Este documento introduce los números complejos, incluyendo números imaginarios, su representación como a + bi, y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Explica que los números complejos pueden representarse geométricamente en un plano complejo y da ejemplos de su aplicación en ecuaciones de segundo grado.

1. Mtro. Javier Solis Noyola

2. Objetivos
 Conocer y comprender el concepto de número
complejo como parte del sistema numérico.
 Conocer y comprender Reglas básicas para efectuar
operaciones con números complejos .
 Desarrollar operaciones con números complejos.

3. Número Imaginario
Un número imaginario es un
número cuyo cuadrado es
negativo. Fue en el año 1777
cuando Leonhard Euler le
dio a el nombre de i, por
imaginario de manera
despectiva dando a entender
que no tenían una existencia
real.
Leonhard Euler
(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783)

4. ¿Qué es un número complejo?
A través de la exposición de estos videos, conoceremos como se conceptualiza y se
dimensiona un número complejo.
1 2
http://www.youtube.com/watch?v=eS6uMKx0XP0 http://www.youtube.com/watch?v=WE7wfJU6RV4

5. Número Complejo Z=a+ib
En matemáticas, los números
reales son aquellos que poseen
una expresión decimal e incluyen
tanto a los números racionales
(como: 31, 37/22, 25,4) como a
los números irracionales, que no
se pueden expresar de manera
fraccionaria y tienen infinitas
cifras decimales no periódicas,
tales como: π
Expresión de la forma a + bi, en donde a y
b son números reales e i es imaginario
Z

6. Complejos Conjugados como solución a una
ecuación de 2do. Grado
x1 = α + β i
x2 = α - β i

7. Ejemplo de Ecuación de Segundo Grado
ax2+bx+c =0
x x
-  
b b ac
-  -

- -  - -

( 4) ( 4) 4(1)(5)
4 16 20
4 4
2
2
2(1)
2
4
4 5 0
2
2
2
 -

 -

x
x
x
a
x
x
x
x
4 (4)( 1)
4 4 1
2
4 2 1
4 2
x  2

i
Raíces Complejas 1
x i
i
i
x
 -
 


 -

 -

 -

2
2 1
2
2
2
2
Conjugadas

8. Ejemplos de Números Complejos en el
Plano Complejo
Plano complejo. Un número complejo z se puede representar
Z
Imaginario
Real
Z1= 3; Z2= 3 +4i; Z3 = 4i ; Z4= -4 +2i; ; Z5= 2 -3i
Z=a+ib
Z2
Z1
Z3
Z4
Z5
Real
Imaginario
como un punto en un plano x,y. El punto del plano (a,b)
representara el número complejo z= a+bi , es decir el
número cuya parte real es a y cuya parte imaginaria es b.

9. Operaciones de Suma y Resta con Números Complejos
a) 2 - 4i 7  2i
b) 9 - 3i- 6  2i
9 - 3i- 6  2i  9 - 3i - 6 - 2i  3 - 5i
Cambiar de
signo
Obtener Z1 + Z2
Z1 = 3 +4i
Z2= -4+2i
Z1+Z2= (3 +4i) +(-4+2i)
Z1+Z2 = -1 + 6i

10. Operaciones de Multiplicación con Números Complejos
3  2i5 - 4i
 3  2 i  5 - 4 i    3  5    3  - 4 i    2 i  5    2 i  -
4
i

 -  -
15 12 10 8
i
i i i
 - - -
15 2 8( 1)
2
i i
 -   -
15 2 8 23 2
Z1 = 1+2i ; Z2= 3+3i ; Obtener: Z1Z2
Z1Z2 = (1+2i) (3+3i) = (1)(3)+(1)(3i)+(2i)(3)+(2i)(3i)
Z1Z2 = 3 + 3i + 6i + 6i2
Z1Z2 = 3 + 3i + 6i + 6(-1) = 3 +9i -6 = -3+9i
Z1Z2
Z1
Z2

11. División de Números Complejos
d)
i
3 2
2 3

i

a bi

a 
bi
2 -
3
-

3 
2


3 
2

i
i
i
i
i
i
2 3
2 3
2 3

           
i
i i
c -
di
c di
i i i i 6 9i 4i 6i
2
-
- 
-  -
 -   -
2 2 2 2  -
4 i
3 2 3 3 2 2 2 3
i
5
13
12
13
12 5
4 9
6 5 6
4 9( 1)
2 (3 ) 3


- -

-

-
(a+b)(a-b) Se multiplica por el
conjugado del denominador
=a2-b2
c di
c di
-




Z/Z =

12. Conversión de números complejos de la forma cartesiana a polar
Z = 2cos (120° )+ 2sen (120°) i
r = Módulo de número complejo
α = Ángulo de número complejo
Z = r cos α + r sen α
Z = 2cos (120° )+2sen (120°) i

13. Z = r cos α + r sen α
Z = 2cos (240° )+ 2sen (240°) i
Z = 2cos (300° )+ 2sen (300°) i

14. Campos o áreas de aplicación de los Números Complejos

15. Campos o áreas de aplicación de los Números Complejos

16. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill