Capitulo 7 derivada e integracion mayra monica

GUIA PARA RARA EL
DOCENTE DE
MATEMATICAS 11
GRADO
Por:
Mayra Jiménez & Mónica Rodríguez
Dirección:
Dr. Rafael Ahumada

2
Análisis matemático
Introducción
Para enseñar matemáticas no es suficiente con dominar el contenido científico. No
basta con un gusto por la enseñanza o buena intuición para seleccionar contenidos,
organizar programas y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Se requiere de
profesores que sientan la necesidad de evaluar los efectos de nuevas propuestas o
hipótesis de aprendizaje, de determinar errores, dificultades y obstáculos,
aprovecharlos para su propia preparación del escenario de enseñanza- aprendizaje, en
que el saber entra en juego, la didáctica de la Matemática (Godino, 2003).
En este curso, se estudia el concepto de las integrales y su aplicación. Esta
temática desempeña un papel fundamental desde el último nivel escolar (11° grado),
hasta los niveles universitarios; A pesar de ser una temática interesante, no deja de ser
un dolor de cabeza para los jóvenes en grado superiores.
Por eso, este trabajo tiene la finalidad de cambiar la concepción que tienen los
estudiantes y profesores acerca de los principios fundamentales del contenido de las
integrales y sus aplicaciones, como también, desistir de la metodología tradicional que
conlleva al estudiante a la memorización de fórmulas y de algoritmos.
Se presenta una nueva alternativa diseñada de tal forma que el estudiante comprenda
cada uno de los procedimientos necesarios para plantear cualquier situación-
problema; donde, tiene la intención de poner en práctica el uso de la didáctica, como
herramienta para la enseñanza fácil de este contenido, su objetivo principal es incluir
al estudiante como parte activa de la enseñanza para que desarrolle la potencialidad
del razonamiento lógico y pueda crear su propio lenguaje significativo. El estudiante
debe saber cuándo aplicar estos conocimientos, por qué funcionan y cómo verificar que
las respuestas que ofrecen son correctas.

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Tabla De Contenido
Introducción.................................................................................................................................................. 2
Capítulo 7........................................................................................................................................................... 4
Derivabilidad e integración............................................................................................................................... 4
Derivada............................................................................................................................................................. 6
Recordemos 1: Rectas Tangentes................................................................................................................. 6
Recordemos 2: Velocidad Instantánea......................................................................................................... 7
Definición de derivada.................................................................................................................................. 8
Definición básica de Derivada: ..................................................................................................................... 9
Diferenciabilidad......................................................................................................................................... 10
teorema De Derivabilidad: ..................................................................................................................... 10
Derivación ................................................................................................................................................... 11
Fórmulas de derivación.......................................................................................................................... 11
Reglas de derivación:.............................................................................................................................. 14
Ejercicios propuestos: ............................................................................................................................ 17
Regla de la cadena....................................................................................................................................... 18
Ejercicios propuestos: ............................................................................................................................ 20
Integración....................................................................................................................................................... 21
Recordemos 1: Área de una región limitada por rectas............................................................................ 21
Recordemos 2: Sumatorias......................................................................................................................... 22
Antiderivadas.............................................................................................................................................. 24
Integral indefinida ...................................................................................................................................... 26
Propiedades de las integrales indefinidas............................................................................................. 27
Tablas de integración inmediata............................................................................................................ 29
Métodos de integración .............................................................................................................................. 31
* Integración por sustitución ................................................................................................................. 31
* Integración por partes ......................................................................................................................... 34
Integral indefinida ...................................................................................................................................... 37
Primer teorema fundamental del cálculo.............................................................................................. 39
Segundo teorema fundamental del cálculo ........................................................................................... 39
Área ......................................................................................................................................................... 42
Calculo de Áreas.......................................................................................................................................... 43
Bibliografía.................................................................................................................................................. 46
Webgrafia.................................................................................................................................................... 46

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Capítulo 7
Derivabilidad e integración
Mayra Alejandra Jimenez Consuegra & Mónica Cecilia Rodríguez Sarabia
Estándares
Pensamiento variacional
 Interpretar las nociones de derivada como razón de cambio instantánea de
cantidades variables y funciones en textos matemáticos.
 Establecer el significado de la variación instantánea de una magnitud respecto a
otra.
 Utiliza las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
 Interpretar la integral definida como el límite de una sumatoria.
 Relacionar derivadas e integrales por medio del teorema fundamental del
cálculo.
Pensamiento numérico
 Utiliza las propiedades de los números reales para interpretar la derivada como
un número que da sentido a la razón de cambio instantáneo entre las cantidades
de dos magnitudes
Pensamiento espacial
 Ampliar el conjunto de figuras geométricas a las cuales se les puede calcular área
o volumen

5
Un paseo por la historia
Históricamente el concepto de derivada fue desarrollado casi paralelamente por Isaac
Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Las primeras publicaciones relacionadas con el
tema fueron de Leibniz; sin embargo, se han encontrado manuscritos que evidencian
que el trabajo de Newton es anterior. Esta situación derivo indispuestas entre los
científicos partidarios de uno y otro, debido a la rivalidad entre Inglaterra y Alemania
Newton llego al concepto de derivada estudiando las rectas tangentes a una curva,
mientras que Leibniz lo hizo estudiando la velocidad de un móvil. Siendo profesor
Cambridge, Newton publicó su obra máxima titulada Philosophiae Naturalis Principia
Matemática, que resumía en tres libros sus descubrimientos en física y matemáticas,
aunque con una notación bastante complicada y difícil de leer y comprender. En el libro
tercero, Newton presenta su teoría de las fluxiones, conceptualmente equivalente a las
derivadas. Leibniz por su parte, fue quien introdujo la mayor parte de la notación del
cálculo diferencial e integral. Fue el primero en utiliza “función”, el símbolo “=” para la
igualdad y los símbolos “
𝑑𝑦
𝑑𝑥
" y " ∫ " para denotar la derivada y la integral
respectivamente. La facilidad en la utilización de la notación contribuyó a que el
desarrollo del cálculo fuese más rápido en el continente Europeo que en Inglaterra. El
problema de la recta tangente a una curva, junto con el problema de los extremos
relativo (máximos y mínimos), son las aplicaciones graficas más conocidas de la
derivada.
Un tipo de problema que dio origen al
cálculo en el siglo XVII consistió en
encontrar longitudes de curvas, áreas
limitadas por curvas y volúmenes limitados por superficies. Arquímedes utilizo hace
dos mil años un método que consistía en utilizar regiones poligonales que aproximaran
el área de la región dada; aumentando luego el número de lados se buscaba que la nueva
región poligonal aproximara mejor el área y así se continuaba el proceso, tratando de
llenar la región dada (método llamado de exhaución).

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Derivada
Recordemos 1: Rectas Tangentes
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función f, en el punto x0 como se muestra en la figura.
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Como se observa en la
siguiente figura.

7
La pendiente de la recta secante entre los puntos (X0, f(X0)) y (X0 + h, f(X0+h)) sería
msec =
𝑓(X0+h )−𝑓(𝑥0)
ℎ
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más
pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y
resolveríamos nuestro problema; es decir:
Recordemos 2: Velocidad Instantánea
Suponga que se tengan la ecuación del espacio recorrido por un móvil, y que sea función
del tiempo; es decir e=f (t). Suponga ahora que se quiere determinar la velocidad media
Vm en un intervalo de tiempo [t0+t0+h] esta estaría dada por:
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo
Δt cada vez más pequeño; es decir:
Es interesante notar que la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la
pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará
la definición de la derivada.

8
Definición de derivada
ɳ(x) =
𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎 )
− − − − − − − − −
𝑥 − 𝑎
; X≠ 𝑎
tangӨ =
𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎 )
− − − − − − − − −
𝑥 − 𝑎
= ɳ(x)
ɳ(x) es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A= (a, f(a))
Bx= (x, f(x)); x ≈ a; x ≠ a
Si f representa la distancia de un móvil que se desplaza de a hacia x, x es el tiempo.
ɳ(x): velocidad promedio del móvil entre A= (a, f(a)) y Bx= (x, f(x)).
Interpretación:
 ɳ(a): es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto x=a
 ɳ(a): velocidad instantánea en x=a.

9
Definición básica de Derivada:
Cuando la derivada en " x0" existe se dice que es f es diferenciable en " x0”.
Otras notaciones que se emplean para la derivada son: y´ o Dxy, Leibniz utilizó la
notación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. En cualquier caso, la derivada en "x" sería:
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥 )
− − − − − − − − −
ℎ
Ejemplo: empleando la definición de derivada f(x) = 2x+1
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥 )
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
[2(𝑥 + ℎ) + 1] − [2𝑥 + 1]
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + 2ℎ + 1 − 2𝑥 − 1
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
2ℎ
− −
ℎ
= lim
ℎ→0
2 f´(x) =2

10
Ejemplo: empleando la definición de derivada f(x) = X2
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥 )
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2
− 𝑥2
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 𝑥2
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)2
− − − − − − − − −
ℎ
= lim
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ)
𝑓´(𝑥) = 2𝑥
Resuelva los siguientes ejercicios: empleando la definición de derivada.
1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2
2. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 − 3
4. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2
+ 𝑥 − 1
5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
DIFERENCIABILIDAD
Ahora se tratará de especificar las condiciones para que la derivada de una función de
una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o
diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para
funciones de una variable real.
TEOREMA DE DERIVABILIDAD:
Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en “X0” entonces
no es diferenciable en "X0 ".También debe entenderse que no toda función continua es
diferenciable.

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DERIVACIÓN
El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se
lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de
técnicas y reglas.
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas
siguientes:
DEMOSTRACIONES: A continuación algunas demostraciones de las formulas.

12
el resto de demostraciones las dejamos para el lector.

13
Si f(x)=4 entonces 𝑓´(𝑥) = 0 (formula 1)
si f(x)= 𝑥2
entonces f´(x)=2𝑥2−1
= 2x (formula 3)
si f(x)=√ 𝑥 = (𝑥)1/2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓´( 𝑥) =
1
2
𝑥
1
2
−1
=
1
2√ 𝑥
(formula 3)
hallar la ecuación de la recta tangente a f(x)= 𝑥3
en x=1
La ecuacion de una recta y su pendiente estan dadas por:
y-y0=m(x-x0)
el punto seria x0=1 y y0 = f(x0) = (1)3
= 1
la pendiente sería mtg= f´(x0)= f´(1)=3x2|x-1= 3
Ejemplo (1):
Ejemplo (2):
Ejemplo (1):
Ejemplo (4):

14
por lo tanto la ecuacion de la recta tangente sería y-1 = 3(x-1)
REGLAS DE DERIVACIÓN:
DEMOSTRACIONES

16
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.
Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de
correspondencias un tanto más complejas en su forma.
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)
Ejemplo 2 (derivada de suma y resta)
Ejemplo 3 (derivada del producto)
Otro ejemplo de la derivada del producto
Ejemplo 4 (derivada del cociente)

17
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.

18
REGLA DE LA CADENA
Ejemplo 1

19
Ejemplo:
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

20
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son

Integración
Recordemos 1: Área de una región limitada por rectas
Consideremos la siguiente
región rectangular limitadas por
las rectas
𝑥 = −2, 𝑥 = 6
𝑦 = 5, 𝑦 = 0
Entonces para hallar el área del
rectángulo necesitaremos
conocer su base y su altura.
Base = 6 - (-2)= 8;
Altura = 5 - 0= 5
Luego el área del rectángulo es: A= Base × altura = 8 × 5 = 40 u2
Calculemos ahora el área de la región rayada, se trata de un trapecio cuya área se calcula
con la formula 𝐴 =
(𝑏1 +𝑏2 )
2
ℎ
(semisuma de la base por la altura).
Hallemos entonces la base y la
altura del trapecio.
b1 se hallaremplazando 𝑥 por 1 en
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 así 𝑓(1) = 1 + 1 = 2
b2 se hallaremplazando 𝑥 por 4 en
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 así 𝑓(4) = 4 + 1 = 5
la altura se obtiene restando 4-1=3
luego 𝐴 =
(2+5)
2
3 = 10.5

22
Recordemos 2: Sumatorias
Las sumas que constan de muchos términos suelen representarse por medio de
sumatorias, por ejemplo la suma de los números enteros desde el 1 hasta el 50 se
representa con una sumatoria así: ∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 5050
𝑘=1
El símbolo ∑ 𝑘50
𝑘=1 se lee “sumatoria de k, desde k=1 hasta 50”
Algunas sumatorias se pueden calcular con procesos derivados, como veremos para el
caso de la sumatoria anterior.
Sumando 50 veces 51
Lo mostrado en el esquema anterior conduce a las siguientes expresiones para la
suma de los números enteros desde 1 hasta n
∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑛
𝑘=1
Otro proceso, un poco más elaborado, permite obtener la fórmula para la suma de los n
primeros cuadrados
∑ 𝑘2
= 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
𝑛
𝑘=1
∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 50
50
𝑘=1
∑ 𝑘 = 50 + 49 + ⋯ + 3 + 2 + 1
50
𝑘=1
---------------------------------------------------------------------------
2 ∑ 𝑘 = (50 + 1) + (49 + 2) + ⋯ + (2 + 49) + (1 + 50)
50
𝑘=1
= 51+51+…+51+51 luego ∑ 𝑘50
𝑘=1 =
2550
2
=1225
Observemos el esquema

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Las siguientes propiedades de la sumatorias, que resultan de las operaciones entre
números reales, nos ayudaran a calcular sumatorias a partir de otras sumatorias:
1. Si c es una constante ∑ 𝑐 = 𝑐𝑛𝑛
𝑘=1
2. ∑ 𝑐𝑎 𝑘 = 𝑐 ∑ 𝑎 𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
3. ∑ (𝑎 𝑘 + 𝑏 𝑘) = ∑ 𝑎 𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1 + ∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=1
4. ∑ (𝑎 𝑘 − 𝑏 𝑘) = ∑ 𝑎 𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1 − ∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=1
Ahora con lo recordado en 1 y 2 realicemos una aproximación de un área bajo una curva
Nos referimos a una región sombreada como se ve en
la imagen como una “región bajo la curva” la cual se
encuentra limitada por la gráfica de la
función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, el eje 𝑥 y las rectas verticales
𝑥 = 1, 𝑥 = 3
Una aproximación al área de dicha región se consigue
con el siguiente procedimiento:
Dividiendo el
intervalo [1,3] en
dos subintervalos
de la misma
longitud [1,2],[2,3], y construimos intervalos que
tengan esos intervalos como base y la altura sean
valores funcionales en los puntos medios de cada
intervalo:
𝑓(1.5) = 1.52
+1=3.25, 𝑓(2.5) = 2.52
+1=7.25, La
suma de las dos áreas constituyen una aproximación
al área A de la región bajo la curva:
𝐴 ≈ 𝐴2 = 1 ∗ 3.25 + 1 ∗ 7.25 = 10.50

24
Una mejor aproximación del área bajo la curva se
consigue dividiendo el intervalo [1,3] en cuatro
subintervalos, de longitud 0.5 y repitiendo el
proceso anterior con los cuatro rectángulos de base
0.5 y alturas
𝑓(1.25) = 2.5625; 𝑓(1.75) = 4.0625;
𝑓(2.25) = 6.0625; 𝑓(2.75) = 2.5625
Respectivamente.
Luego el área obtenida es:
𝐴 ≈ 𝐴4 = 0.5 ∗ 2.5625 + 0.5 ∗ 4.0625 + 0.5 ∗ 6.0625 + 0.5 ∗ 8.5625
= 0.5 (2.5625+4.0625+6.0625+8.5625)
=10.626
De lo que se concluye, que entre más subdivisiones del intervalo [1,3] tomemos, e
número de rectángulos aumenta y así obtenemos una mejor aproximación del área de
la región.
Anterior se ha desarrollado el concepto de derivada de una función, no obstante,
muchas aplicaciones del cálculo se desarrollan a partir de un problema inverso: dada la
derivada de una función, determinar la función.
Antiderivadas

25
Por el teorema del valor medio, se tiene que si dos funciones tienen la misma derivada
en un intervalo, entonces estas funciones solo diferentes en una constante. Por lo tanto,
si F y G son antiderivada de f. 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝐺´(𝑥)
La antiderivada de una función también se conoce con el nombre de primitiva de la
función.
Comprobar mediante la derivación, si la función 𝑭(𝒙) es antiderivada de la función 𝒇(𝒙)
𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥); 𝑓(𝑥) = 2cos(2𝑥)
Lo primero que hay que hacer es derivar 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥),
Luego se obtiene los siguientes 𝐹´(𝑥) = cos(2𝑥)(2)
Es decir, 𝐹´(𝑥) = 2cos(2𝑥) = 𝑓(𝑥)
Ahora probemos que la función 𝑭(𝒙) = (𝒙 𝟐
+ 𝟐) 𝟐
es antiderivada de la función
𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙 𝟐
+ 𝟐)
Procedemos 𝐹(𝑥) = (𝑥2
+ 2)2
Entonces 𝐹´(𝑥) = 2(𝑥2
+ 2)(2𝑥)
Luego 𝐹´(𝑥) = 4𝑥(𝑥2
+ 2)
De donde se obtiene que 𝐹´(𝑥) = 4𝑥(𝑥2
+ 2) = 𝑓(𝑥)
En estos dos ejercicios se puede afirmar que 𝐹´(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥).
Recordemos
𝑑
𝑑𝑥
[𝑠𝑒𝑛𝑥] = cos(𝑥)
Recordemos la regla de la cadena

26
Resuelva los siguientes ejercicios
Utilizar la derivada para comprobar que 𝐹(𝑥)es una antiderivada de 𝑓(𝑥)recuerda que
tú eres capaz.
Te preguntaras por qué antes de dar la definición de integral indefinida, nos
introducimos en la definición de antiderivada, la respuesta está en que el conjunto de
todas las derivadas de 𝑓(𝑥) se llama integral indefinida de 𝑓 respecto a 𝑥, y se denota
con el símbolo:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
De la definición de antiderivada dada anteriormente se tiene la siguiente definición.
Integral indefinida

27
 El símbolo ʃ se llama “signo de la integral”
 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 se lee “la integral de 𝑓(𝑥) respecto a (𝑥) es 𝐹(𝑥) mas C”
 La función 𝑓es el integrando de la integral y C la constante de integración.
 El 𝑑𝑥 expresa que la variable de integración es (𝑥).
Propiedades de las integrales indefinidas
Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)son dos funciones que tiene integral indefinida y k es una constante,
entonces podemos resaltar las siguientes propiedades:
 ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
 ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Además de estas propiedades, a partir de la tabla de derivación, se puede obtener las
siguientes integrales llamadas inmediatas:
 La integral de una función nula 𝑓(𝑥) = 0, es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(0)𝑑𝑥 = 0 ∫ 𝑑𝑥 = 𝐶
 La integral de la función constante
𝑓(𝑥) = 𝑘, es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
 La integral de función potencia 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
, es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
La integral indefinida de una suma o resta de
funciones es igual a la suma o resta de integrales
La integral de una constante por una variable,
es la constante multiplicada por la integral.
La integral del número cero o función nula, es una
constante, que se representa con un C mayúscula
La integral de una función constante, es la constante multiplicada
por la integral del diferencial de la variable a estudiar.
La integral de una función exponencial, es el cociente entre la
variable elevado a un grado más, sobre el exponente resultante.

28
Ahora tenemos las herramientas necesarias para resolver los siguientes ejercicios:
 ∫ 𝟏𝟕𝒙 𝒅𝒙= 17 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
= 17
𝑥2
2
 ∫[𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟑]𝒅𝒙= ∫(𝑥2
)𝑑𝑥 − ∫(2𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 3𝑑𝑥
= ∫(𝑥
2
)𝑑𝑥 − 2 ∫( 𝑥) 𝑑𝑥 + 3∫ 𝑑𝑥
=
𝑥3
3
− 𝑥2
+ 3𝑥
Resolver los siguientes ejercicios poniendo en prácticas las propiedades expuestas
anteriormente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Propiedad integral de una constante
Propiedad integral de una función potencia
Propiedad integración de una suma
Propiedad integral de una función
exponencial y operando.
Sugerencias:
 Para los ejercicios 2, 5 y 7 que
tienen radicales es conveniente
aplicar propiedad:
√𝑥 𝑚𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛
 Para el ejercicio 4 recuerde el caso
de factorización:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2

29
Así, como hay propiedades que nos ayudan a integrar, también existen unas integrales
inmediatas que ya están demostradas, por tal solo nosotros utilizamos sus resultados y
no es necesario realizar el proceso de la integración. (Ver las siguientes tablas)
Tablas de integración inmediata

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Resolvamos algunos ejercicios utilizando lo expuesto en las Tablas de integración
inmediata
 ∫(
𝟏
𝒙
+ 𝟐 𝒙
)𝒅𝒙 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑙𝑛|𝑥| +
2 𝑥
𝑙𝑛2
+ 𝐶
 ∫[− 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝟐(𝒙)]𝒅𝒙 = − ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 3 tan(𝑥) + 𝐶
 ∫ [𝒔𝒆𝒏(𝒙) −
𝟏
√ 𝟏−𝒙 𝟐
] 𝒅𝒙 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − ∫
1
√1−𝑥2
𝑑𝑥
= −𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛−1
(𝑥)
Resuelve ahora tú los siguientes ejercicios:
1. 2.
3. 4.
Propiedad integración de una suma
Tabla de integración funciones trascendentales
Propiedad integración
de una resta
Tabla de integración
(funciones trigonométricas)
Propiedad integración de una resta
Tabla de integración (funciones
trigonométricas e inversa)

31
Los métodos de integración son técnicas que permiten encontrar la antiderivada de las
funciones que no aparecen en la tabla de integración inmediata.
Aunque existen tres métodos de integración en este tema solo se trabajaran dos de ellos
la integración por sustitución y la integración por partes.
* Integración por sustitución
A partir de la tabla de integrales se puede deducir que para cada regla de derivación es
posible plantear una regla de integración.
Así, para la regla de la cadena (derivada) es posible plantear una regla llamada
integración por sustitución; ahora, utilizando la definición de antiderivada se tiene:
En si el método de integración por sustitución consiste en introducir una variable u que
sustituye a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se
transforme en otra de variable u más fácil de integrar.
Para integrar una función por sustitución se procede de la siguiente manera:
1. Se elige la expresión algebraica que se va a sustituir y se expresa en término de 𝒖.
Así 𝑢 = 𝑔(𝑥).}
2. Se calcula la derivada de 𝒖 con respecto a 𝒙 y se escribe como referencial.
3. Se escribe el integrando en la forma 𝑓(𝑢) =
𝑑𝑢
𝑘
4. Se calcula la integral resultante en términos de 𝒖.
5. Se cambia la situación para obtener una antiderivada en términos de 𝒙.
Métodos de integración

32
Resolvamos algunas integrales indefinidas, aplicando el método de sustitución:
 ∫(𝒙 𝟐
− 𝟏) 𝟒
𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑢 = 𝑥2
− 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥
Luego ∫(𝑥2
− 1)4
2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑢)4
𝑑𝑢
∫(𝑢)4
𝑑𝑢 =
𝑢5
5
+ 𝐶
𝑢5
5
+ 𝐶 = (𝑥2
− 1)5
+ 𝐶

Entonces
Se elige la expresión algebraica que se va a sustituir.
Se deriva u con respecto a x.
Se realizan las sustituciones seleccionadas.
Se aplica la propiedad de integral de una función de una potencia.
Al final volvemos la integral en términos de 𝑥
Se deriva u con respecto a x.
Se realizan las sustituciones seleccionadas.

33
 ∫ 𝒙 𝟐
√𝟒 + 𝒙 𝟑 𝒅𝒙
𝑢 = 4 + 𝑥3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2
entonces 𝑑𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑥 →
𝑑𝑢
3
= 𝑥2
𝑑𝑥
Practica: En cada ejercicio se ha dado un valor u para la sustitución, determinar con
relación a u el valor de du, por último resuelva la integral aplicando las propiedades.
Se deriva u con respecto a x. se
despeja convenientemente para
realizar la sustitución.
Se realizan las sustituciones
seleccionadas y se usan las propiedades
de la integración y de la potenciación.

34
* Integración por partes
Este método se emplea para calcular primitivas de funciones u(x)*v´(x), donde la
función v´(x) es difícil de integrar, obteniendo una nueva integral más sencilla.
Cuando la función integrando es un producto, para calcular su primitiva puede
emplearse un método basado en la regla de derivación del producto de dos funciones.
La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) es:
Y calculando la integral de cada uno de los miembros, se tiene:
Es decir:
De
donde:
Expresión que se utiliza para la integral por partes, para resolverlas se deben:
1. Elegir convenientemente los valores para u y para dv.
2. Luego, se debe calcular du (derivado) y v (integrado).
3. Por último se aplica la formula dada y se resuelve.

35
Realicemos la siguiente integral ∫ 𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙. observa cuidadosamente cada paso de este
ejemplo:
∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 → 1. Elegimos 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥
2. ahora se calcula 𝑑𝑢 y 𝑣 asi:
si 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
→ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 =
𝑥2
2
+ 𝐶
Luego de 1 y 2 tenemos: 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥; 𝑣 =
𝑥2
2
+ 𝐶; 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
; 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥
Ahora aplicamos la fórmula: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 (
𝑥2
2
) − ∫
𝑥2
2
.
𝑑𝑥
𝑥
= (
𝑥2
𝑙𝑛𝑥
2
) −
1
2
∫ 𝑥 𝑑𝑥
=
𝑥2
𝑙𝑛𝑥
2
−
𝑥2
4
+ 𝐶
luego ∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
𝑙𝑛𝑥
2
−
𝑥2
4
+ 𝐶
Observa los siguientes ejercicios:
 ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 → Elegimos 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
→ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
Aplicando la formula de integracion por partese tiene
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
Se deriva a u con respecto a x
y se despeja en términos de du
Se integra de ambos lado,
con respecto a cada variable.
Se reúnen los términos para completar y
sustituir la fórmula de la integración por partes.
Se realiza producto de fracciones y la
propiedad de la función constante.
Se aplica la integración de una función de una potencia

36
 ∫ 𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝒙 𝒅𝒙 → Elegimos 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
→ ahora calculemos 𝑑𝑢 y 𝑣 así:
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑣 = 𝑥
Aplicando la formula: ∫ 𝑡𝑎𝑛−1
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1
𝑥 − ∫
𝑥 𝑑𝑥
1+𝑥2
= 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1
𝑥 −
1
2
ln(1 + 𝑥2) + 𝐶
Ahora resuelve las siguientes integrales por partes, recuerda que necesitaras todas las
propiedades expuestas anteriormente:
Se derivó u con respecto a x
y se realizó el despeje de du
Se integró de ambos lados respectivamente
Integral inmediata
(ver tabla)

37
Veamos, si dada una función f(x) en un intervalo [a, b], se dice que la integral definida,
es el área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales
x=a y=b. tal cual como lo representamos en el siguiente gráfico:
Así, la integral definida se representa por: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 " ∫ " Es el signo de la integración.
 𝑎 es el límite inferior de la integración.
 𝑏 es el límite superior de la integración.
 𝑓(𝑥) 𝑒s el integrando o función a integrar.
 𝑑𝑥 es el diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra.
Viendo así el concepto de integral definida, pasemos ahora a dar una definición en
general de lo que es:
Integral indefinida

38
Ahora, después de saber la definición de integral definida, veremos unas propiedades
que nos ayudara al momento de realizar ejercicios donde apliquemos este nuevo
concepto aprendido:
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero:
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone
como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta
de integrales.
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función.
Nota: Se deben distinguir los conceptos de integral definida e indefinida, pues la integral
definida es un número, mientras que la indefinida es una función.

39
Primer teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo expresa de manera concreta la relación entre el
cálculo diferencial y el cálculo integral
Segundo teorema fundamental del cálculo
Este teorema se puede considerar como la segunda parte del teorema fundamental del
cálculo, y se utiliza para evaluar la integral definida de una función.
Veamos un ejemplo sencillo, calcular la integral de ∫ 𝟏𝟐 𝒅𝒙
𝟑
𝟎
∫ 12 𝑑𝑥 = 12
3
0
∫ 𝑑𝑥
3
0
= 6(3) − 6(0) = 18 − 0 = 18
Integrando la función para luego evaluarla
en los límites de integración dados
Se evalúa la integral, según las cotas
de integración, límite superior
menos límite inferior. Y se opera.

40
Veamos otro ejercicio: ∫ (𝟒𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙
𝟐
𝟎
∫ (4𝑥 − 2)𝑑𝑥
2
0
= ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥
2
0
2
0
= 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑑𝑥
2
0
2
0
=
Observa el siguiente ejemplo: ∫ (−𝟐𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)𝒅𝒙
𝟑
−𝟐
=
=
Propiedad de la suma de la integral
Se aplica la propiedad de la función
constante e integramos, utilizando la
propiedad de la función de una potencia
Multiplicación de fracciones y
evaluamos las cotas de integración.
Realizamos operaciones expresadas.
Aplicando la propiedad de la suma de
la integral y de la función constante
Aplicando la propiedad de la
función potencia y realizamos
el producto de las fracciones.
Evaluamos las cotas de integración
Realizamos las operaciones expresadas.
Aplicamos números mixto para
representar una fracción impropia.

41
Practica: Hallar el valor de las integrales definidas usando los métodos de integración.
Nota: Recuerda que puedes utilizar la definición, las propiedades y los teoremas
fundamentales explicados hasta ahora para desarrollar estos ejercicios prácticos.

42
Recuerda que al comienzo hablamos de unas aproximaciones del área baja una curva
usando la construcción de rectángulos, ahora veamos que hallar estas áreas resulta más
fácil si se hacen con la integral definida
Una de las interpretaciones de las integrales, se trabaja a partir del concepto de área;
por tal determinar el área de una región delimitada por rectas, resulta ser un ejercicio
bastante sencillo. Por ejemplo el área de un triángulo se halla a través de la formula
𝐴 =
𝑏.ℎ
2
, el área de un polígono regular, se calcula a partir de la formula 𝐴 =
𝑝.𝑎
2
y así para
cualquier figura delimitada por segmentos de rectas; pero ahora calcular el área de una
región que no está delimitada por rectas es un problema de mayor complejidad, así
como en el ejemplo anterior (el del recordatorio), donde es necesario hallar el área por
medio de una aplicación del cálculo integral definido, para obtener el área de una región
por curvas. Primero se aproximara esta región, utilizando polígonos (rectángulos) y
luego hallaremos el límite de las áreas de estos rectángulos. Tal cual como se observa
en la siguiente gráfica.
De la anterior grafica podemos deducir que para encontrar el área bajo la curva de dicha
función, se optó por dividir esta parte sombreada (rosado) en intervalos pequeños que
representan los rectángulos a integrar, con el objetivo de calcular un área aproximada
de la región limita bajo esta curva.
Área

43
A partir de los conceptos trabajados en los temas anteriores, en este tema se usara el
concepto de la integral para calcular áreas bajo curvas.
Ahora observa y aprende como calcular el área bajo la curva de
𝑓(𝑥) = √ 𝑥 Entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1
Calculo de Áreas
Aplicando la propiedad de la radicación.
Aplicamos propiedad de la
función potencial y el teorema
fundamental del cálculo.
Realizando operaciones

44
Ahora determinar el área de la región comprendida entre la curva
𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2
𝑒𝑛 [−2,2]
=
Aplicamos propiedad de
la resta de integración y
la de una constante.
Aplicamos integral de una diferencial y
la propiedad de una función potencia.
Aplicamos el teorema fundamental del
cálculo y realizamos operaciones.

45
Pon en práctica lo aprendido y realiza cada ejercicio que se plantea a continuación:
1. halle el área de la región comprendida entre
la curva 𝑦 = 2𝑥2
; eje horizontal en [0,3]
la recta 𝑦 = −2𝑥 − 2; eje horizontal en [-1,1]
3. determinar el área de la región comprendida
entre la curva 𝑦 = 𝑥2
+ 2 el eje x y las rectas
𝑥 = −2 y 𝑥 = 2
la grafica 𝑦 = 𝑥3
− 4𝑥 el eje horizontal [-1,1]

46
Bibliografía
 Schaum, calculo diferencial e integra de Frank Ayres Jr. Quinta edición. 2011
 Guerrero Casas, Flor Mª; Vázquez Cueto, María José (coordinación y dirección)
(1998): "Manual de Cálculo Diferencial e Integral para la Economía y la Empresa".
Pirámide, Madrid.
 Stewart, James (2001): "Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas". 4ª
edición. Thomson.
 LEITHOLD LOUIS. (2003) El Cálculo 7ª Edición. Oxford University Press
Webgrafia
 http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/definicion_de_derivada.htm
 http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm
 http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7der/u7derte30.pdf
 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Indefinida.pdf
 http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdf
 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf
 http://rodas.us.es/file/86e24d75-21c5-24a2-7457-
9b6940404374/1/leccion30_SCORM.zip/media/leccion30_.pdf
 http://www.ies-
eugeni.cat/pluginfile.php/56255/mod_resource/content/1/Integrals%20i%20teo
rema%20fonamental%20del%20c%C3%A0lcul.pdf
 http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-
content/uploads/2012/09/antiderivada.pdf

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