guía para examen ordinario semestral cálculo integral mayo 2011

1. GUIA SEMESTRAL DE CALCULO INTEGRAL
ALUMNO (A): _____________________________________ GRUPO: ___
Semestre febrero- junio 2011
Cálculo integral
En cálculo, integración se define como: un proceso en el que se debe encontrar el
área de una región limitada por fronteras curvas, y en el que es necesario tener
algunos conocimientos geométricos y físicos.
El teorema Fundamental del cálculo establece la relación entre derivada e integral y
las reconoce como procesos inversos.
Así como en Cálculo Diferencial la Derivada tenía aplicaciones y, una de ellas, la
geométrica, era para calcular “la pendiente de una recta”; en Cálculo Integral, la
Integral tendrá diferentes aplicaciones, como calcular la velocidad instantánea si se
conoce su aceleración, o la posición en un cierto instante si se conoce la velocidad,
calculo de aéreas, volúmenes, sólidos de revolución, trabajo. Tiene más aplicaciones
en el área de Física, Biología, Economía. Es parte esencial para la descripción o
modelación de situaciones en todas las áreas del conocimiento científico.
Los tipos de integral son: definida e indefinida.
La integral indefinida es la antiderivada mas general de una función, al llevar a cabo
el proceso de integración se le agrega una constante (+C) que físicamente se refiere
a las condiciones iniciales de un sistema.
Por otro lado, la integral definida es la que se evalúa dentro de ciertos límites y da
como resultado un valor numérico, para calcularlas utilizamos el teorema de Newton –
Leibniz.
SIMBOLOGIA
 f ( x)dx  F ( x)  C
Símbolo de
la integral
Integrando Diferencial Integral
(función a de la integral indefinida
integrar)
El símbolo de integración es el operador y va siempre acompañado por el diferencial (dx)
que es el que indica respecto a que variable se integrará.
1 Elaboró: Ing. Dalia Leija

2. GUIA SEMESTRAL DE CALCULO INTEGRAL
ALUMNO (A): _____________________________________ GRUPO: ___
Calcula las integrales INDEFINIDAS (UNIDAD I) con la regla básica de integración y
compara la respuesta. Haz uso de leyes de exponentes y de leyes de los signos.
  3x  2 x3  x 2  dx   5x  2 dx 
4
3x5 x 4 x3 5x2
Respuesta:   c Respuesta:  2x  c
5 2 3 2
1
 x2 dx   x 2 dx 
3
1 3 3 x5
Respuesta:   c Respuesta: c
x 5
1 1  1
 3 x

2
 x  dx 
2 
x 3
dx 
1 3 1 2
Respuesta: x  x c 1
9 4 Respuesta:  c
2 x2
2 Elaboró: Ing. Dalia Leija

3. GUIA SEMESTRAL DE CALCULO INTEGRAL
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Reexpresión de funciones:
Ejemplo
 x3 dx ? Respuesta: x
3/ 2
¿Cuál será la forma exponencial de la integral dx
¿Cuál será la forma exponencial de la integral  x dx ?

5
¿Cuál será la forma exponencial de la integral x3 dx ?

3
¿Cuál será la forma exponencial de la integral x5 dx ?
Ejemplo:

5
 x 3 dx : Respuesta:
3
Convierte a forma radical la integral x5 dx
x
7/2
Convierte a forma radical la integral dx :
6
Convierte a forma radical la integral x 7
dx :
x
1/ 3
Convierte a forma radical la integral dx :
Realiza las integrales Indefinidas
Ejemplo:
¿Cuál será la integral de y  2 ? Respuesta: 2x  C
Calcula la integral de la función y  15 x
2
Calcula 11xdx
2
¿Cuál sería el resultado de:  3 xdx ?
¿Cuál sería el cálculo correcto de  xdx ?
3 Elaboró: Ing. Dalia Leija

4. GUIA SEMESTRAL DE CALCULO INTEGRAL
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Comprueba si el resultado de cada integral DEFINIDA (UNIDAD 3-4) es el
correcto (efectúa el desarrollo). Utiliza la fórmula de Newton- Leibniz.
Calcula el área de la región limitada por la función y = x3, entre x = 1 y x = 3. Respuesta:
80
 u2
4
18 2
Calcula el área bajo la curva y =x2 , limitada por x= 0 y x= 2. Respuesta:  u
3
Calcula el área de la región limitada por la función y =x4 , entre a = -3 y b = 0. Respuesta:
243 2
 u
3
 (4 x  x )dx , cuyos límites son
2
Desarrolla el cálculo del área limitada bajo la curva de la
22 2
b  3 y a  1 .Respuesta:  u
3
4 Elaboró: Ing. Dalia Leija

5. GUIA SEMESTRAL DE CALCULO INTEGRAL
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Identifica la gráfica que corresponde a el área limitada bajo la curva de la función
y   x 2 , el eje “x”, entre x  1 y x  3
A) B)
C) D)
1.5
COLOREA LA REGION ACOTADA POR LA SIGUIENTE FUNCION  x  1 dx
2
♪ 1
5 Elaboró: Ing. Dalia Leija

6. GUIA SEMESTRAL DE CALCULO INTEGRAL
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Evalúa el área sombreada en la gráfica mostrada.
y
0
a)  2 xdx  18  6
y = 2x 3
3
3
b)  2 xdx  2  0.66
0
3
0
c)  2 xdx  18
3
3
x
d)  2 xdx  9
0
0 3
El costo marginal para fabricar x metros de aluminio es C '( x)  3  0.01x  0.000006 x 2 pesos por
metro. Encuentra el incremento del costo, si el nivel de producción se eleva de 2000 a 4000 metros
de aluminio.
a) 60000 pesos
b) 58000 pesos
c) 12000 pesos
d) 80000 pesos
Una población de animales crece a razón de 200  50t al año. ¿En cuánto aumenta la
población de animales entre el cuarto y décimo años?
A) 1200 animales
B) 3300 animales
C) 5700 animales
D) 4500 animales
Considerando que el trabajo es la integral de la fuerza aplicada a lo largo de una distancia recorrida por un
cuerpo…, resuelve lo siguiente:
Cuando una particular se desplaza una distancia de x pies del origen, una fuerza
x 2  2 x medida en libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se realiza cuando se
mueve en el intervalo [1,3]?
A) El trabajo realizado es igual a 18 lb-pies
B) El trabajo realizado es igual a 19.33 lb-pies
C) El trabajo realizado es igual a 1.33 lb-pies
D) El trabajo realizado es igual a 16.67 lb-pies
SUERTE! 
6 Elaboró: Ing. Dalia Leija