33198109 trabajo-colaborativo-2-probabilidad
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Este documento presenta el desarrollo de 39 ejercicios sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Los objetivos son identificar las variables de cada ejercicio y aplicar las fórmulas correctas para resolverlos, realizando cada paso. Los ejercicios cubren temas como funciones de probabilidad, valor esperado y varianza.
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- 1. TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 PROBABILIDAD PRESENTADO POR NO IMPORTA, LO IMPORTANTE ES QUE LES SIRVA, DE UN AGROFORESTAL PARA EL QUE LO NECESITE. ESTUDIANTE DE INGENIERÍA AGROFORESTAL UNAD
- 2. INTRODUCCIÓN A partir de trabajar activamente desarrollando los ejercicios propuestos para la comprensión de esta unidad 2 del modulo de probabilidad, nosotros los estudiantes, adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo largo de nuestra vida así como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma muy general este documento nos presenta el desarrollo de 39 ejercicios propuestos sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas correspondientes para solucionar cada uno de ellos.
- 3. OBJETIVO GENERAL Desarrollar un taller de ejercicios sobre los contenidos de los capítulos 1, 2 y 3 de la Unidad 2 del curso PROBABILIDAD, los cuales nos permitirán profundizar en los temas tratados.
- 4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS y Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar la fórmula adecuada. y Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de ellos. y Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio.
- 5. VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO 1.- Determine el valor de a de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X a) f (x) = a(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3 Solución: Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir: ܽሾሺͲଶ Ͷሻ ሺͳଶ Ͷሻ ሺʹଶ Ͷሻ ሺ͵ଶ Ͷሻሿ =1 ܽሺͶ ͷ ͺ ͳ͵ሻ =1 ܽሺ͵Ͳሻ ൌ ͳ ܽ ൌ ͳ ͵Ͳ Luego el valor de a en la distribución de probabilidad es = 0,033% b) f(x) = a( 2C x) (3C3-x) para x = 0,1,2 Solución: Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir ܽ ൬ ʹ ݔ ൰ ଶ ூୀ ൬ ͵ ͵ െ ݔ ൰ ൌ ͳ ܽ ൬ ʹ ݔ ൰ ଶ ூୀ ൬ ͵ ͵ െ ݔ ൰ ൌ ͳ ܽ ൬ ʹ Ͳ ൰ ൬ ͵ ͵ െ Ͳ ൰ ൬ ʹ ͳ ൰ ൬ ͵ ͵ െ ͳ ൰ ൬ ʹ ʹ ൰ ൬ ͵ ͵ െ ʹ ൰൨ ൌ ͳ ܽሺͳ כ ͳ ʹ כ ͵ ͳ כ ͵ሻ ൌ ͳ ܽሺͳ ͵ሻ ൌ ͳ ܽሺͳͲሻ ൌ ͳ ܽ ൌ ͳ ͳͲ Luego el valor de a en la distribución de probabilidad es = 0,1% 2.- Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de salsa cuando se eligen al azar cuatro discos de una colección que consta de cuatro
- 6. discos de salsa y cuatro discos de música clásica. Exprese los resultados a través de una formula. Solución: La variable aleatoria X el número de discos de salsa, donde empleamos la distribución híper geométrico. x= 0, 1, 2, 3, 4 ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ൌ ൫ ௫ ൯൫ேି ି௫ ൯ ൫ே ൯ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺͲǡͺǡͶǡͶሻ ൌ ൫ସ ൯൫ ସ ସି ൯ ൫଼ ସ ൯ ൌ ͳ Ͳ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺͳǡͺǡͶǡͶሻ ൌ ൫ସ ଵ ൯൫ ସ ସିଵ ൯ ൫଼ ସ ൯ ൌ ͳ Ͳ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺʹǡͺǡͶǡͶሻ ൌ ൫ସ ଶ ൯൫ ସ ସିଶ ൯ ൫଼ ସ ൯ ൌ ͵ Ͳ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺ͵ǡͺǡͶǡͶሻ ൌ ൫ସ ଷ ൯൫ ସ ସିଷ ൯ ൫଼ ସ ൯ ൌ ͳ Ͳ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺͶǡͺǡͶǡͶሻ ൌ ൫ସ ସ ൯൫ ସ ସିସ ൯ ൫଼ ସ ൯ ൌ ͳ Ͳ x 0 1 2 3 4 ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ͳ Ͳ ͳ Ͳ ͵ Ͳ ଵ ͳ Ͳ 3.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que contiene seis calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente el número de calcetines cafés que se selecciona. Encuentre la función de probabilidad f(X), F(X), E(X), Varianza y desviación estándar de la variable aleatoria. Solución: y La variable aleatoria X está definida por 0, 1 y 2; la función de probabilidad f(x) es:
- 7. ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ൌ ൫ ௫ ൯൫ேି ି௫ ൯ ൫ே ൯ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ Ͳሻ ൌ ݄ሺͲǡͳͲǡͶǡሻ ൌ ൫ ൯൫ସ ଶ ൯ ൫ଵ ଶ ൯ ൌ Ͷͷ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ͳሻ ൌ ݄ሺͳǡͳͲǡͶǡሻ ൌ ൫ ଵ ൯൫ସ ଵ ൯ ൫ଵ ଶ ൯ ൌ ʹͶ Ͷͷ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ʹሻ ൌ ݄ሺʹǡͳͲǡͶǡሻ ൌ ൫ ଶ ൯൫ସ ൯ ൫ଵ ଶ ൯ ൌ ͳͷ Ͷͷ y La función de probabilidad F(x) es: ܨሺݔሻ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓ Ͳݔܽݎܽ ൏ Ͳ Ͷͷ Ͳܽݎܽ ݔ ൏ ͳ ͵Ͳ Ͷͷ ͳܽݎܽ ݔ ൏ ʹ ͳݔܽݎܽ ʹ y La ganancia o media es: ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬Ͳ כ Ͷͷ ͳ כ ʹͶ Ͷͷ ʹ כ ͳͷ Ͷͷ ൰ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬Ͳ ʹͶ Ͷͷ ͵Ͳ Ͷͷ ൰ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͷͶ Ͷͷ La ganancia es de ହସ ସହ y Calculo de varianza:
- 8. ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ൬Ͳଶ െ Ͷͷ ൰ כ ൬ ʹͻͳ ʹͲʹͷ ൰ ൬ͳଶ െ ʹͶ Ͷͷ ൰ כ ൬ ʹͻͳ ʹͲʹͷ ൰ ൬ʹଶ െ ͳͷ Ͷͷ ൰ כ ൬ ʹͻͳ ʹͲʹͷ ൰൨ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ൬െ Ͷͷ ൰ כ ൬ ʹͻͳ ʹͲʹͷ ൰ ൬ͳ െ ʹͶ Ͷͷ ൰ כ ൬ ʹͻͳ ʹͲʹͷ ൰ ൬Ͷ െ ͳͷ Ͷͷ ൰ כ ൬ ʹͻͳ ʹͲʹͷ ൰൨ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ െ ൬ ͳͶͻ ͻͳͳʹͷ ൰ ൬ ͳʹ͵ ͻͳͳʹͷ ൰ ൬ ͶͺͳͳͶͲ ͻͳͳʹͷ ൰൨ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ͷʹͶͺͺͲ ͻͳͳʹͷ ൌ ͷǤ La varianza es de 5.76. y Calculo de desviación estándar. ߪ௫ ൌ ඥߪ௫ ଶ ߪ௫ ൌ ξͷǤ ߪ௫ ൌ ʹǤͶ La desviación estándar es de 2.4 4.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de dólares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de dólares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego. Solución: La variable X indica las ganancias en dólares puede tener los siguientes valores: X = 100, 200, 300, 400, 500, 600 P(X) = ܲሺܺሻ ൌ ͳͲͲ ʹͲͲ ͵ͲͲ െ ͶͲͲ ͷͲͲ െ ͲͲ ൨ ܲሺܺሻ ൌ ͳͳͲͲ െ ͳͲͲͲ ൨ ܲሺܺሻ ൌ ͳͲͲ
- 9. La ganancia esperada es ଵ ൌ ͳǤ 5.- El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina X la variable aleatoria que representa el número de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y desviación estándar. Solución: La variable X tiene los valores 0, 1, 2, 3 Definiendo así los siguientes sucesos. P(0)= P({XXX}), P(1) =P({CXX,XCX,XXC}), P(2) =P({CCX,CXC,XCC}) y P(3) =P({CCC}) ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ͵ܥ௫ ͺ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ൫ଷ ൯ ͺ ൌ ͳ ͺ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ൫ଷ ଵ ൯ ͺ ൌ ͵ ͺ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ൫ଷ ଶ ൯ ͺ ൌ ͵ ͺ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ൫ଷ ଷ ൯ ͺ ൌ ͳ ͺ La distribución de probabilidad es: X 0 1 2 3 P(X=x) ͳ ͺ ͵ ͺ ͵ ͺ ͳ ͺ 6.- Una urna contiene 4 bolas con los números 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los números de las dos bolas extraídas. Determine la función de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de la variable aleatoria Solución: Al tomar las dos bolas tenemos las siguientes posibilidades. ܵ ൌ ሼሺͳǡʹሻǡ ሺͳǡ͵ሻǡ ሺͳǡͶሻǡ ሺʹǡͳሻǡ ሺʹǡ͵ሻǡ ሺʹǡͶሻǡ ሺ͵ǡͳሻǡ ሺ͵ǡʹሻǡ ሺ͵ǡͶሻǡ ሺͶǡͳሻǡ ሺͶǡʹሻǡ ሺǡ Ͷǡ͵ሻሽ Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir La variable X corresponde a 3, 4, 5, 6 y 7
- 10. ܲሺ͵ሻ ൌ ሼሺͳǡʹሻǡ ሺʹǡͳሻሽ ൌ ʹ ͳʹ ൌ ͳ ܲሺͶሻ ൌ ሼሺͳǡ͵ሻǡ ሺ͵ǡͳሻሽ ൌ ʹ ͳʹ ൌ ͳ ܲሺͷሻ ൌ ሼሺͳǡͶሻǡ ሺʹǡ͵ሻǡ ሺ͵ǡʹሻǡ ሺͶǡͳሻሽ ൌ Ͷ ͳʹ ൌ ͳ ͵ ܲሺሻ ൌ ሼሺʹǡͶሻǡ ሺͶǡʹሻሽ ൌ ʹ ͳʹ ൌ ͳ ܲሺሻ ൌ ሼሺ͵ǡͶሻǡ ሺͶǡ͵ሻሽ ൌ ʹ ͳʹ ൌ ͳ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ͳ ͳ ͳ ͵ ͳ ͳ ൌ ͳ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൜൬͵ כ ͳ ൰ ൬Ͷ כ ͳ ൰ ൬ͷ כ ͳ ͵ ൰ ൬ כ ͳ ൰ ൬ כ ͳ ൰ൠ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͳ ʹ ʹ ͵ ͷ ͵ ͳ ൌ ͷͶͲ ͳͲͺ ൌ ͷ El valor esperado es de 5 ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ൬͵ଶ െ ͳ ൰ כ ͷ ൬Ͷଶ െ ͳ ൰ כ ሺͷሻ ൬ͷଶ െ ͳ ͵ ൰ כ ሺͷሻ ൬ଶ െ ͳ ൰ כ ሺͷሻ ൬ଶ െ ͳ ൰ כ ሺͷሻ൨ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ʹͷ Ͷͷ ͵Ͳ ͵ ͳͲͷ ͳͶͷ ൌ ͳʹͲͲ ͳͺ ൌ Ͳ La varianza aleatoria es de 670 7.- A un dependiente de un auto lavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ., ., 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico.
- 11. Solución: x 5 7 9 11 13 17 P(x) ͳ ͳʹ ͳ ͳʹ ͳ Ͷ ͳ Ͷ ͳ ͳ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬ͷ כ ͳ ͳʹ ൰ ൬ כ ͳ ͳʹ ൰ ൬ͻ כ ͳ Ͷ ൰ ൬ͳͳ כ ͳ Ͷ ൰ ൬ͳ͵ כ ͳ ൰ ൬ͳ כ ͳ ൰ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬ ͷ ͳʹ ൰ ൬ ͳʹ ൰ ൬ ͻ Ͷ ൰ ൬ ͳͳ Ͷ ൰ ൬ ͳ͵ ൰ ൬ ͳ ൰ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬ ͳʹ ͳʹ ൰ ൬ ʹͲ Ͷ ൰ ൬ ͵Ͳ ൰ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͳͳ La ganancia esperada es 11 8.- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a - Determine la función de probabilidad de X. b - .Cual es el valor de P (X ” 1)? Solución: Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir La variable x seria 1, 2, 3, 4 y 5 ܲሺͳሻ ൌ ͳ ͷ ܲሺʹሻ ൌ Ͷ ͷ כ ͳ Ͷ ൌ ͳ ͷ ܲሺ͵ሻ ൌ Ͷ ͷ כ ͵ Ͷ כ ͳ ͵ ൌ ͳʹ Ͳ ൌ ͳ ͷ ܲሺͶሻ ൌ Ͷ ͷ כ ͵ Ͷ כ ʹ ͵ כ ͳ ʹ ൌ ʹͶ ͳʹͲ ൌ ͳ ͷ ܲሺͷሻ ൌ Ͷ ͷ כ ͵ Ͷ כ ʹ ͵ כ ͳ ʹ ൌ ʹͶ ͳʹͲ ൌ ͳ ͷ
- 12. ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ͳ ͷ ͳ ͷ ͳ ͷ ͳ ͷ ͳ ͷ ൌ ͳ 9- Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la distribución de probabilidad para la variable X que representa el numero de balotas verdes. Solución: Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir La variable X corresponde a 1 y 2 donde n=3 la probabilidad es ܲሺݔሻ ൌ ଶ ൌ ଵ ଷ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݊ܥ௫ כ ܲሺݔሻ௫ כ ሺͳ െ ܲሺݔሻଷି௫ሻ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݊ܥ௫ כ ൬ ͳ ͵ ൰ ௫ כ ቆͳ െ ൬ ͳ ͵ ൰ ଷି௫ ቇ ൌ ݊ܥ௫ כ ൬ ͳ ͵ ൰ ௫ כ ቆ൬ ʹ ͵ ൰ ଷି௫ ቇ ܲሺͲሻ ൌ ൬ ͵ Ͳ ൰ כ ൬ ͳ ͵ ൰ כ ൬ ʹ ͵ ൰ ଷ ൌ ͳ כ ͳ כ ͺ ʹ ൌ ͺ ʹ ܲሺͳሻ ൌ ൬ ͵ ͳ ൰ כ ൬ ͳ ͵ ൰ ଵ כ ൬ ʹ ͵ ൰ ଶ ൌ ͵ כ ͳ ͵ כ Ͷ ͻ ൌ ͳʹ ʹ ܲሺʹሻ ൌ ൬ ͵ ʹ ൰ כ ൬ ͳ ͵ ൰ ଶ כ ൬ ʹ ͵ ൰ ଵ ൌ ͵ כ ͳ ͻ כ ʹ ͵ ൌ ʹ ܲሺ͵ሻ ൌ ൬ ͵ ͵ ൰ כ ൬ ͳ ͵ ൰ ଷ כ ൬ ʹ ͵ ൰ ൌ ͳ כ ͳ ʹ כ ͳ ൌ ͳ ʹ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ͺ ʹ ͳʹ ʹ ʹ ͳ ʹ ൌ ͳ 10.- Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dólares en un año con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de 1.000 dólares con probabilidad de 0.7. Cuál sería la ganancia esperada de esa persona. Solución: La variable X es 4000 y 1000 y la probabilidad es 0.3 y 0.7 respectivamente:
- 13. ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ሺͶͲͲͲ כ ͲǤ͵ െ ͳͲͲͲ כ ͲǤሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ሺͳʹͲͲ െ ͲͲሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͷͲͲ La ganancia obtenida por la persona es de 500 11.- Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cuál es la ganancia esperada del comerciante? Solución: La variable X es 250, 100, 0, 150 La probabilidad es 0.22, 0.36, 0.28, 0.14 ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ሺʹͷͲ כ ͲǤʹʹ ͳͲͲ כ ͲǤ͵ Ͳ כ ͲǤʹͺ െ ͳͷͲ כ ͲǤͳͶሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ሺͷͷ ͵ Ͳ െ ʹͳሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ Ͳ La ganancia esperada es de 70 12.- Un piloto privado desea asegurar su avión por 50.000 dólares. La compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con probabilidad de 0.002, una pérdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras pérdidas parciales, ¿que prima debe cargar cada año la compañía de seguros para obtener una utilidad media de US $500 ? Solución: ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൫ݔ כ ͲǤͲͲʹ ሺݔ כ ͲǤͲͳሻ ሺݔ כ ͲǤͳሻ൯ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͲǤͲͲʹݔ ͲǤͲͳݔ ͲǤͳݔ ͷͲͲ ൌ ͲǤͳͳʹݔ ͷͲͲ ͲǤͳͳʹ ൌ ݔ
- 14. ݔ ൌ ͶͶͶǤʹͺ El valor de la prima que la compañía debe carga cada año es de 4464.28 13.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad f (x) = a (3x ± x2 ) 0 ” x ” 3 0 en otro caso a) Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad b) Calcule P (1 X 2) Solución: a). Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir La variable x corresponde a 0, 1, 2 y 3 ܽሾሺ͵ሺͲሻ Ͳଶሻ ሺ͵ሺͳሻ ͳଶሻ ሺ͵ሺʹሻ ʹଶሻ ሺ͵ሺ͵ሻ ͵ଶሻሿ ൌ ͳ ܽሾͲ Ͷ ͳͲ ͳͺሿ ൌ ͳ ܽሺ͵ʹሻ ൌ ͳ ܽ ൌ ͳ ͵ʹ Ž˜ƒŽ‘”†‡ƒ…‘””‡•’‘†‡ƒ ͳ ͵ʹ ൌ ͲǤͲ͵ͳ b) ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ʹሻ ൌ න ݂ሺݔሻ݀ݔ ଶ ଵ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ʹሻ ൌ න ͳ ͵ʹ ሺ͵ݔ ݔଶሻ݀ݔ ଶ ଵ ൌ ͳ ͵ʹ න ͵ሺݔሻ݀ݔ ଶ ଵ න ݔଶ ݀ݔ ଶ ଵ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ʹሻ ൌൌ ͳ ͵ʹ ቈቆ ͵ݔଶ ʹ ቇ ቆ ݔଷ ͵ ቇ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ʹሻ ൌൌ ͳ ͵ʹ ቈቆ ͵ሺʹሻଶ ʹሺʹሻଷ ቇ ቆ ͵ሺͳሻଶ ʹሺͳሻଷ ቇ ൌ ͳ ͵ʹ ൬ ʹͺ ൰ ൬ ͷ ൰൨ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ʹሻ ൌ ͳ ͵ʹ ൬ ͵͵ ൰ ൌ ͵͵ ͳͻʹ ൌ ͲǤͳ El valor de P es de 0.17
- 15. 14. S X i l l t i f i i / t t l l l i l , l i l i i t . S l i y l l l l i l X , ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ൬Ͳ כ Ͳ ʹ ൰ ൬ͳ כ ͳ ʹ ൰ ൬ʹ כ ʹ ʹ ൰ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ Ͳ ͳ ʹ ʹ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͷ ʹ ൌ ʹǤͷ El l . y l l i ߪ௫ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ቂቀݔଶ െ ݔ ʹ ቁ כ ߤ௫ ଶቃ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ ൬Ͳଶ െ Ͳ ʹ ൰ כ ൬ ͷ ʹ ൰ ൬ͳଶ െ ͳ ʹ ൰ כ ൬ ͷ ʹ ൰ ൬ʹଶ െ ʹ ʹ ൰ כ ൬ ͷ ʹ ൰൨ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ Ͳ ൬ ͷ Ͷ ൰ ൬ ͳͷ ʹ ൰൨ ߪ௫ ଶ ൌ ܸሺݔሻ ൌ Ͳ ͺ ൌ ͺǤͷ i . y l l i i t ߪ௫ ൌඥߪ௫ ଶ ߪ௫ ൌξͺǤͷ ൌ ʹǤͻͷ
- 16. La desviación estándar corresponde a 2.95 15.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad f (x) = a (4x ± x3 ) 0 ” x ” 2 0 en otro caso a) Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad b) Calcule P (1 X 1,5) c) Obtenga el valor esperado de la variable Solución: Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir: a) La variable X corresponde a 0, 1, y 2 ܽሾሺͶሺͲሻ Ͳଶሻ ሺͶሺͳሻ ͳଶሻ ሺͶሺʹሻ ʹଶሻሿ ൌ ͳ ܽሾͲ ͷ ͳʹሿ ൌ ͳ ܽሾͳሿ ൌ ͳ ܽ ൌ ͳ ͳ ‡Ž˜ƒŽ‘”†‡ƒ…‘””‡•’‘†‡‡• ൌ ͳ ͳ ൌ ͲǤͲͷͺ b) ܲܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ͳǤͷሻ ൌ න ݂ሺݔሻ݀ݔ ଵǤହ ଵ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ͳǤͷሻ ൌ න ͳ ͳ ሺͶݔ ݔଷሻ݀ݔ ଵǤହ ଵ ൌ ͳ ͳ න Ͷሺݔሻ݀ݔ ଵǤହ ଵ න ݔଷ ݀ݔ ଵǤହ ଵ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ͳǤͷሻ ൌൌ ͳ ͳ ቈቆ Ͷݔଶ ʹ ቇ ቆ ݔସ Ͷ ቇ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ͳǤͷሻ ൌ ͳ ͳ כ ቈቆ ͳሺͳǤͷሻଶ ʹሺͳǤͷሻସ ͳ͵ ቇ ቆ ͳሺͳሻଶ ʹሺͳሻସ ͳ͵ ቇ ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ͳǤͷሻ ൌ ͳ ͳ כ ቈቆ ͳሺʹǤʹͷሻ ʹሺͷǤͲሻ ͳ͵ ቇ ቆ ͳሺͳሻ ʹሺͳሻ ͳ͵ ቇ
- 17. ܲሺͳ ൏ ݔ ൏ ͳǤͷሻ ൌ ͳ ͳ כ ൬ ͶǤͳʹ ͳ͵ ൰ ൬ ͳͺ ͳ͵ ൰൨ ൌ ͳ ͳ ൬ ͶǤͳͺ ͳ͵ ൰ ൌ ͳͲͻͳǤͲ ʹ͵ͳʹ ൌ ͲǤͶʹ El l P . l l l : ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ሾݔ כ ሺͶݔ െ ݔଷሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ቈ Ͳ כ ͳ ͳ ሺͶሺͲሻ െ Ͳଷሻ ቆͳ כ ͳ ͳ ሺͶሺͳሻ െ ͳଷሻ ቆʹ כ ͳ ͳ ሺͶሺʹሻ െ ʹଷሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ቈሺͲሻ ቆͳ כ ͳ ͳ ሺ͵ሻ ቆʹ כ ͳ ͳ ሺͲሻ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ሺͲሻ ൬ ͵ ͳ ൰ Ͳ൨ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ͵ ͳ ൌ ͲǤͳͺ ݈݁݁݀ݏ݁݀ܽݎ݁ݏ݁ݎ݈ܽݒ ͵ ͳ ൌ ͲǤͳͺ 1 . it ij i l t l i i i l t i t l . Ell ll t l i l ti ij ti l t l i i i , t t i l ti , i i , ti l i i t f i i : X f X t i l ili , t l i , l i l t l i i : t t l l l i t l i i l ij . S l i l ili t .
- 18. ݂ሺݔሻ ൌ Ͳݔ ݔ ͳ ܲሺͷͲ ݔ ͳͲͲሻ ൌ න ݔ݀ݔ ൌ ଵ ହ ݔଶ ʹ ቤ ͳͲͲ ͷͲ ൌ ͳͲͲଶ ʹ ͷͲଶ ʹ ൌ ʹͷͲ La probabilidad de que los niños vean televisión entre 50 y 100 horas es de 6250 cuando f(x)=x 0 ” x ” 1 ݂ሺݔሻ ൌ ʹ െ ͳݔ ݔ ʹ ܲሺͷͲ ݔ ͳͲͲሻ ൌ න ሺʹ െ ݔሻ݀ݔ ൌ ଵ ହ න ʹ݀ݔ െ ଵ ହ න ݔ݀ݔ ൌ ʹݔ െ ଵ ହ ݔଶ ʹ ቤ ͳͲͲ ͷͲ ܲሺͷͲ ݔ ͳͲͲሻ ൌ ʹݔ െݔଶ ʹ ቤ ͳͲͲ ͷͲ ൌ ቈቆʹሺͳͲͲሻ െ ሺͳͲͲሻଶ ʹ ቇ ቆʹሺͷͲሻ െ ሺͷͲሻଶ ʹ ቇ ܲሺͷͲ ݔ ͳͲͲሻ ൌ െͶͺͲͲ െ ͳͳͷͲ ൌ െͷͻͷͲ La probabilidad de que los niños vean televisión entre 50 y 100 horas es de - 5950 cuando f(x)=2 - x 1 ” x ” 2 b) la probabilidad entre 120 y 150 horas ݂ሺݔሻ ൌ Ͳݔ ݔ ͳ ܲሺͳʹͲ ݔ ͳͷͲሻ ൌ න ݔ݀ݔ ൌ ଵହ ଵଶ ݔଶ ʹ ቤ ͳͷͲ ͳʹͲ ൌ ͳͷͲଶ ʹ ͳʹͲଶ ʹ ൌ ͳͺͶͷͲ La probabilidad de que los niños vean televisión entre 120 y 150 horas es de 18450 cuando f(x)=x 0 ” x ” 1 ݂ሺݔሻ ൌ ʹ െ ͳݔ ݔ ʹ ܲሺͳʹͲ ݔ ͳͷͲሻ ൌ න ሺʹ െ ݔሻ݀ݔ ൌ ଵହ ଵଶ න ʹ݀ݔ െ ଵହ ଵଶ න ݔ݀ݔ ൌ ʹݔ െ ଵହ ଵଶ ݔଶ ʹ ቤ ͳͷͲ ͳʹͲ ܲሺͳʹͲ ݔ ͳͷͲሻ ൌ ʹݔ െ ݔଶ ʹ ቤ ͳͷͲ ͳʹͲ ൌ ቈቆʹሺͳͷͲሻ െ ሺͳͷͲሻଶ ʹ ቇ ቆʹሺͳʹͲሻ െ ሺͳʹͲሻଶ ʹ ቇ
- 19. ܲሺͳʹͲ ݔ ͳͷͲሻ ൌ െͳͲͻͷͲ ሺെͻͲሻ ൌ െͳͻͳͲ La probabilidad de que los niños vean televisión entre 120 y 150 horas es de - 17910 cuando f(x)=2 - x 1 ” x ” 2 Promedio de horas: ܲሺͲ ݔ ͳሻ ൌ න ݔ݀ݔ ଵ ൌ ݔଶ ʹ ቤ ͳ Ͳ ൌ ሺͳሻଶ ʹ ሺͲሻଶ ʹ ൌ ͳ ʹ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬Ͳ כ ͳ ʹ ൰ ൬ͳ െ ͳ ʹ ൰൨ ൌ ൬Ͳ ͳ ʹ ൰ ൌ ͳ ʹ ݈ܽ݃ܽ݊ܽ݊ܿ݅ܽ݁݁݀ݏ ͳ ʹ ൌ ͲǤͷǢ ݂݁݀݊݅ܿ݊ݑ݂݈ܽܽݎܽሺݔሻ ൌ Ͳݔ ݔ ͳ ܲሺͳ ݔ ʹሻ ൌ නሺʹ െ ݔሻ݀ݔ ଶ ଵ ൌ න ʹ݀ݔ െ න ݔ݀ݔ ଶ ଵ ଶ ଵ ൌ ʹݔ െ ݔଶ ʹ ቤ ʹ ͳ ܲሺͳ ݔ ʹሻ ൌ ቆʹሺʹሻ െ ʹଶ ʹ ቇ ቆʹሺͳሻ െ ͳଶ ʹ ቇ ൌ ʹ ൌ ͵Ǥͷ ߤݔ ൌ ܧሺݔሻ ൌ ൬ͳ כ ʹ ൰ ൬ʹ כ ʹ ൰൨ ൌ ʹ ͳͶ ʹ ൌ ʹͳ ʹ ൌ ͳͲǤͷ ݈ܽ݃ܽ݊ܽ݊ܿ݅ܽ݁݁݀ݏ ʹͳ ʹ ൌ ͳͲǤͷǢ ݂݁݀݊݅ܿ݊ݑ݂݈ܽܽݎܽሺݔሻ ൌ ʹ െ ͳܽݎܽݔ ݔ ʹ DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS 17- En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirá un representante de grupo, para lo cual se usara el número de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con números del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el numero que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que 7. Solución: La probabilidad de que ܲሺݔ ൏ ͷሻ es:
- 20. ܲሺݔ ൏ ͷሻ ൌ ͳ െ ܲሺݔ ͷሻ ൌ ͳ െ න ͳ ͳʹ ି’ ହ ݀ݔ ൌ ͳ െ ͳ ͳʹ ݔȁ െ’ ͷ ൌ ͳ െ ൜ ͳ ͳʹ ሺͷሻ ͳ ͳʹ ሺെ’ሻൠ ൌ ͳ െ ͷ ͳʹ ൌ ͳʹ Žƒ’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ††‡ܲሺݔ ൏ ͷሻ݁ݏ ൌ ͳʹ ൌ ͲǤͷͺ ܲሺ͵ ൏ ݔ ൏ ሻ ܲሺ͵ ൏ ݔ ൏ ሻ ൌ න ͳ ͳʹ ଷ ݀ݔ ൌ ͳ ͳʹ ݔȁ ͵ ൌ ͳ ͳʹ ሺሻ ͳ ͳʹ ሺ͵ሻ ൌ ͳʹ ͵ ͳʹ ൌ ͳͲ ͳʹ Žƒ’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ††‡ሺ͵ ൏ š ൏ ሻ‡• ൌ ͳͲ ͳʹ ൌ ͲǤͺ͵ 18.- Como participante de una encuesta de contaminación del aire, un inspector decide examinar las emisiones de seis de los 24 camiones de una compañía. Si cuatro de los camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes cual es la probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la Muestra del inspector Solución: La variable X es igual a 0 ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ൌ ൫ ௫ ൯൫ேି ି௫ ൯ ൫ே ൯ ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺͲǡʹͶǡǡͶሻ ൌ ൫ସ ൯൫ଶ ൯ ൫ଶସ ൯ ݂ሺݔሻ ൌ ݄ሺͲǡʹͶǡǡͶሻ ൌ ͳ כ ሺ͵ͺͷͲሻ ሺͳ͵Ͷͷͻሻ ൌ ͲǤʹͺ La probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la muestra es de 0.28 19.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspección adicional, si contiene: a. Cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo b. Ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo Solución:
- 21. a) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2 K= 4 ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ൌ ൫ ௫ ൯൫ேି ି௫ ൯ ൫ே ൯ ݂ሺݔሻ ൌ ݄ሺͲǡͳͺǡʹǡͶሻ ൌ ൫ସ ൯൫ଵସ ଶ ൯ ൫ଵ଼ ଶ ൯ ൌ ͳ כ ͻͳ ͳͷ͵ ൌ ͻͳ ͳͷ͵ ൌ ͲǤͷͻ La probabilidad de que se acepte el lote con cuatro calculadoras en malas condiciones es de 0.59 b) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2 K= 8 ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ൌ ൫ ௫ ൯൫ேି ି௫ ൯ ൫ே ൯ ݂ሺݔሻ ൌ ݄ሺͲǡͳͺǡʹǡͺሻ ൌ ൫଼ ൯൫ଵ ଶ ൯ ൫ଵ଼ ଶ ൯ ൌ ͳ כ Ͷͷ ͳͷ͵ ൌ Ͷͷ ͳͷ͵ ൌ ͲǤʹͻͶ La probabilidad de que se acepte el lote con ocho calculadoras en malas condiciones es de 0.59 20.- Una florería tiene 15 vehículos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15 camiones tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco vehículos al azar para probarlos, cual es la probabilidad de que d os de los camiones probados tengan frenos defectuosos? Solución: La variable X es igual 2de los camiones probados. Donde N= 15, n=6 y k= 5 ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ݔሻ ൌ ݄ሺݔǡ ܰǡ ݊ǡ ܭሻ ൌ ൫ ௫ ൯൫ேି ି௫ ൯ ൫ே ൯ ݂ሺݔሻ ൌ ݄ሺʹǡͳͷǡǡͷሻ ൌ ൫ହ ଶ ൯൫ଵ ସ ൯ ൫ଵହ ൯ ൌ ͳͲ כ ʹͳͲ ͷͲͲͷ ൌ ʹͳͲͲ ͷͲͲͷ ൌ ͲǤͶʹ La probabilidad de que dos de los camiones probados tengan sus frenos defectuosos es de 0.42 21.- En una fábrica de circuitos electrónicos, se afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%. Cuál
- 22. es la probabilidad de que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas? Solución: La variable X corresponde a 4 unidades defectuosas, donde n=15 unidades y la proporción de unidades defectuosas es de 5% =0.05, para esto utilizaremo s una distribución binominal. ݂ሺͶǢ ͲǤͲͷǤͳͷሻ ൌ ൬ ͳͷ Ͷ ൰ כ ͲǤͲͷସ כ ሺͳ െ ͲǤͲͷሻଵଵ ݂ሺͶǢ ͲǤͲͷǤͳͷሻ ൌ ͳ͵ͷ כ ͲǤͲͲͲͲͲʹͷ כ ͲǤͷͺͺ ݂ሺͶǢ ͲǤͲͷǤͳͷሻ ൌ ͲǤͲͲͶͺͷ La probabilidad de que un comprador encuentre 4 unidades defectuosas es de 0.00485 22.- Un investigador inyecta un germen patógeno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2 que han contraído la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6. Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones? Solución: La variable X corresponde a 8 ratones, donde r=2 ratones que han contraído la enfermedad y la P = 1/6 para esto utilizaremos una distribución binomial negativa. ݂ ൬ͺǢ ͳ ǡ ʹ൰ ൌ ൬ ͳ ൰ כ ൬ ͷ ൰ כ ൬ ͳ ൰ ଶ ݂ ൬ͺǢ ͳ ǡ ʹ൰ ൌ כ ͳͷʹͷ Ͷͷ כ ͳ ͵ ൌ ͳͲͻ͵ͷ ͳͻͳ ൌ ͲǤͲͷ La probabilidad de que sean necesarios ocho ratones es de 0.065
- 23. 23.- Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿Cuál es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado? Solución: La variable X corresponde a 0, 1, 2 donde n= 6 estudiante seleccionados y P = 5% = 0.05, para esto utilizaremos una distribución binomial ݂ሺͲǢ ͲǤͲͷǡሻ ൌ ൬ Ͳ ൰ כ ͲǤͲͷ כ ሺͳ െ ͲǤͲͷሻ ൌ ͳ כ ͳ כ ͲǤ͵ͷ ൌ ͲǤ͵ͷ ݂ሺͳǢ ͲǤͲͷǡሻ ൌ ൬ ͳ ൰ כ ͲǤͲͷଵ כ ሺͳ െ ͲǤͲͷሻହ ൌ כ ͲǤͲͷ כ ͲǤͶ ൌ ͲǤʹ͵ʹʹ ݂ሺʹǢ ͲǤͲͷǡሻ ൌ ൬ ʹ ൰ כ ͲǤͲͷଶ כ ሺͳ െ ͲǤͲͷሻସ ൌ ͳͷ כ ͲǤͲͲʹͷ כ ͲǤͺͳͶͷ ൌ ͲǤͲ͵Ͳͷ P = (X 3) = 0.735 + 0.2322 + 0.0305 = 0.3362 La probabilidad de que menos de tres alumnos hayan fracasado es de 0.3362 24.- Según un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium en dicho estado, tomaron el fármaco por problemas psicológicos, Determine la probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, por lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicológicos. Solución: La variable X corresponde a 0, 1, 2, 3, 4; donde n= 8 consumidores y P = 60% = 0.6, para esto utilizaremos una distribución binomial ݂ሺͲǢ ͲǤǡͺሻ ൌ ൬ ͺ Ͳ ൰ כ ͲǤ כ ሺͳ െ ͲǤሻ଼ ൌ ͳ כ ͳ כ ͲǤͲͲͲͷͷ ൌ ͲǤͲͲͲͷͷ ݂ሺͳǢ ͲǤǡͺሻ ൌ ൬ ͺ ͳ ൰ כ ͲǤଵ כ ሺͳ െ ͲǤሻ ൌ ͺ כ ͲǤ כ ͲǤͲͲͳͶ ൌ ͲǤͲͲͺ
- 24. ݂ሺʹǢ ͲǤǡͺሻ ൌ ൬ ͺ ʹ ൰ כ ͲǤଶ כ ሺͳ െ ͲǤሻ ൌ ʹͺ כ ͲǤ͵ כ ͲǤͲͲͶͳ ൌ ͲǤͶͳ͵͵ ݂ሺ͵Ǣ ͲǤǡͺሻ ൌ ൬ ͺ ͵ ൰ כ ͲǤଷ כ ሺͳ െ ͲǤሻହ ൌ ͷ כ ͲǤʹͳ כ ͲǤͲͳͲʹͶ ൌ ͲǤͳʹ͵ͺ ݂ሺͶǢ ͲǤǡͺሻ ൌ ൬ ͺ Ͷ ൰ כ ͲǤସ כ ሺͳ െ ͲǤሻସ ൌ Ͳ כ ͲǤͳʹͻ כ ͲǤͲʹͷ ൌ ͲǤʹ͵ʹʹ P = (X 3) = 0.000655 + 0.00787 + 0.4133 + 0.1238 + 0.2322 = 0.7778 La probabilidad de que por lo menos cinco hayan comenzado a tomarlos por problemas psicológicos es de 0.7778 25.- La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en 0.3. Determine la probabilidad de que la decima persona entrevistada al azar en dicha ciudad sea la quinta en poseer un perro. Solución: La variable X corresponde a 10 persona entrevistadas, donde r=5 y la P = 0.3 para esto utilizaremos una distribución binomial negativa ݂ሺͳͲǢ ͲǤ͵ǡͷሻ ൌ ൬ ͻ Ͷ ൰ כ ሺͲǤሻହ כ ሺͲǤ͵ሻହ ൌ ͳʹ כ ͲǤͳͺͳ כ ͲǤͲͲʹͶ͵ ൌ ͲǤͲͷͳͷ La probabilidad de que la decima persona entrevistada sea la quinta en poseer un perro es de 0.0515 26.- Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de ingles en cualquier intento que haga. ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el cuarto intento? Solución: La variable X corresponde a 4, donde r=1 y la P = 0.75 para esto utilizaremos una distribución binomial negativa
- 25. ݂ሺͶǢ ͲǤͷǡͳሻ ൌ ൬ ͵ Ͳ ൰ כ ሺͲǤʹͷሻଷ כ ሺͲǤͷሻଵ ൌ ͳ כ ͲǤͲͳͷʹͷ כ Ͳͷ ൌ ͲǤͲͳͳʹ La probabilidad de que logre aprobar en el cuarto intento es de 0.01172 27.- De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en Bogotá se registran en promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 días). Determine la probabilidad de que en tres días de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas atropelladas en la ciudad. Solución: La variable X corresponde a 6 y 8 casos de personas atropelladas es la cuidad, el promedio es de 7.5 en siete días, por lo tanto en tres días el pro medio seria de 3.2, por tanto se utilizara la distribución de poison. Teniendo así: P= 3.21 ܲሺ ݔ ͺሻ ൌ ቆ ݁ିଷǤଶଵ ͵Ǥʹͳ଼ ͺǨ ቇ ቆ ݁ିଷǤଶଵ ͵Ǥʹͳ Ǩ ቇ ቆ ݁ିଷǤଶଵ ͵Ǥʹͳ Ǩ ቇ ܲሺ ݔ ͺሻ ൌ ൬ ͲǤͲͶͲ כ ͳͳʹ͵ǤͲʹ ͶͲ͵ʹͲ ൰ ൬ ͲǤͲͶͲ כ ͵ͷͳͳǤͺͶ ͷͲͶͲ ൰ ൬ ͲǤͲͶͲ כ ͳͲͻͶǤͲ͵ ʹͲ ൰ ܲሺ ݔ ͺሻ ൌ ൬ ͶͷͲǤͻʹ ͶͲ͵ʹͲ ൰ ൬ ͳͶͲǤͶͶ ͷͲͶͲ ൰ ൬ Ͷ͵Ǥ ʹͲ ൰ ܲሺ ݔ ͺሻ ൌ ͲǤͲͳͳ ͲǤͲʹ ͲǤͲͳ ൌ ͲǤͲͻͻ La probabilidad de que en tres días de una semana ocurran entre 6y 8 casos de persona atropelladas es de 0.099 28.- El número de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad, es de 12 por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera lleguen menos de nueve camiones a esa central de abastos? Solución: La variable X corresponde a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 casos de personas atropelladas es la cuidad, el promedio es de 12 por día, con base en esto se utilizara la distribución de poison.
- 26. ܲሺݔ ൏ ͻሻ ൌ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹ଼ ͺǨ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹ Ǩ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹ Ǩ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹହ ͷǨ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹସ ͶǨ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹଷ ͵Ǩ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹଶ ʹǨ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹଵ ͳǨ ቇ ቆ ݁ିଵଶ ͳʹ ͲǨ ቇ ܲሺݔ ൏ ͻሻ ൌ ൬ ʹͶͳǤͺͻ ͶͲ͵ʹͲ ൰ ൬ ʹʹͲǤͳ ͷͲͶͲ ൰ ൬ ͳͺǤ͵ͷ ʹͲ ൰ ൬ ͳǤͷ͵ ͳʹͲ ൰ ൬ ͲǤͳʹ ʹͶ ൰ ൬ ͲǤͲͳͳ ൰ ൬ ͲǤͲͲͲͺͺͶ ʹ ൰ ൬ ͲǤͲͲͲͲ͵ ͳ ൰ ൬ ͲǤͲͲͲͲͲͳͶ ͳ ൰ ܲሺݔ ൏ ͻሻ ൌ ͲǤͲ ͲǤͲͶͶ ͲǤͲʹͷͷ ͲǤͲͳʹͷ ͲǤͲͲͷ͵ ͲǤͲͲͳͺ͵ ͲǤͲͲͲͶͶʹ ͲǤͲͲͲͲ͵ ͲǤͲͲͲͲͲͳͶ ܲሺݔ ൏ ͻሻ ൌ ͲǤͳͷͷͻ La probabilidad de que lleguen al menos 9 camiones a la central de abastos es de 0.1559 29.- Si Z es la distribución normal tipificada, encuentre el área bajo la curva que cae: a. A la izquierda de z = - 1,13 b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15 c. A la derecha de z = 1,44 Solución: a. A la izquierda de z = - 1,13 ܲሺݖ ൌ െͳǤͳ͵ሻ ൌ ܲሺݖ ͳǤͳ͵ሻ ܲሺݖ ൌ െͳǤͳ͵ሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ൏ ͳǤͳ͵ሻ ൌ ͳ െ ͲǤͺͲͺ ൌ ͲǤͳʹͻʹ El área bajo la curva a la izquierda de z = -1.13 es de 0.1292 o 12.92% b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15 ܲሺെʹǤͲ ൏ ݖ ൏ െͲǤͳͷሻ ൌ ܲሺʹǤͲ ݖ ͲǤͳͷሻ ൌ ൫ͳ െ ܲሺݖ ൏ ͲǤͳͷሻ൯ െ ൫ͳ െ ܲሺݖ ൏ ʹǤͲሻ൯ ൌ ሺͳ െ ͲǤͷͷͻሻ െ ሺͳ െ ͲǤͻͺͲ͵Ͳሻ ൌ ሺͲǤͶͶͲͶሻ െ ሺͲǤͲͳͻሻ ൌ ͲǤͶʹͲ El área bajo la curva entre de z = -2.06 y z = -0.15 es de 0.4207 o 42.07%
- 27. c. A la derecha de z = 1,44 ܲሺݖ ͳǤͶͶሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ͳǤͶͶሻ ൌ ͳ െ ͲǤͻʹͷͳ ൌ ͲǤͲͶͻ El área bajo la curva a la derecha de z = 1.44 es de 0.0749 o 7.49% 30.- Si la variable aleatoria Z tiene una distribución normal tipificada, encuentre la mejor aproximación de las tablas para el valor de k, tal que: a. P (Z K) = 0,3500 b. P (Z K) = 0,5500 c. (Ko Z k1) = 0,9500 Solución: a. P (Z K) = 0,3500 ܲሺݖ ݇ሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ൏ ݇ሻ ܲሺݖ ݇ሻ ൌ ͳ െ ͲǤ͵ͷͲͲ ൌ ͲǤͷ K corresponde al valor de la tabla inversa de distribución normal tipificada uqe es igual a 0.3853 b. P (Z K) = 0,5500 ܲሺݖ ൏ ݇ሻ ൌ ͲǤͷͷͲͲ K corresponde al valor de la tabla inversa de distribución normal tipificada que es igual a 0.125661 c. (Ko Z k1) = 0,9500 ܲሺ݇ ൏ ݖ ൏ ݇ଵሻ ൌ ܲሺݖ ൏ ݇ଵሻ െ ൫ͳ െ ܲሺݖ ൏ ݇ሻ൯ ൌ ͲǤͷͷͲͲ െ ሺͳ െ ͲǤͷͷͲͲሻ ൌ ͲǤͷͷͲͲ െ ͲǤͶͷͲͲ ൌ ͲǤͳͲͲͲ K corresponde al valor de la tabla inversa de distribución normal tipificada que es igual a 3.091 31.- Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribución Normal con media 4.2 y desviación estándar 1.3. a) Calcular el número de alumnos con nota entre 5 y 7. b) Numero de alumnos con nota entre 4 y 6 Solución: Distribución normal Q = 4.2 y W = 1.3
- 28. a) número de alumnos con nota entre 5 y 7 ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͷ െ ͶǤʹ ͳǤ͵ ൌ ͲǤͺ ͳǤ͵ ൌ ͲǤͳͷ͵ ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ െ ͶǤʹ ͳǤ͵ ൌ ʹǤͺ ͳǤ͵ ൌ ʹǤͳͷ ܲሺͲǤʹ ൏ ݖ ൏ ʹǤͳͷሻ ൌ ܲሺݖ ʹǤͳͷሻ െ ܲሺݖ ͲǤʹሻ ൌ ͲǤͻͺͶʹʹ െ ͲǤ͵ʹͶ ൌ ͲǤʹͷʹ El número de alumnos con nota entre 5 y 7 es de 0.252 * 36 =9.072 es decir aproximadamente 9 alumnos. b) número de alumnos entre 4 y 6 ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ Ͷ െ ͶǤʹ ͳǤ͵ ൌ െͲǤʹ ͳǤ͵ ൌ െͲǤͳͷͶ ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ െ ͶǤʹ ͳǤ͵ ൌ ͳǤͺ ͳǤ͵ ൌ ͳǤ͵ͺ ܲሺെͲǤͳͷ ൏ ݖ ൏ ͳǤ͵ͺሻ ൌ ܲሺݖ ͳǤ͵ͺሻ െ൫ͳ െ ܲሺݖ ͲǤͳͷሻ൯ ൌ ͲǤͻͳʹ െ ሺͳ െ ͲǤͷͷͻሻ ൌ ͲǤͻͳʹ െ ͲǤͶͶͲͶ ൌ ͲǤͶͷͺ El número de alumnos con nota entre 4 y 6 es de 0.4758 * 36 = 17.12 es decir aproximadamente 17 alumnos 32.- El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 180 g y desviación típica 20 g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular: a) Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g. b) Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g. Solución: Q = 180 y W = 20 a) Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g. ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͷͲ െ ͳͺͲ ʹͲ ൌ െ ͵Ͳ ʹͲ ൌ െͳǤͷ ܲሺݖ ൏ െͳǤͷሻ ൌ ܲሺݖ ͳǤͷሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ͳǤͷሻ ൌ ͳ െ ͲǤͻ͵͵ʹ ൌ ͲǤͲͺ Los kilos de naranja que se espera pesen menos de 150 gramos es 10000 * 0.0668 = 668 kilos
- 29. b) Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͲ െ ͳͺͲ ʹͲ ൌ െ ʹͲ ʹͲ ൌ െͳǤͲͲ ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ʹͲͲ െ ͳͺͲ ʹͲ ൌ ʹͲ ʹͲ ൌ ͳǤͲͲ ܲሺെͳǤͲͲ ൏ ݖ ൏ ͳǤͲͲሻ ൌ ܲሺݖ ൏ ͳǤͲͲሻ െ൫ͳ െ ܲሺݖ ͳǤͲͲሻ൯ ൌ ͲǤͺͶͳ െ ሺͳ െ ͲǤͺͶͳሻ ൌ ͲǤͺͶͳ െ ͲǤͳͷͺͶ ൌ ͲǤͺ͵ʹ Los kilos de naranja que se espera entre 160 y 200 gramos es 10000 * 0.6832 = 6832 kilos 33.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 34 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores hallar: a) ¿Cuantos profesores hay con edad menor o igual a 35 años? b) ¿Cuantos de 55 años o más? Solución: Q = 34 y W = 6 a. profesores con edad menor o igual de 35 años ܲሺݔ ൏ ͵ͷሻ ൌ ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͵ͷ െ ͵Ͷ ൌ ͳ ൌ ͲǤͳ ܲሺݖ ൏ ͲǤͳሻ ൌ ͲǤͷ͵ Los profesores con edad menor o igual a 35 años son de 400 * 0.5636 = 225.44 aproximadamente 225 profesores. b. profesores con 55 años o más. ܲሺݔ ͷͷሻ ൌ ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͷͷ െ ͵Ͷ ൌ ʹͳ ൌ ͵Ǥͷ ܲሺݖ ͵Ǥͷሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ൏ ͵Ǥͷሻ ൌ ͳ െ ͲǤͻͻͻ ൌ ͲǤͲͲͲʹ͵͵ Los profesores con 55 años o más es de 400 * 0.000233 = 0.0932 profesores 34.- En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media?
- 30. Solución: Q = 100 y W = 9 ܲሺͺͲ ൏ ݔ ൏ ͳͲͲሻ ൌ ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͺͲ െ ͳͲͲ ͻ ൌ െ ʹͲ ͻ ൌ െʹǤʹʹ ܲሺͺͲ ൏ ݔ ൏ ͳͲͲሻ ൌ ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͲͲ െ ͳͲͲ ͻ ൌ Ͳ ͻ ൌ ͲǤͲͲ ܲሺെʹǤʹʹ ൏ ݖ ൏ ͲǤͲͲሻ ൌ ܲሺݖ ൏ ͲǤͲͲሻ െ൫ͳ െ ܲሺݖ ʹǤʹʹሻ൯ ൌ ͲǤͷͲͲͲ െሺͳ െ ͲǤͻͺͻሻ ൌ ͲǤͷͲͲͲ െ ͲǤͲͳ͵ʹͳ ൌ ͲǤͶͺͻ Los probabilidad de tener un panecillo con un peso entre 80g y 100g es de 0.48679 35.- La duración media de un lavavajillas es de 15 años, con una desviación típica igual a 0.5 años. Si la vida útil de electrodomésticos se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas este dure más de 16 años. Solución: Q = 15 y W = 0.5 ܲሺݔ ͳሻ ൌ ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳ െ ͳͷ ͲǤͷ ൌ ͳ ͲǤͷ ൌ ʹ ܲሺݖ ʹሻ ൌ ܲሺݖ ʹሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ʹሻ ൌ ͳ െ ͲǤͻʹͷ ൌ ͲǤͲʹʹͺ La probabilidad de que el lavavajilla dure 16 es de 0.0228 36.- Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente distribuida, la temperatura media es de 37 ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se consideran 1000 de estas personas. ¿Cuantas se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre 37 ºC y 37,6ºC? Solución: Q = 37ºC y W = 0.5ºC N = 1000 ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͵ െ ͵ ͲǤͷ ൌ Ͳ ͲǤͷ ൌ Ͳ
- 31. ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͵Ǥ െ ͵ ͲǤͷ ൌ ͲǤ ͲǤͷ ൌ ͳǤʹ ܲሺͲ ൏ ݖ ൏ ͳǤʹሻ ൌ ܲሺݖ ൏ ͳǤʹሻ െ ܲሺݖ ൏ Ͳሻ ൌ ͲǤͺͺͶͻ െ ͲǤͷͲͲͲ ൌ ͲǤ͵ͺͶͻ El total de personas que se puede esperar es de 1000 * 0.3849 = 384.9 aproximadamente 385 personas tendrán temperaturas entre 37ºC y 37.6ºC 37.- Un calentador de agua requiere por término medio 30 minutos para calentar 40 galones de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 0,5 minutos. ¿Qué porcentaje de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos? Solución: Q = 30 y W = 0.5 N = 40 ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͵ͳ െ ͵Ͳ ͲǤͷ ൌ ͳ ͲǤͷ ൌ ʹ ܲሺݖ ʹሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ʹሻ ൌ ͳ െ ͲǤͻʹͷ ൌ ͲǤͲʹʹͺ El porcentaje de los tiempos de calentamiento superiores a 31 minutos es de 40 * 0.0228 = 0.912 * 100 = 91.2% 38.- Los resultados de una prueba objetiva de selección hecha a 200 personas indicaron que la distribución de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviación típica de 6 puntos. ¿Calcular cuántos examinados han obtenido una puntuación entre 30 y 40 puntos, y cuál es la minina puntuación por debajo de la cual están el 75 % de los examinados? Solución: Q = 60 y W = 6 N = 200 a. personas que obtuvieron puntuación entre 30 y 40 puntos. ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͵Ͳ െ Ͳ ൌ െ ͵Ͳ ൌ െͷ ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͶͲ െ Ͳ ൌ െ ʹͲ ൌ െ͵Ǥ͵͵ ܲሺെͷ ݖ െ͵Ǥ͵͵ሻ ൌ ൫ͳ െ ܲሺݖ ͵Ǥ͵͵ሻ൯ െ ൫ͳ െ ܲሺݖ ͷሻ൯ ൌ ሺͳ െ ͲǤͻͻͻͷͷሻ െ ሺͳ െ ͲǤͻͻͻͻͻͻሻ ൌ ͲǤͲͲͲͶ͵ͷ െ ͲǤͲͲͲͲͲͳ ൌ ͲǤͲͲͲͶ͵Ͷ
- 32. Los examinados que tuvieron puntaje entre 30 y 40 puntos es de 200 * 0.000434 = 0.0868 o el 8.68% de personas b. puntuación mínima por debajo del 75% de los examinados. ݖ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ՜ ͲǤͷ ൌ ݔ െ Ͳ ݔ ൌ ͲǤͷ כ Ͳ ൌ ͶǤͷ La minina puntuación que se encuentra por debajo del 75% de los examinados es de 64.5 39.- Suponiendo que las tallas de los adultos de un país A siguen una distribución normal con media 180 cm. y desviación típica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un país B siguen una distribución también normal, pero con media 180 cm. y desviación típica 15 cm., contestar de manera justificada en cuál de los dos países es más probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm. y donde es más probable encontrar adultos con talla comprendida entre 175 y 185 cm. Solución: a) A: Q = 180 cm y W = 5 cm B: Q = 180 cm y W = 15 cm ݖ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͻͷ െ ͳͺͲ ͷ ൌ ͳͷ ͷ ൌ ͵ ݖ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͻͷ െ ͳͺͲ ͳͷ ൌ ͳͷ ͳͷ ൌ ͳ ܲሺݖ ͵ሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ͵ሻ ൌ ͳ െ ͲǤͻͻͺͷͲ ൌ ͲǤͲͲͳ͵ͷ ܲሺݖ ͳሻ ൌ ͳ െ ܲሺݖ ͳሻ ൌ ͳ െ ͲǤͺͶͳ ൌ ͲǤͳͷͺͶ Es más probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm en el país B ya que hay una probabilidad de 0.1584 con respecto al país A, que tiene una probabilidad de 0.00135 b) país A: ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͷ െ ͳͺͲ ͷ ൌ െ ͷ ͷ ൌ െͳ ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͺͷ െ ͳͺͲ ͷ ൌ ͷ ͷ ൌ ͳ
- 33. ܲሺെͳ ݖ ͳሻ ൌ ܲሺݖ ͳሻ െ ൫ͳ െ ܲሺݖ ͳሻ൯ ൌ ͲǤͺͶͳ െ ሺͳ െ ͲǤͺͶͳሻ ൌ ͲǤͺͶͳ െ ͲǤͳͷͺͶ ൌ ͲǤͺ͵ʹ País B: ݖଵ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͷ െ ͳͺͲ ͳͷ ൌ െ ͷ ͳͷ ൌ െͲǤ͵͵ ݖଶ ൌ ݔ െ ߤ ߪ ൌ ͳͺͷ െ ͳͺͲ ͳͷ ൌ ͷ ͳͷ ൌ ͲǤ͵͵ ܲሺെͲǤ͵͵ ݖ ͲǤ͵͵ሻ ൌ ܲሺݖ ͲǤ͵͵ሻ െ ൫ͳ െ ܲሺݖ ͲǤ͵͵ሻ൯ ൌ ͲǤʹͻ͵ െ ሺͳ െ ͲǤʹͻ͵ሻ ൌ ͲǤʹͻ͵ െ ͲǤ͵Ͳ ൌ ͲǤʹͷͻ Es más probable encontrar adultos con talla entre 175 cm y 185 cm en el país A ya que hay una probabilidad de 0.6832 con respecto al país B, que tiene una probabilidad de 0.259
- 34. CONCLUSIÓN Gracias al desarrollo de este taller me he dado cuenta que las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad ya que dando un buen uso de las formulas que estas nos ofrecen podemos dar solución rápida a problemas que se nos pueden presentar en cualquier parte de nuestro trabajo, ya sea en investigación o en la vida cotidiana.
- 35. BIBLIOGRAFÍA Robayo.Adriana.2007.Modulo de probabilidad. UNAD. Bogotá. D.C. Canavos. George 1988. Probabilidad y estadística. McGraw Hill. México.