Estadistica

1. Tema 8
Estadística Descriptiva
Unidimensional

2. Contenidos
1. Estadística: clases y conceptos básicos
2. Variables o caracteres estadísticos
3. Tablas estadísticas: recuento
4. Tablas estadísticas: frecuencias
5. Otra forma de recuento: diagrama de tallo y hojas
6. Gráficos para variables estadísticas cualitativas
7. Gráficos para variables estadísticas cuantitativas
8. Series temporales y otros gráficos
9. Parámetros de centralización
10. Parámetros de dispersión
11. Estudio conjunto de x y σ

3. Introducción.
La Estadística es la parte de las Matemáticas que se ocupa de los
procedimientos que permiten el tratamiento sistemático de datos,
la búsqueda de conclusiones de los mismos y la toma de decisiones
tras su análisis.
En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones
de Estado (recuentos, censos, etc.) y de ahí proviene su nombre.
Hoy en día está presente en todos los ámbitos humanos, tanto
individuales como colectivos.

4. 1. Estadística: clases
y conceptos básicos
Definición
La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos,
su organización y análisis; así como de las predicciones que, a
partir de estos datos, pueden hacerse.
La Estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos,
organizarlos en tablas o en representaciones gráficas y del cálculo
de unos números que nos informen de manera global del conjunto
estudiado.
La Estadística inferencial trata sobre la elaboración de
conclusiones para la población, partiendo de los resultados de una
muestra y del grado de fiabilidad de estas conclusiones.

5. 1. Estadística: clases
y conceptos básicos
Conceptos básicos:
Población. Es el conjunto formado por todos los elementos que
existen para el estudio de un determinado fenómeno.
Individuo u objeto. Es cada elemento de la población.
Muestra. Es el subconjunto que tomamos de la población para
determinar el estudio del fenómeno.
Tamaño de la muestra. Es el número de individuos que la
componen.

6. 2. Variables o
caracteres estadísticos
Definición
Cada una de las cualidades o propiedades referidas a los elementos de una
población objeto de estudio estadístico se llama variable o carácter
estadístico.
Las clases de variables estadísticas que aparecen en cualquier estudio
estadístico son:
Variables o caracteres cualitativos son aquellos que no se pueden medir y
se describen con palabras.
Variable o caracteres cuantitativos son aquellos que se pueden medir y
expresar con números.
Variables o caracteres cuantitativos discretos son aquellos que pueden
tomar solamente un número finito de valores numéricos.
Variables o caracteres cuantitativos continuos son aquellos que pueden
tomar cualquier valor en un intervalo dado.

7. 3. Tablas estadísticas:
recuento
La forma usual de ordenar los datos recogidos de una encuesta, consiste en
realizar un recuento y, posteriormente, formar una tabla.
El recuento en Estadística se realiza de la siguiente forma:
1. Se ordenan las cualidades o valores que puede tomar la variable estadística,
colocándolos en la primera columna de la tabla.
2. En la columna del total se anota el número total de segmentos trazados para
cada cualidad o valor.
En el caso de las variables cuantitativas continuas o discretas con muchos
valores, los datos deben agruparse en clases o intervalos.
El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula
como la semisuma de los extremos del intervalo.
Para construir intervalos o clases hemos de tener en cuenta:
• Es conveniente que el número de intervalos esté entre 5 y 10.
• Usualmente tomamos los intervalos con igual amplitud o longitud.
• Calculamos la amplitud de cada intervalo dividiendo el recorrido entre el
número de intervalos que tomemos.

8. 4. Tablas estadísticas:
frecuencias
Definición
• Frecuencia absoluta, fi
, de una cualidad o de un valor xi
de la variable
estadística es el número total de veces que aparece esta cualidad o valor.
La suma de todas las frecuencias absolutas es necesariamente el tamaño de
la muestra o la población a estudio:
• Frecuencia relativa o proporción, hi
, de una cualidad o de un valor xi
, es
el cociente que resulta de dividir su frecuencia absoluta entre el número
total, N, de individuos. Representa la proporción de estos sobre el total y
verifica 0 ≤ hi
≤ 1.
La suma de todas las frecuencias relativas es la unidad:
∑
i=1
n
f i= N
∑
i=1
n
hi=1

9. 4. Tablas estadísticas:
frecuencias
Definición
• Frecuencia porcentual o porcentaje, pi
, de una cualidad o de un valor xi
es el tanto por ciento que representa este valor o cualidad respecto del
total. Se calcula multiplicando la frecuencia relativa por 100 y verifica 0 ≤ pi
≤ 100. La suma de todos los porcentajes es 100
• Frecuencia absoluta acumulada, Fi
, de un valor xi
es la suma de todas las
frecuencias absolutas correspondientes a los valores anteriores a xi
y a la
suya propia.
• Frecuencia relativa acumulada, Hi
, de un valor xi
es la suma de todas las
frecuencias relativas correspondientes a los valores anteriores a xi
y a la
suya propia.
• Frecuencia porcentual acumulada, Pi
, de un valor xi
es la suma de las
frecuencias porcentuales que se corresponden a los valores anteriores
a xi y a la suya propia.
Fi =∑
j=1
i
f j
Hi=∑
j =1
i
h j=
Fi
N

10. 5. Diagrama de tallo y
hojas
• El diagrama de tallo y hojas es un procedimiento semigráfico que
permite presentar la información para variables cuantitativas y
especialmente útil cuando el número de datos es pequeño.
Veamos su construcción realizando en un ejemplo:
En un centro de enseñanza se han pesado a 92 alumnas y alumnos.
Mujeres: Hombres:
64 54 59 63 55 57 53 66 68 51 57 59 54 59 59 64 66 73 86 70 75 68 86 89 63 73 70 69 66 77
61 54 57 54 57 54 55 52 46 52 68 50 53 49 43 79 79 77 82 61 77 71 59 84 86 70 77 70 98 68
57 60 50 68 49 59 68 67 61 70 64 66 68 62 64 66 70 70 68 70 68 82 73 73 70 82 86 74 64 70
PASO 1º. El tallo es una columna numérica en la que se representa el peso de diez
en diez kilogramos, omitiendo el último dígito.
PASO 2º Se va añadiendo el último dígito, es decir, cada hoja, de cada uno de los
pesos en la línea correspondiente.
PASO 3º Una vez añadidos todos los datos, el gráfico toma el aspecto que sigue:
4|6 9 3 9
5|4 9 5 7 3 1 7 9 4 9 9 4 7 4 7 4 5 2 2 0 3 7 0 9 9
6|4 3 6 8 1 8 0 8 8 7 1 4 6 8 2 4 4 6 8 3 9 6 1 8 6 8 8 4
7|0 3 0 5 3 0 7 9 9 7 7 1 0 7 0 0 0 0 3 3 0 4 0
8|6 6 9 2 4 6 2 2 6
9|8

11. 5. Diagrama de tallo y
hojas
PASO 4º Ordenando las hojas dentro de cada tallo se obtiene el gráfico
definitivo.
4|3 6 9 9
5|0 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9
6|0 1 1 1 2 3 3 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9
7|0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 3 3 4 5 7 7 7 7 9 9
8| 2 2 2 4 6 6 6 6 9
9|8
En el gráfico de tallo y hojas observamos:
• Las frecuencias absolutas de cada uno de los tallos
• La clase o tallo con mayor frecuencia
• Girando la página 90 grados, las filas de dígitos se
convierten en columnas y nos ofrecen una visión global
de la distribución de los pesos.

12. 6. Gráficos para variables
cualitativas
Las tablas estadísticas muestran la información de forma
esquemática y están preparadas para cálculos posteriores.
La misma información estadística puede mostrarse de forma
global y más expresiva, utilizando los gráficos estadísticos.
Los gráficos poseen un fuerte poder de comunicación de los
resultados de un estudio estadístico.
Detallamos, a continuación, los principales gráficos que permiten
describir variables cualitativas.

13. 6.1. Diagramas de barras
Consiste en dibujar un rectángulo por cada una de las modalidades de
la variable, de modo que las bases sean todas iguales y apoyadas en el
eje, en el que se indican las modalidades, y la altura de cada
rectángulo debe ser proporcional a la frecuencia de la modalidad
representada.

14. 6.2. Diagramas de sectores
Consiste en dividir un círculo, a veces un semicírculo, en sectores
circulares; cada uno de ellos representa una modalidad de la
variable. La amplitud, en grados, de cada sector es proporcional a la
frecuencia o porcentaje de la modalidad a la que representa.
La amplitud angular correspondiente a cada cualidad o valor de la
variable se calcula mediante la expresión:
αi=hi⋅360º

15. 6.3. Pictogramas
Consiste en realizar dibujos alusivos a la distribución que se desea
representar.
Son gráficos poco precisos, aunque fáciles de interpretar a simple vista.
Los pictogramas pueden prestarse a confusión cuando en el dibujo no se
especifica si las frecuencias representadas son proporcionales a las
longitudes, a las superficies o a los volúmenes.

16. 6.4. Cartogramas
Consiste en representar sobre un mapa cualquier tipo de datos
relacionados con una área geográfica. Muestras de cartogramas
pueden verse debajo y en el margen.

17. 7. Gráficos para
variables cuantitativas
Los gráficos más utilizados para representar distribuciones de
variables cuantitativas, tanto discretas como continuas, son los que
se describen a continuación.
7.1. Diagramas de barras o de columnas
Representan distribuciones de variables discretas por medio de
barras o columnas independientes, situadas encima de la variable
representada. En muchas ocasiones se superponen dos o más
diagramas con el fin de comparar los datos de diferentes
situaciones.

18. 7.2. Diagrama de
frecuencias
También llamados polígonos de frecuencias. Se forman uniendo los
extremos de las barras o columnas mediante una línea quebrada. Son
muy utilizados los que representan las frecuencias acumuladas en el
estudio del crecimiento determinados fenómenos.

19. 7.3. Histogramas
Son análogos a los diagramas de
barras o columnas y se utilizan para
representar distribuciones de
frecuencias de variables continuas.
Consisten en rectángulos cuyas
bases son cada uno de los intervalos
y la altura es la frecuencia absoluta
correspondiente a dicho intervalo,
siempre que todos los intervalos
tengan la misma amplitud. En caso
contrario, las alturas serán tales
que las áreas de los rectángulos
sean proporcionales a las
correspondientes frecuencias.

20. 8.1. Series temporales
Muestran las fluctuaciones de una o varias variables estadísticas con
el paso del tiempo. Son diagramas lineales en los que interesa
considerar la altura de la línea con respecto a la base del dibujo.

21. 8.2. Diagramas en
espiral o polares
Representan datos asociados al tiempo en los que los valores de la
variable son tomados sobre radios de una circunferencia.
Estos diagramas se utilizan para representar el crecimiento del
fenómeno a estudiar.

22. 8.3. Pirámides de
población
Son gráficos de población clasificada por la edad y por su sexo. La
variable edad se toma sobre el eje vertical y las frecuencias o
porcentajes de mujeres (derecha) y hombres (izquierda) se toman
sobre el eje horizontal. Es decir, una pirámide de población consiste
en dos histogramas, cuya variable estadística está en el eje vertical
y las frecuencias o porcentajes en el eje horizontal.

23. 8.4. Diagramas triangulares
Representan tres aspectos o variables del problema o fenómeno
estudiado. Consiste en dibujar un triángulo equilátero y, sobre sus
lados, hacer divisiones de diez en diez señalando porcentajes. Se
enumera cada lado comenzando con cero en el vértice y siguiendo en
sentido contrario a las agujas de un reloj. Se van trazando líneas
paralelas a cada lado desde los disntintos porcentajes ya marcados,
de manera que de los tres lados
del triángulo parten líneas
perpendiculares que se cortan
en un punto que es el valor buscado.
En ellos suelen recogerse
aspectos económicos o
sociales.
Son muy utilizados en
Geología para clasificar
rocas y tierras.

24. 9. Parámetros de centralización
En la búsqueda de la concreción y la simplificación, la información
recogida en una tabla o gráfica estadística suele resumirse en
unos pocos valores que nos informan del comportamiento de todos
los individuos del colectivo estudiado.
Estos valores, representativos de todos los de una distribución, se
llaman parámetros o medidas de centralización.
Los Parámetros de centralización son:
●
Media
●
Moda
●
Mediana
●
Cuartiles
●
Deciles
●
Percentiles

25. 9.1. Media aritmética
Media aritmética de una variable estadística es el cociente que
resulta de dividir la suma de todos los valores por el número total de
éstos. Se representa por X. Su cálculo se realiza atendiendo a la
presentación de los datos.
•Para datos sin frecuencias
Si la variable toma los N valores x1 , …,xn
la media aritmética adopta la expresión:
•Para datos con frecuencias
Si la variable toma los valores o marcas de clase
x1 , …,xn siendo f1 , …,fn las frecuencias absolutas
correspondientes de la distribución, se calcula con
la expresión:
•Con datos ponderados
La media ponderada se calcula cuando todos los
Valores de la variable no tienen el mismo peso.
Su fórmula es análoga a la vista con anterioridad,
cambiando las frecuencias por los pesos y, en el
denominador, N por la suma de los pesos
¯X =
∑
i=1
n
xi
N
¯X =
∑
i=1
n
xi⋅f i
N
¯X =
∑
i=1
n
xi⋅pi
∑
i=1
n
pi

26. Consideraciones sobre
la media aritmética
●
La media aritmética es el parámetro de centralización más
utilizado.
●
No siempre es posible calcular la media aritmética y, a veces,
aunque sea posible calcularla, carece de significado. En estos
casos deben utilizarse otras medidas de centralización.
●
Si se suma una constante a todos los valores de la variable, la
media aritmética aumenta en el mismo valor.
●
Si se multiplican todos los valores de la variable por un mismo
número, la media queda multiplicada por el mismo número.

27. 9.2. Moda
Se denomina moda de una variable estadística al valor de la variable
que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo.
Puede ocurrir que la moda no sea única, es decir, la distribución
puede tener 2, 3 o más modas, recibiendo el nombre de bimodal,
trimodal, etc.
En el caso de que los datos se encuentren agrupados en intervalos,
la clase con mayor frecuencia se
denomina clase modal. Puede tomarse
como aproximación a la moda la marca
de clase de la clase modal.
Se calcula la moda mediante la expresión:
Mo=Li+
f Mo
−f Mo
−1
(f Mo
−f Mo
−1)+(f Mo
−f Mo
+1)
⋅c

28. 9.3. Mediana
Mediana de una variable estadística es el valor que deja a su izquierda un
número de datos igual a los que deja a su derecha. Se representa por Me.
La mediana correspondiente a una distribución de variable discreta es el
valor central si el número de datos es impar, y si el número de datos es par,
la mediana es la media de los valores centrales.
En el caso de que los datos, correspondientes a una variable continua, se
encuentren agrupados en intervalos, la clase que contiene a la mediana se
denomina clase mediana o intervalo mediano. Puede tomarse como mediana,
en una primera aproximación, la marca
de clase del intervalo mediano.
Se calcula mediante la expresión:
Me=Li+
N
2
−FMe−1
f Me
⋅c

29. 9.4.1 Cuartiles
Cuartiles
Los valores de la variable que superan, exactamente, al 25%, 50% y
75% de los datos se llaman, respectivamente, cuartil primero ( Q1 ),
segundo ( Q2 ) y tercero ( Q3 ).
Es obvio que el segundo cuartil, por definición, coincide con la
mediana. cálculo de los otros cuartiles sigue las pautas de la mediana
y se obtienen a través de las expresiones:
Q1=Li+
N
4
−FQ1−1
fQ1
⋅c Q3=Li+
3N
4
−FQ3−1
fQ3
⋅c

30. 9.4.2 Deciles
Deciles
Análogamente a los cuartiles, se llaman deciles a los valores de la
variable que dividen a los datos en diez partes iguales. Es decir, los
deciles agrupan a los datos en diez partes correspondientes cada
una con el 10 % de la distribución.
Se representan por Di
,y la expresión que permite calcularlos es:
Dk=Li+
k⋅N
10
−FDk−1
f Dk
⋅c

31. 9.4.3 Percentiles
Percentiles
De la misma manera, podemos dividir la distribución en 100 partes,
con lo cual podemos llegar a conocer cuál es el valor de la variable
que deja un porcentaje de casos a su izquierda y derecha. Se
representa por Pi y se calculan a través de la expresión:
Pk=Li+
k⋅N
100
−FPk−1
f Pk
⋅c

32. 10. Parámetros de
dispersión
Las medidas de centralización vistas con anterioridad necesitan de
otras que las complementen en el estudio de las distribuciones de
frecuencias de las variables estadísticas.
Estas nuevas medidas, que denominamos parámetros de dispersión,
informan de las desviaciones que sufren los datos respecto de los
valores centrales, en especial con relación a la media aritmética.
Los parámetros de dispersión más usuales son:
●
Recorrido
●
Desviación Media
●
Varianza
●
Desviación Típica
●
Coeficiente de variación

33. 10.1. Recorrido
Recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre
el mayor y el menor valor de los datos observados. Se representa
por R.
En la misma línea y en casos particulares suele utilizar el recorrido
intercuartílico. Dicho recorrido es la diferencia entre los cuartiles
tercero y primero, representado por: Ri
=Q3
-Q1

34. 10.2. Desviación media
Se denomina desviación media de una variable estadística a la
media de los valores absolutos de las desviaciones de los datos o
marcas de clase respecto de la media aritmética. Se representa
por DM.
La expresión que permite calcular la desviación media es la
siguiente:
DM =
∑
i=1
n
| xi−¯x|⋅f i
N

35. 10.3. Varianza
Varianza de una variable estadística es la media aritmética de los
cuadrados de las desviaciones de todos los datos o marcas de clase
respecto de la media. Se representa por σ2
.
Las expresiones equivalentes que permiten calcular la varianza son:
σ2
=
∑
i=1
n
(xi
2
−¯x2
)⋅f i
N
=
∑
i=1
n
xi
2
⋅f i
N
−¯x2

36. 10.4. Desviación típica
Se denomina desviación típica de una variable estadística a la raíz
cuadrada positiva de la varianza. Se representa por la letra griega σ
y vale:
σ=√σ2
=
√∑
i=1
n
(xi
2
−¯x2
)⋅f i
N
=
√∑
i=1
n
xi
2
⋅f i
N
−¯x2
La desviación típica es el parámetro de dispersión más utilizado.
●
Si se suma una constante a todos los valores de la variable, la
desviación típica no varía.
●
Si se multiplican todos los valores de la variable por un mismo número,
la desviación típica queda multiplicada por el mismo número.
Consideraciones sobre la desviación típica

37. 10.5. Coeficiente de
variación
El coeficiente de variación de una variable estadística es el cociente
entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética. Se
representa por CV. Así, se tiene:
El coeficiente de variación es un número positivo que no tiene
dimensiones,es decir, no depende de las escalas utilizadas para medir la
variable estudiada.
Cuanto más pequeño sea este coeficiente de variación, los datos están
más concentrados alrededor de la media, y esta será más representativa.
Este coeficiente permite comparar dos poblaciones heterogéneas:
Si x e y son dos variables estadísticas cuyas medias son x , y , y sus
desviaciones típicas σx
y σy
se tiene:
● Si x = y , σx
< σy
x es más representativa.⇒
● Si x ≠ y , σx
< σy
x es más representativa.⇒
CV =σ
|¯x|

38. 11. Estudio conjunto
de x– y σ
En toda distribución estadística, el estudio del comportamiento
conjunto de la media aritmética y la desviación típica nos aporta
numerosa información sobre la distribución de frecuencias
estudiada.
En casi todas las distribuciones estadísticas de comportamiento
normal se verifican de forma aproximada:
●
En ( x – σ, x + σ) está el 68,27% del total de individuos.
●
En ( x – 2 σ, x + 2σ) está el 95,45% del total de individuos.
●
En ( x – 3 σ, x+ 3σ) está el 99,73% del total de individuos.

39. 11.1. Puntuaciones
típicas o normalizadas
Para poder comparar dos datos correspondientes a dos
distribuciones distintas, hay que tipificar —o normalizar— dichos
valores, es decir, calcular los valores , después, comparar
los resultados.
Las puntuaciones típicas o normalizadas, también llamadas
puntuaciones z, tienen las siguientes propiedades:
• Si se transforma una distribución en puntuaciones típicas, no
varía la forma de la distribución original.
• La media aritmética de las puntuaciones normalizadas es cero, es
decir,z = 0
• La desviación típica de las puntuaciones típicas es la unidad, es
decir, σz=1
z=
x−¯x
σ