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Numeros Complejos
El concepto de n´mero imaginario y despu´s complejo se conoce en las
u e
matem´ticas y se utiliza desde tiempos remotos. La historia de su surgimiento
a
refleja aquel rasgo general de desarrollo de los c´lculos matem´ticos donde la
a a
introducci´n y utilizaci´n de las operaciones inversas conduce, como regla, a la
o o
necesidad de ampliaci´n del dominio num´rico. As´ la introducci´n de la sus-
o e ı, o
tracci´n necesito al fin y al cabo de la complementaci´n de la serie natural con
o o
los n´meros negativos, la divisi´n condujo a la ampliaci´n de la serie natural
u o o
hasta el conjunto de los n´meros racionales. A su vez la operaci´n de radicaci´n
u o o
resulto la causa operativa de introducci´n del concepto del n´mero real. El caso
o u
particular, cuando se trata se la extracci´n de ra´ de potencia par de un n´mero
o ız u
negativo exigia la introducci´n de los n´meros imaginarios.
o u
S´lo en el siglo XVI en relaci´n con la resoluci´n algebraica de las ecuaciones
o o o
c´bicas R.Bombelli(1572) se aparto del tratamiento de los n´meros imaginarios
u u
como misteriosos o absurdos y elaboro las reglas de las operaciones aritm´ticas e
con los n´meros imaginarios. No obstante, a´n en el curso de mucho tiempo,
u u
a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la inter-
pretaci´n de los n´meros imaginarios y complejos, su naturaleza no fue com-
o u
prendida y la relaci´n con ellos era como con cierta sustancia sobrenatural en
o
las matem´ticas. Incluso en el a˜o 1702 G.W. Leibniz escribio que los n´meros
a n u
imaginarios es un hermoso y maravilloso refugio del esp´ ıritu divino, casi como
la duabilidad entre la existencia y la no existencia. En la historia no hubo
insuficiencia en semejantes afirmaciones sobre las propiedades m´ ısticas de los
imaginarios, tambi´n por parte de otros cient´
e ıficos.
La poca claridad del concepto de n´mero complejo no podia esconder su
u
utilidad en la resoluci´n de problemas concretos. Una gran cantidad de los
o
hechos acumulados dio motivo a los matem´ticos del siglo XVIII para trasladar
a
el concepto de lo imaginario tambi´n al campo de las magnitudes variables. Ya
e
que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia
del car´cter del problema, las magnitudes imaginarias se representaban frente
a
a los investigadores con diferentes ”apariencias”: f´ ısica, geom´trica o incluso
e
anal´ıtica. El problema de la interpretaci´n cient´
o ıfica de los n´meros complejos
u
se resolv´ a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del
ıa
an´lisis matem´tico.
a a
DEFINICION 1: n´ mero complejo.
u Un n´mero complejo es todo aquel de la
u
forma a + i b, donde ”i” es la unidad imaginaria y a, b dos n´meros reales
u
cualesquiera.
DEFINICION 2: Igualdad Dos n´meros complejos z1 = a + i b y z2 = c + i d, son
u
iguales si y s´lo si a = c y b = d.
o
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DEFINICION 3: Conjugado Dado el n´mero complejo z2 = c + i d, al n´mero
u u
complejo c − i d le llamaremos conjugado de z2 y lo representaremos con z2
¯
Forma cartesiana
Sean z1 = a + i b y z2 = c + i d, dos numeros complejos, y sus conjugados
z1 = a − i b y z2 = c − i d, entonces
¯ ¯
• la suma de dos numeros complejos es otro n´mero complejo,
u
z1 + z2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i(b + d)
• el producto de dos numeros complejos es otro n´mero complejo,
u
z1 · z2 = (a + i b) · (c + i d) = (ac − bd) + i(ad + bc)
• el cociente de dos numeros complejos es otro n´mero complejo,
u
z1 z1 z2
¯ (a + i b)(c − i d) (ac + bd) + i(bc − ad)
= = =
z2 z2 z2
¯ (c + i d)(c − i d) c2 + d2
2 2
Propiedades de la suma y la multiplicaci´n de los n´ meros com-
o u
plejos
∀, z1 , z2 ∈ C
• Cerradura de la suma, z1 + z2 ∈ C
• Cerradura de la multiplicaci´n, z1 · z2 ∈ C
o
• Asociativa de la suma, (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
• Asociativa de la multiplicaci´n, (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 )
o
• Conmutatividad de la suma, z1 + z2 = z2 + z1
• Conmutatividad de la multiplicaci´n, z1 · z2 = z2 · z1
o
• distributividad de la multiplicaci´n sobre la suma,
o
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
Ejemplo 1: c´lcula
a Calcule el siguiente determinante:
1+i 2−i
7 8 − 2i
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Teorema 1: z 2 = w Si w es un n´mero complejo, entonces la ecuaci´n z 2 = w, tiene
u o
dos soluciones, tal que z ∈ C.
Prueba: Sea w = a + b i
√
Caso 1 Suponga que b √ 0. Entonces si a > 0, z =
= a es una soluci´n, mientras
o
si a < 0, z = i −a es una soluci´n ∈ C
o
Caso 2 Suponga que b = 0, Sea z = x + y i w = a + b i, donde a, b, x, y ∈ R.
Entonces la ecuaci´n z 2 = w, tiene la siguiente forma:
o
(x + i y)2 = x2 − y 2 + i 2xy = a + b i
igualando las partes reales y las partes imaginarias:
x2 − y2 = a
+ 2xy = b
de tal forma que si x = 0 ⇒ y = b/(2x). Consecuentemente
2
b
x2 − =a
2x
tal que 4(x2 )2 − 4ax2 − b2 = 0 y tomando la soluci´n positiva de x2 :
o
√ √
2 4a ± 16a2 + 16b2 a + a2 + b2
x = =
8 2
√
a+ a2 +b2 b
, as´ x = ±
ı, 2 ⇒ y = b/(2x) = √ √ √
2 a+ a2 +b2
√
a+ a2 + b2 b
z=± +i √ √
2 2 a + a2 + b2
√
Ejemplo 2: Ecuaci´n cuadr´tica.
o a Resolver la ecuaci´n z 2 + ( 3 + i)z + 1 = 0
o
Ejemplo 3: Ecuaci´n c´ bica.
o u Encontrar las ra´
ıces c´bicas de 1.
u
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Propiedades de los conjugados de n´ meros complejos.
u
• z1 + z2 = z1 + z2
• −z = −z
• z1 − z2 = z1 − z2
• z1 · z2 = z1 · z2
• (1/z) = 1/z
• z es real si y s´lo si z = z
o
• Si z = x + i y, entonces z · z = x2 + y 2
DEFINICION 4: Modulo de un n´ mero complejo.
u Si z = x + i y, el modulo de
z, es un n´mero real no negativo |z|, definido por |z| = x2 + y 2 . Geometrica-
u
mente, el modulo de z, es la distancia entre el punto z y el origen, en el plano
complejo. En forma general, |z1 − z2 |, es la distancia entre z1 y z2 , en el plano
complejo.
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