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Arcocoseno hiperbolico definición.
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José de Jesús García Ruvalcaba
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Se define la función arcocoseno hiperbólico.
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Arcocoseno hiperbolico definición.
1.
Arcocoseno hiperbólico. Definición, fórmula
y gráfica. José de Jesús García Ruvalcaba UABC
2.
Coseno hiperbólico. • Recordemos
que el coseno hiperbólico es la componente par de la función exponencial: cosh 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 2
3.
Gráfica del coseno hiperbólico. Su
imagen es: 𝑖𝑚 cosh = [1, +∞) Restringimos el contradominio a ese intervalo. Es una función par, por lo tanto no puede ser inyectiva. Restringimos su dominio a [0, +∞)
4.
Gráfica del coseno hiperbólico,
ya restringido. cosh: [0, +∞) → [1, +∞) Su inversa es: arccosh: [1, +∞) → [0, +∞)
5.
Gráfica del arcocoseno hiperbólico. arccosh:
[1, +∞) → [0, +∞)
6.
Fórmula explícita para
el arcocoseno hiperbólico. • Sea 𝑦 = arccosh 𝑥 • Esto implica que 𝑥 ∈ [1, +∞) y que 𝑦 ∈ [0, ∞) • Con desigualdades 𝑥 ≥ 1 𝑦 ≥ 0
7.
Fórmula explícita para
el arcocoseno hiperbólico. • Sea 𝑦 = arccosh 𝑥 𝑥 = cosh 𝑦 𝑥 = 𝑒 𝑦 + 𝑒−𝑦 2 • Hay que despejar 𝑦.
8.
Continuación. 𝑥 = 𝑒 𝑦 +
𝑒−𝑦 2 2𝑥 = 𝑒 𝑦 + 𝑒−𝑦 0 = 𝑒 𝑦 − 2𝑥 + 𝑒−𝑦 𝑒 𝑦 − 2𝑥 + 𝑒−𝑦 = 0 𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 + 1 = 0
9.
Continuación. 𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒
𝑦 + 1 = 0 𝑒 𝑦 = − −2𝑥 ± −2𝑥 2 − 4 1 1 2 1 𝑒 𝑦 = 2𝑥 ± 4𝑥2 − 4 2
10.
Continuación. 𝑒 𝑦 = 2𝑥 ±
4𝑥2 − 4 2 𝑒 𝑦 = 2𝑥 ± 4 𝑥2 − 1 2 𝑒 𝑦 = 2𝑥 ± 2 𝑥2 − 1 2 𝑒 𝑦 = 𝑥 ± 𝑥2 − 1
11.
Desigualdades necesarias. • Utilizando
que 𝑥 ≥ 1, se llega a: 𝑥 + 𝑥2 − 1 ≥ 1 𝑥 − 𝑥2 − 1 ≤ 1 • Utilizando que 𝑦 ≥ 0, obtenemos: 𝑒 𝑦 ≥ 1 • Por lo tanto, 𝑒 𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 − 1
12.
Conclusión. 𝑒 𝑦 = 𝑥
+ 𝑥2 − 1 𝑦 = log 𝑥 + 𝑥2 − 1 arccosh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑥 ∈ [1, +∞)
13.
Resumen arccosh: [1, +∞)
→ [0, +∞) arccosh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 − 1
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