Este documento presenta ejercicios sobre álgebra lineal que involucran cambio de bases, transformaciones lineales, matrices asociadas a transformaciones lineales, y propiedades de núcleos e imágenes. Los ejercicios piden hallar matrices de cambio de base, determinar si aplicaciones son transformaciones lineales, definir transformaciones lineales con ciertas propiedades, calcular núcleos e imágenes, y más.

1. Pr´actica 2. ´Algebra Lineal, 2013.
Cambio de Base. Transformaciones Lineales. Matrices asociadas a
una transformaci´on lineal.
2do a˜no: Lic. en Matem´atica y Profesorado.
1. (a) Sean B1 = {(1, 0), (1, 1)} y B2 = {(0, 1), (−1, −1)} bases de IR2.
i. Hallar la matriz de cambio de base MB1,B2 de B1 en B2.
ii. Hallar la matriz cambio de base MB2,B1 de B2 en B1.
iii. Comprobar que MB2,B1 = M−1
B1,B2
.
iv. Verificar que MB1,B2 [(1, 2)]B1 = [(1, 2)]B2 .
(b) Sean B1 la base can´onica de IR3 y B2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}.
i. Hallar MB1,B2 la matriz de cambio de base de B1 en B2.
ii. Hallar la matriz cambio de base MB2,B1 de B2 en B1.
iii. Comprobar que MB2,B1 = M−1
B1,B2
.
iv. Verificar que MB1,B2 [(1, 2, 0)]B1 = [(1, 2, 0)]B2 .
(c) Sean B1 = {1, x, x2, x3} y B2 = {x − 1, x(x − 1), x2(x − 1), x3} bases del IR espacio
vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3.
i. Hallar MB1,B2 la matriz de cambio de base de B1 en B2.
ii. Hallar la matriz cambio de base MB2,B1 de B2 en B1.
iii. Comprobar que MB2,B1 = M−1
B1,B2
.
iv. Verificar que MB1,B2 [1 + x + x2]B1 = [1 + x + x2]B2 .
2. Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales:
(a) L : IR3 → IR3 definida por L(x, y, z) = (x − y, x2, 2z).
(b) L : IR3×1 → IR3×1 definida por L


x
y
z

 =


2x − 3y
3y − 2z
2z


(c) T : IR2×2 → IR2×2 definida por T
x y
z w
=
x + y −y
z + w −w
(d) f : C → C definida por f(z) = z (considerando a C como IR-espacio vectorial y como
C-espacio vectorial).
(e) f : IR[x] → IR3, f(p) = (p(0), p (0), p (0)).
(f) tr : Kn×n → K, definida tr(A) = n
i=1 aii.(Esta aplicaci´on es conocida con el nombre
de traza).
(g) Sea B ∈ Kn×n fija, con B = 0. f : Kn×n → Kn×n definida por:
i. f(A) = BA.
ii. f(A) = BA − AB.
iii. f(A) = A + B.
(h) T : Z2xZ2 → Z2xZ2 la aplicaci´on entre Z2-espacios vectoriales dada por T(a, b) =
(a, b) (0, 1) donde el producto est´a definido por
(a, b) (c, d) = (ac + bd, ad + bc + bd).
1

2. (i) I : C([0, 1]) → C([0, 1]), dada por (I(f))(x) =
x
0 f(t)dt.
3. (a) Probar que existe una ´unica transformaci´on lineal f : IR2 → IR2 tal que f(1, 1) = (−5, 3)
y f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f, determinar f(5, 3) y f(−1, 2).
(b) ¿Existir´a una transformaci´on lineal f : IR2 → IR2 tal que f(1, 1) = (2, 6); f(−1, 1) =
(2, 1) y f(2, 7) = (5, 3)?
4. En cada uno de los siguientes casos definir una transformaci´on lineal f : IR3 → IR3 que
verifique lo pedido.
(a) (1, 1, 0) ∈ Nu(f) y dim(Im(f)) = 1.
(b) Nu(f) ∩ Im(f) = {(1, 1, 2)}.
(c) Nu(f) ⊆ Im(f).
(d) f = 0 y f ◦ f = 0.
(e) f = Id y f ◦ f = Id.
(f) Nu(f) = (0, 0, 0), Im(f) = (0, 0, 0) y Nu(f) ∩ Im(f) = {(0, 0, 0)}.
5. Sea T : IR3 → IR4 definida por T(x, y, z) = (x − z, z, 0, x + y + z).
(a) Hallar h : IR4 → IR4 tal que Nu(h) = Im(T).
(b) Hallar h ◦ T.
(c) Hallar las dimensiones del n´ucleo y la imagen de T.
6. Calcular el n´ucleo y la imagen de algunas de las tranformaciones lineales del ejercicio 2.
Decidir, en cada caso, si T es suryectiva, inyectiva o biyectiva. En el caso que sea biyectiva,
calcular T−1.
7. Sean V un K-espacio vectorial y T : V → V una transformaci´on lineal. Probar que son
equivalentes
(a) Im(T) ∩ Nu(T) = {0}.
(b) T(T(x)) = 0 ⇒ T(x) = 0.
8. Sean V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita y T : V → V una transformaci´on lineal
tal que Im(T2) = Im(T). Probar que Im(T) ∩ Nu(T) = {0}.
9. (a) Sea T la transformaci´on lineal de V en V , siendo V un espacio de dimensi´on finita y
donde se usa la misma base ordenada para V como dominio y codominio de T. Encontrar
la representaci´on matricial de T en cada uno de los siguientes casos:
i. T(v) = v siendo V = IR2.
ii. T(p) = p siendo V = IR2[x].
(b) Sean V = IR2[x], W = IR1[x]. Se define F(p) = (p−p(0))/x. Sea B = {1+x, x+x2, x2+1}
base de V y C = {1 + x, 1 − x} base de W. Encontrar la representaci´on matricial de F
en las bases dadas.
(c) Sea M =
1 2
3 4
y T la tranformaci´on lineal T : IR2×2 → IR2×2 definida por T(A) =
MA. Hallar la representaci´on de T en la base can´onica de IR2×2.
2

3. (d) Sea A =
2 5 −3
1 −4 7
, L(v) = Av. Encontrar la representaci´on matricial de L rela-
tiva a las bases de IR3 y IR2 dadas por B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, C = {(1, 3), (2, 5)}
respectivamente.
10. Sean T(a, b) = (4a − b, b + 2a), B = {(1, 0), (0, 1)} y C = {(1, 3), (2, 5)}.
(a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio de base de C a B, comprobar
que una es la inversa de la otra.
(b) Hallar la matriz que representa T en la base B y la matriz que representa T en la base
C. Compruebe el teorema de cambio de base.
11. Sea T : C2 → C2 la transformaci´on lineal definida por T(x, y) = (y, 0), B la base usual de C2
como C-espacio vectorial y B = {(1, i), (−i, 2)}.
(a) Hallar la matriz de T respecto de las bases B, B .
(b) Hallar la matriz de T respecto de las bases B , B.
(c) Hallar la matriz de T en la base B .
(d) Hallar la matriz de T respecto de la base {(−i, 2), (1, i)}.
(e) Calcular el determinante de la matriz hallada en a).
(f) ¿Puede decir cu´anto vale el determinante de las matrices del inciso b) al d) sin hacer las
cuentas? Si no puede, calcule y concluya. Justifique su conclusi´on.
12. Sea V un K-espacio vectorial, B = {b1, ..., bn} una base ordenada de V y T : V → V una
transformaci´on lineal.
(a) ¿Cu´al es la matriz de T en la base B si T(bj) = bj+1 para j = 1, ..., n − 1; y T(bn) = 0?
(b) Demostrar que Tn = 0 y Tn−1 = 0.
(c) Sea f cualquier operador lineal sobre V tal que fn = 0 y fn−1 = 0. Demostrar que
existe una base ordenada B1 de V tal que la matriz [f]B1 coincide con la matriz hallada
en (a).
(d) Demostrar que si M y N son matrices de Kn×n tales que Mn = Nn = 0, con Mn−1 = 0
y Nn−1 = 0, entonces son semejantes.
13. Sea V un K-espacio vectorial. T : V → V transformaci´on lineal se dice que es idempotente o
un proyector, si T2 = T. Mostrar que si T es idempotente, entonces T |Im(T)= 1Im(T) (y se
dice que T proyecta V sobre T(V )).
14. Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto finito de V ; supongamos que S = {x1, . . . , xn};
(a) Probar que la aplicaci´on FS : Kn → V , definida por FS(k1, . . . , kn) = k1x1 + . . . + knxn
es una transformaci´on lineal.
(b) Verificar que FS es inyectiva ⇐⇒ S es linealmente independiente.
(c) Verificar que FS es suryectiva ⇐⇒ S genera a V.
(d) Si S es una base de V ¿qu´e puede decir sobre FS?. En este caso probar que:
i. {w1, ..., ws} es linealmente independiente en V si y s´olo si {F−1
S (w1), ..., F−1
S (ws)}
es linealmente independiente en Kn.
ii. {w1, ..., wr} es un sistema de generadores de V si y s´olo si {F−1
S (w1), ..., F−1
S (ws)}
es un sistema de generadores de Kn.
3

4. Observar que si S es base de V , teniendo en cuenta que la aplicaci´on F−1
S es tomar
coordenadas en la base S, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en el
siguiente sentido, por ejemplo, para decidir si {x2 − x + 1, x2 − 3x + 5, 2x2 + 2x − 3} es
una base de IR2[x], bastar´a ver si {(1, −1, 1), (1, −3, 5), (2, 2, −3)} es una base de IR3.
15. Sean B = {v1, v2, v3} una base de IR3 y B0 = {w1, w2, w3, w4} una base de IR4. Sea f : IR3 →
IR4 la transformaci´on lineal tal que
[f]BB0 =




1 −2 1
−1 1 −1
2 1 4
3 −2 5




(a) Hallar f(3v1 + 2v2 − v3). ¿Cu´ales son sus coordenadas en la base B0?
(b) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f).
(c) Describir el conjunto f−1(w1 − 3w3 − w4).
16. Sea A es la matriz de f en la base B. Sin hallar f determinar la dimensi´on de la imagen para
cada uno de los siguientes casos y hallar una base para el n´ucleo:
(a)
A =


0 0 0
0 1 0
0 0 0


(b)
A =


1 0 0
0 1 0
0 0 0


(c)
A =


1 0 2
0 0 3
0 0 4


17. En cada uno de los siguientes casos, hallar una matriz A ∈ IR3×3 que verifique:
(a) A = I y A3 = I.
(b) A = 0, A = I y A2 = A.
18. Sea f : IR3 → IR3 definida por f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, 2x1 − 3x2 + 2x3, −x1 − x2 + x3).
(a) Determinar bases B y B0 de IR3 tales que
[f]BB0 =


1 0 0
0 1 0
0 0 0


(b) Si A es la matriz de f en la base can´onica, encontrar matrices inversibles C y D tales
que
C.A.D =


1 0 0
0 1 0
0 0 0


4