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Antes de derivar….
Aurora Domenech
1. Función valor absoluto xxf )(
x -2 -5 4 0 1
f(x) 2 5 4 0 1
Si trabajamos
Con tabla de
valores








0
0
)(
xsix
xsix
xf
Sepuedeexpresarcomouna
funcióndefinidaatrozos
Otra de valor absoluto 2)(  xxf
x -2 -5 4 0 1
f(x) 0 7 2 2 1
Si trabajamos
Con tabla de
valores








02)2(
022
)(
xsix
xsix
xf








22
22
)(
xsix
xsix
xf
2)(  xxf








22
22
)(
xsix
xsix
xf
Gráficamente, ya vemos que es continua,
pero vamos a comprobar, que el punto
“especial” de unión como función a trozos,
se respeta la definición de función continua
en un punto:
022)2( f
Existe el valor de
la función en x=2
y vale 0.
0222lim)(lim
22

 
xxf
xx
Observa que hemos quitado el superíndice del 2 en el instante en
que hemos especificado ya la expresión de la función que se
acerca por su izquierda
0222lim)(lim
22

 
xxf
xx
Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=2
Y además, como
0)(lim)2(
2


xff
x
Concluimos que
f(x) es continua en
x=2
Otro ejemplo de valor absoluto 21)(  xxf
x -2 -5 4 0 1
f(x) 5 8 5 3 2
Si trabajamos
Con tabla de
valores








012)1(
0121
)(
xsix
xsix
xf








13
11
)(
xsix
xsix
xf
Gráficamente, ya vemos que es continua,
pero vamos a comprobar, que el punto
“especial” de unión como función a trozos,
se respeta la definición de función continua
en un punto:
211)1( f Existe el valor de
la función en x=1
y vale 2.
2313lim)(lim
11

 
xxf
xx
Observa que hemos quitado el superíndice del 1 en el instante en
que hemos especificado ya la expresión de la función que se
acerca por su izquierda
2111lim)(lim
11

 
xxf
xx
Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=1
Y además, como
1)(lim)1(
1


xff
x
Concluimos que
f(x) es continua en
x=1
21)(  xxf








13
11
)(
xsix
xsix
xf
Valor absoluto en parábolas
Observa estas gráficas y sus correspondientes expresiones
4)( 2
 xxf4)( 2
 xxf
Observarás, que al introducir el valor absoluto, la parte de gráfica que estaba
en la parte del plano de las “y” negativas, ha desaparecido…digamos que se
ha “girado” , y ahora toda la gráfica está en la parte positiva del eje OY.
¿Cómo escribir su expresión como
función definida a trozos?
4)( 2
 xxf
Recordamos la definición
de valor absoluto








04)4(
044
)(
22
22
xsix
xsix
xf
Recuerda la resolución
de inecuaciones
-2 +2
-+ +









24
22)4(
24
)(
2
2
2
xsix
xsix
xsix
xf
Estudio de su continuidad aplicando la
definición de continuidad en un punto..









24
22)4(
24
)(
2
2
2
xsix
xsix
xsix
xf
X= -2 X= +2
  042)2(
2
f
Existe el valor de
la función en
x=-2 y vale 0.
0444lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
  004lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
0)(lim)2(
2


xff
x
Concluimos que f(x) es continua en x=-2
  042)2(
2
f
Existe el valor de
la función en
x=2 y vale 0.
0)4(lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
  04lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
0)(lim)2(
2


xff
x
Concluimos que f(x) es continua en x=2
2. Composición de funciones
-1
0
2
-2
5
.
.
.
a
La idea sería: sobre un elemento actúa una primera función. Sobre la
imagen obtenida actúa una segunda función, obteniéndose a sí una
segunda “imagen” del primer valor.
f(x)=2·x
-2
0
4
-4
10
2·a
g(x)=x+1
-1
1
5
-3
11
2a+1
    )(xfgxfg 
2. Composición de funciones
     xgfxgf 
    )(xfgxfg 
2. Composición de funciones
f
x
f(x)
g
g(f(x))
    )(xfgxfg 
Observa, que esta función
compuesta solo será posible, para
empezar, si los valores de x
pertenecen al dominio de la función
f; y además las imágenes calculadas,
deben pertenecer a su vez al
dominio de la función g.
Ejemplos de composición de funciones
32)( 2
 xxxf 1)(  xxg
      231211)(
2
 xxxxfxgf 
    13232)( 22
 xxxxgxfg 
Dominio: todos los reales Dominio: todos los reales
positivos
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satisfacen la desigualdad
0322
 xx
Inversa de una función
• ¿Cuál es la función
identidad? Id(x)=x
• ¿Y la función inversa de
una dada?
xxffxff  
)()( 11

Es un recta, que pasa por el
origen. Es la bisectriz del
primer y tercer cuadrantes
Es una función que al componerla con la dad
en ambos sentidos nos genera la función
identidad. Se designa por f-1
Cómo calcular la inversa de una
función dada.
¡OJO! NO SIEMPRE ENCONTRAREMOS LA FUNCIÓN INVERSA
Y NO SIEMPRE EL DIBUJO INVERSO SERÁ UNA FUNCIÓN
Truco: “cambiamos la x por la y en la función dada;
y luego despejamos la y en la segunda expresión”
5)(  xxf 5 xy 5 yx
5 xy
5)(1

xxf
Cambiamos
f(x) por y
Donde pone x
ponemos y. Donde y,
ponemos x
Cambiamos
y por f -1 (x)
Comprobamos que lo hemos
hecho bien con la composición de
ambas funciones
5)(  xxf 5)(1

xxf
xxffxff  
)()( 11
 ?
?
xxxfxff 
55)5()(1

xxxfxff  
55)5()( 11

Por lo tanto ambas funciones son inversas la una de la otra
¿Cómo dibujarlas partiendo de la
original?
• Tenemos f(x)
dibujada
• Dibujamos la recta
y=x (bisectriz de los cuadrantes
primero y tercero; en discontinua)
• Reproducimos la
simetría axial de f(x)
respecto al eje y=x (la
recta y=x haría de “espejo”)
TRABAJANDO CON FUNCIONES INVERSAS
1.- Halla la función inversa; dibuja las dos gráficas y
comprueba que la composición de la función y su inversa,
generan la función identidad mediante su composición.
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2.- Comprueba mediante la composición de funciones si f(x) y g(x) son inversas:
a)f(x)= 2x+7 g(x)= (x-7)/2
b) f(x)= 2/x g(x)= 2/x
c)f(x)= 2x g(x)= 2x

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  • 2. 1. Función valor absoluto xxf )( x -2 -5 4 0 1 f(x) 2 5 4 0 1 Si trabajamos Con tabla de valores         0 0 )( xsix xsix xf Sepuedeexpresarcomouna funcióndefinidaatrozos
  • 3. Otra de valor absoluto 2)(  xxf x -2 -5 4 0 1 f(x) 0 7 2 2 1 Si trabajamos Con tabla de valores         02)2( 022 )( xsix xsix xf         22 22 )( xsix xsix xf
  • 4. 2)(  xxf         22 22 )( xsix xsix xf Gráficamente, ya vemos que es continua, pero vamos a comprobar, que el punto “especial” de unión como función a trozos, se respeta la definición de función continua en un punto: 022)2( f Existe el valor de la función en x=2 y vale 0. 0222lim)(lim 22    xxf xx Observa que hemos quitado el superíndice del 2 en el instante en que hemos especificado ya la expresión de la función que se acerca por su izquierda 0222lim)(lim 22    xxf xx Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=2 Y además, como 0)(lim)2( 2   xff x Concluimos que f(x) es continua en x=2
  • 5. Otro ejemplo de valor absoluto 21)(  xxf x -2 -5 4 0 1 f(x) 5 8 5 3 2 Si trabajamos Con tabla de valores         012)1( 0121 )( xsix xsix xf         13 11 )( xsix xsix xf
  • 6. Gráficamente, ya vemos que es continua, pero vamos a comprobar, que el punto “especial” de unión como función a trozos, se respeta la definición de función continua en un punto: 211)1( f Existe el valor de la función en x=1 y vale 2. 2313lim)(lim 11    xxf xx Observa que hemos quitado el superíndice del 1 en el instante en que hemos especificado ya la expresión de la función que se acerca por su izquierda 2111lim)(lim 11    xxf xx Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=1 Y además, como 1)(lim)1( 1   xff x Concluimos que f(x) es continua en x=1 21)(  xxf         13 11 )( xsix xsix xf
  • 7. Valor absoluto en parábolas Observa estas gráficas y sus correspondientes expresiones 4)( 2  xxf4)( 2  xxf Observarás, que al introducir el valor absoluto, la parte de gráfica que estaba en la parte del plano de las “y” negativas, ha desaparecido…digamos que se ha “girado” , y ahora toda la gráfica está en la parte positiva del eje OY.
  • 8. ¿Cómo escribir su expresión como función definida a trozos? 4)( 2  xxf Recordamos la definición de valor absoluto         04)4( 044 )( 22 22 xsix xsix xf Recuerda la resolución de inecuaciones -2 +2 -+ +          24 22)4( 24 )( 2 2 2 xsix xsix xsix xf
  • 9. Estudio de su continuidad aplicando la definición de continuidad en un punto..          24 22)4( 24 )( 2 2 2 xsix xsix xsix xf X= -2 X= +2   042)2( 2 f Existe el valor de la función en x=-2 y vale 0. 0444lim)(lim 2 22    xxf xx   004lim)(lim 2 22    xxf xx 0)(lim)2( 2   xff x Concluimos que f(x) es continua en x=-2   042)2( 2 f Existe el valor de la función en x=2 y vale 0. 0)4(lim)(lim 2 22    xxf xx   04lim)(lim 2 22    xxf xx 0)(lim)2( 2   xff x Concluimos que f(x) es continua en x=2
  • 10. 2. Composición de funciones -1 0 2 -2 5 . . . a La idea sería: sobre un elemento actúa una primera función. Sobre la imagen obtenida actúa una segunda función, obteniéndose a sí una segunda “imagen” del primer valor. f(x)=2·x -2 0 4 -4 10 2·a g(x)=x+1 -1 1 5 -3 11 2a+1     )(xfgxfg 
  • 11. 2. Composición de funciones      xgfxgf      )(xfgxfg 
  • 12. 2. Composición de funciones f x f(x) g g(f(x))     )(xfgxfg  Observa, que esta función compuesta solo será posible, para empezar, si los valores de x pertenecen al dominio de la función f; y además las imágenes calculadas, deben pertenecer a su vez al dominio de la función g.
  • 13. Ejemplos de composición de funciones 32)( 2  xxxf 1)(  xxg       231211)( 2  xxxxfxgf      13232)( 22  xxxxgxfg  Dominio: todos los reales Dominio: todos los reales positivos Dominio: todos los reales Dominio: todos los reales que satisfacen la desigualdad 0322  xx
  • 14. Inversa de una función • ¿Cuál es la función identidad? Id(x)=x • ¿Y la función inversa de una dada? xxffxff   )()( 11  Es un recta, que pasa por el origen. Es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes Es una función que al componerla con la dad en ambos sentidos nos genera la función identidad. Se designa por f-1
  • 15. Cómo calcular la inversa de una función dada. ¡OJO! NO SIEMPRE ENCONTRAREMOS LA FUNCIÓN INVERSA Y NO SIEMPRE EL DIBUJO INVERSO SERÁ UNA FUNCIÓN Truco: “cambiamos la x por la y en la función dada; y luego despejamos la y en la segunda expresión” 5)(  xxf 5 xy 5 yx 5 xy 5)(1  xxf Cambiamos f(x) por y Donde pone x ponemos y. Donde y, ponemos x Cambiamos y por f -1 (x)
  • 16. Comprobamos que lo hemos hecho bien con la composición de ambas funciones 5)(  xxf 5)(1  xxf xxffxff   )()( 11  ? ? xxxfxff  55)5()(1  xxxfxff   55)5()( 11  Por lo tanto ambas funciones son inversas la una de la otra
  • 17. ¿Cómo dibujarlas partiendo de la original? • Tenemos f(x) dibujada • Dibujamos la recta y=x (bisectriz de los cuadrantes primero y tercero; en discontinua) • Reproducimos la simetría axial de f(x) respecto al eje y=x (la recta y=x haría de “espejo”)
  • 18. TRABAJANDO CON FUNCIONES INVERSAS 1.- Halla la función inversa; dibuja las dos gráficas y comprueba que la composición de la función y su inversa, generan la función identidad mediante su composición. a)f(x)= 2x+2 b)f(x)= 1-x c)f(x)= 3-x/2 d)f(x)=3x-1 2.- Comprueba mediante la composición de funciones si f(x) y g(x) son inversas: a)f(x)= 2x+7 g(x)= (x-7)/2 b) f(x)= 2/x g(x)= 2/x c)f(x)= 2x g(x)= 2x