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- 1. 2. Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo. 2.1 Formas cuadráticas. Expresión matricial y analítica. Expresiones diagonales. Definición 2.1 (Expresión matricial) Una forma cuadrática es una función ݍ: Թ ื Թ que a cada vector ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ א Թ le asocia el valor ݍሺ࢞ሻ ൌ ࢞௧ܣ ࢞ ଶ 2ܽଵଶݔଵݔଶ ڮ 2ܽଵݔଵݔ ܽଶଶݔଶ ݀ଵ 0 ڮ 0 0 ݀ଶ ڮ 0 1 siendo A una matriz simétrica, es decir: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൮ ܽଵଵ ܽଵଶ ڮ ܽଵ ܽଵଶ ܽଶଶ ڮ ܽଶ ڭ ڭ ܽଵ ܽଶ ڰڮ ڭ ܽ ൲ ൮ ݔଵ ݔଶ ڭ ݔ ൲ Su expresión analítica es: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൌ ܽଵଵݔଵ ଶ ڮ 2ܽଶݔଶݔ ڮ ܽݔ ଶ Ejemplo 2.2 Sea ݍ: Թଷ ื Թ dada por ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ 2 െ4 2 െ4 3 െ2 2 െ2 1 ൱ ൭ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ Su expresión analítica es: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ 2 െ4 2 െ4 3 െ2 2 െ2 1 ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ ൭ 2ݔଵ െ 4ݔଶ 2ݔଷ െ4ݔଵ 3ݔଶ െ 2ݔଷ 2ݔଵ െ 2ݔଶ ݔଷ ൱ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ ൱ ൌ ൌ ݔଵሺ2ݔଵ െ 4ݔଶ 2ݔଷሻ ݔଶሺെ4ݔଵ 3ݔଶ െ 2ݔଷሻ ݔଷሺ2ݔଵ െ 2ݔଶ ݔଷሻ ൌ ൌ 2ݔଵݔଵ െ 4ݔଵݔଶ 2ݔଵݔଷ െ 4ݔଶݔଵ 3ݔଶݔଶ െ 2ݔଶݔଷ 2ݔଷݔଵ െ 2ݔଷݔଶ ݔଷݔଷ ൌ ൌ 2ݔଵ ଶ 3ݔଶ ଶ ݔଷ ଶ െ 8ݔଵݔଶ 4ݔଵݔଷ െ 4ݔଶݔଷ Nota: • En la diagonal principal de la matriz están los coeficientes de ݔଵ ଶ, ݔଶ ଶ, ݔଷ ଶ (en este orden). • En el lugar ij de la matriz está la mitad del coeficiente de ݔݔ. Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener fácilmente cada una de ellas a partir de la otra. ଶ െ ݔଶ Ejemplo 2.3 Sea ݍ: Թଷ ื Թ dada por ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ݔଵ ଶ 2ݔଷ ଶ െ 7ݔଵݔଶ 4ݔଶݔଷ Su expresión matricial es: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ 1 െ7 2 ⁄ 0 െ7⁄2 െ1 2 0 2 2 ൱ ൭ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ Definición 2.4 (Expresión diagonal) Sea ݍ: Թ ื Թ una forma cuadrática. Una expresión diagonal o canónica de q viene dada por: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൮ ڭ0 ڭ0 ڰڮ ڭ ݀ ൲ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ௧௭ ௦ ௗ ݔଵ ݔଶ ڭ ݔ ൮ ଶ ݀ଶݔଶ ൲ ൌ ݀ଵݔଵ ଶ ڮ ݀ݔ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥଶ ௫௦ó í௧ ௦ó ௧ ௧é௦ ௨ௗá௧௦.
- 2. ߣ ൌ 5 ߣଶ െ 6ߣ 5 ൌ 0 ՜ ቄߣ ൌ 1 ଶ 2 Observación: Pretendemos expresar una forma cuadrática en forma diagonal. Cualquier forma cuadrática admite, al menos, una expresión diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales. Proposición 2.5 (Expresión diagonal por autovalores) Para toda forma cuadrática ݍ: Թ ื Թ, con A su matriz asociada, y ߣଵ, ߣଶ, ڮ , ߣ autovalores de A, existe una expresión diagonal dada por: ଶ ߣଶݔଶ ݍሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൌ ߣଵݔଵ ଶ ڮ ߣݔ ଶ ଶ 3ݔଶ Ejemplo 2.6 Sea la forma cuadrática ݍ: Թଷ ื Թ dada por: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 3ݔଵ ଶ 5ݔଷ ଶ െ 4ݔଵݔଶ Su expresión matricial es ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ 3 െ2 0 െ2 3 0 0 0 5 ൱ ൭ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ Buscamos los autovalores de la matriz A: อ 3 െ ߣ െ2 0 െ2 3 െ ߣ 0 0 0 5 െ ߣ อ ൌ 0 ՜ ሺ5 െ ߣሻ ቚ3 െ ߣ െ2 െ2 3 െ ߣ ቚ ൌ 0 ՜ ሺ5 െ ߣሻᇣሾሺᇧ3ᇧെᇧߣᇤሻᇧଶᇧെᇧ4ᇥሿ ఒమିఒାହ ൌ 0 ՜ ቊ ߣ ൌ 5 ଶ 5ݔଶ Una expresión diagonal por autovalores es: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 5ݔଵ ଶ ݔଷ ଶ Proposición 2.7 (Expresión diagonal de Jacobi) Sea ݍ: Թ ื Թ una forma cuadrática y A su matriz asociada. Consideremos los menores angulares ܦ formados por las i primeras filas de A y las i primeras columnas de A: ܦଵ ൌ ܽଵଵ ܦଶ ൌ ቚ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଶଶ ቚ ܦଷ ൌ อ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ อ ݁ݐܿ Supongamos que ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݎ. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadrática q viene dada por: ଶ ݍሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔሻ ൌ ܦଵݔଵ ܦଶ ܦଵ ଶ ݔଶ ܦଷ ܦଶ ଶ ڮ ݔଷ ܦ ܦିଵ ଶ ݔ Siempre que ܦଵ ് 0, ܦଶ ് 0, ܦଶ ് 0, ڮ , ܦ ് 0 Es decir, para que q admita expresión diagonal de Jacobi, se tiene que verificar: ݎ݃ሺܣሻ ൌ 1 ܿ݊ ܦଵ ് 0 ݎ݃ሺܣሻ ൌ 2 ܿ݊ ܦଵ ് 0 ݕ ܦଶ ് 0 ݎ݃ሺܣሻ ൌ 3 ܿ݊ ܦଵ ് 0 , ܦଶ ് 0 ݕ ܦଷ ് 0 ݁ݐܿ ଶ 3ݔଶ Ejemplo 2.8 Sea la forma cuadrática ݍ: Թଷ ื Թ dada por ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 3ݔଵ ଶ 5ݔଷ ଶ െ 4ݔଵݔଶ (es la misma forma cuadrática del ejemplo 2.6) ܣ ൌ ൭ 3 െ2 0 െ2 3 0 0 0 5 ൱ ՜ ݎ݃ܣ ൌ 3, ܦଵ ൌ 3 ് 0 , ܦଶ ൌ ቚ 3 െ2 െ2 3 ቚ ൌ 5 ് 0 , ܦଷ ൌ อ 3 െ2 0 െ2 3 0 0 0 5 อ ൌ 25 ് 0 Como ݎ݃ሺܣሻ ൌ 3 ݕ ݈ݏ ݐݎ݁ݏ ݉݁݊ݎ݁ݏ ܦଵ, ܦଶ, ܦଷ ് 0 , la forma diagonal de Jacobi es ଶ ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 3ݔଵ 5 3 ݔଶ 25 5 ଶ ൌ 3ݔଵ ݔଷ ଶ 5 3 ଶ 5ݔଷ ݔଶ ଶ
- 3. Ejemplo 2.9 Sea la forma cuadrática ݍ: Թଷ ื Թ dada por ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ൭ 1 െ ߣ ൌ 0 ՜ ߣ ൌ 1 ߣଶ െ ߣ െ 2 ൌ 0 ՜ ቄߣ ൌ 2 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ൱ ൭ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ No admite expresión diagonal de Jacobi: ݎ݃ ൭ 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ൱ ൌ 2 ܦଵ ൌ 1 ് 0 ݁ݎ ܦଶ ൌ ቚ1 1 1 1 ቚ ൌ 0 Nota: (Ley de inercia de Sylvester) Todas las expresiones como suma de cuadrados de q tienen el mismo número de elementos positivos y negativos. 2.2 Clasificación de las formas cuadráticas Definición 2.10 Sea ݍ: Թ ื Թ una forma cuadrática • q es definida positiva si ݍሺ࢞ሻ 0 ࢞ א Թ, ࢞ ് ࣂ. • q es semidefinida positiva si ݍሺ࢞ሻ 0 ࢞ א Թ ݕ ݍሺ࢛ሻ ൌ 0 ܽݎܽ ݈ܽ݃ú݊ ࢛ ് ࣂ. • q es definida negativa si ݍሺ࢞ሻ ൏ 0 ࢞ א Թ, ࢞ ് ࣂ. • q es semidefinida negativa si ݍሺ࢞ሻ 0 ࢞ א Թ ݕ ݍሺ࢛ሻ ൌ 0 ܽݎܽ ݈ܽ݃ú݊ ࢛ ് ࣂ. • q es indefinida si existen vectores ࢛ ݕ ࢜ de Թ no nulos tales que ݍሺ࢛ሻ 0 ݕ ݍሺ࢜ሻ ൏ 0. Proposición 2.11 (Criterio de los autovalores) Sea ݍ: Թ ื Թ una forma cuadrática y A su matriz asociada. Sean ߣଵ, ߣଶ, ڮ , ߣ los autovalores de A. • q es definida positiva si y sólo si los autovalores de A son todos positivos. • q es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos. • q es definida negativa si y sólo si los autovalores de A son todos negativos. • q es semidefinida negativa si y sólo si los autovalores de A son negativos y nulos. • q es indefinida si y sólo si A posee algún autovalor positivo y algún autovalor negativo. ଶ ݔଶ Ejemplo 2.12 Clasificar la forma cuadrática ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ݔଵ ଶ െ 2ݔଵݔଷ 2ݔଶݔଷ Su expresión matricial es: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ 1 0 െ1 0 1 1 െ1 1 0 ൱ ൭ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ Autovalores: อ 1 െ ߣ 0 െ1 0 1 െ ߣ 1 െ1 1 െߣ อ ൌ 0 ฺ െߣሺ1 െ ߣሻଶ െ ሺ1 െ ߣሻ െ ሺ1 െ ߣሻ ൌ 0 ฺ െߣሺ1 െ ߣሻଶ െ 2ሺ1 െ ߣሻ ൌ 0 ฺ ฺሺ1 െ ߣሻ ሾᇣെᇧߣᇧሺᇧ1ᇧെᇤᇧߣᇧሻᇧെᇧ2ᇥሿ ఒమିఒିଶୀ ൌ 0 ฺ ቊ ߣ ൌ െ1 ฺ Los autovalores son: ൝ ߣ ൌ 1 0 ߣ ൌ 2 0 ߣ ൌ െ1 ൏ 0 ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ
- 4. Proposición 2.13 (Criterio de los menores angulares) Sea ݍ: Թ ื Թ una forma cuadrática, A su matriz asociada y ܦଵ, ܦଶ, ڮ , ܦ los menores angulares de A ሺ1ሻ ܵ݅ ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݊ ݕ ܦଵ 0, ܦଶ 0, ܦଷ 0, ڮ , ܦ 0 ՜ ݍ ݁ݏ ݂݀݁݅݊݅݀ܽ ݏ݅ݐ݅ݒܽ ሺ2ሻ ܵ݅ ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݊ ݕ ܦଵ ൏ 0, ܦଶ 0, ܦଷ ൏ 0 , ڮ , ܦ ൜ 0 ݏ݅ ݊ ܽݎ ൏ 0 ݏ݅ ݊ ݅݉ܽݎ ՜ ݍ ݁ݏ ݂݀݁݅݊݅݀ܽ ݊݁݃ܽݐ݅ݒܽ ሺ3ሻ ܵ݅ ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݊ ሺܦ ് 0ሻ ݕ ݊ ݏ݁ ݒ݁ݎ݂݅݅ܿܽ ݊݅ ሺ1ሻ ݊݅ ሺ2ሻ ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ ሺ4ሻ ܵ݅ ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݎ ൏ ݊ ݕ ܦଵ 0, ܦଶ 0, ڮ , ܦ 0, ܦାଵ ൌ 0, ڮ , ܦ ൌ 0 ՜ ݍ ݁ݏ ݏ݂݁݉݅݀݁. ݏ݅ݐ݅ݒܽ ሺ5ሻ ܵ݅ ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݎ ൏ ݊ ݕ ܦଵ ൏ 0, ܦଶ 0 , ڮ , ܦ ൜ 0 ݏ݅ ݎ ܽݎ ൏ 0 ݏ݅ ݎ ݅݉ܽݎ , ܦାଵ ൌ 0, ڮ , ܦ ൌ 0 ՜ ݍ ݁ݏ ݏ݂݁݉݅݀݁. ݊݁݃ܽݐ݅ݒܽ ሺ6ሻ ܵ݅ ݎ݃ሺܣሻ ൌ ݎ ൏ ݊ ݕ ܦଵ ് 0, ܦଶ ് 0, ܦଷ ് 0, ڮ , ܦ ് 0 ݕ ݊ ݏ݁ ݒ݁ݎ݂݅݅ܿܽ ݊݅ ሺ3ሻ ݊݅ ሺ4ሻ ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ 4 En el resto de los casos el criterio no es válido ଶ ݔଶ Ejemplo 2.14 Clasificar la forma cuadrática ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ݔଵ ଶ െ 2ݔଵݔଷ 2ݔଶݔଷ utilizando el criterio de los menores angulares. La matriz asociada es ܣ ൌ ൭ 1 0 െ1 0 1 1 െ1 1 0 ൱ ܯ݁݊ݎ݁ݏ ܽ݊݃ݑ݈ܽݎ݁ݏ: ۖ۔ ۖۓ ە ܦଵ ൌ 1 0 ܦଶ ൌ ቚ1 0 0 1 ቚ ൌ 1 0 1 0 െ1 0 1 1 െ1 1 0 ܦଷ ൌ อ อ ൌ െ2 ൏ 0 Como: ݎ݃ሺܣሻ ൌ 3 ݕ ܦଵ 0, ܦଶ 0 ݕ ܦଷ ൏ 0 ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ (Caso 3) ଶ 4ݔଵݔଶ 2ݔଵݔଷ 2ݔଶݔଷ utilizando el Ejemplo 2.15 Clasificar la forma cuadrática ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ݔଷ criterio de los menores angulares. La matriz asociada es ܣ ൌ ൭ 0 2 1 2 0 1 1 1 1 ൱ ܯ݁݊ݎ݁ݏ ܽ݊݃ݑ݈ܽݎ݁ݏ: ۖ۔ ۖۓ ە ܦଵ ൌ 0 ܦଶ ൌ ቚ0 2 2 0 ቚ ൌ െ4 ൏ 0 0 2 1 2 0 1 1 1 1 ܦଷ ൌ อ อ ൌ 0 El criterio de los menores angulares no afirma nada en este caso. Ejercicio 2.16 Sea la forma cuadrática ݍ: Թଷ ื Թ dada por ଶ 3ݔଷ ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ݔଵ ଶ െ 2ݔଵݔଶ 4ݔଵݔଷ െ 2ݔଶݔଷ a) Expresión matricial. b) Expresión diagonal por autovalores. c) Si es posible, expresión diagonal de Jacobi. d) Clasificar la forma cuadrática. Solución ܽሻ ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ൭ 1 െ1 2 െ1 0 െ1 2 െ1 3 ൱ ൭ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൱ ܾሻ อ 1 െ ߣ െ1 2 െ1 െߣ െ1 2 െ1 3 െ ߣ อ ൌ 0 ฺ ݁ݎܽ݊݀ ฺ െߣଷ 4ߣଶ 3ߣ ൌ 0 ՜ ߣሺെߣଶ 4ߣ 3ሻ ൌ 0 ՜ ቐ ߣ ൌ 2 √7 ߣ ൌ 2 െ √7 ߣ ൌ 0 Una expresión diagonal por autovalores es ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ൫ᇣ2ᇧᇧᇤ√ᇧᇧ7ᇥ൯ ൎସ, ଶ ൫ᇣ2ᇧᇧെᇤ√ᇧᇧ7ᇥ൯ ݔଵ ൎି, ଶ ݔଶ 1 െ1 2 െ1 0 െ1 2 െ1 3 ܿሻ ݎ݃ ൭ ൱ ൌ 2
- 5. Estudiamos los menores angulares: ܦଵ ൌ 1 ് 0 ܦଶ ൌ ቚ 1 െ1 5 െ1 0 ቚ ൌ െ1 ് 0 ܦଷ ൌ อ 1 െ1 2 െ1 0 െ1 2 െ1 3 อ ൌ 0 Como el rango de la matriz es 2 y los dos primeros menores angulares no son nulos, la forma diagonal de Jacobi es: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ܦଵݔଵ ଶ మ భ ଶ ൌ 1ݔଵ ݔଶ ଶ ሺିଵሻ ଶ ൌ ݔଵ ଵ ݔଶ ଶ െ ݔଶ ଶ d) Vamos a clasificar la forma cuadrática: • 1ª forma: Utilizando el criterio de los autovalores ቐ ߣ ൌ 2 √7 0 ߣ ൌ 2 െ √7 ൏ 0 ߣ ൌ 0 ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ • 2ª forma: Utilizando la expresión diagonal por autovalores ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ᇣ൫2ᇧᇧᇤ√ᇧᇧ7ᇥ൯ ൎସ, ଶ ᇣ൫2ᇧᇧെᇤ√ᇧᇧ7ᇥ൯ ݔଵ ൎି, ଶ ݔଶ ܮܽ ݁ݔݎ݁ݏ݅ó݊ ݈݀݅ܽ݃݊ܽ ݐ݅݁݊݁ ݂ܿ݁݅ܿ݅݁݊ݐ݁ݏ ݏ݅ݐ݅ݒݏ ݕ ݊݁݃ܽݐ݅ݒݏ ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ ଶ െ ݔଶ • 3ª forma: Utilizando la expresión diagonal de Jacobi ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ݔଵ ଶ ܮܽ ݁ݔݎ݁ݏ݅ó݊ ݈݀݅ܽ݃݊ܽ ݐ݅݁݊݁ ݂ܿ݁݅ܿ݅݁݊ݐ݁ݏ ݏ݅ݐ݅ݒݏ ݕ ݊݁݃ܽݐ݅ݒݏ ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ • 4ª forma: Utilizando el criterio de los menores angulares 1 െ1 2 െ1 0 െ1 2 െ1 3 ܣ ൌ ൭ ܦଵ ൌ 1 0 ܦଶ ൌ െ1 ൏ 0 ܦଷ ൌ |ܣ| ൌ 0 ൱ ՜ ൝ ݕ ݎ݃ሺܣሻ ൌ 2 ՜ ܥ݉ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ ሺCaso 6ሻ 2.3 Formas cuadráticas restringidas a un subespacio. Clasificación. Al estudiar el signo de una forma cuadrática es frecuente que estas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector ࢞ pertenezca a un subespacio de Թ. Definición 2.17 Sean ݍ: Թ ื Թ una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de Թ. • q restringida a E es definida positiva si ݍሺ࢞ሻ 0 ࢞ א ܧ, ࢞ ് ࣂ. • q restringida a E es semidefinida positiva si ݍሺ࢞ሻ 0 ࢞ א ܧ ݕ ݍሺ࢛ሻ ൌ 0 ܽݎܽ ݈ܽ݃ú݊ ࢛ ് ࣂ ݀݁ ܧ. • q restringida a E es definida negativa si ݍሺ࢞ሻ ൏ 0 ࢞ א ܧ, ࢞ ് ࣂ. • q restringida a E es semidefinida negativa si ݍሺ࢞ሻ 0 ࢞ א ܧ ݕ ݍሺ࢛ሻ ൌ 0 ܽݎܽ ݈ܽ݃ú݊ ࢛ ് ࣂ ݀݁ ܧ. • q restringida a E es indefinida si existen vectores ࢛ ݕ ࢜ de ܧ no nulos tales que ݍሺ࢛ሻ 0 ݕ ݍሺ࢜ሻ ൏ 0. Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio. El camino para clasificar una forma cuadrática restringida a un subespacio vectorial es: 1) Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio (supongamos que los parámetros son ߙଵ, ߙଵ, ڮ , ߙ) 2) Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática. 3) Se clasifica la forma cuadrática restringida ݍ|ாሺߙଵ, ߙଵ, ڮ , ߙሻ Observación: • Si q es definida, al restringirla a E seguirá siendo definida. (Positiva o negativa) • Si q es semidefinida, al restringirla a E puede ser definida o semidefinida. (Positiva o negativa) • Si q es indefinida, al restringirla a E puede ser definida positiva o negativa, semidefinida positiva o negativa o indefinida.
- 6. Ejercicio 2.18 Dada la forma cuadrática ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 2ݔଵ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ቚ ൌ 5 0 ՜ ݍ|ா ݁ݏ ݂݀݁݅݊݅݀ܽ ݏ݅ݐ݅ݒܽ ሺܥܽݏ 1ሻ 6 ଶ െ 2ݔଵݔଶ 3ݔଶ ଶ , clasificarla sin restringir y restringida al subespacio: ܧ ൌ ሼሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ א Թଷ⁄ݔଵ െ ݔଶ ݔଷ ൌ 0ሽ Solución: • Clasificación sin restringir: ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൭ 2 െ1 0 െ1 3 0 0 0 0 ൱ ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ ൭ ൱ ݎ݃ ൭ 2 െ1 0 െ1 3 0 0 0 0 ൱ ൌ 2 ݕ ܦଵ ൌ 2 0, ܦଶ ൌ ቚ 2 െ1 ቚ ൌ 5 0, ܦଷ ൌ อ െ1 3 2 െ1 0 െ1 3 0 0 0 0 อ ൌ 0 ሺܥܽݏ 4ሻ ՜ q es semidefinida positiva • Restringida al subespacio E: 1) Buscamos las ecuaciones paramétricas de E ݔଵ െ ݔଶ ݔଷ ൌ 0 ሺ݁ݏ ݈ܽ ݁ܿݑܽܿ݅ó݊ ݈݅݉íܿ݅ݐܽ ݈݀݁ ݏݑܾ݁ݏܽܿ݅ሻ ݔଵ െ ݔଶ ݔଷ ൌ 0 ՜ ݔଵ ൌ ݔଶ െ ݔଷ ՜ ݄ܽܿ݁݉ݏ ቄ ݔଶ ൌ ߙ ݔଷ ൌ ߚ ՜ ݔଵ ൌ ߙ െ ߚ Ecuaciones paramétricas: ൝ ݔଵ ൌ ߙ െ ߚ ݔଶ ൌ ߙ ݔଷ ൌ ߚ ܿ݊ ߙ ݕ ߚ א Թ 2) Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática: ଶ െ 2ݔଵݔଶ 3ݔଶ ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 2ݔଵ ଶ ݍ|ாሺߙ, ߚሻ ൌ 2ሺߙ െ ߚሻଶ െ 2ሺߙ െ ߚሻߙ 3ߙଶ ൌ 2ሺߙଶ െ 2ߙߚ ߚଶሻ െ 2ߙଶ 2ߙߚ 3ߙଶ ൌ ൌ 2ߙଶ െ 4ߙߚ 2ߚଶ െ 2ߙଶ 2ߙߚ 3ߙଶ ൌ 3ߙଶ 2ߚଶ െ 2ߙߚ 3) Se clasifica la forma cuadrática restringida: ݍ|ாሺߙ, ߚሻ ൌ ሺߙ, ߚሻ ቀ 3 െ1 െ1 2 ቁ ቀ ߙߚ ቁ Expresión matricial de la forma cuadrática restringida ቁ ൌ 2 y ܦଵ ൌ 3 0, ܦଶ ൌ ቚ 3 െ1 ݎ݃ ቀ 3 െ1 െ1 2 െ1 2 Ejercicio 2.19 Clasificar la forma cuadrática ݍሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ 2ݔଵݔଶ 2ݔଵݔଷ 2xଶxଷ ݎ݁ݏݐݎ݅݊݃݅݀ܽ ݈ܽ ݏݑܾ݁ݏܽܿ݅: ܨ ൌ ۃሺ0,1,1ሻۄ Solución: ·Buscamos las ecuaciones paramétricas de F ܨ ൌ ۃሺ0,1,1ሻۄ ՜ Tenemos un sistema generador, un solo vector es l.i., luego ሺ0,1,1ሻ es una base de F ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൭ 011 ൱ ൌ ߙ ൭ ൱ ߙ א Թ ՜ ܧܿ. ܽݎܽ݉éݐݎ݅ܿܽݏ ݀݁ ܨ ൝ ݔଵ ൌ 0 ݔଶ ൌ ߙ ݔଷ ൌ ߙ · Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática: ݍ|ிሺߙሻ ൌ 2ߙଶ · Se clasifica la forma cuadrática restringida: Tenemos la forma cuadrática escrita como suma de cuadrados, para clasificarla sólo tenemos que mirar el signo de los coeficientes. ݍ|ிሺߙሻ es definida positiva.
- 7. 7 Ejercicio 2.20 Dadas las formas cuadráticas: ሺܽሻ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ െ2ݔଶ െ 2ݔݕ 5ݕଶ ሺܾሻ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔଶ ݕଶ െ ݖଶ 2ݔݕ ሺܿሻ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔଶ െ 2ݕଶ ݖଶ െ 4ݔݕ െ 2ݔݖ െ 4ݕݖ Calcular: La expresión matricial, una expresión diagonal por autovalores y, siempre que sea posible, una expresión diagonal de Jacobi. Clasificarlas. Solución: ሺܽሻ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ െ2ݔଶ െ 2ݔݕ 5ݕଶ ՜ ܧݔݎ݁ݏ݅ó݊ ݉ܽݐݎ݈݅ܿ݅ܽ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ ቀെ2 െ1 ቁ ቀ െ1 5 ݔݕ ቁ ·Expresión diagonal por autovalores: ቚെ2 െ ߣ െ1 െ1 5 െ ߣ ቚ ൌ 0 ՜ ሺെ2 െ ߣሻሺ5 െ ߣሻ െ 1 ൌ 0 ՜ ߣଶ െ 3ߣ െ 11 ൌ 0 ՜ ߣଵ ൌ ۖ۔ ۖۓ ە 3 √53 2 ߣଶ ൌ 3 െ √53 2 ݍሺݔ, ݕሻ ൌ ቀଷା√ହଷ ᇣᇧᇤଶᇧᇥቁ ൎହ,ଵସவ ݔଶ ቀଷି√ହଷ ଶ ᇣᇧᇤᇧᇥቁ ൎିଶ,ଵସழ ݕଶ Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida. ·Expresión diagonal de Jacobi ݎ݃ ቀെ2 െ1 ቁ ൌ 2 െ1 5 ܦଵ ൌ െ2, ܦଶ ൌ ቚെ2 െ1 ቚ ൌ െ11 െ1 5 ቑ ՜ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ 2ݔଶ ሺെ11ሻ 2 ݕଶ ൌ 2ݔଶ െ 11 2 ݕଶ Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida. ሺܾሻ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔଶ ݕଶ െ ݖଶ 2ݔݕ ՜ ܧݔݎ݁ݏ݅ó݊ ݉ܽݐݎ݈݅ܿ݅ܽ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ሺݔ, ݕ, ݖሻ ൭ 1 1 0 1 1 0 0 0 െ1 ൱ ቆ ݔݕݖ ቇ ·Expresión diagonal por autovalores: อ 1 െ ߣ 1 0 1 1െߣ 0 0 0 െ1െߣ อ ൌ 0 ՜ ሺെ1 െ ߣሻ ቚ1 െ ߣ 1 ൌ 0 ՜ ሺെ1 െ ߣሻ ሾᇣሺᇧ1ᇧെᇧߣᇤሻᇧଶᇧെᇧ1ᇥሿ 1 1െߣቚ ఒమିଶఒ ൌ 0 ՜ ൝ ߣଵ ൌ െ1 ߣଶ ൌ 0 ߣଷ ൌ 2 ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ െݔଶ 2ݖଶ Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida. ·Expresión diagonal de Jacobi ݎ݃ ൭ 1 1 0 1 1 0 0 0 െ1 ൱ ൌ 2 ܦଵ ൌ 1 ݁ݎ ܦଶ ൌ ቚ1 1 1 1 ቚ ൌ 0 ۖۘ ۖۗ ۙ ՜ ܰ ݏ݁ ݑ݁݀݁.
- 8. ሺܿሻ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔଶ െ 2ݕଶ ݖଶ െ 4ݔݕ െ 2ݔݖ െ 4ݕݖ ՜ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ሺݔ, ݕ, ݖሻ ൭ 8 1 െ2 െ1 െ2 െ2 െ2 െ1 െ2 1 ൱ ቆ ݔݕݖ ቇ ·Expresión diagonal por autovalores: อ 1 െ ߣ െ2 െ1 െ2 െ2 െ ߣ െ2 െ1 െ2 1 െ ߣ อ ൌ 0 ՜ െߣଷ 12ߣ െ 16 ൌ 0 ՜ ܴݑ݂݂݅݊݅ ՜ ൝ ߣଵ ൌ 2 ߣଶ ൌ 2 ߣଷ ൌ െ4 ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ 2ݔଶ 2ݕଶ െ 4ݖଶ Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida. ·Expresión diagonal de Jacobi ݎ݃ ൭ 1 െ2 െ1 െ2 െ2 െ2 െ1 െ2 1 1 െ2 െ1 െ2 െ2 െ2 െ1 െ2 1 ൱ ൌ 3, ݕܽ ݍݑ݁ อ อ ൌ െ16 ് 0 ܦଵ ൌ 1, ܦଶ ൌ ቚ 1 െ2 ቚ ൌ െ6, ܦଷ ൌ อ െ2 െ2 1 െ2 െ1 െ2 െ2 െ2 െ1 െ2 1 อ ൌ െ16 ۖۖۘ ۖۖۗ ۙ ՜ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔଶ ሺെ6ሻ 1 ݕଶ ሺെ16ሻ ሺെ6ሻ ݖଶ ൌ ൌ ݔଶ െ 6ݕଶ 8 3 ݖଶ Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida. Ejercicio 2.21 Clasificar sin restringir y restringida al subespacio vectorial ܨ ൌ ሼሺݔ, ݕ, ݖሻ א Թଷ⁄ݔ 2ݕ ݖ ൌ 0ሽ la forma cuadrática cuya matriz asociada es: ܣ ൌ ൭ 1 െ1 െ1 െ1 1 െ1 െ1 െ1 1 ൱ Solución: Clasificación sin restringir ݎ݃ ൭ 1 െ1 െ1 െ1 1 െ1 െ1 െ1 1 ൱ ൌ 3, ݕܽ ݍݑ݁ อ 1 െ1 െ1 െ1 1 െ1 െ1 െ1 1 อ ൌ െ4 ് 0 ܦଵ ൌ 1 0, ܦଶ ൌ ቚ 1 െ1 െ1 1 ۖۘ ۖۗ ቚ ൌ 0, ܦଷ ൌ െ4 ൏ 0 ۙ ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ ሺܥܽݏ 3ሻ ܱݐݎܽ ݂ݎ݉ܽ ሺݎ ܽݑݐݒ݈ܽݎ݁ݏሻ อ 1 െ ߣ െ1 െ1 െ1 1 െ ߣ െ1 െ1 െ1 1 െ ߣ อ ൌ 0 ՜ െߣଷ 3ߣଶ െ 4 ൌ 0 ՜ ܴݑ݂݂݅݊݅ ՜ ൝ ߣଵ ൌ 2 ߣଶ ൌ െ1 ߣଷ ൌ 2 ՜ ݍ ݁ݏ ݂݅݊݀݁݅݊݅݀ܽ Clasificación restringida Nos hace falta la expresión analítica de la forma cuadrática 1 െ1 െ1 െ1 1 െ1 െ1 െ1 1 ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ሺݔ, ݕ, ݖሻ ൭ ൱ ቆ ݔݕݖ ቇ ՜ ݍሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔଶ ݕଶ ݖଶ െ 2ݔݕ െ 2ݔݖ െ 2ݕݖ ·Buscamos las ecuaciones paramétricas de F ݔ 2ݕ ݖ ൌ 0 ՜ ݄ܽܿ݁݉ݏ ቄ ݕ ൌ ߙ ݖ ൌ ߚ ݈ܵݑܿ݅ó݊: ൝ ݔ ൌ െ2ߙ െ ߚ ݕ ൌ ߙ ݖ ൌ ߚ ܧܿݑܽܿ݅݊݁ݏ ܽݎܽ݉éݐݎ݅ܿܽݏ · Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática: ݍ|ிሺߙ, ߚሻ ൌ ሺെ2ߙ െ ߚሻଶ ߙଶ ߚଶ െ 2ሺെ2ߙ െ ߚሻߙ െ 2ሺെ2ߙ െ ߚሻߚ െ 2ߙߚ ൌ 9ߙଶ 4ߚଶ 8ߙߚ · Se clasifica la forma cuadrática restringida: ݍ|ிሺߙ, ߚሻ ൌ ሺߙ, ߚሻ ቀ9 4 4 4 ቁ ቀ ߙ ߚቁ ݎ݃ ቀ9 4 4 4 ቁ ൌ 2 ܦଵ ൌ 9 0, ܦଶ ൌ ቚ9 4 4 4 ቚ ൌ 20 0 ቑ ՜ ݍ|ி ݁ݏ ݂݀݁݅݊݅݀ܽ ݏ݅ݐ݅ݒܽ