Este documento contiene preguntas sobre distribuciones de probabilidad normales y variables aleatorias. Algunas preguntas tratan sobre los valores que pueden tomar los parámetros μ y σ2 en una distribución normal, la definición de probabilidades para intervalos en una distribución continua, el cálculo de probabilidades conjuntas para variables aleatorias independientes, y propiedades de la media y varianza para variables aleatorias discretas y continuas. Otras preguntas tratan sobre estimadores de parámetros y la cota de Cramer-Rao.

1. EJERCICIOS EN CLASE
23-05-2019

2. • ¿Qué valores pueden tomar los parámetros de una distribución normal
𝒙 ~ 𝑵(µ ,  𝟐
)?
• µ 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 y 2
𝑒𝑠 1.
• µ 𝑷𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍, 𝒚 𝝈 𝟐
𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐.
• µ 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐, 𝒚 𝝈 𝟐
𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐
• Sea 𝑭(𝒙) una función de distribución de una variable aleatoria continua
X, a y b un intervalo cualquiera tal que a < b, entonces es cierto que:
• 𝑷 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 .
• 𝑷 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 .
• 𝑷 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 .
• 𝑷 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 .
• 𝑻𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔.

3. • Si X y Y son variables aleatorias independientes con 𝒑 𝑿 𝟎 = 𝟎. 𝟓, 𝒑 𝑿 𝟏 =
𝟎. 𝟑, 𝒑 𝑿 𝟐 = 𝟎. 𝟐, 𝒑 𝒀 𝟎 = 𝟎. 𝟔, 𝒑 𝒀 𝟏 = 𝟎. 𝟏, 𝒑 𝒀 𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟓, 𝒑 𝒀 𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟓,
entonces 𝑷(𝑿 ≤ 𝟏, 𝒀 ≤ 𝟏) es:
• 0.3
• 0.56
• 0.7
• 0.8
• El segundo momento de la variable aleatoria X es su varianza.
• Verdadero
• Falso
• Sea X una variable aleatoria discreta con media 𝝁 y varianza 𝝈 𝟐 y sea Y una
variable aleatoria definida como 𝒀 = 𝜶𝑿 + 𝜷 entonces la varianza de Y es
𝜶𝝈 𝟐 + 𝜷
• Verdadero
• Falso

4. • Sean 𝑿 𝟏, 𝑿 𝟐, … , 𝑿 𝒏 variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas con función de densidad para cada 𝑿𝒊
𝑓 𝑥; 𝜃 =
𝑥
9𝜃2
𝑒
−
1
3(
𝑥
𝜃
)
; 𝑥 > 0
Considerando 𝜃 =
𝑋
6
como estimador de 𝜃:
• ¿Es un estimador insesgado?
• Hallar la Cota de Cramer-Rao.
• ¿Cuál es la eficiencia del estimador de 𝜃?