Resumen acerca de funciones proposicionales

1. NigerDunas
Funciones proposicionales
Una funciónproposicional esunafuncióndondesusvariablessonproposiciones.Estosignificaque
puedenserverdaderasofalsasexceptosi algunavariablenoesta definidayporende nose le
puede asignarunvalorde verdaddefinido.
Consideramosunafunciónproposicional (A,P(x))condominiounconjunto,nospreguntamos
¿para cuántoselementosde A,P(x) esverdadera?.
Comoposiblesrespuestastenemos:
 Para todosloselementosde A.
 Para algunoselementosde A.
 Para ningúnelementode A.
Los términostodos,algunos,unsoloyninguno,porindicarcantidad,sonllamados
cuantificadores.De estos,losfundamentalessontodos,algunosy,comocasoparticularde este
último,unúnico.
Cuantificador Universal
Su símboloes“∀” y vaantepuestoauna variable paradecirque "para todo"elementode un
ciertoconjuntose cumple laproposicióndadaa continuación.
Al cuantificara la funciónproposicional P(x) medianteel cuantificadoruniversalobtenemosla
proposición:
Para todoelementox de A,P(x),que se simbolizadel modosiguiente:
(∀𝑥𝜖𝐴) ( P(x) ).......................................................(1)
A lasproposicionesque tienenestaformalasllamaremos proposicionesuniversales.
Ejemplo
Simbolizarlassiguientesproposicionesydeterminarsuvalorlógico:
a. Todo hombre esmortal.
b. Cada númeronatural esmenorque.
Solución
Considerarlasiguientefunciónproposicional:
M(x) : x esmortal.
Con dominio el conjuntoSformadotodoslossereshumanos.

2. NigerDunas
La proposiciónase escribe simbólicamenteasí:
(∀x S) (M(x)).
Esta proposiciónesverdadera.
a. La proposiciónbse escribe simbólicamente así:
(∀𝑛𝜖𝑁) (n > 1)
Esta proposiciónesfalsa,yaque para el númeronatural n=1 no es ciertoque 1>1.
Cuantificador Existencial
Su símbolo es “∃” y va antepuestoauna variable paradecirque "existe"al menosunelemento
del conjunto,
Ejemplo
Simbolizarlassiguientesproposicionesydeterminarsuvalorlógico:
a. Algunoshombressongenios.
b. Existe unnúmeronatural mayorque 1.
c. Existe unnúmeroreal cuyocuadrado esnegativo.
Solución
Considerarlafunciónproposicional:
a. G(x):x es un genio.
Con dominioel conjuntoSformadoportodoslossereshumanos.
La proposicióna,se simbolizaasí: ((∃𝑥𝜖𝑆){ 𝐺(𝑥)}
Esta proposiciónesverdadera.
b. La proposiciónb,se simbolizaasí: (∃𝑛𝜖𝑁)(𝑛 > 1)
y esverdadera.
c. La proposiciónc,se simbolizaasí: (∃𝑥𝜖𝑅)(𝑥2 < 0)
Esta proposiciónesfalsa,yaque el cuadradode todonúmeroreal esno negativo.

3. NigerDunas
Cuantificador Existencial de unicidad
Su símboloesE! que significa"existe al menosuno"Asílaexpresión:
(E! x 𝜖 A) ( P(x)).......................................(3)
Se leeráde cualquierade lassiguientesformas:
a. Existe unúnicox enA tal que P(x)
b. Existe unsólox en A tal que P(x)
c. Existe unoy sólounx enA tal que P(x)
d. P(x),paraunúnico x en A
La proposición(3) esverdaderasi ysólosi el dominiode verdadde P(x) esunconjuntounitario,
estoes,si y sólosi P(x) esverdaderoparaunúnicox de A.
Ejemplo:Simbolizarlassiguientesproposicionesydeterminarsuvalorlógico:
a. Existe unúniconúmeronatural que sumadocon 3 da 10 .
b. Existe sólounnúmeroreal tal que su cuadradoes 16.
c. Existe unúniconúmeroreal tal que sucuadrado es - 4.
Solución
a. E! x 𝜖 N) ( 3 + x = 10 )
Verdadero:Sóloel número7cumple con7 + 3 = 10
b. (E!x 𝜖 R) (x2 = 16 )
Falsa:x= -4 y x= 4 cumplenconx2 = 16
c. (E! x 𝜖 R) (x2=- 4)
Falsa:no existe ningúnnúmeroreal cuyocuadradosea - 4.