Polinomios

1. "POLINOMIOS"
CURSO: MATEMATICA BASICA I
PROFESOR: GUARDIA CAYO, ANDRES
ALUMNOS:
TORIBIO BORJA, KEVIN ARTHUR
YAULILAHUA CHOQUE, YOHONY JAVIER
TORRES GALLO, NORMA DANIELLE
SEMESTRE: II
Ciudad Universitaria, Diciembre del 2014
1

2. Dedicatoria
Esta investigacion la dedico a mis familiares que siempre me estuvieron
guiando por el camino del conocimiento, a mis compa~neros que juntos pudimos
realizar este trabajo y a Dios por la oportunidad dada.
2

3. Lo peor es educar por metodos basados en el temor, la fuerza, la autoridad,
porque se destruye la sinceridad y la con

4. anza, y solo se consigue una falsa
sumision.
Albert Einstein
3

5. POLINOMIOS
DEFINICIONES Y NOTACIONES
De

6. nicion
Polinomio formal del anillo A es toda funcion P : N0 ! A que veri

7. ca P(n) = 0
salvo para un numero

8. nito de elementos de N0
El dominio de la funcion es N0 = 0; 1; 2; : : : y la imagen de todo i 2 N0 se escri-
be P(i) = ai. La de

9. nicion dada caracteriza a todo polinomio formal como una
sucesion de elementos de A cuyos terminos son nulos a partir de cierto ndice.
Es usual identi

10. car a un polinomio formal en terminos del conjunto ordenado
de las imagenes, lo que conduce a la siguiente notacion
P = (a0; a1; : : : an; 0; 0; : : :) (1)
El hecho de que P(n) = an sea distinto de cero no signi

11. ca que deba ser P(i) =
ai distinto de cero para i n.
En particular, la funcion nula, de

12. nida por P(i) = 0 cualquiera que sea i 2 N0
se llama polinomio nulo, y lo indicaremos as:
0 = (0; 0; : : :) (2)
Un polinomio un una variable compleja z, es una funcion de la forma:
P(z) = a0Zn + a1Zn1 + :::::::::: + an1Z + an (3)
Donde los numeros ai 2 C(i = 0; 1; 2; ::::::::::; n 1) sus coe

13. cientes; a0 es el
coe

14. ciente principal, an es el coe

15. ciente

16. nal o termino constante, n = gr(P)
es el grado del polinomio siempre que a06= 0.
Observaciones:
1. Si n = 1, gr(P) = 1 ! P(z) = a0Z + a1, P es polinomio lineal.
2. Si n = 2, gr(P) = 2 ! P(z) = a0Z2+a1Z+a2, P es polinomio cuadratico.
3. Si n = 0 y a06= 0 ! gr(P) = 0; P es polinomio constante.
4. Si n = 0 y a0 = 0; el grado de P (polinomio nulo) se de

17. ne convencional-
mente como 1, esto es, gr(P) = 1.
4

18. 5. Si z = x + i(0) ! P(Z) es un polinomio de variable real, esto es:
P(z) = P(x) = a0xn + a1xn1 + :::::::::: + an1x + an
donde los coe

19. cientes a1 2 K (K denota a los conjuntos Z; Q; I;R; o C).
6. Los polinomios con coe

20. ciente principal 1 se llaman polinomios monicos.
7. Al conjunto de todos los polinomios en x, con coe

21. cientes K, se denota por:
K(x) = fP(x)jP(x) = a0xn + a1xn1 + :::::::::: + an1x + an, n 0,
ai 2 Kg
GRADO DE UN POLINOMIO NO NULO
De

22. nicion
Grado de un polinomio no nulo es el mayor entero n que satisface P(0)6= 0.
El grado de todo polinomio no nulo se identi

23. ca con el ndice del ultimo termino
distinto de cero de la sucesion que lo de

24. ne. Convenimos, ademas, que el poli-
nomio nulo carece de grado. Algunos autores le atribuyen grado 1. En otros
casos se le asigna grado in

25. nito.
Anillo de polinomios formales del anillo A
Sea P el conjunto de todos los polinomios formales del anillo A. Es decir
P = P=P : N0 ! A (4)
En P de

26. nimos la adicion y multiplicacion mediante
1.
P + Q : N0 ! A es tal que
(P + Q)(n) = P(n) + Q(n)
(5)
2.
P Q : Nc ! A es tal que
(P Q)(n) =
Xn
i=0
P(i)Q(n i)
(6)
ANILLO DE POLINOMIOS DE UN CUERPO
Como todo cuerpo K es un dominio de integridad, el anillo de polinomios de K,
que denotamos con K[X]. es un dominio de integridad, pero no es un cuerpo. En
efecto, no todo polinomio no nulo admite inverso multiplicativo. Demostramos
a continuacion que unicamente los polinomios de grado cero son inversibles.
Teorema. Un polinomio de K[X] admite inverso multiplicativo si y solo si es de
5

27. grado cero.
Demostracion
Sea P 2 K[X] un polinomio con inverso multiplicativo. Entonces, existe Q 2
K[X] tal que
PQ = QP = 1 (7)
Por ser K[X] un dominio de integridad, se tiene
gP + gQ = gi = 0 (8)
Y como los grados son enteros no negativos, resulta
gP = gQ = 0 (9)
Recprocamente, si gP = 0 entonces P = a06= 0.
Y, como a0 es un elemento no nulo de K, admite inverso multiplicativo Es decir,
existe
P1 = a1
0 (10)
IGUALDAD DE POLINOMIOS
Dos polinomios P1 y P2 son iguales si, y solo si, son del mismo grado y ca-
da coe

28. ciente de P1 es el mismo numero que el correspondiente coe

29. ciente de
P2. Entonces se escribe:
P1 = P2 (11)
Esto es, si:
P1(x) = a0xn + a1xn1 + :::::::::: + an1x + an (12)
y
6

30. P2(x) = b0xm + b1xm1 + :::::::::: + bm1x + bm (13)
Entonces:
P1(x) = P2(x) $ m = n ^ (ai = bi; 8i 2 N)
(14)
SUMA Y MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
En el conjunto K(x) se de

31. nen las operaciones de suma (+) y otro de pro-
ducto (x) de la siguiente manera:
1. SUMA: Dados P y Q tales que:
P(x) = a0xn + a1xn1 + :::::::::: + an1x + an
Q(x) = b0xn + b1xn1 + :::::::::: + bn1x + bn
(15)
Entonces:
P(x) + Q(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn1 + :::::::::: + (an1 + bn1)x + an + bn
(16)
Se suma los terminos correspondientes. Aquellos terminos en los que el
polinomio, permanecen sin cambiol en P + Q.
EJEMPLO 1. Hallar la suma de:
P(x) = 2x4 + 3x3 5x + 2 y Q(x) = 3x5 2x4 + x2 + 1
Solucion. Un polinomio esta completo si en su desarrollo existen todos
los terminos que siguen al termino principal. Como vemos, tanto P y Q
son polinomios incompletos, a P le faltan los terminos en x5 y x2, y a Q
los terminos en x3 y x. Estos terminos que faltan pueden escribirse con
coe

32. cientes nulos, esto es:
P(x) = 0x5 + 2x4 + 3x3 + 0x2 5x + 2
Q(x) = 3x5 2x4 + 0x3 + x2 + 0x + 1
(17)
7

33. de modo que:
P(x) + Q(x) = (0 + 3)x5 + (2 2)x4 + (3 + 0)x3 + (0 + 1)x2 + (5 + 0)x + (2 + 1)
= 3x5 + 3x3 + x2 5x + 3
(18)
2. PRODUCTO: Si,
P(x) = a0xn + a1xn1 + :::::::::: + an
Q(x) = b0xm + b1xm1 + :::::::::: + bm
(19)
Entonces, el producto P(x) Q(x), es el polinomio de

34. nido por:
P(x) Q(x) = c0xk + c1xk1 + :::::::::: + ck (20)
Siendo:
k = m + n y ci = aib0 + ai1b1 + :::::::::: + a0bi , con i = 0; 1; 2; :::::; k
(21)
EJEMPLO 2. Hallar el producto de: P(x) = 2x3 + 3x2 + 1 y Q(x) =
x2 + 2x 3
Solucion.
Sean
P(x) = a0x3 + a1x2 + a3 y Q(x) = b0x2 + b1x b2: (22)
Vemos que
gr(P) = 3 y gr(Q) = 2 ! gr(P Q) = 3 + 2 = 5 (23)
Ademas:
8

35. a0 = 2, a1 = 3, a2 = 0, a3 = 1, a4 = a5 = 0; b0 = 1, b1 = 2, b2 = 3, b3 = b4 = 0
(24)
Luego, para
P(x) Q(x) = c0xk + c1xk1 + c2xk2 + ::::::: + ck se tiene: (25)
ci = aib0 + ai1b1 + ai2b2 + ::::: + a0bi; i = 0; 1; 2; 3; 4; 5
!c0 = a0b0 = (2)(1) = 2
c1 = a1b0 + a0b1 = (3)(1) + (2)(2) = 1
c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2 = (0)(1) + (3)(2) + (2)(3) = 12
c3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3 = (1)(1) + (0)(2) + (3)(3) + (2)(0) = 10
c4 = a4b0 + a3b1 + a2b2 + a1b3 + a0b4 = (0)(1) + (1)(2) + (0)(3) + (3)(0)
+ (2)(0) = 2
c5 = a5b0 + a4b1 + a3b2 + a2b3 + a1b4 + a0b5 = (0)(1) + (0)(2) + (1)(3)
+ (0)(0) + (3)(0) + (2)(0) = 3
) P(x) Q(x) = 2x5 + x4 12x3 + 10x2 + 2x 3
(26)
La multiplicacion de polinomios se puede hacer mas rapidamente usando
el metodo de coe

36. cientes separados, como se muestra en seguida, donde
se puede notar la similitud con el procedimiento para multiplicar enteros.
9

37. FACTORIZACION EN K[X]
1. Maximo Comun Divisor
Sean A y B dos polinomios no simultaneamente nulos del dominio de inte-
gridad principal K[X].
De

38. nicion
El polinomio D es un maximo comun divisor de A y B si y solo si es divisor de
ambos y, ademas, multiplo de todo divisor comun.
D es un m:c:d: de A y B , DjA ^ DjB _ D0jA ^ D0jB ) D0jD
Teorema 1. Todo maximo comun divisor de dos polinomios A y B es una com-binaci
on lineal de los mismos con coe

39. cientes en K[X].
Demostracion
Sea I el ideal de K[X] generado por los polinomios A y B. Es decir
I = fPA + QB=P 2 K[X] AQ 2 K[X]g (27)
Como todo ideal de K[X] es principal, I esta generado por un polinomio D de
grado mnimo, es decir, existen S y T en K [X] tales que
D = SA + TB
A = I:A + 0:b ^ B = 0:A + 1:B ) A 2 1 ^ B 2 l
(28)
O sea. A y B son multiplos de D, o lo que es lo mismo, D es un divisor comun
de A y B.
Sea ahora
D0jA ^ D0jB ) A = MD0 ^ B = ND0 (29)
Sustituyendo
D = SMD0 + TND0 = (SM + TN)D0 (30)
Luego
D0jD (31)
10

40. En consecuencia, D = SA + TB es un maximo comun divisor de A y B.
Propiedad. Si D y D0 son maximos comunes divisores de A y B, entonces
existe
a 2 K talque D = aD0 (32)
Demostracion Por ser D0 un m:c:d: de A y B, se veri

41. ca
D0jA ^ D0jB (33)
Y como D tambien lo es, se tiene
D0jD (34)
Por de

42. nicion de divisor existe R en K[X] tal que
D = D0R (35)
Por grado del producto
gD = gD0 + gR (36)
Y como los grados son enteros no negativos, resulta
gO gD0 (37)
Analogamente
gD0 gD (38)
Por la antisimetra de la relacion de mayor o igual, es
gD = gD0 (39)
11

43. O sea, gR = 0. Esto no se permite identi

44. car al polinomio R de grado 0 con
una constante no nula a de K. Luego
D = aD0 (40)
Siendo todos los m:c:d: de A y B del mismo grado,convenimos en llamar ma-
ximo comun divisor de A y B al unico m:c:d: monico y escribiremos m:c:d:(A;B).
Ejemplo
Determinamos el m:c:d: de A y B en los siguientes casos
A = 3X3 B = 4X2 en Z5[X]
Resulta m:c:d:(AyB) = X2 (41)
A = 2X2 + 2X B =
p
3 x
p
3 en R[X]
Se tiene m:c:d:(AyB) = X 1
(42)
2.Determinacion del m.c.d. por divisiones sucesivas
La propiedad demostrada es valida en K[X] y nos permite a

45. rmar que el m:c:d:
de los polinomios A y B es igual al m:c:d: entre B y el resto de la division de A
por B, siendo B6= 0.
Forma analoga:
En consecuencia
m:c:d:(A;B) = m:c:d:(B;R1) = m:c:d:(R1;R2) = : : : = m:c:d:(Rn1;Rn
= m:c:d:(Rn;0) = Rn
(43)
12

46. siendo Rn el ultimo resto no nulo de las divisiones sucesivas.
Ejemplo
Determinar el m:c:d: de A = X5 + X3 2X2 + X 1 y B = X4 2X + 1
por divisiones sucesivas.
Resulta m:c:d:(A;B) = X 1
3.Polinomios coprimos Sean A y B dos polinomios no simultaneamente nulos
de K[X].
De

47. nicion:
Los polinomios A y B de K[X] son coprimos si y solo si todo divisor comun de
A y B es inversible. Equivalentemente, podemos decir que A y B son coprimos
si y solo si todo m:c:d: de A y B es de grado cero. Como el polinomio monico
de grado cero es 1, se tiene A y B coprimos m:c:d:(AyB) = 1. En consecuencia,
de acuerdo con el teorema 1, resulta
A y B coprimos ) 9 S y T en K[X], SA + TB = 1.
Ejemplo
En R[X] se consideran los
13

48. A = X3 X2 y B = X 1 (44)
Por el algoritmo de ia division existen
Q = X2 + 2X + 2 y R = 2 (45)
tales que
X3 + X = (X2 + 2X + 2)(X 1) + 2 (46)
Entonces
(X3 + X) (X2 + 2X + 2)(X 1) = 2 (47)
O sea
1
2
(X3 + X) + (
1
2
X2 X l)(X 1) = 1 (48)
Es decir, hemos expresado al polinomio 1 como combinacion lineal de A y B
con coe

49. ciente S =
1
2
y T =
1
2
X2 X 1 de lo que se deduce que A y B son
coprimos.
4.Polinomio primo o irreducible
Sabemos que los unicos polinomios inversibles de K[X] son las constantes no
nulas de K. Dado A = X + 1 , ocurre que las unicas descomposiciones de A
en el producto de dos polinomios P y Q son tales que P es inversible o Q es
inversible Es decir, no es posible descomponer a A en el producto de dos polino-
mios de grados positivos. Se dice entonces que A es primo o irreducible en R[X].
De

50. nicion:
El polinomio no inversible A e K[X] es primo o irreducible si y solo si toda
descomposicion A = PQ es tal que alguno de los factores es inversible. O bien
A es irreducible si y solo si no existen P y Q tales que
A = PQcongP 0AgQ 0 (49)
14

51. EJEMPLO.
1. Todos los polinomios de grado 1 son irreducibles en K[X] , pues ningun
polinomio del tipo A = a1X + a0 con a16= 0 puede descomponerse en el
producto de dos polinomios de grado mayor que cero.
2. No todo polinomio de grado 2 es irreducible en R[X]. En efecto. A =
aX2 + bX + c con b2 4ac 0 es irreducible, pero si b2 4ac 0, en-
tonces A es reducble, es decir, puede expresarse come el producto de dos
polinomios reales de grado 1.
Propiedades
En el dominio principal K [X] se veri

52. can las siguientes proposiciones
1. Si un polinomio primo es divisor de un producto, entonces es divisor de
alguno de los factores.
P es primo ^ PjAB ) PjA _ PjB (50)
2. Si un polinomio es divisor de un producto y es coprimo con uno de los
factores, entonces es divisor del otro.
PjAB ^ m:c:d:(P;A) = 1 ) PjB (51)
6.Teorema fundamental de la descomposicion factorial
Todo polinomio no nulo en K[X] puede expresarse como el producto de una
constante por polinomios monicos irreducibles. Tal descomposicion es unica,
excepto el orden de los factores.
Demostracion
Distinguimos dos casos:
1) Si A es una constante no nula o un polinomio irreducible en K[X] , el teorema
se cumple obviamente, pues
A = a = a;1 (52)
O bien
A =
Xn
i=0
aiXi = an
Xn
i=0
ai
an
Xi (53)
15

53. 2) Sea A de grado m, reducible en K[X]. Entonces existen en K[X] dos polinomios
P1 y P2 de grados positivos, tales que
A = P1P2 (54)
Supongamos que la descomposicion es valida para todo k m, es decir
P1 = a1
Yt
i=1
P0 1i mboxy P2 = a2
Yu
j=1
P0 2j (55)
donde a1 y a2; son constantes y los polinomios P0 1i y P0 2j son monicos irreducibles.
Multiplicando las dos ultimas relaciones se tiene
P1P2 = (a1a2)
Yt
i=1
P0 1i
!0
@
Yu
j=1
P0 2j
1
A (56)
Teniendo en cuenta (1) resulta
A = a
Yr
h=1
P00
h (57)
siendo a una constante h = t+u y los Ph polinomios monicos irreducibles. 0 sea,
la descomposicion es valida para m, y en consecuencia lo es para todo n 2 N,
de acuerdo con el segundo principio de induccion completa.
Para probar la unicidad de la descomposicion factorial, suponemos que A admite
dos descomposiciones
A = aP1P2 : : : Pr y A = bQ1Q2 : : :Qs (58)
Como a y b son el coe

54. ciente principal de A, se tiene a = b. Entonces
P1P2 : : : Pr = Q1Q2 : : :Qs (59)
Ahora bien
P1jA y P1 primo ) P1jQi para algun i: (60)
16

55. Entonces, Qi = RP1, pero como Qi es irreducible debe ser R una constante,
y ademas igual a 1, ya que ambos son polinomios monicos. En consecuencia,
P1 = Qi. Luego de dividir por esta igualdad resulta
P2P3 : : : Pr =
Y
j=i
Qj (61)
Reiterando el proceso, de acuerdo con el segundo principio de induccion com-
pleta, los Ph son iguales dos a dos a los Qj y la descomposicion es unica.
Ejemplo
Descomposicion factorial de los siguientes polinomios en R[X] y en C[X].
i) P = X6 X5 + X4 X3 = X3(X3 X2 + X 1) =
= X3[X2(X 1) + (X 1)] = X3(X2 + 1)(X 1)
Esta es ia descomposicion de P en cinco factores monicos irreducibles en
R[X].El exponente 3 del factor irreducible X es el mayor enrero que satisface
X3jP. Ademas X2 + 1 es irreducible en R[X] , pues b2 4ac = 0 4 0
En cambio, en C[X] la descomposicion factorial es
P = X3(X + i)(X i)(X 1) (62)
ii ) Q = X4 + X2 + 1 = X4 + 2X2 + 1 X2 = (X2 + 1)2 X2 =
= (X2 + X + 1)(X2 X + 1)
que son irreducibles en R[X], pero no en C[X] , pues
X2 + X + 1 = X2 + X +
1
4
+
3
4
=
=
X +
1
2
2
p
3
2
!2
i
=
X +
1
2
+ i
p
3
2
!
X +
1
2
i
p
3
2
!
Analogamente
X2 X + 1 =
X
1
2
+ i
p
3
2
!
X
1
2
i
p
3
2
!
(63)
ALGORITMO DE LA DIVISION
En general, si p y d son enteros no negativos, entonces el algoritmo de la division
nos permite escribir:
p = q d + r, donde q; r 2 Z+yr d (64)
17

56. un resultado similar se tiene para polinomios. Supongamos los polinomios P(x) =
2x4 5x2 + x + 12, D(x) = x2 3x + 2 y efectuamos la division de P(x) entre
D(x), recordando que debemos disponer cada polinomio en potencias decrecien-
tes de x que faltaran en P(x).
En resumen: 1) Obtener el primer termino del cociente (2x2) dividiendo el
termino inicial del dividendo P(x) entre el termino inicial del divisor D(x).
2) Multiplicar el divisor D(x) por este termino del cociente (2x2) y restar el
prodducto del dividento P(x).
3) Usar el residuo de esta resta, junto con los terminos no utilizados del di-
videndo, como nuevo dividendo (6x3 9x2 + x) y seguir los pasos (1) a (3)
respectivamente, obteniendo cada vez un nuevo termino del cociente.
4) Cuando el residuo tenga grado menor que el del divisor (o que sea cero), el
proceso ha terminado.
En este ejemplo, el cociente es Q(x) = 2x2+6x+9 y el residuo es R(x) = 16x6,
de modo que podemos indicar el resultado escribiendo:
2x4 5x2 + x + 12 = (x2 3x + 2)(2x2 + 6x + 9) + 16x 6 (65)
o sea:
P(x) = D(x) x Q(x) + R(x) (66)
Este ejemplo ilustra el siguiente teorema conocido como algoritmo de la divi-
sion. teorema: Dados un polinomio P(x) de grado n 1 y un polinomio D(x)
de grado m, con 1 m n; entonces existen polinomios unicos Q(x) y R(x),
que tienen la propiedad de que:
P(x) = D(x) x Q(x) + R(x)
en donde: gr[R(x)] gr[D(x)] Nota. Si al dividir P(x) entre D(x) se
obtiene R(x) = 0, es decir, si P(x) = D(x) x Q(x), se dice que D(x) divide o
es divisor o factor de P(x). En cuyo caso se escribe: D(x)jP(x)
EJEMPLO 3. Bajo que condicion el polinomio x2 + px + q es divisible por
18

57. un polinomio de la forma x2 + mx + 1?
Solucion. Sean P(x) = x4 + px2 + q y D(x) = x2 + mx + 1.
Dado que P es divisible por D, el resto de la division debe ser cero y, por
el Teorema 1: P(x) = D(x) x Q(x)
Como gr[R(x)] = gr[D(x)] + gr[Q(x)] ! 4 = 2 + gr[Q(x)] ! gr[Q(x)] = 2
Luego, si: Q(x) = ax2 + bx + c ! x4 + px2 + q = (x2 + mx + 1)(ax2 + bx + c)
de donde: x4 + px2 + q = ax4 + (am + b)x3 + (a + bm + c)x2 + (b + mc)x + c
Por igualdad de polinomios:
Coeficientes de x4 : a = 1
Coeficientes de x3 : am + b = 0 ! b = m
Coeficientes de x2 : a + bm + c = p ! 1 m2 + c = p
Coeficientes de x : b + mc = 0 ! m + mc = 0 $ m = 0oc = 1
(67)
Terminos independientes: q = c ! q = 1 $ m = 0oq = 1
Entonces, en (1), existen dos condiciones:
a) Si m = 0 ! 1 + q = p $ q = p 1
b) Si q = 1 ! 1 m2 + 1 = p $ m =
p
2 p
EJEMPLO 4. Calcular la raiz cuadrada del polinomio:
P(x) = 9x4 + 6x3 23x2 3x + 13 (68)
Solucion. Dado que P(x) no es un cuadrado perfecto, la raiz cuadrada que se
busca tendra la forma: A(x) = ax2bx + c y el resto: R(x) = mx + n.
Si consideramos a P(x) como dividendo, el divisor D(x) y el cociente Q(x) seran
iaguales a A(x), entonces por el Teorema 1: P(x) = [A(x)]2 ! 9x4+6x323x2
3x + 13 = (ax2 + bx + c)2 + mx + n de donde: 9x4 + 6x3 23x2 3x + 13 =
a2x4 + 2abx3 + (b2 2ac)x2 + (2bc + m)x + (c2 + m)
Identi

58. cando coe

59. cientes obtenemos: a 3, b = 1, c = 4, m = 5, n = 3
) A(x) = (3x2 + x 4), R(x) = 5x 3
LA DIVISION SINTETICA
Es un procedimiento practico para obtener el cociente y el resto de la division
de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x r), sin necesidad de
19

60. recurrir a la division ordinaria. Supongamos el polinomio dividiendo, de grado
n:
P(x) = a0xn + a1xn1 + :::::::::: + an1x + an (69)
y el binomio divisor, de grado uno: D(x) = x r
Entonces, por el Teorema 1:
P(x) = (x r)Q(x) + R(x) (70)
donde R es un polinomio constante y Q(x) es un polinomio de grado n 1, de
la forma:
P2(x) = b0xn1 + b1xn2 + :::::::::: + bn2x + bn1 (71)
Sustituyendo (18) y (20) en (19) se tiene:
P(x) = a0xn + a1xn1 + :::: + an1x + an = (x r)(b0xn1 + b1xn2 + :::: + bn2x + bn1)
b0xn + (b1 rb0)xn1 + (b2 rb1)xn2 + ::
::: + (bn1 rbn2)x + (R rbn1)
(72)
Por igualdad de polinomios:
a0 = b0 ! b0 = a0
a1 = b1 rb0 ! b1 = a1 rb0
a2 = b2 rb1 ! b2 = a2 rb1
: :
: :
: :
an1 = bn1 rbn2 ! bn1 = an1 rbn2
an = R rbn1 ! R = an rbn1
(73)
Estas relaciones nos permiten expresar los coe

61. cientes sucesivos de Q(x) y R en
terminos de los coe

62. cientes de P(x) y Q(x) previamente determinados.
Los numeros de la primera

63. la son los coe

64. cientes de P(x) dispuestos en
forma decreciente respecto a las potencias de x. Como a0 = b0, esta se baja
a la tercera

65. la, luego, el producto rb0 se escribe como primer elemento de la
segunda

66. la y se obtiene b1 = a1 + rb0. El producto rb1 es el segundo elemento
de la segunda

67. la y b2 es la suma de los elementos que estan encima de el, y asi
sucesivamente.
De la tercera

68. la de esta tabla escribimos el cociente:
Q(x) = b0xn1 + b1xn2 + :::::::::: + bn1 (74)
y el resto:
R = an + rbn1 (75)
20

69. EJEMPLO 1. Obtener el cociente y el resto de la division de:
P(x) = 2x5 14x3 + 8x2 + 7 entre D(x) = x + 3
Solucion. Aqui r = 3, se obtiene haciendo D(x) = 0
Entonces, segun el esquema anteriormente descrito se tiene:
) Q(x) = 2x4 6x3 + 4x2 4x + 12; R = 29
Observaciones:
La division sintetica tambien es aplicable cuando el divisor es un polinomio
de segundo grado factorizable de la forma: (x a)(x b). En efecto, si P(x) es
el polinomio dividendo y x a el binomio divisor, por division sintetica encon-
tramos el cociente Q1(x) y el resto R1, tales que:
P(x) = (x a)Q1(x) + R1 (1)
Tomando Q1 como polinomio dividendo y x b como binomio divisor en-
contramos el cociente Q(x) y el resto R2, tales que:
Q1(x) = (x b)Q(x) + R2 (2)
Sustituyendo (2) en (1) obtenemos:
P(x) = (x a)(x b)Q(x) + R2(x a) + R1 (76)
donde se observa que Q(x) es el cociente y el resto: R = R2(x a) + R1.
EJEMPLO 2. Por division sintetica, hallar el cociente y resto de la division de
P(x) = x4 3x3 + 5x2 + 22x 10 entre x2 + x 2.
Solucion. x2+x2 = (x+2)(x1). Hallemos, sucesivamente Q1(x) y Q(x)
de la division de P(x) entre (x + 2) y (x 1), respectivamente:
21

70. ) Q(x) = x2 4x + 11 y el resto: R = 3(x + 2) + 6 = 3x + 12
La division sintetica es tambien aplicable cuando el divisor es un polinomio
de segundo grado, factorizable o no factorizable, o un polinomio de grado mayor
que 2. Esta division se realiza por el llamado metodo de Horner. Se ilustra con
el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 3. Por division sintetica, hallar el cociente y el resto de la division
de
P(x) = 12x4 13x3 57x2 + 32x + 8 entre D(x) = 4x2 + 5x 6
Solucion. La disposicion de los coe

71. cientes del polinomio dividendo y divisor
es como sigue:
Explicacion. En la primera

72. la, a la derecha de la lnea vertical llena se colo-
can los coe

73. cientes del dividendo P(x). En la columna a la izquierda de la lnea
vertical llena van los coe

74. cientes del divisor D(x), con los signos cambiados,
despues del primero; la segunda

75. la se obtiene multiplicando -5 y 6 por 3 (que
resulta de dividir el primer coe

76. ciente del dividendo entre el primer coe

77. ciente
22

78. del divisor). Luego se suman los terminos de la segunda columna (esto da -28),
el resultado se divide entre el primer coe

79. ciente dell divisor (esto da -7), que es
el segundo coe

80. ciente del cociente. En seguida se obtiene la tercera

81. la multipli-
cando -5 y 6 por -7; la suma de los terminos de la tercera columna(que es -4), se
divide entre el primer coe

82. ciente del divisor(esto da -1), que es el tercer termino
del cociente. La cuarta

83. la se obtiene multiplicando -5 y 6 por -1. Cuando se
ha obtenido el numero de terminos deseados del cociente, el residuo se obtiene
sumando las demas columnas restantes(despues de la lnea vertical punteada).
TEOREMA DEL RESTO
Si un polinomio P(x) se divide entre xr, siendo r una constante arbitraria,
hasta obtener un cociente Q(x) y un residuo R, entonces: P(r) = R.
Demostracion: En efecto, por el algoritmo de la division:
P(x) = (x r)Q(x) + R (77)
como esta igualdad es valida para todo x, en particular para x = r, entonces:
P(r) = (r r)Q(r) + R
= (0)Q(r) + R ! P(r) = R
(78)
EJEMPLO 4. Hallar el resto de la division de:
P(x) = x4 2x3 24x2 + 15x + 50 entre D(x) = x + 4
Solucion. R = P(4)
! R = (4)4 2(4)3 24(4)2 + 15(4) + 50
= 256 + 128 384 60 + 50 = 10
Como se puede observar en este ejemplo, el calculo de R resulta bastante
laborioso. La division sintetica puede usarse ventajosamente para calcular R,
cuando la sustitucion directa de r por x se di

84. culte. En efecto, por la division
sintetica:
determinamos facilmente que: R = 10 y ademas: Q(x) = x3 6x2 + 15
RAICES MULTIPLES
Sea raiz de P 2 K[X]. De

85. nicion:
tiene multiplicidad p 2 N si y solo si P es multiplo de (X )p pero no lo es
23

86. de (X )p+1.
En este caso se dice que es raiz multiple de orden p.
O sea
es raiz multiple de orden p 2 N , (X )pjP ^ (X )p+1jP
La de

87. nicion dada puede traducirse de la siguiente manera
es raiz multiple de orden p 2 N , (X )pQ ^ Q()6= 0
Las raices de multiplicidad 1 se llaman simples.
Por ejemplo, 0 es raiz doble de P = X2; 1 es raiz riple de Q = X(X 1)3 y 0
es raiz simple.
POLINOMIO DERIVADO Y RAICES MULTIPLES
1) De

88. nicion:
La funcion D : K[K] ! K[x]
de

89. nida por
D(P) = D
Xn
i=0
aiXi
=
Xn
i=0
iaiXi1 = P si gP 0
D(P) = 0 si P = 0 _ gP = 0
(79)
recibe el nombre de operador deribado en K , y la imagen por D de todo poli-
nomio se llama polinomio derivado de P.
El operador derivado satisface las reglas usuales de la derivacion.
1. (P + Q)0 = P0 + Q0
2. (aP)0 = aP0
3. (PQ)0 = P0Q + PQ0
4. (P)0 = nPn1p0
Propiedad. 2 K es raz multiple de orden m 1 del polinomio P si y solo si
es raz de P y de P0. I. Sea raz de P con multiplicidad m 1. Entonces,
por de

90. nicion es:
24

91. P (X )mQ ^ Q()6= 0 (80)
Derivando
P0 = m(X a)m1Q + (X )mQ0 (81)
Especializando X por resulta
P0() = 0 ya que m 1 (82)
O sea, es raz de P0.
II. Sea a raz de P y de P0. Hay que probar que es raz de P con multi-
plicidad mayor que 1.
Por hipotesis
P() = 0 ) X jP ) P = (X )Q (1) (83)
P0() = 0 ) X jP0 ) P0 = (X )S (2) (84)
Derivando (1)
P0 = Q + (X )Q0 (85)
Sustituyendo en (2)
Q + (X )Q0 = (X )S (86)
Entonces
Q = (X )(S Q0) = (X )T (3) (87)
De (1) y (3) resulta
P = (X )2T (88)
O sea. es raz de P con multiplicidad m 2. NUMERO DE RAICES DE
POLINOMIOS
Sea P 2 K[X] un polinomio de grado n, y sean 1; 2; :::; k todas sus races
distintas con multiplicidades m1;m2; :::;mk, respectivamente. Teorema. La su-
ma de las multiplicidades de las races distintas de todo polinomio de grado n
es menor o igual que n.
Xk
i=1
mi gP = n (89)
Lo demostramos por induccion sobre K. i) Sea k = 1, es decir que la unica raz
es 1 con multiplicidad m1. Entonces se tiene:
25

92. P = (X 1)mQ ^ Q(1)6= 0 (90)
Luego
Xk
i=1
mi = m1 = g(X 1)m1 m1 + gQ = qP = n (91)
ii) Debemos probar que si la propiedad se cumple para k = h, entonces se
veri

93. ca para k = h + 1, o sea
Xh
i=1
mi n )
hX+1
i=1
mi n (92)
En efecto, siendo 1; 2; :::; h races distintas de P con multiplicidades m1;m2; :::;mh,
se tiene
h
i=1(X i)miQ y Q(i)6= C para i = 1; 2; :::; h (93)
Debe ser Q divisible por (X h+1)mk+l . Sean H y R el cociente y el resto de
la division, es decir
Q = (X h+1)mk+lH + R (94)
Si R = 0 entonces
P = h+1
i=1 (X i)miH (95)
y en consecuencia
n = gP =
hX+1
i=1
mi + gH
hX+1
i=1
mi (96)
Si R6= 0, entonces
P = h+1
i=1 (X i)miH + h
i=1(X i)miR (97)
26

94. Como
(X h+1)h+1jP (98)
Resulta
(X h+1)h+1jRh
i=1(X i)mi (99)
y en consecuencia
(X h+1)h+1jR (100)
O sea
R = (X h+1)h+1jS (101)
Luego
P = h+1
i=1 (X i)mi (H + S) = h+1
i=1 (X i)miT (102)
Entonces
n = gP =
hX+1
i=1
mi + gH
hX+1
i=1
mi (103)
Concecuencia. Todo polinomio de grado n en K[X[ tiene, a lo sumo, n raices.
En efecto, si 1; 2; :::; k todas las races distintas de P con multiplicidades
m1;m2; :::;mk, respectivamente, entonces el numero total de raices es:
Xk
i=1
mi n (104)
Ejemplo.
El polinomio P = X4 4X3 + 5X2 4X + 4 en R[X] admite la raz 2, pues
P(2) = 0.
El polinomio derivado P0 = 4X3 12X2 + 10X 4 es tal que P0(2) = 0, y en
consecuencia 2 es, al menos, raz doble de P.
Aplicando reiteradamente la regla de Runi.
Resulta
27

95. P = (X 2)2(X2 + 1) (105)
Es decir P admite en R[X] la unica raz doble 2, y la forma es la descomposicion
de P en R.
BIBLIOGRAFIA
1. MATEMATICA BASICA 1
Ricardo Figueroa Garcia - Ediciones RFG
2. ALGEBRA 1
Armando O. Rojo - Ediciones El Ateneo
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