magnitudes cinemáticas física y química 1 bachillerato http://www.fisicayquimica.com.es

1. [1]
FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACHILLERATO
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
Contenidos:
1.- Definiciones y conceptos iniciales.
2.- Posición, desplazamiento y espacio recorrido.
3.- Velocidad y celeridad.
4.- Aceleración.
5.- Componentes intrínsecas de la aceleración.
1) Definiciones y conceptos iniciales.
La Cinemática es la parte de la Física que se dedica al estudio de las leyes del
movimiento sin tener en cuenta las causas que lo originan.
Movimiento. Es el cambio de posición de un cuerpo a lo largo del tiempo respecto
de un sistema de referencia.
Punto material. Normalmente el estudio del movimiento de un cuerpo se realiza
considerando a este como una partícula, un cuerpo cuya estructura y propiedades internas
pueden ignorarse, reduciéndose todo el cuerpo a un punto para poder así explicar su
movimiento global.
Relatividad del movimiento. Dos observadores pueden describir de distinta forma
el movimiento de un mismo cuerpo. El concepto de movimiento es relativo pues depende
del observador.
Aunque no existe un observador en reposo absoluto, cuando se realizan estudios de movimientos en
la superficie de la Tierra, el observador situado en el suelo se considera que está en reposo, mientras que otro
observador en movimiento respecto al primero tiene un movimiento relativo.
Un ejemplo: imaginemos qué observa un pasajero de un autobús que se mueve en línea recta a
velocidad constante cuando de pronto una lámpara cae desde el techo del autobús. La descripción del
movimiento de la lámpara para este observador es muy diferente de la que hace un segundo observador
parado en el arcén de la carretera, que también ve como la lámpara se desprende del techo.
Otro ejemplo: un bombardero, que vuela a velocidad constante, deja caer una bomba. No observa lo
mismo un pasajero del avión, que ve caer la bomba en línea recta, y un observador desde tierra sobre la
vertical del avión en el momento de lanzar la bomba, que ve como la misma realiza una trayectoria curva
desde donde está hacia donde se dirige el avión.
Trayectoria. Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un
cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se
describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador (véanse los dos ejemplos
anteriores).

2. [2]
Clasificación de los movimientos según su trayectoria.
- Movimientos rectilíneos: para el observador su
trayectoria es una línea recta.
- Movimientos curvilíneos: para el observador su
trayectoria es una línea curva. Entre los movimientos
curvilíneos tenemos los circulares, elípticos,
parabólicos e hiperbólicos (secciones cónicas).
Evidentemente también existen movimientos
curvilíneos irregulares.
Sistema de referencia. Ya hemos referido que el estudio del movimiento depende
del observador. Pues bien, el observador para realizar dicho estudio el observador
establece un conjunto de convenciones, un sistema de referencia. Es un conjunto de
puntos fijos (en estos apuntes un sistema de ejes cartesianos) a los cuales referir la
posición del móvil y un reloj para medir el tiempo.
Todos los movimientos que se estudien en estos apuntes se realizarán en el plano.
2.- Posición, desplazamiento y espacio recorrido.
Vector de posición
① Definición.
Sea un punto móvil P que sigue una trayectoria tal
como se muestra en la figura adjunta.
Un observador situado en O establece un sistema de
referencia y define un vector de posición, 𝑟⃗, tal como
se ve en la figura.
Este vector de posición marca la posición del móvil
en ese instante. Tal como está definido, las características del vector de posición son:
- Su punto de aplicación es el origen del sistema de referencia.
- Su módulo es la distancia que hay entre el origen del sistema de referencia y el
móvil, es decir, la distancia del observador al móvil.
- Su dirección es la línea de unión entre el origen del sistema de referencia y el
móvil.
- Su sentido va desde el origen del sistema de referencia hasta el móvil.
② Expresión y módulo.
Como las coordenadas del punto P son conocidas, podemos expresar el vector de
posición en función de las mismas y de los vectores unitarios de cada eje:
𝑟⃗ = 𝑥 · 𝑖⃗ + 𝑦 · 𝑗⃗

3. [3]
Su módulo, cuya interpretación física ya se ha definido, es,
|𝑟⃗| = 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
Si el módulo del vector de posición es constante quiere decir que el punto P no se
está moviendo. Pero entonces estos apuntes se acabarían aquí. Lo normal es que el punto
P se mueva y que el observador quiera conocer cómo varía la posición del punto respecto
del tiempo. Matemáticamente esta circunstancia se expresa como sigue:
𝑟⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡) · 𝑖⃗ + 𝑦(𝑡) · 𝑗⃗
Donde se está diciendo que la expresión del vector de posición depende del tiempo a
través de las propias dependencias del tiempo de cada una de sus coordenadas.
③ Vector de posición y trayectoria
Si el observador conoce la expresión del vector de
posición,
𝑟⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡) · 𝑖⃗ + 𝑦(𝑡) · 𝑗⃗
Entonces sabe dónde está el extremo de dicho vector en
todo momento, es decir, conoce la trayectoria (línea roja
en la figura adjunta).
④ Diferentes formas de expresar el vector de posición. Diferentes ecuaciones.
- Ecuación del movimiento. Es la expresión del vector de posición que hemos visto hasta
ahora.
𝑟⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡) · 𝑖⃗ + 𝑦(𝑡) · 𝑗⃗
- Ecuaciones paramétricas. Son las ecuaciones de las componentes cartesianas en función
del tiempo. Cada componente por separado.
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
- Ecuación implícita de la trayectoria. Se obtiene de eliminar el tiempo en las ecuaciones
paramétricas (por ejemplo, al despejarlo en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra; o
al despejarlo en las dos e igualar) y expresar la ecuación de la forma,
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
- Ecuación explícita de la trayectoria. Es la ecuación de la trayectoria en su forma más
convencional. Se obtiene de despejar y en la ecuación anterior.
𝑦 = 𝑓(𝑥)

4. [4]
Problema 1.
La ecuación del movimiento de un cuerpo, en unidades del S.I., es:
𝑟⃗ = (6𝑡 − 1)𝑖⃗ + 𝑡2
𝑗⃗
Calcula:
a) La posición del móvil en el instante inicial y al cabo de 5 segundos.
b) La distancia del observador al móvil en el instante inicial y al cabo de 5 segundos.
c) Las ecuaciones paramétricas del movimiento y las ecuaciones de la trayectoria de forma
implícita y explícita.
Solución:
a) Sustituimos el tiempo por 0 y por 5 segundos para saber las diferentes posiciones demandadas:
𝑟⃗𝑜 = (6 · 0 − 1)𝑖⃗ + 02
𝑗⃗ = −𝑖⃗
𝑟⃗5 = (6 · 5 − 1)𝑖⃗ + 52
𝑗⃗ = 29𝑖⃗ + 25𝑗⃗
b) La distancia del observador al móvil es el módulo del vector de posición. En los instantes
considerados es,
𝑟𝑜 = √(−1)2 = 1 𝑚
𝑟5 = √(29)2 + (25)2 = 38,3 𝑚
c) Las ecuaciones paramétricas del movimiento son:
𝑥 = 6𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡2
La ecuación explicita de la trayectoria la obtendremos despejando t en la primera ecuación paramétrica
y sustituyendo en la segunda:
𝑡 =
𝑥 + 1
6
𝑦 = (
𝑥 + 1
6
)
2
La ecuación implícita de la trayectoria implica llevar todos los términos de la ecuación a un mismo
miembro para igualar a cero:
(
𝑥 + 1
6
)
2
− 𝑦 = 0
Vector desplazamiento
Si suponemos dos posiciones diferentes de un móvil, definidas por sus respectivos
vectores de posición, 𝑟⃗1 y 𝑟⃗2, el vector desplazamiento mide el cambio de posición entre
ambos vectores y queda definido como la diferencia entre ambos:
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗2 − 𝑟⃗1 = (𝑥2 − 𝑥1)𝑖⃗ + (𝑦2 − 𝑦1)𝑗⃗
Tal como ha quedado definido, las características e interpretación física de este vector son:

5. [5]
- El punto de aplicación del vector es el extremo de
𝑟⃗1.
- El módulo del vector es la distancia en línea recta
entre los dos puntos de la trayectoria del móvil:
∆𝑟 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
- La dirección del vector es la recta que une los dos
puntos de la trayectoria.
- El sentido del vector es desde el punto inicial al
punto final.
Espacio recorrido
① Es la distancia recorrida por el móvil medida sobre la
trayectoria. Se suele simbolizar con la letra s, o bien con ∆𝑠
para indicar la distancia entre dos puntos de la trayectoria.
② Para conocer el espacio recorrido es necesario conocer la ecuación de la trayectoria.
③ Solo coincide con el módulo del vector desplazamiento cuando la trayectoria es recta y el
movimiento no ha tenido cambios de sentido.
④ El espacio recorrido es un escalar, un número seguido de la unidad de longitud correspondiente.
Problema 2.
Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula son: x = 4 – t; y = 2t2, en unidades
del S. I. Determina: a) el vector desplazamiento entre los instantes t = 0 y t = 5; b) la distancia entre
dos puntos de la trayectoria de los instantes inicial y 5 s; c) La ecuación de la trayectoria.
Solución:
a) El vector de posición en cualquier instante es,
𝑟⃗(𝑡) = (4 − 𝑡)𝑖⃗ + 2𝑡2
𝑗⃗
La posición del móvil en el instante inicial es,
𝑟⃗0 = 4𝑖⃗
La posición del móvil a los 5 segundos es,
𝑟⃗5 = −𝑖⃗ + 50𝑗⃗
El vector desplazamiento entre esos instantes es,
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗5 − 𝑟⃗0 = −𝑖⃗ + 50𝑗⃗ − 4𝑖⃗ = − 5𝑖⃗ + 50𝑗⃗
b) La distancia demanda es el módulo del vector desplazamiento,
∆𝑟 = √(−5)2 + (50)2 = 50,25 𝑚
c) Despejamos el tiempo en una de las ecuaciones paramétrica (la primera) y lo sustituimos en la
segunda.
𝑡 = 4 − 𝑥
𝑦 = 2 · (4 − 𝑥)2
𝑦 = 2𝑥2
− 16𝑥 + 32

6. [6]
3.- Velocidad y celeridad
Velocidad media
El vector desplazamiento informa del cambio de posición de un móvil entre dos
puntos de la trayectoria, pero no nos dice nada sobre el tiempo necesario para dicho
cambio de posición.
Se define la velocidad media de un móvil como la relación entre el desplazamiento
de un móvil y el tiempo empleado en dicho desplazamiento,
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟⃗
∆𝑡
=
𝑟⃗2 − 𝑟⃗1
𝑡2 − 𝑡1
La velocidad media es un vector cuyas
características son:
- El punto de aplicación es el punto inicial entre las
dos posiciones consideradas.
- Su módulo es el módulo del vector desplazamiento entre el tiempo transcurrido. La
unidad en el S.I. para el módulo de la velocidad es metro por segundo (m/s).
𝑣 𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
En la figura anterior se ha representado un módulo de la velocidad media inferior al
módulo del vector desplazamiento. Se trata de un ejemplo concreto. Si la diferencia de
tiempos es inferior al segundo el módulo de la velocidad media es mayor al del vector
desplazamiento.
- La dirección y sentido del vector coinciden con las del vector desplazamiento. Esto es así
porque la diferencia de tiempo que aparece en el denominador de la velocidad media
nunca puede ser negativo, el tiempo avanza siempre en un mismo sentido.
Celeridad media
① Entre dos posiciones de la trayectoria, la celeridad media (cm) es la relación entre el
espacio recorrido sobre la trayectoria y el tiempo empleado en ello:
𝑐 𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
② La celeridad media no es un vector, es un escalar, siendo su unidad en el S.I. el m/s.
③ Según estas definiciones, es claro que las dimensiones de la velocidad media y de la
celeridad media son iguales, L·T-1.
④ Coincidirán el módulo de la velocidad media y la celeridad media en movimientos
rectos sin cambio de sentido.

7. [7]
Problema 3.
Un ciclista recorre una pista circular de 50 metros de radio. Tarda 5 segundos en recorrer un
cuarto de la misma. Para un observador situado en el centro de la pista, determina la velocidad y la
celeridad media del ciclista.
Solución:
La figura adjunta representa la situación para el sistema de
referencia colocado en el centro de la circunferencia. Se trata de
una vista cenital de la situación.
Para conocer la celeridad media debemos saber cuánto mide un
cuarto de la circunferencia, que es la trayectoria del ciclista:
𝑐 𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
=
2𝜋𝑅
4
7
=
2𝜋𝑅
28
=
2𝜋 · 50
28
= 11,22 𝑚/𝑠
Para conocer la velocidad media debemos conocer primero los vectores de posición en los instantes
inicial y final. Para el sistema de referencia considerado:
𝑟⃗𝑜 = 50 𝑖⃗
𝑟⃗7 = 50 𝑗⃗
El vector desplazamiento entre esos instantes es,
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗7 − 𝑟⃗𝑜 = 50 𝑗⃗ − 50 𝑖⃗
La velocidad media entre esos instantes es,
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟⃗
∆𝑡
=
50 𝑗⃗ − 50 𝑖⃗
7
= 7,14𝑗⃗ − 7,14 𝑖⃗
El módulo de la velocidad media,
𝑣 𝑚 = √2 · (7,14)2 = 10,10 𝑚/𝑠
Velocidad instantánea
Cuando en la expresión de la velocidad media,
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟⃗
∆𝑡
el intervalo de tiempo, Δt, se hace muy pequeño, prácticamente cero, entonces la velocidad
media pasa a denominarse velocidad instantánea. En general, el vector velocidad
instantánea se escribe, 𝑣⃗.
Para entender mejor el concepto y definir la dirección y sentido del vector velocidad
instantánea, obsérvese la figura de la página siguiente.
① La diferencia entre los vectores desplazamiento ∆𝑟⃗1y ∆𝑟⃗2es que el intervalo de tiempo
considerado es menor en el segundo caso.

8. [8]
② Se puede ver que al reducir el intervalo de tiempo, el
vector desplazamiento, ∆𝑟⃗2, se va acercando a la
trayectoria entre los extremos considerados, P y P2.
③ Si ∆𝑟⃗2es lo suficientemente corto, si Δt es
prácticamente cero, tiende a cero, entonces se puede decir
que el módulo de ∆𝑟⃗2 (Δr2), y la longitud de la trayectoria
(Δs) coinciden.
④ En la situación descrita
en ③ la velocidad determinada con ∆𝑟⃗2es la velocidad
instantánea.
⑤ Como la dirección y sentido del vector velocidad
coinciden con la dirección y sentido del vector
desplazamiento, se puede ver en la figura que cuando
∆𝑡 → 0 el vector velocidad instantánea parte del punto P, y
es un vector tangente a la trayectoria en ese punto.
El vector velocidad instantánea de un móvil en un punto de la trayectoria es un vector con
origen en dicho punto cuya dirección es la tangente a la trayectoria en ese punto y cuyo
sentido es el del movimiento.
Cálculo del vector velocidad instantánea.
El cálculo de la velocidad instantánea, es decir, la expresión del vector y su módulo, se
puede realizar de tres formas, tal como se verá con el siguiente ejemplo.
Calcular, para t = 1 s, la velocidad instantánea de un móvil cuya posición, en función del
tiempo, viene dada por el vector (unidades en el S.I.):
𝑟⃗(𝑡) = (2𝑡 + 𝑡2) 𝑖̂ + 8𝑡 𝑗̂
Forma 1. Aplicación estricta de la definición de velocidad instantánea, es decir,
determinando la velocidad media entre dos instantes separados en el tiempo una cantidad
muy pequeña.
Empezaremos por determinar la posición en el instante t = 1 s,
𝑟⃗1 = (2 · 1 + 12) 𝑖̂ + 8 · 1 𝑗̂ = 3 𝑖̂ + 8 𝑗̂
Supondremos ahora el instante t = 1,01 s, la posición en este caso es,
𝑟⃗1,01 = (2 · 1,01 + 1,012) 𝑖̂ + 8 · 1,01 𝑗̂ = 3,04 𝑖̂ + 8,08 𝑗̂
El vector desplazamiento es,
∆𝑟 = 𝑟⃗1,01 − 𝑟⃗1 = (3,04 𝑖̂ + 8,08 𝑗̂) − 3 𝑖̂ + 8 𝑗̂ = 0,04 𝑖̂ + 0,08 𝑗̂
Y la velocidad, por ahora velocidad media, será,
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
=
0,04 𝑖̂ + 0,08 𝑗̂
0,01
= 4 𝑖̂ + 8 𝑗̂

9. [9]
Para asegurarnos, determinamos hacemos el mismo cálculo pero en un instante todavía más corto,
para t = 1,001. Si el resultado obtenido para la velocidad es coincidente con el anterior podemos decir
que hemos hallado la velocidad instantánea. Los cálculos son:
𝑟⃗1,001 = (2 · 1,001 + 1,0012) 𝑖̂ + 8 · 1,001 𝑗̂ = 3,004 𝑖̂ + 8,008 𝑗̂
∆𝑟 = 𝑟⃗1,001 − 𝑟⃗1 = (3,004 𝑖̂ + 8,008 𝑗̂) − 3 𝑖̂ + 8 𝑗̂ = 0,004 𝑖̂ + 0,008 𝑗̂
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
=
0,004 𝑖̂ + 0,008 𝑗̂
0,001
= 4 𝑖̂ + 8 𝑗̂
Por tanto, la velocidad en el instante t = 1 s es
𝑣⃗1 = 4 𝑖̂ + 8 𝑗̂
Y su módulo,
𝑣1 = √42 + 82 = 8,94 𝑚/𝑠
Forma 2. Determinando el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo
considerado tiende a cero,
𝑣⃗ = lím
∆t→0
𝑣⃗ 𝑚 = lím
∆t→0
∆𝑟⃗
∆𝑡
Este procedimiento es el mismo que el anterior pero realizado de forma general, no para un tiempo
concreto. Así, determinamos la expresión del vector de posición para un tiempo t + Δt
𝑟⃗(𝑡) = (2𝑡 + 𝑡2) 𝑖̂ + 8𝑡 𝑗̂
𝑟⃗(𝑡 + ∆𝑡) = [2(𝑡 + ∆𝑡) + (𝑡 + ∆𝑡)2]𝑖̂ + 8(𝑡 + ∆𝑡) 𝑗̂ =
= [2𝑡 + 2∆𝑡 + 𝑡2
+ ∆𝑡2
+ 2𝑡∆𝑡]𝑖̂ + [8𝑡 + 8∆𝑡]𝑗̂ =
El vector desplazamiento es,
∆𝑟 = 𝑟⃗𝑡+∆𝑡 − 𝑟⃗𝑡 = [2𝑡 + 2∆𝑡 + 𝑡2
+ ∆𝑡2
+ 2𝑡∆𝑡]𝑖̂ + [8𝑡 + 8∆𝑡]𝑗̂ − (2𝑡 + 𝑡2) 𝑖̂ + 8𝑡 𝑗̂ =
= [2∆𝑡 + ∆𝑡2
+ 2𝑡∆𝑡]𝑖̂ + 8∆𝑡𝑗̂
Y la velocidad instantánea será,
𝑣⃗ = lím
∆t→0
𝑣⃗ 𝑚 = 𝑙í𝑚
∆𝑡→0
∆𝑟⃗
∆𝑡
= 𝑙í𝑚
∆𝑡→0
[2∆𝑡 + ∆𝑡2
+ 2𝑡∆𝑡]𝑖̂ + 8∆𝑡𝑗̂
∆𝑡
= 𝑙í𝑚
∆𝑡→0
[[2 + ∆𝑡 + 2𝑡]𝑖̂ + 8𝑗̂]
𝑣⃗ = (2 + 2𝑡)𝑖̂ + 8𝑗̂
Para t = 1 s,
𝑣⃗1 = (2 + 2 · 1)𝑖̂ + 8𝑗̂ = 4 𝑖̂ + 8 𝑗̂
𝑣1 = √42 + 82 = 8,94 𝑚/𝑠

10. [10]
La Forma nº 2 presenta la ventaja de que determina la expresión de la velocidad
instantánea en función del tiempo, 𝑣⃗(𝑡).
En cualquier caso, tanto la forma nº 1, como la forma nº 2, son procedimientos muy
farragosos, siendo muy preferible utilizar forma nº 3.
Forma 3. Derivando la expresión del vector de posición respecto del tiempo.
El límite de una función cuando la variable independiente (en nuestro caso, el tiempo)
tiende a cero se denomina derivada, que escribiremos,
𝑣⃗ = lím
∆t→0
𝑣⃗ 𝑚 = 𝑙í𝑚
∆𝑡→0
∆𝑟⃗
∆𝑡
=
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
Es decir,
𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
Esta expresión se lee de la siguiente forma: la velocidad instantánea es igual a la derivada
del vector de posición respecto del tiempo.
El resultado de aplicar la forma nº 3 al ejemplo concreto está en la página siguiente, pero
antes, quizás, sea necesario leer el siguiente recuadro:
¿Cómo derivar cuando no se conoce el concepto de derivada?
Para las necesidades de estos apuntes, para poder derivar, es necesario conocer el resultado de
determinar la derivada de una función polinómica.
Sea la siguiente función polinómica,
𝑦 = 𝑎𝑥 𝑛
+ 𝑏
Donde a, b y n son números enteros.
Cuando se determina el límite cuando ∆𝑥 → 0 de una función polinómica, es decir, su derivada, se
observa que obedece a la expresión siguiente:
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎 · 𝑛 · 𝑥 𝑛−1
+ 0 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1
Es decir:
- La derivada de un número aislado, b, es cero.
- La derivada de un número, a, por x
n
es igual al número por n·x
n-1
- La función derivada se indica como y’, pero en Física es más conveniente expresarla como dy/dx.
Tres ejemplos:
𝑦1 = 4𝑥3
+ 9 𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= 4 · 3 · 𝑥3−1
+ 0 = 12𝑥2
𝑦2 = −𝑥2
− 2 𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= −1 · 2 · 𝑥2−1
− 0 = −2𝑥
𝑦3 = 5𝑥3
− 2𝑥 𝑑𝑦3
𝑑𝑥
= 5 · 3 · 𝑥3−1
− 2 · 1 · 𝑥1−1
= 15𝑥2
− 2

11. [11]
Si el vector de posición en función del tiempo es,
𝑟⃗(𝑡) = (2𝑡 + 𝑡2) 𝑖̂ + 8𝑡 𝑗̂
Entonces, la velocidad instantánea es,
𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= (2 + 2𝑡) 𝑖̂ + 8 𝑗̂
Que es la misma expresión ya calculada de la forma nº 2.
Para t = 1 s,
𝑣⃗1 = (2 + 2 · 1)𝑖̂ + 8𝑗̂ = 4 𝑖̂ + 8 𝑗̂
𝑣1 = √42 + 82 = 8,94 𝑚/𝑠
Celeridad instantánea
① La celeridad media y la velocidad media (su módulo) solo coinciden cuando el
movimiento es recto y no ha habido un cambio de sentido durante el intervalo de tiempo
considerado.
② Cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero el desplazamiento y la
trayectoria coinciden y son rectas. Por tanto, la celeridad instantánea y el módulo de la
velocidad instantánea son coincidentes.
𝑣 = 𝑐 = lím
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
Problema 4.
El vector de posición de un móvil es, 𝑟⃗ = 𝑡2
𝑖̂ + 10𝑡 𝑗̂, expresado en unidades del S.I. Calcula:
a) Su velocidad media entre t = 2 y t = 6 s.
b) Su velocidad en el instante t.
c) Su velocidad a los 2 y a los 6 s.
Solución:
a) La posición del móvil a los 2 y a los 6 segundos es,
𝑟⃗2 = 4 𝑖̂ + 20 𝑗̂
𝑟⃗6 = 36 𝑖̂ + 60 𝑗̂
El vector desplazamiento entre esos instantes es,
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗6 − 𝑟⃗2 = 32 𝑖̂ + 40 𝑗̂
La velocidad media entre esos instantes es,
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟⃗
∆𝑡
=
32 𝑖̂ + 40 𝑗̂
6 − 2
= 8 𝑖̂ + 10 𝑗̂
El módulo de la velocidad media,
𝑣 𝑚 = √82 + 102 = 12,81 𝑚/𝑠

12. [12]
b) La velocidad instantánea es,
𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑡2
𝑖̂ + 10𝑡 𝑗̂)
𝑑𝑡
= 2𝑡 𝑖̂ + 10 𝑗̂ (𝑆. 𝐼. )
c) Las velocidades en los instantes t = 2 s y t = 6 s son:
𝑣⃗2 = 4 𝑖̂ + 10 𝑗̂ → 𝑣2 = √42 + 102 = 10,77 𝑚/𝑠
𝑣⃗6 = 12 𝑖̂ + 10 𝑗̂ → 𝑣6 = √122 + 102 = 15,62 𝑚/𝑠
4.- Aceleración
Aceleración media
Un cuerpo tiene aceleración cuando su velocidad va cambiando respecto del tiempo. Se
define la aceleración media de un móvil entre dos instantes de tiempo como la relación
entre la variación de la velocidad instantánea del móvil entre esos instantes y el tiempo
transcurrido.
𝑎⃗ 𝑚 =
∆𝑣⃗
∆𝑡
=
𝑣⃗2 − 𝑣⃗1
𝑡2 − 𝑡1
Como resultado de esta operación obtenemos un vector aceleración media,
𝑎⃗ 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑥
𝑖̂ + 𝑎 𝑚 𝑦
𝑗̂
Cuyas características son:
- Módulo: es el valor de la aceleración, en el S.I. su unidad es el m/s2, e indica cuánto
aumenta o disminuye la velocidad en metros/segundo cada segundo,
𝑎 𝑚 = √(𝑎 𝑚 𝑥
)
2
+ (𝑎 𝑚 𝑦
)
2
- Dirección y sentido: es el mismo que la
dirección y sentido del vector incremento de
velocidad, ∆𝑣⃗. La figura adjunta muestra un
ejemplo general para determinar la dirección y
sentido de ∆𝑣⃗ y de 𝑎⃗ 𝑚.

13. [13]
Aceleración instantánea
De la misma forma que se hizo para la velocidad instantánea, para determinar la
aceleración en un instante concreto podemos determinar la aceleración media para un
intervalo de tiempo muy pequeño. Cuando ∆𝑡 → 0 la aceleración media pasa a ser
instantánea,
𝑎⃗ = lím
∆𝑡→0
∆𝑣⃗
∆𝑡
El límite de esta función es la derivada de la misma,
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
Problema 5. PROBLEMA-RESUMEN.
Este problema muestra la gran cantidad de información que se puede extraer a partir del
conocimiento de la variación del vector de posición de un móvil en función del tiempo.
El vector de posición de un móvil es, 𝑟⃗ = 2𝑡2
𝑖̂ + 4𝑡 𝑗̂, expresado en unidades del S.I. Calcula:
a) Su posición inicial y su posición a los 5 segundos.
b) La distancia del móvil al observador al cabo de 5 segundos.
c) La ecuación de la trayectoria.
d) La distancia en línea recta entre las dos posiciones anteriores.
e) La velocidad media del móvil en los 5 primeros segundos.
f) La velocidad instantánea.
g) La velocidad del móvil en el instante inicial y a los 5 segundos.
h) La aceleración media del móvil en los 5 primeros segundos.
i) La aceleración instantánea.
j) La aceleración inicial y la aceleración a los 5 segundos.
Solución:
𝑟⃗ = 2𝑡2
𝑖̂ + 4𝑡 𝑗̂
a) Posición inicial, t = 0
𝑟⃗𝑜 = 0
El móvil inicia su movimiento desde el origen del sistema de referencia.
- Posición cuando t = 5 s,
𝑟⃗5 = 50 𝑖̂ + 20 𝑗̂ (𝑚)
b) La distancia del móvil al observador, origen del sistema de referencia, es el módulo del vector
posición. A los cinco segundos,
𝑟5 = √502 + 202 = 53,85 𝑚

14. [14]
c) Primero las ecuaciones paramétricas del movimiento,
𝑥 = 2𝑡2
𝑦 = 4𝑡
Para obtener la ecuación de la trayectoria despejamos el tiempo en la primera ecuación y lo
sustituimos en la segunda,
𝑡 = √
𝑥
2
𝑦 = 4√
𝑥
2
= √
16𝑥
2
= √8𝑥 → 𝑦 = 2√2𝑥
d) La distancia en línea recta entre dos posiciones del móvil es el módulo del vector desplazamiento
entre dichas posiciones,
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗5 − 𝑟⃗𝑜 = 50 𝑖̂ + 20 𝑗̂
∆𝑟 = √502 + 202 = 53,85 𝑚
e) Velocidad media en los 5 primeros segundos,
𝑣⃗ 𝑚 =
∆𝑟⃗
∆𝑡
=
50 𝑖̂ + 20 𝑗̂
5 − 0
= 10 𝑖̂ + 4 𝑗̂ (𝑚/𝑠)
f) Velocidad instantánea,
𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= 4𝑡 𝑖̂ + 4 𝑗̂ (𝑚/𝑠)
g) Velocidad inicial,
𝑣⃗ 𝑜 = 4𝑗̂ (𝑚/𝑠)
Velocidad a los 5 segundos,
𝑣⃗5 = 20 𝑖̂ + 4𝑗̂ (𝑚/𝑠)
h) Aceleración media en los cinco primeros segundos,
𝑎⃗ 𝑚 =
∆𝑣⃗
∆𝑡
=
𝑣⃗5 − 𝑣⃗ 𝑜
5 − 0
=
20 𝑖̂ + 4𝑗̂ − 4𝑗̂
5
= 4 𝑖̂ (𝑚/𝑠2
)
i) Aceleración instantánea,
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
= 4 𝑖̂ (𝑚/𝑠2
)
j) La aceleración inicial y la aceleración a los cinco segundos es la misma,
𝑎⃗ = 4 𝑖̂ (𝑚/𝑠2
)
Ya que la aceleración instantánea no de pende del tiempo (en este caso concreto).

15. [15]
5.- Componentes intrínsecas de la aceleración.
¿Cómo se debe representar el vector aceleración instantánea?
Este apartado puede dar respuesta, entre otras, a esta pregunta.
① Cuando un cuerpo varía su velocidad decimos que tiene aceleración, su movimiento es
acelerado mientras la velocidad instantánea está cambiando.
② Si la velocidad es una magnitud vectorial, puede variar de ésta tanto su módulo, como
su dirección y su sentido.
③ En la aceleración de un cuerpo distinguiremos dos tipos:
- Aceleración que aparece cuando varía el módulo de la velocidad instantánea, que
llamaremos aceleración tangencial.
- Aceleración que aparece cuando varía la dirección y sentido de la velocidad
instantánea, que llamaremos aceleración normal.
④ Por tanto, la aceleración de un cuerpo será la suma de su aceleración tangencial y de su
aceleración normal.
𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝜏 + 𝑎⃗ 𝑛
⑤ Para definir el vector aceleración tangencial y el vector aceleración normal, debemos
establecer primero el llamado sistema de referencia intrínseco.
- Su origen está en el propio punto que representa al móvil.
- Su “eje x” es llamado eje tangencial porque siempre es
tangente a la trayectoria en la posición del punto móvil.
- El sentido positivo del eje tangencial será el del movimiento.
En este sentido se define un vector unitario, 𝜏⃗.
- Su “eje y” es llamado eje normal porque es perpendicular a la
trayectoria en la posición del punto móvil.
- El sentido positivo del eje normal es el dirigido hacia el centro
de la curvatura de la trayectoria. En este sentido se define un vector unitario, 𝑛⃗⃗.
⑥ El vector aceleración es el resultado de la
composición de los vectores aceleración tangencial y
aceleración normal respecto de este sistema de
referencia, tal como se muestra en la figura adjunta.
𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝜏 + 𝑎⃗ 𝑛 = 𝑎 𝜏 𝜏⃗ + 𝑎 𝑛 𝑛⃗⃗
De manera que,
𝑎 = √𝑎 𝜏
2 + 𝑎 𝑛
2

16. [16]
Aceleración tangencial
Como hemos dicho, es la parte de la aceleración que tiene en cuenta la variación del
módulo de la velocidad instantánea. Se puede calcular (su módulo) mediante la expresión,
𝑎 𝜏 = lím
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Es decir, la aceleración tangencial es igual a la derivada del módulo de la velocidad
instantánea respecto del tiempo.
Como el vector aceleración tangencial, 𝑎⃗ 𝜏 = 𝑎 𝜏 𝜏⃗, se encuentra en la misma
dirección que el vector velocidad instantánea, respecto de su dirección y sentido en
relación al sentido de la velocidad instantánea podemos establecer:
① En el sistema de referencia intrínseco el sentido positivo lo marca el sentido del vector
velocidad, 𝑣⃗.
② Si el sentido de la aceleración tangencial, 𝑎⃗ 𝜏, coincide con el de 𝑣⃗, el movimiento es
acelerado, el móvil está aumentando su velocidad (su módulo).
③ Si el sentido de la aceleración tangencial, 𝑎⃗ 𝜏, es opuesto al de 𝑣⃗, el movimiento es
decelerado, el móvil está disminuyendo su velocidad (su módulo).
Aceleración normal
Como hemos dicho, es la parte de la aceleración que tiene en cuenta los cambios de
dirección del vector velocidad instantánea.
La deducción del valor de la aceleración normal se sale de las pretensiones de estos
apuntes, motivo por el cual, simplemente se establece que su valor es:
𝑎 𝑛 =
𝑣2
𝑅
Donde v es el módulo de la velocidad instantánea en el punto considerado y R el radio de
curvatura de la trayectoria en ese punto.
De la expresión de 𝑎 𝑛 vemos que su valor siempre es positivo, por tanto, el vector
𝑎⃗ 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑛⃗⃗ es un vector que siempre va dirigido hacia el valor positivo del eje normal, es
decir, siempre va dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria en ese punto.
Una vez establecidos los vectores
aceleración tangencial y aceleración
normal en un punto de la trayectoria, la
composición de los mismos nos dará la
dirección y sentido de la aceleración en
ese punto.

17. [17]
Clasificación de los movimientos
Atendiendo al valor de las componentes intrínsecas de la aceleración, los movimientos se
pueden clasificar según podemos ver en el siguiente cuadro:
Problema 6.
Para afrontar una curva
cerrada que cambia el
sentido de circulación un
automóvil empieza a frenar
en el punto A de la
trayectoria (carretera) y
mantiene la frenada hasta el
punto B. Entre el punto B y
el punto C el coche mantiene
su velocidad constante y
empieza a acelerar desde el
punto C hasta el punto D. A
partir del punto D, el coche
mantiene su velocidad
constante.
Dibuja, de forma aproximada, los vectores aceleración y velocidad en los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Solución:
Punto 1.
- Su velocidad está disminuyendo en módulo, es decir tiene aτ
- Va frenando, la aτ tiene sentido contrario a la velocidad.
- Su movimiento es recto, an = 0
- Por tanto, 𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝜏

18. [18]
Punto 2.
- Su velocidad está disminuyendo en módulo, es decir, tiene aτ
- Va frenando, la aτ tiene sentido contrario a la velocidad.
- Inicia la curva, la trayectoria no es recta, tiene aceleración normal, an, cuyo vector va dirigido
hacia el centro de la curva en ese punto.
- Por tanto, 𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝜏 + 𝑎⃗ 𝑛
Punto 3 y punto 4
- Su velocidad es constante en módulo, es decir, aτ = 0.
- Su trayectoria es curva, tiene aceleración normal, an, cuyo vector va dirigido hacia el centro de la
curva en ese punto.
- Por tanto, 𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝑛
Punto 5.
- Su velocidad está aumentando en módulo, es decir tiene aτ
- Va acelerando, la aτ tiene el mismo sentido que la velocidad.
- Su movimiento es recto, an = 0
- Por tanto, 𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝜏
Punto 6.
- Su velocidad es constante en módulo, no tiene aτ
- Su movimiento es recto, an = 0
- Por tanto, 𝑎⃗ = 0

19. [19]
Problema 7.
El vector de posición de un cuerpo es:
𝑟⃗(𝑡) = (2 − 𝑡2
) 𝑖̂ − 5𝑡2
𝑗̂
Expresado en unidades del S.I. Determina el vector aceleración expresado en función de sus
componentes cartesianas y sus componentes intrínsecas.
Solución:
Determinaremos primero el vector velocidad instantánea,
𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= 𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= −2𝑡 𝑖̂ − 10𝑡 𝑗̂ (𝑆. 𝐼. )
La aceleración instantánea, en función de sus componentes cartesianas es,
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
= −2 𝑖̂ − 10 𝑗̂ (𝑆. 𝐼. )
Su módulo es,
𝑎 = √(−2)2 + (−10)2 = √104 = 10,2 𝑚/𝑠2
Para determinar la aceleración tangencial, necesitamos el módulo de la velocidad instantánea,
𝑣 = √(−2𝑡)2 + (−10𝑡)2 = √4𝑡2 + 100𝑡2 = √104𝑡2 = 10,2 𝑡 𝑚/𝑠
La aceleración tangencial,
𝑎 𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 10,2 𝑚/𝑠2
Y su vector,
𝑎⃗ 𝜏 = 10,2 𝜏̂
Es lógico pensar que si el módulo de la aceleración tangencial coincide con el de la aceleración
instantánea, entonces la componente normal de la aceleración es nula. Veamos, sin embargo, cómo se
podría calcular esta aceleración normal (a pesar de que sabemos que es cero).
Para determinar la aceleración normal no podemos utilizar su expresión,
𝑎 𝑛 =
𝑣2
𝑅
Porque no conocemos el radio de curvatura. Sin embargo, de la expresión de la aceleración instantánea
en función de sus componentes intrínsecas,
𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝜏 + 𝑎⃗ 𝑛
Planteando su módulo,
𝑎2
= 𝑎 𝜏
2
+ 𝑎 𝑛
2
Conocemos tanto 𝑎 como 𝑎 𝜏, por tanto,
10,22
= 10,22
+ 𝑎 𝑛
2
→ 𝑎 𝑛 = 0
En definitiva,
𝑎⃗ = −2 𝑖̂ − 10 𝑗̂ = 10,2 𝜏̂ (𝑆. 𝐼. )

20. [20]
Estos apuntes se finalizaron el 22 de octubre de 2015
en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
fresenius1@gmail.com
http://www.escritoscientificos.es