudiantes logren fortalecer las habilidades cognitivas generales como:
observación, comparación, clasificación, asociación, abstracción, comprensión, modelación,
razonamiento y análisis, con el fin de aproximarlos a la comunicación por medio de la lectura
y escritura del lenguaje matemático; apoyándonos a partir de lo expuesto en los lineamientos
curriculares, las competencias básicas y los estándares básicos de competencias para el área
de matemática , sugeridos por el Ministerio de Educación Nacional.

La realización de las actividades propuestas conlleva a que el estudiante fortalezca su
pensamiento matemático adquirido en su paso por la escolaridad y fuera de ella. En las
sesiones se asume la perspectiva integradora de los lineamientos curriculares y estándares
básicos de competencias respecto de los conocimientos, procesos y contextos. Se privilegian
como contextos las situaciones problemáticas enmarcadas en las mismas matemáticas, la
vida diaria y las otras ciencias.

Lo anterior implica realizar un trabajo tanto por las formas de proceder: las competencias,
como por los aspectos conceptuales y estructurales de las matemáticas: los componentes.

Las competencias

Para la construcción de las actividades propuestas en las sesiones, se tuvo en cuenta
el documento de orientación del ICFES, para la elaboración de las pruebas así: el
razonamiento y la argumentación; la comunicación, la representación y la modelación;
y el planteamiento y resolución de problemas. En estas últimas quedan inmersas, desde
luego, la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.

El razonamiento y la argumentación: están relacionadas, entre otros, con aspectos como
el dar cuenta del cómo y del porqué de los caminos que se siguen para llegar a conclusiones,
justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones
problema, formular hipótesis, hacer conjeturas, explorar ejemplos y contraejemplos, probar
y estructurar argumentos, generalizar propiedades y relaciones, identificar patrones y
expresarlos matemáticamente y plantear preguntas, reconocer distintos tipos de razonamiento
y distinguir y evaluar cadenas de argumentos.

La comunicación, la representación y la modelación: están referidas, entre otros aspectos,
a la capacidad del estudiante para expresar ideas, interpretar, usar diferentes tipos de
representación, describir relaciones matemáticas, relacionar materiales físicos y diagramas
con ideas matemáticas, modelar usando lenguaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico
y algebraico, manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas,
utilizar variables y construir argumentaciones orales y escritas, traducir, interpretar y
distinguir entre diferentes tipos de representaciones, interpretar lenguaje formal y simbólico
y traducir de lenguaje natural al simbólico formal.

El planteamiento y resolución de problemas: se relacionan, entre otros, con la capacidad
para formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática, desarrollar,
aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos para la
solución de problemas, justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la
solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida, verificar e interpretar
resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar
solución a nuevas situaciones problema.

Los componentes

Así mismo, en las sesiones no está explícito el campo de pensamiento (componentes) a
trabajar, la idea es lograr la integralidad entre los tres campos de pensamientos propuestos
por el ICFES, para la valoración de las pruebas saber.

El ICFES1, reorganiza los cinco pensamientos descritos en los lineamientos curriculares y
en los estándares básicos de competencias en tres componentes: el numérico-variacional,
el geométrico-métrico y el aleatorio. Esta división no pretende separar la matemática en
elementos discretos; por el contrario, los mismos tienen la intención de proporcionar un
esquema de clasificación útil que describe el espectro total de los componentes matemáticos
planteados en los estándares.

Numérico-variacional: indaga por la comprensión de los números y de la numeración,
el significado del número, la estructura del sistema de numeración; el significado de las
operaciones, la comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre
ellas; el uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos, el
reconocimiento de regularidades y patrones, la identificación de variables, la descripción de
fenómenos de cambio y dependencia; conceptos y procedimientos asociados a la variación
directa, a la proporcionalidad, a la variación lineal en contextos aritméticos y geométricos, a
la variación inversa y al concepto de función.
Geométrico-métrico: está relacionado con la construcción y manipulación de
representaciones de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos y sus transformaciones.
Más específicamente, con la comprensión del espacio, el desarrollo del pensamiento visual,
el análisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacio a través de la observación
de patrones y regularidades, el razonamiento geométrico y la solución de problemas de
medición, la construcción de conceptos de cada magnitud (longitud, área, volumen, capacidad,
masa, etc.), comprensión de los procesos de conservación, la estimación de magnitudes, la

apreciación del rango, la selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos, el
uso de unidades, la comprensión de conceptos de perímetro, área y volumen.

Aleatorio: indaga por la representación, lectura e interpretación de datos en contexto; el
análisis de diversas formas de representación de información numérica, el análisis cualitativo
de regularidades, de tendencias, de tipos de crecimiento, y la formulación de inferencias
y argumentos usando medidas de tendencia central y de dispersión; y el reconocimiento,
descripción y análisis de eventos aleatorios.

LOS MATERIALES PARA LOS ESTUDIANTES.

En cada sesión se presenta una serie de procesos, los cuales pretenden desarrollar una
pregunta, que permite despertar el interés de los estudiantes. Lograr lo anterior exige
disciplina y atención. Es necesario, complementar estas sesiones con situaciones problema
que puedan ser solucionadas desde la matemática y den cuenta de la aplicación de las
temáticas propuestas.

Es importante en este trabajo fortalecer la interacción entre el maestro, el estudiante
y los compañeros, a través de la exploración, esta permite llegar a resultados visibles
de comunicación, interpretación y representación, permitiendo hacer visible que la
matemática, está íntimamente relacionada con la realidad y con las situaciones que rodean
al estudiante.

De la misma manera, la matemática se encuentra ligada al desarrollo del pensamiento racional
(razonamiento lógico, abstracción, rigor y precisión), y es esencial para el desarrollo de la
tecnología y la ciencia; por tanto, se debe propiciar espacios de discusión y argumentación,
que favorezca el desarrollo individual.

Se inicia con actividades que requieren mediciones, transformación de figuras planas
mediante ampliaciones y reducciones, y que involucran relaciones de semejanza a partir de
repetición de figuras hallando áreas y volúmenes de objetos de forma no regular.

Es interesante mirar la transformación del lenguaje común al lenguaje matemático y viceversa;
para aplicar estos conocimientos en las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y
división) del algebra, se sigue el estudio con nuevos términos y la familiarización de ellos.
Este camino se recorre a partir de la geometría, tomando conceptos básicos de esta como
son: longitud, perímetro, área y volumen.

En la siguiente rejilla se presenta en cada sesión, la pregunta, los estándares y las temáticas
propuestas. Es necesario, complementar estas sesiones con otras situaciones problema que
puedan ser solucionadas desde la matemática y den cuenta de la aplicación de los conceptos
matemáticos.

SESION PREGUNTA ESTANDARES TEMATICAS

Medidas de Longitud,
Reconozco y empleo unidades de conversión de unidades de
longitud en el sistema métrico medida.
decimal. Polígonos regulares e
¿Cómo se Resuelvo y formulo problemas en irregulares
1 relaciona arte y contextos de medidas relativas y de Perímetro de polígonos
geometría? variaciones en las medidas. Operaciones con números
Utilizo técnicas y herramientas para naturales
la construcción de figuras planas y Operaciones con números
cuerpos con medidas dadas. decimales
Homotecias- Semejanza

Predigo y comparo los resultados de
Ángulos Internos y Líneas
aplicar transformaciones
notables de un triangulo
Rígidas (traslaciones, rotaciones,
Medidas de superficie,
reflexiones) y homotecias
conversión de unidades de
(ampliaciones y reducciones)
medida de área.
sobre figuras bidimensionales en
¿Cómo mejoras Área de triángulos y
situaciones matemáticas y en el arte.
2 tu percepción cuadriláteros
Identifico características de
espacial? Área y volumen de
localización de objetos en sistemas
figuras por composición y
de representación cartesiana y
descomposición
geográfica.
Medidas de volumen,
Identifico relaciones entre distintas
conversión de unidades de
unidades utilizadas para medir
volumen.
cantidades de la misma magnitud.

Variable
Calculo áreas y Volúmenes a través
Términos algebraicos,
de composición y descomposición
Expresiones algebraicas
de figuras y cuerpos.
¿Cómo me Términos semejantes
Resuelvo y formulo problemas
expreso en Reducción de términos
3 usando modelos geométricos
el lenguaje semejantes
Uso representaciones geométricas
algebraico? Suma de expresiones
para resolver y formular problemas
algebraicas
en las matemáticas y en otras
Sustracciones de
disciplinas.
expresiones algebraicas

Generalizo procedimientos de
cálculo validos para encontrar el
perímetro y área de regiones planas Multiplicación de
¿Cómo relaciono
y el área y volumen de sólidos. expresiones algebraicas
4 el algebra y la
Establezco propiedades de División de expresiones
geometría?
congruencia y semejanza en algebraicas
figuras bidimensionales y objetos
tridimensionales.

Uso representaciones geométricas
¿Cómo relaciono Productos notables
para resolver y formular problemas
5 la geometría con Factorización de
en las matemáticas y en otras
el algebra? expresiones algebraicas.
disciplinas.

Establezco relaciones entre
propiedades de las gráficas y
¿Cómo propiedades de las ecuaciones Datos, variables, graficas
6 represento las algebraicas proporcionalidad directa
funciones? Describo y represento situaciones e inversa
de variación relacionando diferente
representaciones.
Comparo e interpreto datos
provenientes de diversas fuentes
(prensa, Revistas, televisión,
experimentos, consultas,
entrevistas).
¿Cuáles son los Interpreto, produzco y comparo
Frecuencia absoluta
problemas màs representaciones gráficas adecuadas
7 Diagramas de barras
precuentes en los para presentar diversos tipos
Media y moda
jóvenes? de datos. (diagramas de barras,
diagramas circulares.)
Uso medidas de tendencia central
(media, mediana, moda) para
interpretar comportamiento de un
conjunto de datos.
¿Me ayudan Variable, ecuación,
Reconozco el lenguaje algebraico
las ecuaciones cantidad, incógnita.
8 como forma de representar procesos
a solucionar Equivalencia entre
inductivos
problemas? cantidades.

Reconozco la posibilidad o la
imposibilidad de ocurrencia de un
evento a partir de una información Datos, probabilidad,
¿Qué pasará el
9 dada o de un fenómeno posibilidad,
día de hoy?
Reconozco relaciones entre incertidumbre.
un conjunto de datos y sus
representaciones
Reconozco patrones en secuencias
¿Cómo numéricas Conjuntos numéricos,
reconozco Interpreto tendencias que se patrones secuencias,
10 patrones en presentan en un conjunto de relaciones y operaciones
conjuntos variables relacionadas entre los elementos de los
numéricos? Reconozco el uso de propiedades y conjuntos numéricos.
relaciones de los números reales

A continuación te presentamos algunas de las soluciones de las diferentes actividades y
ejercicios propuestos, en cada una de las sesiones.

Intensificación Matemáticas - Unit 1 CORPORACIÓN INTERNACIONAL
PARA EL DESARROLLO EDUCATIVO

SESION 1

¿CÓMO SE RELACIONA LA GEOMETRÍA Y EL ARTE?

PROCESO 1: COMPARACIÓN DE PERÍMETROS Y ÁREAS

Observa un tablero de ajedrez, decimos que es una teselación hecha a partir de
cuadrados.

Halla el perímetro del cuadrado
4+4+4+4=16cm
pequeño
Escribe el perímetro del tablero de
32+32+32+32=128 cm
ajedrez
Escribe la relación = 16/128=1/8 La relación es 1 a 8
¿Cuál es el área total del tablero? 32cmX33=1028cm2
Compara el área del tablero con el área El cuadrado pequeño ésta
del cuadrado pequeño ¿Cuántas veces Contenido 64 veces en el
está contenida el área del tablero pequeño tablero
en el tablero? 1024/16=64

NOMBRE DEL POLÍGONO PERÌMETRO ÀREA
Cuadrado 4L=16cm L2 =16cm2
Rombo P=4√5 A=2(bxa)/2=6cm2
Triángulo P=10+√32 = 15,6 cm A=5x4/2=10cm2
Rectángulo 5+4+5+4=18cm A=5x4=20cm2
Trapecio P=6+2+√5+√18=14.47 A=3(8/2)=12cm2
Paralelogramo P=4+4+2√5=12,47cm A=4x3=12cm2

PROCESO 2: NÚMEROS POLIGONALES

Elabora los siguientes 5 números Los estudiantes dibujarán los triángulos
triangulares siguiendo el ejemplo dado.
Si la distancia entre dos puntos
consecutivos es 3 cm, el perímetro del P = 3+3+3 = 9 cm.
triángulo que ocupa la posición dos es:
El perímetro del triángulo de la posición
P = 3* 12 = 36
cinco es:
La relación entre el número de la posición
36 ⁄ 9, la relación es 4 a 1
cinco y el que ocupa la posición dos es:

♦♦♦ 7 ♦♦♦

CORPORACIÓN INTERNACIONAL
PARA EL DESARROLLO EDUCATIVO Matemáticas - Unit 1 Intensificación

NÚMEROS HEXAGONALES

El estudiante dibujará al menos las
Elabora los siguientes 5 números
tres figuras siguientes, necesarias para
hexagonales
calcular los siguientes Ítems.
Si la distancia entre dos puntos consecutivos
es 3 cm, el perímetro del hexágono que P = 3*6 =18 cm
ocupa la posición dos es:
El perímetro del hexágono de la posición
P = 3*24 = 72
cinco es:
La relación entre el número de la posición
72/18 = 4, la relación es 4 a 1
cinco y el que ocupa la posición dos es:

PROCESO 3: TU RETO

Observa la figura

Escribe el perímetro del rectángulo:
P = 2y + 4x

Si el largo (base) del rectángulo es 2X Escribe el área de la región sombreada:
y el ancho (altura) es Y unidades. A = 2xy / 2 = xy

Observa la figura y completa la tabla.

Area región = área círculo grande – área circulo
pequeño.
Ag = 25 π = 78.54 cm2
Ap = 12.56cm2
Área Región = Ag - Ap
= 65.98cm2

♦♦♦ 8 ♦♦♦


Si el diametro del círculo grande es
10cm y el radio del círculo pequeño Escribe el valor de la región sombreada:
es 2 cm.

Observa la figura y completa la tabla.

Escribe el proceso para hallar el área
sombreada:
Cada estudiante escribirá una breve explicación
que según él se debe seguir

Expresa el perímetro del cuadrado:
Si la longitud del lado cuadrado
3x + 3x + 3x + 3x + = 12x
es 3X.
Expresa el área del cuadrado: (3x)2 = 9x2
Expresa el perímetro de la región sombreada:
P = 12x
Observa la región sombreada. Expresa el área de la región sombreada:
Consta de cinco cuadrados de lado 5 * x2 = 5x2
X, es decir, el área de cada uno es , Escribe la relación entre el área del cuadrado y
luego el área de esta región es el área de la región sombreada:
9x2 / 5x2 = 9 / 5 = 1,8, la relación es 9 a 5 ó
1.8 a 1

El plano representa un apartamento de interés social.

Ancho: 3,5 cm
Largo 5.5cm
Hallar el perímetro, sí la escala utilizada es:
1cm = 2m
P = 36cm =7200cm= 72m

Halla el área del apartamento

A = 3.5*5.5=19.25 cm2 = 77m2

♦♦♦ 9 ♦♦♦


SESION 2

¿CÓMO MEJORAS TU PERCEPCIÓN ESPACIAL?

PROCESO 1: DESDOBLEMOS FIGURAS. EL CUBO

Cada cuadro tiene área= 4cm2
¿Cuál es el área total del cubo?
Área total = 6 *4cm2 =24cm2

Observa las siguientes figuras, halla el área total y el volumen.

Área total (material
Figura
necesario para la Volumen de la figura
tridimensional
construcción)

6 caras cada una con área
9cm2. V=l3
Figura 1 Luego área total=6*9cm2= V = (3cm)3 = 27 cm3
54cm2.

4 caras de área (4 cm*2cm =
8 cm2) = 32cm2 Volumen = largo*
2 caras de área (4 cm*4cm = alto*ancho
Figura 2
16 cm2)= 32cm2 V = 4cm*4cm*2cm
Área = 32cm2+32cm2= 64 V=32cm3
cm2

Para comparar el área de la figura uno con respecto al área de la figura dos.

Expresa la relación entre el volumen del cubo
27 / 16 = 1.68, la relación es 1 a
de la figura uno con respecto al volumen del
1.68
cubo de la figura dos.

♦♦♦ 11 ♦♦♦


Trabaja en grupo:

Halla el área total y el volumen de los dos prismas pentagonales de la tabla.

El área total es: 2 caras de 5√2cm2+5 caras
Se calcula como en el anterior
de área 3cm2.
El área total = 126 cm2
Área total= 15cm2 +10√2cm2=29cm2
El volumen es =344 cm3
El volumen es: 3*5√2=21.2cm3

En la siguiente tabla encuentras tres (3) sólidos conocidos. Completa la tabla hallando el
área total y el volumen de cada sólido.

Representación tridimensional Sólido desdoblado Área total
Pirámide

A= 165 cm2

V=25cm2*7cm =
175 cm3

♦♦♦ 12 ♦♦♦


Cilindro A = área de dos
círculos + área del
rectángulo
A = 54.6 cm2 +
129cm2 = 183 cm2

V = área de la base *
altura
V = 27.3cm2*7cm =
169.2cm3

Prisma
A= 9m2+6m3+3m2 =
18m2

V = 9m3

PROCESO 2: ELABORA EL CUBO SOMA

En este proceso, las medidas y cálculos pueden variar según el tamaño del cubo soma para
cada estudiante, la intención de esta actividad, es que el mejore la percepción espacial y a
la vez pueda hacer ejercicios de comparación de áreas y volúmenes.

PROCESO 3: TU RETO

Esta actividad la puedes realizar en clase si te queda tiempo o en casa, es importante que
consultes a tu profesor y compares tus respuestas.

Observa los puntos y únelos formando cuerpos geométricos

Se hacen siguiendo el ejemplo.

♦♦♦ 13 ♦♦♦


SESION 3

¿CÓMO ME EXPRESO EN EL LENGUAJE ALGEBRÁICO?

1C+1L=1E
2E=3CH
1E=1C+1M Términos ó variables de una igualdad matemática
1T=2CH+1E+1C

PROCESO 1: LENGUAJE ALGEBRAICO

Escribe al frente de cada expresión su traducción en lenguaje algebraico.

1. La quinta parte de 40 más la octava parte de 56 = 40 + 56
5 8
2. El doble de la quinta parte de 30 = 2

3. Los dos tercios de cuarenta y dos

4. El veinte por ciento de ochenta 20% (80)

5. El dieciséis por ciento de cuatro mil 16% (4000)

6. Los cuatro tercios de veinticuatro

7. Los nueve quintos de treinta

8. Cuatro veces los dos quintos de cien 4

9. Tres veces los cinco tercios de siete 3

10. El triple de veinticinco 3*25
11.

PROCESO 2: EXPRESA PERÍMETROS Y ÁREAS

Expresa el perímetro y el área de cada una de las figuras.

♦♦♦ 15 ♦♦♦


FIGURA PERÍMETRO ÁREA

Figura 1 P=2x+4x=6x A=2x*x=2x2

Figura 2 P=2x+6x=8x A =3x*x =3x2

Figura 3 P =4x A = x2

Figura 4 P = 4x+12x=16x A=6x*2x=12x2

Figura 5 P = 4x+4x= 8x A =2x*2x=4x2

PROCESO 3: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresa el perímetro y el área de cada una de las figuras y completa la tabla:

Ficha Perímetro Área
P= 2+x A=1/2 x *1
1 cm = 1/2x
1x
2
P=4x+2 A=2x
1 cm
2x
P=6x+4 A=6x

2 cm
3x
P=8x+8 A=16x

4 cm
4x

Figura 1:

P= 5+4x+4+3.5x+1+1/2x=8x+10
A=16.5x

♦♦♦ 16 ♦♦♦


Figura 2

P=2x+3x+x+2+3+1=6x+6
A= 8x

Figura3

P=15x+8
A= 22.5x

PROCESO 4: TU RETO

Esta actividad la puedes realizar en clase (si te queda tiempo) o en casa. Es importante
que consultes con tu profesor y compares tus respuestas.
1. Expresa los números del 1 al 20 utilizando cuatro veces el número 4 y las operaciones
básicas.
Existen distintas formas de crearlos, un ejemplo de ello es:

2. Encuentra ¿Cuántos números 3 hay entre 0 y 40?

3,13,23,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39, en total hay 14 números tres.

3. Resuelve las siguientes situaciones.

a. En un control de carretera se examinan las llantas cada 10 carros, los frenos cada 6 y
las luces cada 15. A un vehículo se le hace revisión completa luego de estos sucesos.
¿En qué vehículo se vuelve hacer otra revisión completa?.

10 6 15 2

5 3 15 3 mcm = 2 x 3 x 5=30

5 1 5 5

1 1 1

♦♦♦ 17 ♦♦♦


En el vehículo número 30

b. Sandra compró 182 galletas 156 chocolatinas y 260 dulces. Quiere saber cuál es
el mayor número de amigos que puede invitar a una fiesta para que todos coman el
mismo número de cada golosina. El número de invitados es:
182 156 260 2
91 78 130 13 MCD = 2 x 13 = 26
7 6 10

Puede invitar a 26 amigos.

c. Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble.
Hallar las edades respectivas de padre e hijo hace 14 años.

X= Edad actual del padre
Y= Edad actual del hijo
X – 14 =3(y - 14)
X=2Y
Luego
X= 28 y Y = 56

d. La edad de A es el triple de la de B y la de B es 5 veces la de C. B tiene 12 años más
que C ¿Qué edad tiene cada uno?

A = 45
B = 15
C=3

4. SECUENCIAS NUMÉRICAS: Para solucionar lo propuesto en esta sesión cuentas
con 30 minutos.
Analiza cada una de las secuencias y escribe los números que faltan en los espacios
horizontales, observa el ejemplo de la primera fila.

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
4 16 36 64 100 144 256 324 400 484
1 9 25 49 81 121 169 225 289 361
1 3 9 27 81 243 729 2187 6551 19653
59 57 55 53 51 49 47 45 43 41
49 42 35 28 21 14 7 0 -7 -14
64 56 48 40 32 24 16 8 0 -8
21 18 15 12 9 6 3 0 -3 -6

♦♦♦ 18 ♦♦♦


SESION 4

¿CÓMO RELACIONO LA GEOMETRÍA CON EL ALGEBRA?

PROCESO 1:
CONSTRUYE SUPERFICIES POR COMPOSICION DE FIGURAS

FIGURA PERÏMETRO ÁREA
FIGURA 1 P=4X A=X2
FIGURA 2 P=2X+2 A=X
FIGURA 3 P=4 A=1

1

X

X 1 1

Expresa el perímetro y área de la figura anterior.
P = 4x + 6
A = x2 +3x + 2

Dibuja la distribución de las fichas utilizadas para armar cada una de las figuras
anteriores
Aquí el estudiante hace un dibujo de cómo irían distribuidas las fichas en el área dada,
siguiendo el ejemplo de la figura anterior.

♦♦♦ 19 ♦♦♦


Expresa el perímetro y el área de cada figura

FIGURA PERÏMETRO ÁREA
FIGURA 1 P=4X + 8 A=X2 + 4X + 4
FIGURA 2 P=4X + 16 A=X2 + 8X + 15
FIGURA 3 P=4X + 12 A=X2 + 6X

En las figuras anteriores al expresar el área obtuviste expresiones como estas:

Figura 1: (x+2) (x+2) = x2 + 4x +4
Figura 2: (x+3) (x+6) = x2 + 9x +18
Figura 3: x(x+6) = x2 + 6x

¿Qué similitud encuentras con los Concepto personal del estudiante
productos notables? sobre este tema.

PROCESO 2: PRÁCTICA SOLUCIÓN DE ALGORITMOS

DIMENSIONES:
LARGO Y ANCHO ÁREA DE LA FIGURA
(x+3) (x+5) A=X2+3X+5X+15= X2+8X+15
(2x+5) (3x+2) A=6X2+4X+15X+10= 6X2+19X+10
(x+7) (4x+3) A=4X2+3X+28X+21= 4X2+31X+21
(x-1)2 A=X2-2X+1
(x+3) (x-3) A= X2+3x-3x-9=x2-9
(x+4) 2 A= X2+8x+16
(x-3)2 A= X2-6x+9
(x-4) (x-3) A= x2-7x+12
(3x-4) (x+3) A=x2+5x-12
(x-4) (x+4) A= X2-16
3x(x+2) A= 3x2+6x
(x+5) (x-2) A= x2+3x-10
(x+8) (x-2) A=x2+6x-16
4x (x-1) A=4x2-4

♦♦♦ 20 ♦♦♦


PROCESO 3: TU RETO

Diferencias:

Flor Mariquita. Abajo frente al caracol

Mariquita en hoja atrás caracol Florecita, abajo caracol

Falta una hoja en tallo flor Rayas sobre concha caracol grande

Enuncia cuántas posibilidades tiene la hormiga para llegar al punto B.

♦♦♦ 21 ♦♦♦


Las expresiones algebraicas de la derecha corresponden a la medida del área ó volumen de
las figuras de la izquierda, une con una línea la expresión con la figura correspondiente:

♦♦♦ 22 ♦♦♦


SESION 5

¿CÓMO RELACIONO LA GEOMETRÍA CON EL ALGEBRA?

PROCESO 1: HALLA AREAS DE SUPERFICIES POR DESCOMPOSICIÓN DE
FIGURAS

Construye el rectángulo con las fichas, dibújalo y escribe la magnitud de sus lados.

PROCESO 2: PRÁCTICA LA SOLUCIÓN DE ALGORITMOS

Largo: X+3
Ancho: X+3

♦♦♦ 23 ♦♦♦


Longitud de los
Expresión Dibuja de acuerdo a la distribución lados
algebraica de las fichas que la forman.
Largo Ancho

9x + 3 3x+1 3

3x+2 X+1

2x 2x+1

2x+3 2x+3

X+3 X+3

PROCESO 3: TU RETO

RESPUESTA: 4

RESPUESTA: 30 días

RESPUESTA: Existen varias soluciones, cada estudiante debe plantear la suya.

♦♦♦ 24 ♦♦♦


SESION 6

¿CÓMO REPRESENTO LAS FUNCIONES?

PROCESO 1: IDENTIFICA VARIABLES

El valor que paga Manuel, si consume 42 Kwh es CT = 20240 + 1494 * 42
de: CT = 62548

PROCESO 2: ESTABLEZCO RELACIONES

El valor del perímetro es: El valor del área es:
P = 4x A = x2

Teniendo en cuenta la longitud del lado (valor que puede tomar X) completa la tabla.

Longitud del lado cm Perímetro cm Área cm2
1 4 1
2 8 4
3 12 9
4 16 16
… … …
x 4x X2

Escribe.

¿Cómo varía el perímetro del cuadrado en
Varia de forma lineal, de cuatro en cuatro
función de la longitud del lado?

¿Cómo varía el área del cuadrado en Varía de forma cuadrática, elevando al
función del la longitud del lado? cuadrado el lado
Escribe la expresión algebraica que P = 4L
muestre las afirmaciones anteriores. A = L2

♦♦♦ 25 ♦♦♦


PROCESO 3: ANALIZA GRÁFICAS

Analiza y resuelve las siguientes situaciones:

Un automóvil sale de la ciudad A con
una velocidad constante de 60 km/h Multiplico la velocidad del auto por el
¿Cómo calculas la distancia recorrida por tiempo transcurrido en horas.
el automóvil en un tiempo determinado?
A qué distancia de la ciudad se encontrará
el automóvil al cabo de 1 1/2 hora, de 2
hora, 2 1/2 horas, horas y 3 horas?

Organiza los valores en una tabla de datos

TIEMPO DISTANCIA
1 0
1½ 90
2 120
2½ 150
3 180

Elabora la gráfica cartesiana donde se relaciona distancia recorrida por el auto a medida
que transcurre el tiempo.

¿Cómo es el comportamiento de la distancia recorrida Es directamente
por el automóvil a medida que pasa el tiempo? proporcional al tiempo.

♦♦♦ 26 ♦♦♦


Analiza gráficas

Sandra preocupada por el tipo de ropa que debe llevar a un paseo; pregunta sobre el clima
de los lugares donde debe ir y recibe la siguiente información:

¿Cuál es el lugar más caliente? Cartagena
¿Qué lugares tienen la misma
Santa Isabel y Nevado del Ruiz
temperatura?
¿Qué puedes inferir ò deducir de la
información consignada en la gráfica?

PROCESO 3: TU RETO

Partición 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tamaño de la hoja 1

Gráfica los datos de la tabla en un plano cartesiano partición vs tamaño de la hoja

♦♦♦ 27 ♦♦♦


¿Qué tipo de función se presenta? Es una función de tipo exponencial
¿Cuántas particiones crees que se Infinitas, aunque en la realidad el papel
pueden hacer? no lo permita.

TIEMPO (horas) DISTANCIA (Metros)
0 10
1 5
2 2.5
3 1.25
4 0.625
5 0.3175
6 0.156

Realiza una gráfica con los datos de la tabla tiempo vs distancia.

¿Es posible que algún día el escarabajo NO, Pues siempre le faltará la mitad de
llegue a la cueva si continúa acercándose la distancia por recorrer, no importa que
bajo la misma condición? esta sea infinitamente pequeña.

♦♦♦ 28 ♦♦♦


SESIÓN 7

¿CUÁLES SON LOS PROBLEMAS MÀS PRECUENTES EN LOS JÓVENES?

¿Cómo conocerías los problemas de tus Preguntándoles, recogiendo y analizando
compañeros? esta información.
¿Qué podrías aportar en la solución de los Hablar con padres, compañeros,
conflictos de tu curso ó colegio? profesores y directivos.

PROCESO 1: ORGANIZO E INTERPRETO INFORMACIÓN

FRECUENCIA
DATO-GENERO MUSICAL
ABSOLUTA
Reggeton 11
Vallenato 7
Balada rock 4
Salsa 4
Hard rock 4
Rock 7
Ninguno 3
TOTAL 40

♦♦♦ 29 ♦♦♦


¿Cuál es la moda? Reggaetón
¿Cuál es la mediana?
Escribe tu opinión acerca de los
datos obtenidos en la encuesta hecha El Reggaetón es la música que más
anteriormente. escuchan los jóvenes
¿Crees que es representativa para los
jóvenes de tu edad?

PROCESO 2: ANALIZO INFORMACIÓN

FRECUENCIA
DATO-HOBBIE
ABSOLUTA
Bailar 16
Dormir 8
Jugar 6
Leer 5
Caminar 5
TOTAL 40

¿Cuál es el hobbie que prefieren los
Bailar
jóvenes de grado octavo?
En estadística ¿Qué nombre recibe este
Moda
valor?
¿Qué otra forma de presentar esta
En diagramas como el de barras
información podrías utilizar?

PROCESO 3: TU RETO

En este caso el estudiante debe realizar su encuesta, organizar, analizar los datos obtenidos
y realizar una exposición sobre los resultados.

♦♦♦ 30 ♦♦♦


SESION 8

¿ME AYUDAN LAS ECUACIONES A SOLUCIONAR PROBLEMAS?

1. 3 + x = 5 X=2

2. 21 - x = 7 + 2x x = 14 / 3

PROCESO 1 : SOLUCIONA LOS SIGUIENTES CASOS

Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de color rojo y negro, la parte roja es 4 cm
menor que la parte negra Halla la longitud de cada parte.

¿Cómo resolverías este problema?. Escribe el proceso y la solución encontrada.
Se puede presentar una solución por simple observación, ó con ecuaciones:
R: Rojo N: Negro
1. R +N = 84
2. R = N +4
Remplazando en la ecuación 1 el valor de R de la ecuación 2 tenemos:
N + 4 + N = 84
N = 44
Luego R = 40

Δ= 7
Σ=15
♦= 3
۩ =21

PROCESO 2: COSTRUYE TU DOMINO ALGEBRAICO

PROCESO 3: TU RETO

♦♦♦ 31 ♦♦♦


1 plato pesa 1 Kg, 1 jarra pesa 1 KG,

Andres debe pagar $ 6000.

A. colectivos A. 230 D. No hubo incremento.
D. 287 A. 241

EL NÚMERO DE SUERTE

Este es un proceso individual y los resultados dependen de cada estudiante.

♦♦♦ 32 ♦♦♦


SESION 9

¿QUÉ PASARÁ EL DÍA DE HOY?

Escribe 5 situaciones que podrían ocurrir hoy en tu vida y sobre las cuales no tienes
control

Si llueve
Que me llame un amigo lejano
Que conozca alguien nuevo
Que la salir de clase me pase algo
Que me gane la lotería

PROCESO 1: ORGANIZANDO MI VESTUARIO

¿Has calculado cuántas maneras tienes de
intercambiar o combinar las prendas de
vestir que tienes?
Los sacos, los eliges de 2 maneras; las
Si tienes dos sacos (uno rojo y el otro
camisas de 3 formas los jeans de dos
azul), tres camisas diferentes, dos jeans de
formas y las zapatillas de una forma. En
diferente color y un par de zapatillas ¿De
total,
cuántas formas puedes organizar tu pinta
2 x 3 x 2 x 1 = 12 formas de vestir el
del Domingo?
domingo.

♦♦♦ 33 ♦♦♦


PROCESO 2: ELIGIENDO TU SILLA

Escribe el número de posibilidades para
escoger una silla y sentarse, tiene el 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
grupo.
1º 120
A medida que van siendo ocupadas las 2º 24
sillas ¿Cuántas posibilidades le quedan a 3º 6
los demás integrantes del grupo? 4º 2
5º 1

Numera a los integrantes de tu grupo

Número Nombre
1
2
3
4
5

Número de opciones
Número Nombre
para elegir la silla
1
2
3
4
5

¿Cuántas posibilidades tiene el grupo en total para
120
organizarse en las sillas?
¿Cómo lo calcularon? Respuesta individual

Con un dibujo muestra todas las posibilidades que tiene tu grupo para ocupar las sillas

♦♦♦ 34 ♦♦♦


1º 24
2º 6
Si se retira una silla ¿Cómo se alteran los resultados? 3º 2
4º 1
5º no se puede sentar

PROCESO 3: ELIGIENDO REPRESENTANTES:

¿De cuántas formas se pueden elegir estas
Se puede hacer la experiencia para entender
dos personas?
el proceso de combinación
¿Cómo lo hicieron?
En probabilidad ¿Qué nombre recibe este
Combinación 2d5
proceso?

Apostamos.

Si lanzas una moneda al aire tres veces seguidas, que CCC, CCS, CSC, CSS,
resultados puedes obtener: SCC, SSS
¿Qué probabilidad hay de obtener cara en cada uno de los
1 de 2 o sea ½.
lanzamientos?
Si lanzas un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que
6 de 36
los dos muestren el mismo número?
¿Cuál es la probabilidad de que muestren un número par? 1 de 2

PROCESO 4: CONSTRUYO MI BARAJA

¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con círculo? 2 de 8
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con triángulo? 5 de 8
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con cuadrado? 1 de 8
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con el triángulo más grande? 1 de 8

Un evento que tenga probabilidad cero Sacar una carta con un rectángulo

Un evento que tenga probabilidad uno Sacar una carta con un cuadrado
Dos eventos que tengan la misma Sacar un cuadrado ó sacar el triángulo
probabilidad grande
Tres eventos tales que la suma de sus Sacar un circulo, sacar un triángulo y
probabilidades sea uno. sacar un cuadrado

♦♦♦ 35 ♦♦♦


¿Cuántas personas gustan de un solo género musical? 18
¿Cuántos gustan de rock y merengue? 1
¿Cuántas no gustan de ninguno de los tres géneros? 3
¿Cuántos gustan de los tres géneros? 1
¿Cuántos gustan de rock y merengue pero no de reggaetón? Ninguno

PROCESO 5: TU RETO

Juguemos al azar

RESULTADO
PROBABILIDAD
DEL DADO
1 ó 2 2 de 6
3 1 de 6
4ó5 2 de 6
0ó6 2 de 6

¿Cuál es tu probabilidad de ganar en este juego? 2 de 6

Resuelve las siguientes situaciones:

D. 45 A. 17 D. 289/450
A. 6 B. 8 C. 13

♦♦♦ 36 ♦♦♦


SESION 10

¿CÓMO RECONOZCO PATRONES EN CONJUNTOS NUMÉRICOS?

1. Operaciones

Caso 1: 9876, 987654
Caso 2: 111111, 11111111
Caso 3: 88888, 8888888

2. Regularidad

Caso 1: los números de 9 a 1
Caso 2: Solo 1, aumentan según la posición
Caso 3: solo 8, aumentan según la posición.

PROCESO 1: UBICO LOS NÚMEROS EN LA RECTA NUMÉRICA

¿A qué conjunto de números pertenecen los ubicados
Primos
en la base?
¿Cuál es el patrón que rige la construcción de la
Adición ó suma
pirámide?

¿Cuáles números de la pirámide NO son primos? 8, 12, 18, 30, 33, 50

♦♦♦ 37 ♦♦♦


X -1 3 -5 7

2 -2 6 -10 14

-4 4 -12 20 -28

6 -6 18 -30 42

-8 8 -24 40 -56

10 -10 30 -50 70

¿A qué conjunto numérico pertenecen los números
Enteros
contenidos en la cuadricula?
¿Qué operación realizaste para encontrar los
Multiplicación
valores ocultos?
¿Qué puedes argumentar acerca de los resultados
que se dan al multiplicar fila por columna?

¿A qué conjunto de números pertenecen los
Racionales
ubicados en la base?

¿Cuál es el patrón que rige la construcción de la
Adición ó suma
pirámide?

Explica brevemente el proceso de suma y resta de
números racionales.

Siguiendo las reglas de suma, resta y multiplicación de números decimales construye la
siguiente escalera de arriba hacia abajo y teniendo en cuenta que a = 0.35

♦♦♦ 38 ♦♦♦


PROCESO 3: TU RETO

Espejos

Suponga que la línea recta frente a la figura es un espejo, dibuja la imágen que se refleja
en cada caso:

• -2 es a 4 como _-4___es a 16
• 3 es -27 como 6 es a _-54_____
• 1 / 2 es 2 / 4 como 3 es a __6____
• m0,25 es a 0,75 como 0,122 es a _0.366____
• _3____ es a 21 como 8 es a ___24___
• 1 es a 47 como 3 es a 141

♦♦♦ 39 ♦♦♦


5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
11 22 33 44 55 66 77 88 99 110
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
80 72 64 56 48 40 32 24 16 8
99 88 77 66 55 44 33 22 11 0
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES

RESPUESTA: $140 y $120

RESPUESTA: $420
5 collares

DESCUBRE EL NÚMERO QUE HACE FALTA

1. 10 es a 6 como 9 es a ____5_____
2. 20 es a 15 como 12 es a____7____
3. 36 es a 30 como 20 es a_____14____
4. 100 es a 25 como 200 es a ____125__
5. 82 es a 73 como 64 es a_____55____

♦♦♦ 40 ♦♦♦


BIBLIOGRAFIA

Las ideas del texto fueron pensadas antes por....

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Estándares Básicos de Matemáticas y
Lenguaje para la Educación básica y media. Mayo de 2003.

1
ICFES, Documento de orientación pruebas saber 2009.

ARDILA, Raquel, Castiblanco, Celia y otros. Espiral, serie de matemáticas para
educación básica secundaria y media. NORMA, 2004.

GAMBOA, Carmen, MARÍN, Javier y otros. El espacio y sus elementos. FUNDAEC,
1986.

PADILLA, Eduardo, MELO Clara y otros. Estrategias matemáticas para el desarrollo de
competencias. EDUCAR, 2003.

VILLEGAS Mauricio y otros. Matemática 2000, segunda edición, VOLUNTAD, 1991.
MURRAY R.Spiegel, LARRY J. Stephens. Estadística tercera edición. Mc GRAW HILL,
2001.
AGUIRRE, Ángel - aap@sauron.quimica.uniovi.es
D. Campos, V. Méndez and J. Fort . (2004).”Description of diffusive and propagative
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http://classes.yale.edu/fractals/Labs/PaperFoldingLab/PaperFoldingLab.html.
http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/150/htm/caos.htm
ALSINA, C. - BURGUÉS, C. - FORTUNY, J. (1991): Materiales para construir la
geometría. Madrid, Ed. Síntesis.
http://electronred.iespana.es/sist_numera.htm

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http://www.monografias.com/trabajos38/origen-numeros/origen-numeros2.shtml

Inteligencia 6. Ed. Voluntad Edición 2003

http://www.comesed.com/Sb/sbt23.htm

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http://www.sectormatematica.cl/librosmat/libronivel1.pdf

Estrategias Matemáticas. Educar Editores. Edición 2005

♦♦♦ 41 ♦♦♦

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