Este documento presenta varios temas relacionados con funciones: 1) Define la función valor absoluto y muestra ejemplos de cómo expresarla como función a trozos. 2) Explica el concepto de composición de funciones mediante diagramas y ejemplos. 3) Introduce el concepto de función inversa y cómo calcularla e ilustrarla gráficamente a partir de una función dada.

1. Más sobre funciones….
Antes de derivar….
Aurora Domenech

2. 1. Función valor absoluto xxf )(
x -2 -5 4 0 1
f(x) 2 5 4 0 1
Si trabajamos
Con tabla de
valores








0
0
)(
xsix
xsix
xf
Sepuedeexpresarcomouna
funcióndefinidaatrozos

3. Otra de valor absoluto 2)(  xxf
x -2 -5 4 0 1
f(x) 0 7 2 2 1
Si trabajamos
Con tabla de
valores








02)2(
022
)(
xsix
xsix
xf








22
22
)(
xsix
xsix
xf

4. 2)(  xxf








22
22
)(
xsix
xsix
xf
Gráficamente, ya vemos que es continua,
pero vamos a comprobar, que el punto
“especial” de unión como función a trozos,
se respeta la definición de función continua
en un punto:
022)2( f
Existe el valor de
la función en x=2
y vale 0.
0222lim)(lim
22

 
xxf
xx
Observa que hemos quitado el superíndice del 2 en el instante en
que hemos especificado ya la expresión de la función que se
acerca por su izquierda
0222lim)(lim
22

 
xxf
xx
Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=2
Y además, como
0)(lim)2(
2


xff
x
Concluimos que
f(x) es continua en
x=2

5. Otro ejemplo de valor absoluto 21)(  xxf
x -2 -5 4 0 1
f(x) 5 8 5 3 2
Si trabajamos
Con tabla de
valores








012)1(
0121
)(
xsix
xsix
xf








13
11
)(
xsix
xsix
xf

6. Gráficamente, ya vemos que es continua,
pero vamos a comprobar, que el punto
“especial” de unión como función a trozos,
se respeta la definición de función continua
en un punto:
211)1( f Existe el valor de
la función en x=1
y vale 2.
2313lim)(lim
11

 
xxf
xx
Observa que hemos quitado el superíndice del 1 en el instante en
que hemos especificado ya la expresión de la función que se
acerca por su izquierda
2111lim)(lim
11

 
xxf
xx
Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=1
Y además, como
1)(lim)1(
1


xff
x
Concluimos que
f(x) es continua en
x=1
21)(  xxf








13
11
)(
xsix
xsix
xf

7. Valor absoluto en parábolas
Observa estas gráficas y sus correspondientes expresiones
4)( 2
 xxf4)( 2
 xxf
Observarás, que al introducir el valor absoluto, la parte de gráfica que estaba
en la parte del plano de las “y” negativas, ha desaparecido…digamos que se
ha “girado” , y ahora toda la gráfica está en la parte positiva del eje OY.

8. ¿Cómo escribir su expresión como
función definida a trozos?
4)( 2
 xxf
Recordamos la definición
de valor absoluto








04)4(
044
)(
22
22
xsix
xsix
xf
Recuerda la resolución
de inecuaciones
-2 +2
-+ +









24
22)4(
24
)(
2
2
2
xsix
xsix
xsix
xf

9. Estudio de su continuidad aplicando la
definición de continuidad en un punto..









24
22)4(
24
)(
2
2
2
xsix
xsix
xsix
xf
X= -2 X= +2
  042)2(
2
f
Existe el valor de
la función en
x=-2 y vale 0.
0444lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
  004lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
0)(lim)2(
2


xff
x
Concluimos que f(x) es continua en x=-2
  042)2(
2
f
Existe el valor de
la función en
x=2 y vale 0.
0)4(lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
  04lim)(lim 2
22

 
xxf
xx
0)(lim)2(
2


xff
x
Concluimos que f(x) es continua en x=2

10. 2. Composición de funciones
-1
0
2
-2
5
.
.
.
a
La idea sería: sobre un elemento actúa una primera función. Sobre la
imagen obtenida actúa una segunda función, obteniéndose a sí una
segunda “imagen” del primer valor.
f(x)=2·x
-2
0
4
-4
10
2·a
g(x)=x+1
-1
1
5
-3
11
2a+1
    )(xfgxfg 

11. 2. Composición de funciones
     xgfxgf 
    )(xfgxfg 

12. 2. Composición de funciones
f
x
f(x)
g
g(f(x))
    )(xfgxfg 
Observa, que esta función
compuesta solo será posible, para
empezar, si los valores de x
pertenecen al dominio de la función
f; y además las imágenes calculadas,
deben pertenecer a su vez al
dominio de la función g.

13. Ejemplos de composición de funciones
32)( 2
 xxxf 1)(  xxg
      231211)(
2
 xxxxfxgf 
    13232)( 22
 xxxxgxfg 
Dominio: todos los reales Dominio: todos los reales
positivos
Dominio: todos los reales
Dominio: todos los reales que
satisfacen la desigualdad
0322
 xx

14. Inversa de una función
• ¿Cuál es la función
identidad? Id(x)=x
• ¿Y la función inversa de
una dada?
xxffxff  
)()( 11

Es un recta, que pasa por el
origen. Es la bisectriz del
primer y tercer cuadrantes
Es una función que al componerla con la dad
en ambos sentidos nos genera la función
identidad. Se designa por f-1

15. Cómo calcular la inversa de una
función dada.
¡OJO! NO SIEMPRE ENCONTRAREMOS LA FUNCIÓN INVERSA
Y NO SIEMPRE EL DIBUJO INVERSO SERÁ UNA FUNCIÓN
Truco: “cambiamos la x por la y en la función dada;
y luego despejamos la y en la segunda expresión”
5)(  xxf 5 xy 5 yx
5 xy
5)(1

xxf
Cambiamos
f(x) por y
Donde pone x
ponemos y. Donde y,
ponemos x
Cambiamos
y por f -1 (x)

16. Comprobamos que lo hemos
hecho bien con la composición de
ambas funciones
5)(  xxf 5)(1

xxf
xxffxff  
)()( 11
 ?
?
xxxfxff 
55)5()(1

xxxfxff  
55)5()( 11

Por lo tanto ambas funciones son inversas la una de la otra

17. ¿Cómo dibujarlas partiendo de la
original?
• Tenemos f(x)
dibujada
• Dibujamos la recta
y=x (bisectriz de los cuadrantes
primero y tercero; en discontinua)
• Reproducimos la
simetría axial de f(x)
respecto al eje y=x (la
recta y=x haría de “espejo”)

18. TRABAJANDO CON FUNCIONES INVERSAS
1.- Halla la función inversa; dibuja las dos gráficas y
comprueba que la composición de la función y su inversa,
generan la función identidad mediante su composición.
a)f(x)= 2x+2
b)f(x)= 1-x
c)f(x)= 3-x/2
d)f(x)=3x-1
2.- Comprueba mediante la composición de funciones si f(x) y g(x) son inversas:
a)f(x)= 2x+7 g(x)= (x-7)/2
b) f(x)= 2/x g(x)= 2/x
c)f(x)= 2x g(x)= 2x