1. Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Ingenier´ Civil
ıa
Gu´ de Ejercicios N◦ 1
ıa
´
Coordinador de Algebra
Ricardo Santander Baeza
Mayo del 2008
La matem´tica viene impresa en el cerebro y,
a
s´lo se hace carne cuando palpita en el coraz´n.
o o
1. Autores y Aportes
Profesores: Arancibia Luis, Carvajal Miguel, Chac´n Humberto, Gonz´les Luz, Mu˜oz Miguel, Narea Lila,
o a n
Riquelme Luis, Rivera Eugenio, Riveros Luis, Santander Ricardo.
Objetivo de la gu´
ıa
Estimados estudiantes, les proponemos estos ejercicios con el objetivo de que a trav´s del trabajo que significa
e
analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en el m´s breve plazo, desarrollar competencias
a
adecuadas que les permitan de manera eficiente
(1) Operar con polinomios
(2) Demostrar el valor de verdad de proposiciones l´gicas, usando tablas de verdad o bien propiedades
o
(3) Demostrar la validez de f´rmulas proposicionales usando el m´todo de Inducci´n matem´tica
o e o a
(4) Determinar r´pida y eficientemente los elementos de sucesiones num´ricas que poseen las propiedades
a e
de progresiones aritm´ticas y geom´tricas
e e
(5) Determinar r´pida y eficientemente cualquier t´rmino de un desarrollo binomial
a e
Algunas sugerencias
(1) Lea cuidadosamente el problema
(2) Reconozca lo que es informaci´n, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta y debe hacer.
o
(3) Gestione de forma eficiente la informaci´n
o
Ejercicios Propuestos
(1) Demuestre que en cualquiera sea la base B, el n´mero 1010101 no es primo
u
(2) Demuestre que 121(m) = ((m + 1)2 )(10) , enti´ndase 10 como base decimal.
e
1

2. 2
(3) ¿(a + b)m − am − an es divisible por (a + b), si m es impar?. Justifique su respuesta.
(4) Demuestre que el polinomio (a − 3)2 n + (a − 2)n − 1 es divisible por (a − 3)(a − 2)
(5) Determine m y n de modo que el polinomio q(x) = x4 + mx3 + 29x2 + nx + 4
sea un cuadrado perfecto
(6) Se define el conectivo l´gico # como sigue: q#p = [p ⇒ (∼ q∧ ∼ p)] ∨ q ∨ p, entonces demuestre que
o
(∼ p ⇒ q)#[(p∧ ∼ q)# ∼ q)# ∼ q] ≡ T
(es una Tautolog´
ıa)
(7) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si se sabe que la siguiente proposici´n es
o
verdadera.
[s ⇒ ((∼ r ⇒ r) ∨ (r ⇒∼ r)))] ⇒ [∼ (p ⇒ q) ∧ s∧ ∼ r]
(8) Sean p(x) y q(x) dos funciones proposicionales. Muestre que si
(∃!x)(p(x)) ∧ (∃!x)(q(x)).
entonces la siguiente proposici´n es verdadera
o
(∃!x)(p(x) ∧ q(x)) ⇒ (∃!x)(p(x) ∧ q(x)).
(9) En cada caso determine la suma dada:
80
1
(a) √ √ .
k=10
k+ k+1
n 20
3
(b) k si se sabe que (kn) = 10500.
k=10 k=1
(10) En cada caso determine la suma dada:
80
1
(a) √ √ .
k=10
k+ k+1
n
20
(b) k3 si se sabe que k=1 (kn) = 10500.
k=10
(11) Calcular:
n
1
√ √
k=1
k(k + 1)( k + k + 1)

3. EJERCICIOS PROPUESTOS 3
10
(12) Determine si existe c ∈ R tal que (2xk − c)2 = 1050, si se tiene que:
k=1
9 9 10
xk = 50 x2 = 100
k 3 xk = 180,
k=1 k=1 k=1
(13) Demuestre que para todo n´mero natural n se tiene que:
u
n+1
k n+2
= .
2 3
k=2
n n!
Donde = .
k k!(n − k)!
(14) Demuestre que para todo n´mero natural n se tiene que:
u
n
√ 1
2( n + 1 − 1) ≤ √ .
k=1
k
(15) Demuestre que si n es un n´mero natural impar entonces 7n + 1 es divisible por 8.
u
(16) Considere {xn }n∈N es una sucesi´n tal que: x1 = 1, x2 = 1 y xn = xn−1 + xn−2 , para todo n ≥ 3.
o
n
Demuestre por inducci´n que para todo n natural se tiene que xn < 7 .
o 4
(17) a, b y c son tres n´meros reales positivos y est´n en P.A.
u a
1 1 1
Demuestre que: √ √ , √ √ , √ √ est´n en una P.A.
a
b+ c a+ c a+ b
1
(18) {ai } es una P.A. ai = 0, (∀i). Demuestre que { } es P.A.
a(i−1) ai
n n
(19) {xi } es una P.A., xi = a y x2 = b2 , obtenga {xi }
i
i=1 i=1
(20) {ai } es una P.G., se sabe que am+n = A y am−n = B. Si A = 0, obtener am y an .
(21) Obtenga el valor de la siguiente suma 1+ 11+ 111+· · · + 111 · · · 1, donde el ultimo n´mero tiene n unos.
´ u
n−1
1 n−1
(22) {ai }i=1...n es una P.A. Demuestre que √ √ =√ √
ak − ak+1 a1 + an
k=1
(23) Demuestre que el n´mero 444 · · · 4 888 · · · 8 9 es un cuadrado perfecto.
u
n cuatros (n − 1) ochos
(24) Considerando el desarrollo de (3x + 1)2n + (3x − 1)2n , demuestre que
n
2n 1
9n−m = (42n + 22n )
2m 2
m=0

4. 4
(25) Resolver la ecuaci´n 9x3 − 36x2 + 44x − 16 = 0 si sus ra´
o ıces est´n en P.A.
a
(26) Resuelva la ecuaci´n 3x3 − 26x2 + 52x − 24 = 0 si sus ra´
o ıces est´n en P.G.
a
(27) Dada x3 − 2x2 + kx + 46 = 0. Determ´
ınese k y resu´lvase la ecuaci´n si las ra´
e o ıces est´n en P.A.
a
o ıces de la ecuaci´n x3 + px2 + qx + r = 0 est´n en P.G.
(28) ¿Qu´ relaci´n existe entre p, q y r si las ra´
e o a
(29) Resolver la ecuaci´n 4x4 − 4x3 − 21x2 + 11x + 10 = 0 si las ra´
o ıces est´n en P.A.
a
(30) Determ´ınese k en la ecuaci´n 2x4 − 15x3 + kx2 − 30x + 8 = 0 y resu´lvase sabiendo que las ra´ est´n
o e ıces a
en P.G.
(31) Determine b para que el coeficiente del t´rmino en x4 sea ocho veces el coeficiente del t´rmino en x3
e e
en el desarrollo de (2x + b)5
n
(32) En el desarrollo de x2 + x−1 el coeficiente de T4 y T13 son iguales. Determine el t´rmino indepen-
e
diente de x
n
−3
2
1 2
(33) En el desarrollo de z − z3 la raz´n entre el coeficiente binomial de T3 y de T5 es
o . Determine
7
−5
2
el t´rmino que tiene a z
e
√ √
(34) Simplifique: ( 2 + 1)5 − ( 2 − 1)5
(35) Determine r si el coeficiente de xr y de xr+1 en (3x + 2)19 son iguales.
(36) Los coeficientes num´ricos de T10 y de T8 en el desarrollo de (2 − x)n est´n el la raz´n de 5 es a 72.
e a o
Obtenga n
√ 1
(37) En el desarrollo de (x x + x4 )n ocurre que el coeficiente de T3 excede al de T2 en 44 unidades. Deter-
mine el coeficiente del t´rmino que no contiene x.
e
√ n
3 1
(38) Determine n en la expresi´n
o 2+ √
3
si en el desarrollo de la potencia del binomio, la relaci´n
o
3
1
entre el t´rmino s´ptimo contado desde el principio y el t´rmino s´ptimo contado desde el final es
e e e e .
6
BUEN TRABAJO !!!