Potenciaciacion

1. Tema 2. Potenciación, radicación y notación científica
Rodrigo es asesor en un círculo de estudio y encargó a sus alumnos
que determinaran cuánto dinero recibe el Gobierno Federal
mensualmente por el impuesto del agua potable, si en promedio una
persona paga $25 y el total de habitantes es aproximadamente de
123 400 000.
Los alumnos empezaron a realizar el cálculo, mientras que su asesor ya
había terminado. Los alumnos, sorprendidos por la rapidez del asesor,
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2. le preguntaron qué había hecho para calcular el resultado. Rodrigo
comentó que usó las reglas de los exponentes para hacer esta
multiplicación.
Es más fácil realizar multiplicaciones utilizando las leyes de los
exponentes, no solamente en la multiplicación, sino en todas las
operaciones básicas: un correcto manejo de las leyes de los
exponentes facilita cada una de estas operaciones.
Para resolver el problema, Rodrigo expresó el número 123 400 000
M
5 5
como 1234x10 , debido a que 10 =10x10x10x10x10=100000, luego A
multiplicó los números 1234 x 25=30850 y así obtuvo que 123 400 000x25 T
E
5
= 30850 x10 . M
Cuando se multiplican dos números iguales (base) elevados a distintas Á
potencias, el resultado es igual a ese número elevado a una potencia T
I
igual a la suma de sus exponentes. Esta ley se denomina producto de
C
potencias y se define como: A
S
El producto de las potencias de igual base es otra potencia con la
misma base, cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de
los factores: b x b y = b x+y
En cambio, en la división, en vez de sumar los exponentes se restan,
esta ley se llama ley de cociente de dos potencias y establece lo
siguiente:
El cociente (resultado) de las potencias de igual base es otra
potencia con la misma base y cuyo exponente es igual a la
diferencia del dividendo (numerador), menos el exponente del
divisor (denominador) de los exponentes de los factores: bx
y
= b x−y
b
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3. 2
Cuando se multiplican dos números y luego se eleva la potencia, se
aplica la ley de la potencia de un producto y se deduce fácilmente,
por ejemplo, 2x3=6 y 62 =36, pero 2 2 x3 2 = 4 x9 = 36 , por lo tanto
(2 x3 )2 = 2 2 x3 2 .
La potencia de un producto es una potencia cuya base son los
factores del producto elevados a la potencia indicada:
(ab)x = a x b x
Existe otra ley llamada potencia de una potencia la cual establece lo
siguiente:
La potencia de una potencia es elevar la base a un exponente que
es el producto del exponente de la base, por el exponente de la
potencia: (a )
x y
= a xy
Notación científica
La potencia más utilizada es la de base 10, que se usa para
representar un número y se llama notación científica, por ejemplo: el
número 123 400 000 se expresa como el producto de un número
5
natural y el número 10 elevado a una potencia 1234x10 . Así, para
determinar las operaciones entre números en notación científica, se
aplican las reglas conocidas para números naturales y decimales en
conjunto con las leyes de los exponentes.
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4. La utilización de lo comentado se aplica en la Física. La ley de
gravitación universal dice: la fuerza de atracción entre dos cuerpos es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
m1m2
proporcional al cuadrado que los separa. La fórmula es F = G ,
d2
donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor es de
Nm2
6.67x10 −11 . ¿Cuál es la fuerza de atracción entre dos cuerpos si su
kg 2
masa es de 2x10 3 kg ( m1) y 3x10 3 kg ( m2 ) respectivamente, si hay una M
A
distancia de 2x10 2 m ( d )? Para determinar la fuerza de atracción entre T
los dos cuerpos, es necesario realizar las siguientes operaciones: E
M
F = 6.67 x10 −11
(2 x10 )(3 x10 )
3 3 Á
T
(2 x10 )
2 2 I
C
A
Se multiplicaron los números naturales y S
F = 6.67 x10 −11 (6x10 )
6
las potencias de la notación científica del
(2 x10 )
2 2
numerador (ley de producto de
potencias).
F = 6.67 x10 −11
(6x10 ) 6
Se elevó a la potencia 2 el denominador
(4 x10 )4 (ley de potencia de una potencia).
Se dividió el numerador entre el
F = 6.67 x10 −11
(1.5x10 )2
denominador (ley de cociente de
potencias).
(
F = (6.67 x1.5) 10 −11 x10 2 = ) Se realizó la multiplicación de los números
en notación científica (ley de producto
= 10.005x10 −9 de potencias).
Si el exponente es un número fraccionario se siguen aplicando las
leyes de los exponentes. A continuación se presentan ejemplos de
cada una de estas leyes y su representación mediante radicales.
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5. Producto de potencias Potencia de una potencia
1 2
( 8)
1 1 1 1
+
1 2 x2
2 x2 = 4 4 = 4 4 = 4
2 2 2 2 2 2
=4 =4
22 = 3
= 83 = 83
Potencia de un producto Cociente de potencias
(4 x5)3 = 43 × 53
1
1 4 1− 4 −3
4 5 − 1
4
=4 5 5
=4 5
=4 5
= 3
4 5
4 5
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