1. Si necesitas Clases puedes llamar al 011-15-67625436
Segundo Parcial: (ciudad ’98)
1. Sea f: R4
→ R4
la transformación lineal dada por
)33;339;)2(( 4213213)4,3,2,1( xxxxaxxxaf xxxx +++++=
Hallar todos los valores de a tal que dim Nuf = dim Imf
2. Sean en R 3
la base B = )0,0,4();0,1,0();1,1,1( −−−− y la transformación lineal f dada por










−
−
−
=
903
602
413
)(MBE f Definir f )2,2,3(Nu;NuImIm/: 33
==∩→ gffgRRg
3. Resolver 0Z.ZZ7
=− representar las soluciones en el plano C
4. Sean en R 3
la base )1,1(1,0,0)(1,(1,1,0);B −= y la transformación lineal f dada por









−
=
100
020
221
M )(B f , hallar los autovalores de f y para cada autovalor un autovector asociado.
Segundo Parcial ’99:
1. Sean f: R 3
→ R 3
la transformación lineal definida por :
);2;3( 32321321),,( 321
xxkxxxxxxf xxx −−+−+= y
S = { }),,(/ 123),,(
3
321
xxxfRx xxx =∈
a) Hallar k de modo que sea S ¹ {0}
b) Hallar una base de S para el valor de k calculado
2. Hallar rodos los z Î C tales que :
2
3
).arg(
2
316 π
<<
π
−= ziyiz
3. Sea P(x) = x 4
+ a x 3
+ b x 2
+ b x – 2 .
a) Hallar a y b Î R, tales que –1 sea raíz de P(x)
b) Escribir P como producto de polinomios de grado 1.
4. Sean f: R 3
→ R 3
la transformación lineal tal que










−−
−
−
=
332
123
215
)(ME f
a) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f)
b) Hallar si es posible bases B1 y B2 tales que










=
000
100
010
M )(BB 21 f

2. Si necesitas Clases puedes llamar al 011-15-67625436
Segundo Parcial:´99.
1. a) Definir una transformación lineal f: R3
→ R2
tal que R3
= Nu (f) ⊕ S, siendo
S = {x ∈ R3
/ x1 – x2 + x3 = 0}
b) Para la f hallada en a) encontrar { x ∈ R3
/ f(x) = (1, 2)}.
2. a) Hallar todos los valores de z ∈ C tales que: 2.z = i . z 2
b) Hallar un polinomio P ∈ R(x), de grado mínimo, que tenga como raíces a todas las
soluciones de la ec. Resuelta en a)
3. Dada A =










−
−
−
301
210
50k a) Hallar k de modo que λ = - 2 sea el valor propio de A
b) Para el k encontrado, hallar todos los valores propios y decidir
si A es o no diagonable.
4. Dadas las bases de R4
: B = {v1, v2, v3, v4} B´ = { v2 – v4; v1 + v3 + v4; v1+ v4; v1 + v2 + v4} sea f:
R4
→R4
la transformación lineal tal que MBB´ (f) =














−
−−
−
−
0102
4122
8440
0102
Probar que Nu (f) = Im (f).
Segundo parcial: ´99.
1. Sea f :R3
→ R4
la transformación lineal dada por f (x1; x2; x3) = (2x1 – x2 + x3, 3x1+ x2, x1– 3 x2
+ 2 x3) Definir una transformación lineal g: R4
→ R3
tal que Nu (g) = Im (f) y Nu (f) < Im (g).
2. Hallar un polinomio P ∈ R(x), de grado mínimo que simultáneamente cumpla: P(2) = 36,
P(1 – i ) = 0 ( ) =
∂
∂
3
P
x
P(3) = 0.
3. Sea f :R3
→ R3
la transformación lineal dada por: f (x1; x2; x3) =
= (– x1 + 4x2, 2x1 – 3 x2, x1 + 5x2 + 2 x3).
Encontrar una base B de R3
para la cual MB(f) sea una matriz diagonal.
4. Sea f: R3
→ R3
dada por: f(x1, x2, x3) = (x1 – x3, x2 + x2 + x3, x1 + 2 x2).
Hallar una base B de R3
que MBE (f) =










200
110
021
Segundo Parcial: ´99
1. Dados los subespacios de R4
: S = {x ∈ R4
/ x1 – x2 – x3 = 0},
W = {x ∈ R4
/ x1 – x2 – x3 = 0; x1 – x3 = 0}.
a) Definir, si es posible, una transformación lineal f: R4
→ R4
que verifique f(W) = W y
f(S) ⊂ W
b) Determinar Un (f) e Im (f).
2. Encontrar todos los complejos z que verifican: ( ) 22
)2(2 −=− zz
3. Hallar todas las raíces de P(x) = x5
+ 4x4
+ 7x3
+ 28 x2
– 18 x – 72, sabiendo que P(- 3i) = 0.
4. Sean en R3
la base B = {(0, 0, 1); (0, 1, 1);(1, 1, 1)} y la transformación lineal f: R3
→ R3
definida por MB (f) =










−
−
310
050
131
. Encontrar, si existe, una base B’ de R3
tal que MB sea
diagonal.

3. Algebra – Exactas – Segundo parcial – Cátedra Gutiérrez
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