ecuaciones

1. ECUACIONES LINEALES
ECUACIONES CUADRÁTICAS
SEMANA 3
DERECHO

2. • Definición 1 (Ecuación lineal)
• Una ecuación en la variable x, de la forma, ax + b =0,donde a y b son números reales y
a≠0, es llamada Ecuación Lineal.
• Teorema 1 (Solución de una ecuación lineal ).
• La ecuación lineal , ax+ b=0 ,a≠0 tiene exactamente una solución, x =
−𝒃
𝒂
• Teorema 2 .Para todo a, b y c reales, si a=b, entonces:
1) a+c = b+c
2) a-c = b-c
3) a.c = b.c
4)
𝑎
𝑐
=
𝑎
𝑐᾽
Ejemplo1.Resolver la ecuación -3x+6=0

3. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 , a≠0 se llama ecuación
cuadrática ó de (segundo grado).
Métodos de solución :
• Por Factorización
 Completar Cuadrados
 Fórmula General
X =
−𝑏 ± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 =
−𝑏+ ∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏− ∆
2𝑎

4. Definición : Se llama discriminante de la ecuación cuadrática
(∆) 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, al número
∆= 𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 , los cuáles pueden ser :
1)𝑆𝑖 ∆ > 0 → x1 , x2 son raíces reales y diferentes (x1 ≠
x2)
2) 𝑆𝑖 ∆ = 0 → x1 , x2 son raíces reales iguales (x1 =
x2)
3) 𝑆𝑖 ∆ < 0→ ∅ (conjunto vacío)

5. • Ejemplo 1:Una ecuación cuadrática con una raíz real
• Resolver : 2+6 2 y +9𝑦2
• Ejemplo 2: Una ecuación con dos raíces reales.
• Resolver : 4𝑥2-17x+15 y 4𝑥2-17x - 15
• Ejemplo 3: Una ecuación cuadrática sin raíces reales.
• Resolver 𝑥2+x+1

6. Propiedades: Sean x1 y x2 ,raíces de la ecuación
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 , se tiene :
S = x1 +
x2 =
−𝑏
𝑎
P = x1 .
x2 =
𝑐
𝑎
D = │x1 −
x2│ =
𝑏2−4𝑎𝑐
𝑎
OBSERVACIÓN.- Si se tiene la suma (S) y el producto (P) de las
raíces de una ecuación cuadrática entonces dicha ecuación es:
𝒙𝟐
− 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎

7. Ejemplo 1 .
Hallar la ecuación de raíces 3 + 6 y 3 - 6
Solución:
S = (3+ 6 ) + (3- 6 )
S= 6
P = (3+ 6 ) . (3- 6 )
P = 3
La ecuación es : 𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟑 = 𝟎

8. • Ejercicios
• 1.Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 4 y
−2
5
• 2.Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces son2+ 5 y 2- 5

9. ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
Ejemplo1. Resolución de una ecuación que tiene forma cuadrática.
Resolver.(
𝟏
𝒙𝟑)𝟐 +
𝟗
𝒙𝟑 + 8
Solución : Esta ecuación puede ser escrita como:
(
𝟏
𝑿𝟑)𝟐
+ 9(
𝟏
𝑿𝟑) + 8 =0
Sustituyo m=
𝟏
𝒙𝟑 𝒎𝟐 +9m + 8 = 0
(m+8)(m+1) = 0
m=-8 v m=-1
Regresando a la variable x
𝟏
𝒙𝟑 =-8 v
𝟏
𝒙𝟑 =-1
Asi 𝒙𝟑
= -
𝟏
𝟖
v 𝒙𝟑
= -1
Se concluye x =
𝟑 −𝟏
𝟖
v x=
𝟑
−𝟏
x =
−𝟏
𝟐
v x= -1 cs{-1,-
−𝟏
𝟐
}

10. 1) Hallar el valor de K en la ecuación : 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒌 + 𝟓 𝒙 + 𝒌 = 𝟎,si una raíz excede a la otra en 3 unidades.
Solución:
Sean x1 y x2 raíces de la ecuación
x1 = x
x2 = x +3
S = x + (x+3) →
−𝒃
𝒂
= - ( 2k+5 )
-2k - 5 = 2x + 3
2x = - 2k - 8→
X = - k - 4
X = - ( k+4 ) …….(1)
P = x1 .
x2
P = X.(X+3)
P = 𝑥2
+ 3X =
𝐂
𝐚
→ 𝒙𝟐
+ 3X = K …….(2 ) , luego reemplazo 1 en 2:
[−(𝒌 + 𝟒)]𝟐 + 3 [-(k+4)] = k
(𝑘 + 4)2
−3 𝑘 + 4 − 𝑘 = 0
𝑘2
+ 8𝑘 + 16 − 3𝑘 − 12 − 𝑘 = 0 → 𝑘2
+ 4𝑘 + 4 = 0 → (𝑘 + 2)2
= 0
𝒌 = −𝟐

11. Aplicaciones de las ecuaciones
• Problema 1. Mezcla.
• Un químico debe preparar 350ml.de una solución compuesta por 2 partes de
alcohol y 3 de acido ¿Cuanto debe utilizar de cada una?
• Problema 2.Determinar cuánta agua se requiere para diluir 25 litros de una
solución que tiene 10%de un colorante para obtener una solución al 8%.
• Problema 3.Una aleación contiene 90% de oro y otra contiene el 70% de oro,
¿Cuantos gramos de cada aleación se deben combinar para obtener 100gramos
de una aleación de 80%de oro?
• Problema 4.Un químico necesita mezclar 20 litros de una solución de ácido al
40% con una solución al 70% para obtener una mezcla que sea 50%de ácido
¿Cuantos litros de la solución al 70% debe usar?

12. EJERCICIOS ENFERMERÍA SEMANA 2
• Resolver las siguientes ecuaciones :
• 1. 𝑦 − 3 - 𝑦 = -3
• 2. 4𝑥2 - 17x +15 = 0
• 3. (x+1+
6
𝑥
) (x-1+
6
𝑥
) = 24
• 4. 𝑥4
− 9𝑥2
+ 8
• 5. 2𝑥+ 4𝑥 -6 =0