Este documento describe los pasos para resolver un problema de optimización mediante el cálculo de derivadas. El problema involucra determinar las dimensiones de un tablero rectangular que maximicen su área dada una restricción en su perímetro. Se define una función de área, se deriva, se encuentra un punto crítico en x=1 y se concluye que la dimensión óptima es un cuadrado de lado 1 metro.

1. Derivada de una función

2. Construyendo un Tablero…………….
El equipo de fútbol de una escuela quiere hacer un tablero
de aglomerado rectangular
para colocar novedades y propuestas.
Dispone, para rodearlo, de 4 m. de varilla pintada con
los colores del equipo,
y desea abarcar con ella la mayor superficie posible para
pegar los carteles de sus anuncios.
¿Cuáles deberán ser la dimensiones del tablero para que
esto suceda?

3. ¿Cómo procedemos cuando no es
posible analizar la función a partir de
su gráfica para optimizarla ?
En estos casos nos valdremos de lo aprendido
hasta el momento y resolveremos la situación
problemática mediante la aplicación de
derivadas de primer y segundo orden. A éste
procedimiento se lo conoce con el nombre
de….….

4. Problemas de optimización
Hacemos un dibujo representando la situación
problemática a resolver .
x
yTablero
Designamos con "x ", "y " las longitudes de los lados del
rectángulo.

5. Planteamos la función que debemos
maximizar o minimizar.
¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la
función superficie del rectángulo?
S = x . y 2x + 2y = 4

6. La función elegida 2x + 2y = 4 corresponde al perímetro
del rectángulo. Se debe maximizar la superficie “S” de un
rectángulo
Estás en condiciones de
seguir avanzando….

7. Planteamos una ecuación que relacione las
distintas variables del problema, en el caso de
que haya más de una variable.
Como el perímetro del rectángulo debe ser 4 m.,
entonces la ecuación auxiliar es:
2x + 2y = 4  x + y = 2
Despejamos una variable de la ecuación
y = 2 – x

8. Sustituimos en la función a optimizar de modo
que nos quede de una sola variable.
S = x . y = x . (2 – x)
S (x) = 2 x – x2
Determinamos el dominio de esta función.
¿Cuál es el Dominio de la función S?
x  (0;2) x  R

9. continuemos….
No olvides que el dominio debe
corresponderse con la situación del
problema !!!
Si tu respuesta fue x  (0;2)

10. Obtenemos la primera derivada de la
Función Superficie
S´ (x) = 2 – 2 x
Para determinar los valores críticos, y hallar los
extremos locales, analizamos las dos condiciones
posibles:
 x/S´ (x) = 0
 x/no existe S´ (x)

11. Como pudiste comprobar, la función S´(x) está
definida en el mismo Dominio que S(x), por lo
tanto existe ∀ x∈(0;2) y S´(x)=0 si x=1
En x=1 hay un punto crítico
¿Eres capaz de analizar si este valor es máximo o mínimo?

12. Al ser S(x) una función cuadrática, a partir de su gráfica
en (0;2) podemos determinar cual es el valor máximo de
la misma que se encuentra en la abscisa del vértice.
A partir del gráfico
podemos observar que
el máximo de S(x) se
produce en x = 1, que
es el vértice de la
parábola, resultando
S(1)= y = 1 , con lo
que podemos decir que
el tablero de mayor
área es un cuadrado.

0 1 2 x
y
1
S(x) = 2x- x2
continuemos….

13. Si usamos el criterio de la primera derivada
podemos ver que:
para valores de x<1, la función S´(x) es positiva y
entonces S(x) es creciente en el intervalo (0;1)
para valores de x>1, la función S´(x) es negativa y
entonces S(x) es decreciente en el intervalo (1;2)
Ahora estás en condiciones de completar la siguiente oración
seleccionando una opción……..
En x=1 hay un punto crítico, éste es un valor
Máximo Mínimo

14. Si tu respuesta fue que hay
un valor máximo

16. También podemos usar el criterio de la segunda
derivada sabiendo que:
 si S´´<0, la función S(x) es cóncava hacia abajo
 si S´´>0, la función S(x) es cóncava hacia arriba
No olvides analizar que al ser una función cóncava hacia
arriba, seguro la función crece hasta llegar a un determinado
valor y luego comienza a decrecer !!!
Ahora analizamos la función de nuestro
problema……
S´´(x) = – 2  S´´(1) = – 2 < 0 
x=1 es un valor máximo!!!

17. Para tener en cuenta……
• En caso que la función presente varios puntos
críticos, debemos evaluar la misma en cada uno de
ellos.
• En caso que la función esté definida en un un
intervalo cerrado, debemos evaluar la misma en los
extremos del intervalo.
• Comparamos los valores obtenidos anteriormente y
determinamos cuál verifica la condición planteada (de
ser un valor máximo o mínimo de la función)

18. Verificamos que el valor obtenido cumpla con las
condiciones dadas en el problema
Si x=1 entonces y=1.
Resolvimos el problema y estamos en
condiciones de responder a la pregunta
establecida en el enunciado del problema
Las dimensiones del tablero rectangular que desean
construir los jugadores de fútbol obteniendo la mayor
superficie y perímetro 4 m. resulta ser un cuadrado
de lado 1.