Histogramas Límites de una distribución Distribución normal Límite de confidencia

1. • Histogramas y distribuciones
• Límite de una distribución
• La distribución normal
• Límite de confidencia.
Distribución Normal

2. HISTOGRAMAS Y DISTRIBUCIONES
Veamos un ejemplo
Medimos la distancia imagen
de un objeto usando una lente
convergente
L (cm) 26 24 26 28 23 24 25 24 26 25
No tenemos mucha información con los datos medidos en
esta tabla, ordenamos los datos
L (cm) 23 24 24 24 25 25 26 26 26 28
L (cm) 23 24 25 26 27 28
Frecuencia
correspondiente
1 3 2 3 0 1
TABLA 1

3. Notación
𝑥𝑘 (𝑘 = 1,2,3 … ), denotamos los diferentes valores encontrados
𝑥1 = 23, 𝑥2 = 24, 𝑥3 = 25
𝑛𝑘 (𝑘 = 1,2,3 … ), denotamos el número de veces que se repiten
los valores hallados
𝑛1 = 1, 𝑛2 = 3, 𝑛3 = 2
ഥ
𝒙 =
σ 𝒙𝒊
𝑵
=
𝟐𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝟖𝒙𝟏
𝟏𝟎
ഥ
𝒙 =
σ 𝒙𝒊
𝑵
=
𝟐𝟑 + 𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 + 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 + 𝟐𝟔 + 𝟐𝟔 + 𝟐𝟔 + 𝟐𝟖
𝟏𝟎
ഥ
𝒙 =
σ𝒌 𝒏𝒌𝒙𝒌
𝑵
σ𝒌 𝒏𝒌=N

4. En vez de decir que el resultado x = 24 se obtuvo en tres
ocasiones, podemos decir que x = 24 se obtuvo en 3/10 de
todas nuestras mediciones.
En otras palabras, en lugar de utilizar 𝑛𝑘, el número de veces
que ocurrió el 𝑥𝑘 resultado, se introduce la fracción
𝑭𝒌 =
𝒏𝒌
𝑵
ഥ
𝒙 = ෍
𝒌
𝒙𝒌𝑭𝒌
La media es entonces
෍
𝒌
𝑭𝒌 = 𝟏 Condición de
normalización
Frecuencia relativa

5. La distribución de las
mediciones se pueden
mostrar gráficamente en
un histograma
Histograma de barras
23 24 25 26 27 28
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
F
k
xk
Veamos otro ejemplo
26,4 23,9 25,1 24,6 22,7 23,8 25,1 23,9 25,3 25,4
Se realizan las siguientes medidas en cm
Un histograma de barras de estos 10 valores constaría de
10 barras separadas, todas de la misma altura, y
tendríamos poca información.

6. Las medidas en intervalos: dividimos el rango de valores
en un número conveniente de intervalos o «clases»
22 23 24 25 26 27 28
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
F
k
xk
∆𝒌
Á𝑟𝑒𝑎: 𝑓𝑘∆𝑘= frecuencia de los resultados en la k-énesima clase
NOTA:
Hay que elegir el
intervalo adecuado
para tener una buena
información de los
histogramas de
barras
Histograma de clases

7. LÍMITE DE UNA DISTRIBUCIÓN
Si realizáramos más medidas como cambia nuestra histograma?
• Se a reducido el intervalo a la mitad
• El histograma se ha vuelto más suave
y regular
Podemos observar que si las mediciones aumentaran y si N →
∞ su distribución se aproxima a una curva continua definida.
Cuando esto sucede, la curva continua se llama LA
DISTRIBUCIÓN LÍMITE
Experimentalmente nuestras mediciones no pueden ser
infinitas, pero mientras más mediciones hagamos nuestro
histograma se aproximará a la función límite.

8. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑑𝑥
=Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre x y x+dx
Como la Probabilidad total de obtener una respuesta en cualquier lugar
entre −∞ 𝑦 + ∞ 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 1, 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑟 ∶
න
−∞
+∞
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏

9. • La distribución límite es una construcción teórica que no puede ser
medido con exactitud
• Hay razones para creer que cada medida tiene una distribución límite a
medida que hagamos mas mediciones en un experimento.

10. Distribuciones límites, una de alta y la otra de baja precisión

11. Como 𝑵 → ∞ 𝒅𝒂 𝒍𝒐 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝑵 𝒐 𝑵 − 𝟏 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS
• Los diferentes tipos de mediciones tienen diferentes
distribuciones limitantes.
• No todas las distribuciones limitantes tienen la forma
de campana simétrica. Ejemplo la distribución binomial
y la de Poisson por lo general no son simétricas

12. • Si nuestras mediciones tienen errores sistemáticos
apreciables, no podemos esperar que la distribución límite
que se centra en el valor verdadero.
• Los errores aleatorios son igualmente propensos a
empujar nuestras lecturas por encima o por debajo del
valor real.
• Si todos los errores son aleatorios, después de muchas
mediciones el número de observaciones por encima del
valor real será el mismo que por debajo de ella, y por lo
tanto nuestra distribución de los resultados se centra en el
valor verdadero.
• Sin embargo, un error sistemático (tal como la causada por
una cinta métrica que se estira o un reloj que funciona
lento) empuja todos los valores en una dirección y por lo
empuja la distribución de los valores observados fuera del
centro a partir del valor verdadero

13. • Ahora vamos a suponer que la distribución se centra en el
valor verdadero. Esto es equivalente a suponer que todos
los errores sistemáticos se han reducido a un nivel
insignificante.
• ¿Cuál es el "verdadero valor" de una magnitud física?
• Esta pregunta es una pregunta difícil que no tiene,
simple respuesta satisfactoria. Debido a que ninguna
medida se puede determinar con exactitud el verdadero
valor de cualquier variable continua (longitud, tiempo,
etc), si existe el verdadero valor de una magnitud tal, no
es aún clara. Sin embargo, vamos a suponer que cada
magnitud física tiene un valor real.

14. • Podemos pensar en el verdadero valor de una magnitud como el valor al
que uno se acerca más y más cuando se realizan un gran número de
mediciones con mucho cuidado
• Como tal, el valor real es una idealización similar al punto matemático
(sin ancho).
• Indicaremos los verdaderos valores de las mediciónes x, y, ..., por sus
correspondientes letras mayúsculas X, Y,. ...
• Si las mediciones de x están sujetas a pequeños errores aleatorios, pero
los errores sistemáticos insignificantes, su distribución será una curva en
forma de campana simétrica centrada en el verdadero valor X.
• Si nuestros resultados tienen errores sistemáticos apreciables, no podemos
esperar que la distribución límite esté centrada en el valor real que
pretendemos determinar

15. La función de Gauss tiene forma de campana y centrada en
x = O. La curva de la campana es amplia si 𝜎 es grande y
estrecha si 𝜎 es pequeño.
La función matemática que describe la curva en forma de
campana se llama distribución normal, o la función de
Gauss y es:
𝑒
−
𝑥2
2𝜎2
Si la función centrada en x=X entonces:

16. 𝑒
−
(𝑥−𝑋)2
2𝜎2
Hay que normalizar esta
función

17. La integral que queda es muy conocida en física
Entonces
Por lo tanto la Función de Gauss o función de distribución es
Gauss es:
𝑮𝑿,𝝈 𝒙 =
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
𝒆−(𝒙−𝑿)𝟐/𝟐𝝈𝟐
Propiedades
• Tiene un máximo en x=X
• Es simétrica alrededor de X
• Tiende a cero rápidamente si 𝑥 − 𝑋 ≫ 𝜎

19. VALOR MEDIO Y DESVIACIÓN ESTANDAR
Al realizar un gran número de medidas de una variable
aleatoria que tiene una distribución de Gauss, ¿qué valores
hay que esperar de el valor medio y la desviación estandar?
𝑮𝑿,𝝈 𝒙 =
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
𝒆(𝒙−𝑿)𝟐/𝟐𝝈𝟐
VALOR MEDIO

20. ഥ
𝒙 =
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
(𝟎 + 𝝈𝑿 𝟐𝝅)
ഥ
𝒙 = 𝑿

21. 1. Hallar la función
2. Hallar C aplicando la condición
normalización
න
−∞
−𝑎
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 + + න
−𝑎
0
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 + න
0
𝑎
𝑓3 𝑥 𝑑𝑥 + + න
𝑎
∞
𝑓4 𝑥 𝑑𝑥 = 1
Ejercicio 1: Cuál es la probabilidad de
encontrar una medida fuera del
intervalo limitado por –a y a?
C=1/a

22. Ejercicio 2
𝑓 𝑡 =
1
𝜏
𝑒−𝑡/𝜏

23. DESVIACIÓN ESTANDAR
𝝈𝒙
𝟐
= න
−∞
∞
(𝒙 − ഥ
𝒙)𝟐
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
𝒆(𝒙−ഥ
𝒙)𝟐/𝟐𝝈𝟐
𝒅𝒙
𝑥 = ҧ
𝑥
= න
−∞
∞
𝒚𝟐
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
𝒆𝒚𝟐/𝟐𝝈𝟐
𝒅𝒙
Usar integrales por partes y demostrar que:
𝝈𝒙
𝟐
= 𝝈𝟐

24. ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté
comprendida dentro de una desviación estándar?
¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté
comprendida entre a y b

25. Haciendo:
Límites de integración
𝑥 − 𝑋
𝜎
= 𝑧 →
𝑥2 = 𝑋 + 𝜎 → 𝑧2 =
𝑥2 − 𝑋
𝜎
=
𝑋 + 𝜎 − 𝑋
𝜎
= 1
𝑥1 = 𝑋 − 𝜎 → 𝑧1 =
𝑥1 − 𝑋
𝜎
=
𝑋 − 𝜎 − 𝑋
𝜎
= −1

26. ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté
comprendida dentro de t desviación estándar?

28. • La integral anterior es una integral estándar de la física
matemática, y que a menudo se llama función error,
denotado por erf(t).
• No puede evaluarse analíticamente, ver apendices del Taylor

29. • La probabilidad de que una medida caiga dentro de una
desviación estandar es del 68%

30. Una alternativa a la desviación estandar es la desviación
llamada ERROR PROBABLE (EP) en la cual una medida
tiene un 50% de estar entre
𝑿 ± 𝑷𝑬 𝑃𝐸 ≈ 0,67𝜎
Algunos experimentadores les gusta citar el PE como la
incertidumbre en sus mediciones. No obstante, la desviación
estándar es la opción más popular, ya que sus propiedades
son tan simples

31. JUSTIFICACIÓN DE LA MEDIA COMO MEJOR VALOR
Se realizan N medidas en una experiencia teniendo:
Queremos obtener el mejor valor X y su desviación estandar 𝜎
Si las medidas siguen la distribución normal 𝐺𝑋,𝜎 𝑥 y
conociéramos X y 𝜎 podríamos calcular la probabilidad de
obtener 𝑥1, 𝑥2, … … . 𝑥𝑁
Por lo tanto la probabilidad de obtener 𝑥1 en un pequeño
intervalo 𝑑𝑥1

32. Podemos escribir
La probabilidad de obtener 𝑥2
La probabilidad de obtener 𝑥𝑁
𝒙𝟏, 𝒙𝟐. 𝒙𝑵 𝒔𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑵 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 ,
𝑿 𝒚 𝝈 𝒔𝒐𝒏 𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐𝒔

33. Aplicando el principio de máxima verosimilitud
El mejor valor de 𝑿 𝒚 𝝈 se da cuando
Utilizando este principio, podemos encontrar fácilmente
la mejor estimación para el verdadero valor X.
Obviamente la 𝑷𝒓𝒐𝒃𝑿,𝝈(𝒙𝟏, 𝒙𝟐 … . 𝒙𝑵) es máxima si la suma
en el exponente es mínimo.
Diferenciamos respecto a X
e igualando a cero

34. 𝑥1 − 𝑋 + 𝑥2 − 𝑋 + ⋯ … 𝑥𝑁 − 𝑋 = 0
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ … 𝑥𝑁 − 𝑁𝑋 = 0
𝑿 =
𝒙𝟏+𝒙𝟐+⋯…𝒙𝑵
𝑵
=
σ𝒊 𝒙𝒊
𝑵
Encontrar el mejor valor de 𝝈 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐. Hay que
seguir el procedimiento anterior derivando respecto a 𝝈.
En la expresión anterior X no es conocido, reemplazando su
valor encontrado tenemos:
Definida inicialmente en clase anterior, vemos que
no es la definición mejorada con 𝑵 − 𝟏

35. ACEPTABILIDAD DE UNA CANTIDAD ESTIMADA
Supongamos que medimos una cantidad física en la forma estándar
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒙 = 𝒙𝒎𝒆𝒋𝒐𝒓 ± 𝝈
𝝈= desviación estandar
Supongamos también que, basándonos en alguna teoría o en las
estimaciones de alguien, esperábamos el valor 𝑥𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟 difiere de
𝑥𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 en 𝑡 desviaciones estándar si:
𝒕 =
𝒙𝒎𝒆𝒋𝒐𝒓 − 𝒙𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐
𝝈
𝑷𝒓𝒐𝒃 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝝈 = 1- 𝑷𝒓𝒐𝒃 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝝈

36. Suponiendo que x se distribuye normalmente alrededor de
𝑥𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 con una anchura 𝜎, podemos encontrar la
probabilidad 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝜎 de una discrepancia tan
grande como la nuestra o mayor en el apéndice A.
Si la probabilidad es menor que cierto nivel elegido (1% por
ejemplo), juzgamos que el acuerdo es inaceptable para ese
nivel.
Por ejemplo si 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝜎 es menor que 1%, el
acuerdo es inaceptable

37. Ejercicio 1
Un estudiante mide una cantidad muchas veces y calcula su media
y desviación estándar obteniendo ത
𝑦 = 23 𝑦 𝜎𝑦 = 1
Diga que frecuencia relativa de resultados esperaría encontrar
entre
a) 22 y 24
b) 22,5 y 23,5
c) 21 y 25
d) 21 y 23
e) 24 y 25
f) Entre qué límites (equidistante a cada lado del valor medio)
esperaría encontrar el 50% de los resultados?

38. Ejercicio 2
Una amplia encuesta pone de manifiesto que la altura de los hombres de un
determinado país sigue una distribución normal, con media ത
ℎ = 175 𝑐𝑚 y
desviación estándar 𝜎 = 5 𝑐𝑚. En una muestra aleatoria de 1000 hombres,
diga cuántos hombres esperaría encontrar que midan
a) Entre 170 y 180 cm
b) Más de 180 cm
c) Más de 190 cm
d) Entre 165 cm y 170 cm

39. Un estudiante mide un tiempo t ocho veces y obtiene los siguientes
resultados
Ejercicio
Valor 𝒕𝒌 75 76 77 78 79 80
Frecuencia 𝑛𝑘 2 3 0 0 2 1
a) Asumiendo que los resultados siguen una distribución normal, cuáles
deberían ser las mejores estimaciones del verdadero valor y de la desviación
estándar?
b) Sobre la base de esas estimaciones, cuál es la probabilidad de que un
noveno resultado fuera 81 o más?