El documento presenta un modelo de regresión lineal múltiple para explicar los ingresos de un supermercado (variable dependiente Y) en función de la población del municipio y la superficie del supermercado. Se describen los pasos para calcular los coeficientes del modelo que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos, resultando un modelo de Y=37,5+1,49*población + 4,24*superficie.

1. MÉTODOS CUANTITATIVOS
RESUMEN DE LA SESIÓN 13/10/09
MODELO GENERAL DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
En el modelo general de regresión lineal múltiple se pretende explicar una sola
variable Y dependiente, endógena y explicada con por lo menos una variable X
independiente, exógena y explicativa.
En clase vimos un ejemplo en el que buscábamos explicar los ingresos de un
supermercado (Y) por los habitantes del municipio donde se encuentra el
supermercado (X1) y los metros cuadrados del supermercado (X2)
Y = f ( X1, X 2 )
La tabla de datos con la que empezamos a trabajar es la siguiente:
Ingresos Población Superficie
198 70 21
209 35 26
197 55 14
156 25 10
85 28 12
187 43 20
43 15 5
211 33 28
120 23 9
62 4 6
176 45 10
117 20 8
273 56 36
Si la relación existente entre las variables fuera de tipo lineal utilizaríamos la
siguiente expresión:
y i = α + β1 xi1 + β 2 xi 2
Sin embargo, puede ser que la relación entre las variables no sea perfecta, por
lo que introducimos a la expresión anterior un término aleatorio que
corresponde con variables que no hemos tenido en cuenta
yi = α + β1 xi1 + β2 xi 2 + εi
El sistema de ecuaciones que hay que resolver es el siguiente:

2. 198 = α + β1 × 70 + β 2 × 21 + ε 1
209 = α + β1 × 35 + β 2 × 26 + ε 2
...
273 = α + β1 × 56 + β 2 × 36 + ε 13
Nuestro objetivo es que los valores de las incógnitas sean lo más pequeños
posible.
Determinaremos cuáles son los valores más adecuados de los coeficientes del
modelo para alcanzar este objetivo:
α = a, β1 = b1, β2 = b2
Llamaremos residuos a los valores que toman las incógnitas en la solución del
sistema de ecuaciones:
ε i = ei
Debemos encontrar los valores de los coeficientes que minimizan la suma de
los cuadrados de los residuos
n 2
[
min ∑ e 2
i ] Min ∑ ( yi − a − b1 xi1 − b2 xi 2 ) 
 i =1 
Después de calcular los valores de los parámetros de la combinación lineal,
podremos construir el siguiente modelo de ajuste lineal:
yi = a + b1 xi1 + b2 xi 2
ˆ
Los valores calculados para la variable dependiente mediante el modelo de
ajuste lineal serán los llamados valores estimados.
Después de la explicación teórica del modelo y de lo que buscamos con él
empezamos a trabajar con Excel:

3. 1) Construimos la matriz X
Matriz X
1 70 21
1 35 26
1 55 14
1 25 10
1 28 12
1 43 20
1 15 5
1 33 28
1 23 9
1 4 6
1 45 10
1 20 8
1 56 36
2) Calculamos la matriz traspuesta de X
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
70 35 55 25 28 43 15 33 23 4 45 20 56
21 26 14 10 12 20 5 28 9 6 10 8 36
3) Calculamos la matriz Xt*X
Matriz Xt*X
13 452 205
452 19828 8452
205 8452 4343
4) Invertimos esta última matriz
Matriz (XtX)-1
0,40146598 -0,0063017 -0,00668629
-0,0063017 0,00039483 -0,00047093
-0,00668629 -0,00047093 0,00146234
5) Calculamos la matriz Xt*Y

4. Matriz XtY
2034
82495
38769
6) Para calcular la matriz B que será la que nos marque llos valores de las
variables explicativas y el término aleatorio tenemos que multiplicar las
matrices (XtX)-1*XtY. Obtenemos:
B
37,50230036
1,496287793
4,244624453
Por lo tanto, el modelo es el siguiente:
Y= 37,5 +1,49*población + 4,24 m^2 + ε
Con este modelo obtenemos las siguientes predicciones de ingresos y las
desviaciones:
Y.predicho Residuos
231,3795594 -33,37955939
200,2326089 8,767391105
179,2228713 17,77712868
117,3557397 38,64426028
130,333852 -45,333852
186,7351645 0,264835479
81,16973952 -38,16973952
205,7292822 5,270717786
110,1185397 9,881460323
68,95519825 -6,95519825
147,2814956 28,71850442
101,3850518 15,61494816
274,1008971 -1,100897079
Para calcular la SCR elevamos todos los residuos al cuadrado y los sumamos,
obteniedo así un SCR de:
7756,21416