El documento presenta información sobre teoría de números, incluyendo el teorema de la división euclidiana, ideales de anillos, máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). También describe el algoritmo de Euclides para calcular el MCD y los fundamentos de la teoría de ideales.

1. EDUCACIÓN MATEMÁTICA
TEORÍA DE
NÚMEROS
DOCENTE: FABIO A. CONTRERAS ORÉ

2. • TEOREMA DE LA DIVISIÓN EUCLIDEANA
• IDEALES DE UN ANILLO
• MCM Y MCD
• ALGORITMOS PARA CALCULAR EL MCD Y EL MCM

3. • EUCLIDES
• Matemático griego (330 ac – 275 ac).
• Su obra Elementos.
• Elementos texto ejemplar.
• Estableció una proposición matemática.

4. ALGORITMO
• Del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático
persa al – Jwarizmi).
• Es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones
que permiten hallar la solución a un problema.
• De entrada y salida.
• Algoritmo se diferencia de un programa.

5. • ALGORITMO DE EUCLIDES
• El algoritmo de Euclides es un método antiguo y práctico para
calcular el máximo común divisor (MCD).
• Fue presentado en Elementos.

6. • ALGORITMO ORIGINAL DE EUCLIDES
• En la concepción griega de la matemática, los números se
consideraban como magnitudes geométricas.
• Conmensurabilidad de los segmentos: dos segmentos
(números) AB y CD son conmensurables cuando existe un
tercer segmento PQ.

7. • En lenguaje moderno el algoritmo se presenta como :
• Dado dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB
tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD
es la máxima medida común.
• Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos
repetir el proceso restamos EA tantos veces como sea posible
de CD. Si al final no queda un residuo. EA es la medida común.
En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a
EA.
• El proceso se repite hasta que en algún momento no se
obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es la
mayor medida común.

8. • ALGORITMO TRADICIONAL DE EUCLIDES
• Al dividir a entre b (números enteros), se obtiene un cociente
q y un residuo r. Es posible demostrar que el máximo común
divisor de a y b es el mismo que el de b y r (Sea c el máximo
común divisor de a y b. Como a = bq + r y c divide también a r.
Si existiera otro número mayor que c que divide a b y a
r, también dividiría a a, por lo que c no sería el mcd de a y b, lo
que contradice la hipótesis). Éste es el fundamento principal
del algoritmo.

9. • Según lo antes mencionado, para calcular el máximo común
divisor de 48 y 36 se procede de la siguiente manera:
Paso Operación Significado
1 48 entre 36 es 1 y sobra mcd(48;36)=mcd(36;12)
12
2 36 entre 12 es 3 y sobra mcd(36;12)=mcd(12;0)
0

10. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Definición:
• Dados los enteros a; b con b0 existen enteros q y r tales que
a=bq+r y 0r|b|.
TEOREMA:
Para a y b dos enteros diferentes de cero, existen
enteros únicos q y r tales que:
a = bq + r, 0r|b|

11. • Demostración:
Si (a=bq1+r1, con 0r1b y a=bq2+r2 , con 0r2 b) → q1 = q2 y r1 = r2 .
Como a = bq1 + r1 y a = bq2 + r2
→ (bq1 + r1 ) = (bq2 + r2 )
→ (bq1 – bq2 ) = (r2 – r1 )
→ b(q1 – q2 ) = (r2 – r1 )
Es decir (r2 – r1 ) es divisible por b, pero 0 r1 b y 0r2 b, es decir, que
no existe múltiplo alguno entre 0 y b, se tiene que (r2 – r1 ) = 0 de
donde se deduce que r1 = r2, por tanto b(q1 – q2 )=0, pero como
b0, entonces (q1 – q2 )=0, de donde q1 = q2 .

12. TEOREMA:
• Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la
división de éstos.
Ejemplo:
• Sea 7 que divide a un dividendo 49 y aun divisor 35. Como el
residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.

13. TEOREMA:
• Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la
diferencia de estos dos números es divisible por el tercero.
APLICACIONES
Juanito sale de casa con varios caramelos y vuelve sin ninguno.
Su madre le pregunta qué ha hecho con ellos. Juanito responde:
A cada amigo le di la mitad de los caramelos que llevaba más
uno. ¿Con cuántos amigos te encontraste), respondió: con 6.
Determina con cuántos caramelos salió Juanito.

14. • En el mes de junio del 2012, Pedro suma al número de los
años que vivió, el número de meses vividos, obteniendo 315.
¿En qué año y mes nació Pedro?

15. • CONSECUENCIA INMEDIATA DE LA DIVISIÓN EUCLIDIANA
• Una consecuencia inmediata de la división euclidiana es la
posibilidad de representar un número entero en un sistema de
numeración posicional en una base determinada.

16. • Ejemplo:
• Representar 35 en base 4.
• 105 = 26(4) + 1 … (1)
• 26 = 6(4) + 2 … (2)
• 6 = 1(4) + 2 … (3)
• Reemplazando (2) en (1):
• 105=[6(4)+2](4)+1=6(42)+2(4)+1 … (4)
• Reemplazando (3) en (4):
• 105=[1(4)+2](42)+2(4)+1=1(43)+2(42)+2(4)+1
• Que en forma abreviada, en base 4 se representa:
• 105 = 1221(4)

17. IDEAL DE UN ANILLO
• La teoría de los ideales fue creada por Richard Dedekind
– matemático alemán - hacia el final del siglo XIX.
• Un ideal es una estructura algebraica definida en un
anillo.
«Los ideales generalizan de manera fecunda el estudio de la
divisibilidad en los números enteros. De este modo, es posible
enunciar versiones muy generales de teoremas aritméticos
tales como el teorema chino del resto o el teorema
fundamental de la aritmética, válidos para los ideales».
http://es.wikipedia.org

18. Definición
• Dado un anillo A, I A es ideal si:
i. I es subanillo de A
ii. x A, a I xa I y xa I
Un subanillo B de A, es un subconjunto B ⊂ A que es
anillo con las operaciones heredadas de A.
Es decir:
 (x - y) B
 xy B

19. Teoremas
•

20. Ideal principal
• Un ideal principal es un ideal generado por un único
elemento. Si R es un anillo conmutativo y a es un
elemento de R, el ideal principal generado por a es el
conjunto
• Teorema:
 Todos los ideales de ℤ son principales.

21. Maximal
• Un ideal M de un anillo A se dice maximal si y solo si M
A y para todo ideal N de A, si M N A, entonces N =
A.
Es decir, un ideal es maximal si no está contenido en
ningún otro ideal trivial.
Teorema:
Si M es un ideal de ℤ, entonces M es maximal si y sólo si
M = pℤ, para algún p primo.

22. Corolario
•
Ejemplo:
Hallar el mínimo común múltiplo de 12 y 15
12 = 12ℤ = … -72, -60, -48, -36, -24, -12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
15 = 15ℤ = … -90, -75, -60, -45, -30, -15, 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …
12ℤ ∩ 15ℤ = … -240, -180, -120, -60, 0, 60, 120, 180, 240, …
Luego 60 es el mínimo común múltiplo de 12 y 15. Es decir, 60 = ⦋12; 15 ⦋

23. • Teorema:
El conjunto aℤ + bℤ de todas las combinaciones lineales de a y b, es
un ideal de ℤ. Es decir:
aℤ + bℤ = am + bm; m, n ℤ es un ideal de ℤ.
• Teorema:
El generador del ideal aℤ + bℤ es el máximo común divisor de los
generadores de los ideales aℤ y bℤ, además el máximo común
divisor de dos enteros a y b es la menor combinación lineal de a y b.