ejercicios analisis matemático 3 UNASAM

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
01
V´ıctor Pocoy Y./ING. CIVIL
13 de septiembre de 2015
1. Hallar el dominio de la funci´on dada por:
f(t) =
(
et
+ 1
√
[|t|] − t
,
1 − t2
sgn(5 − [|t|])
, ln (10 − |t|)
)
2. Determinar el rango de la funci´on dada por:
f(t) =
(
2at
1 + t2
, a
1 − t2
1 + t2
)
; a es constante
3. Sean las funciones
f(t) =
(
t + 1
t + 2
; 3 − 2t, t
)
; t ∈ [0, 6] y g(t) =
(
t,
√
t,
1
t
)
; t ∈ ⟨0, +∞⟩
ϕ(t) =
√
t2 − 4t + 8; t ∈ [0, 2⟩
Hallar ∥f × g∥ y f ◦ ϕ y sus respectivos dominios.
4. Demostrar que:
l´ım
t→1
(
1
√
t + 1
,
3
√
t, 1 − t − t2
)
=
(
1
2
, 1, −1
)
5. Calcular
a) l´ım
t→−1
(
t5
+ 1
t7 + 1
,
tan(πt)
t + 1
)
b) l´ım
t→0
(
1
t
ln
(√
1 + t
1 − t
,
)
,
t2
3
√
1 + t3 −
√
1 + t2
,
t − arctan(t)
t3
)
6. An´alizar la continuidad de la funci´on en el punto t0 = 2
f(t) =
(
t − 2
|t − 2|(t − 1)
,
1
ln(t2 − [|t|])
)
.
7. Un reflector se halla sujeto a un radio de una rueda de radio a siendo b la distancia del reflector al centro de la
rueda. Determinar la trayectoria seguida por el reflector cuando la rueda gira a lo largo de una recta horizontal.
Obs´ervese que para a = b la curva es la CICLOIDE. Si a > b la curva descrita se llama TROCOIDE. Si a < b
la curva se llama CICLOIDE PROLATA. Dibujar dicha curva diferentes valores de a y b.
8. Sea la curva C dada por:
C :
{
x2
+ y2
+ z2
= 1
x + y + z = 0
Determine la ecuaci´on de la recta tangente, normal y binormal en el punto A
(
1√
14
, 2√
14
, −3√
14
)
.
9. Hallar el plano normal, osculador y rectificante de la curva dada por:
C :
{
x2
+ y2
+ z2
= 6
x + z = 1
√ .
10. Encontrar la longitud de arco de la curva α(t) =
(√
2t,
√
2t, 1 − t2
)
desde (0, 0, 1) hasta (
√
2,
√
2, 0).
1

2. 11. Sea la curva dada por
C :
{
z = 4 − y2
z = x2
+ 3y2
Hallar el radio de curvatura en el punto
(√
2,
√
2
2 , 7
2
)
.
12. Hallar el centro de curvatura y el plano osculador de la curva C : ⃗α(t) ∈ R3
, t ∈ R, ⃗α(0) = (0, 0, 1), ⃗α′
(0) =
(0, 0, 2), ⃗T′
(1) = 2
9 (2, 1, −2), ⃗T′
es paralelo
(
−t, t2
2 − 1, t
)
y ⃗α′′
(t) = 2t⃗T(t) + 2 ⃗N(t)
13. Sea la curva dada por C : 4x2
+ 9y2
= 36. En que punto el radio de curvatura es m´ınimo.
14. Muestre que la curva
α(t) =
(
1 + t2
t
, t + 1,
1 − t
t
)
es plana.
15. Sea la curva parametrizada f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) ; t > 0
∥f′
(t)∥ =
1
t + 1
, B′
(t) =
1
(t + 1)2
(
−1, −1,
1 − t
√
2t
)
y τ(t) > 0
Determinar τ(t)
16. Sea la curva dada por la intersecci´on en el primer octante
C :
{
z =
√
2 −
√
x2 + y2
x2
+ (y − 1)2
= 1
Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto de intersecci´on de la curva C con el plano y = 1 y que contiene
a los vectores T y B en dicho punto.
17. Determinar la curvatura y torsi´on de una curva que se encuentra en el plano P : z = 6 y equidista de las rectas
L1 : p = (0, 0, 8) + t(1, 2, 0)/t ∈ R y L2 : p = (0, 0, 0) + r(1−, 2, 0)/r ∈ R.
18. Sea f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)) ; t ∈ ⟨a, b⟩. Demostrar
κ(t) =
√
∥f′(t)∥
2
∥f′′(t)∥
2
− [f′(t) · f′′(t)]
2
∥f′(t)∥
3
19. Una particula parte de (2, 0) en el instante t = 1 y se mueve sobre la curva de ecuaci´on
x2
+ y2
−
√
x2 + y2 − x = 0,
en sentido antihorario y volviendo a su posici´on inicial. Si su rapidez es constante e igual a 4, definir la funci´on
vectorial que describa dicho movimiento.
20. Encontrar las componentes tangencial y normal de la aceleraci´on en el instante t = 2 para el movimiento de una
particula descrito por
f(t) =
(
ln(t2
+ 1), 2 arctan(t), 2
√
t2 + 1
)
2