Se presenta un sistema de ecuaciones resuelto por el método de Gauss

1. Método de Gauss
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES UTILIZANDO EL
MÉTODO DE GAUSS

2. Método de Gauss
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y – 3z = -16
3x + y – 2z = -10
2x – 3y + z = -4
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal"
de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el
que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2
incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil
a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba ,
calcular el valor de las 3 incógnitas.

3. Método de Gauss
Veamos paso a paso el proceso a seguir para resolver
este sistena:
Suprimimos la x de la segunda ecuación, reduciéndola
con la primera:
Multiplicamos la primera ecuación por (­3) y las sumamos
Sumamos las dos ecuaciones para obtener la segunda ecuación
transformada: 0x – 5y + 7z = 38

4. Método de Gauss
Suprimimos la x de la tercera ecuación, reduciéndola
con la primera:
Multiplicamos la primera ecuación por (­2) y las sumamos
Sumamos las dos ecuaciones para obtener la tercera ecuación
transformada: 0x – 7y + 7z = 28

5. Método de Gauss
Escribimos el sistema obtenido:
Eliminamos la y de la tercera ecuación, reduciéndola
con la segunda:
Multiplicamos la primera ecuación por (7), la segunda por (­5) y
las sumamos

6. Método de Gauss
Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones:
Calculamos z de la tercera ecuación: 14z = 126 → z = 9
Sustituimos z en la segunda y calculamos y: ­5y + 7(9) = 38 → y = 5
Sustituimos z e y en la primera para calcular x:
x + 2(5) ­3(9) = ­16 → x = 1

7. Método de Gauss
Comprobamos las soluciones:
Sustituimos los valores obtenidos en el sistema original y vemos si se
cumplen las tres ecuaciones.
1 + 2(5) – 3(9) = 1 + 10 – 27 = ­16 → La primera ecuación se cumple!
3(1) + 5 – 2(9) = 3 + 5 – 18 = ­10 → La segunda también se cumple!
2(1) – 3(5) + 9 = 2 ­ 15 + 9 = ­4 → La tercera también!
Las soluciones obtenidas son correctas!