Apuntes y ejemplos de las cónicas en el plano obtenido de una página web que aparece al final del documento

1. LA CI R CUN F E R E N CI A
La circu n f eren cia es el lugar geomé trico de los puntos del plano
q u e eq uidis tan de un punto fij o lla mado centro.
Elevando al cuadrado obtene mos la ecuación:
S i des arrollamos :
y realizamos es tos ca mbios :
Obtene mos otra forma de es cribir la ecuación:
Donde el centro es :
y el radio cumpl e la relación:

2. E lip s e
La elip s e es el lugar geomé trico de los puntos del plano cu ya
su ma d e dis tancias a dos puntos fij os llamados focos es cons tante.
C om po n en tes de la elips e
Focos
S on los puntos fij os F y F'.
E je focal
Es la recta que pas a por los focos .
E je secu n d ario
Es la medi atriz del segmento F F' .
C en tro
Es el punto de inters ecc ión de los ej es .
R ad ios vectores
S on los s egmentos que van des de un punto de la elips e a los
f o co s : PF y PF' .
D is tan cia f ocal
Es el s egmento de longitud 2c, c es el valor de la
s em id is tan cia f ocal .
Vérti ces
S on los puntos de inters ección de la elips e con los ej es : A, A ' , B
y B' .
E je m ay or
Es el s egmento de longitud 2a, a es el valor del s em ieje
m ay or.

3. E je m enor
Es el s egmento de longitud 2b , b es el valor del s em ieje
m eno r.
E jes d e s im etría
S on las rectas que contienen al ej e ma yor o al ej e menor.
C en tro d e s im etría
C oincide con el centro de la elips e, que es el punto de
in ter s ección de los ej es de s imetría.
R ela ción en tre la d is tan cia f ocal y los s em iejes
E xcen t ric id ad d e la elip s e
La exc en tricid ad es un número que mide el ma yo r o menor
ach atamie nto de la elips e. Y es igual al cociente entre su s emid is tanc ia
f o cal y su s emi ej e ma yo r.
E cu ación d e la e lip s e
E cu ación red u cid a d e la elip s e
Toma mos como centro de la elips e el centro de coordenadas
y lo s ej es de la elips e como ej es de coordenadas . Las coordenadas
d e los focos s on:

4. F'( - c, 0) y F(c, 0)
C u alquier punto de la elips e cumpl e:
Es ta expres ión da lugar a:
R ealizando las operaciones llegamos a:
E j em p lo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos:
F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
S em ieje m ayor
S em id is tan cia focal
S em ieje m en or
E cu a ción red u cid a

5. Ex centri cidad
L A HI PÉ R B OL A
La h ip érb ola es el lugar geomé trico de los puntos del plano cu ya
d if er en cia de dis tancias a los puntos fij os lla mados focos es cons tante.
C om pon en tes d e la h ip érb ola
Focos
S on los puntos fij os F y F' .
E je f ocal
Es la recta que pas a por los focos .
E je s ecu nd ario o im agin ario
Es la med iatr iz del s egmento .
C en tro
Es el punto de inters ección de los ej es .
Vért ices
Los puntos A y A ' son los puntos de inters ección de la hipérbola
con el ej e focal.

6. Los puntos B y B' s e obtienen como inters ección del ej e
imag in ario con la circunferen cia que tiene por centro uno de los
v ér tices y de radio c.
Rad ios vectores
S on los segmentos que van des de un punto de la hipérbola a los
f o co s : P F y PF ' .
D is tan cia focal
Es el s egmen to de longitud 2c.
E je m ayor
Es el s egmen to de longitud 2a.
E je m en or
Es el s egmen to de longitud 2b.
E jes d e s im etría
S on las rectas que contienen al ej e real o al ej e imag inario.
As ín totas
S on las rectas de ecuaciones :
R elación en tre los s em iejes
E xcen tr icidad de la h ipér bola
La excentri cidad mide la abertura ma yor o menor de las ramas de
la h ip érbola.

7. E C UA C I ÓN DE L A HI PÉ R B OL A
S e lla ma ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos
ej es coinciden con los ej es coordenadas , y, por tanto, el centro de
h ip ér b ola con el origen de coordenadas .
S i el ej e real es tá en el ej e de abs cis as las coordenadas de los
f o co s son:
F'(−c,0) y F(c,0)
C ualquier punto de la hipérbola cump le:
Es ta expres ión da lugar a:
R ealizando las operaciones llegamos a:
E jem plos
H allar la ecuación de la hipérbola de foco F (4, 0), de vértice A (2,
0 ) y d e centro C (0, 0).

8. H allar la ecuación y la excentric idad de la hipérbola que tiene
co mo f ocos los puntos F ' (-5, 0) y F (5, 0), y 6 como diferencia de los
r ad io s vectores .
H allar las coordenadas de los vértices y de los focos , las
ecu aciones de las as íntotas y la excentricid ad de la hipérbola 9x 2 -
1 6 y 2 = 144.

9. Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Componentes de la parábola
Fo co
Es el punto fijo F.
D irect riz
Es la recta fija d.
Pa rám etro
Es la d is tancia del foco a la directri z, s e des igna por la letra p.
Eje
Es la r ecta perpendicul ar a la directriz que pas a por el foco.
Vért ice
Es el p unto de inters ección de la parábola con su ej e.
Ra d io vector

10. Es u n s egmento que une un punto cualquier a de la parábola con el
f o co .
Ecuación de la parábola
E cu a ción r edu cida de la par ábola
D ada la parábola , calcular s u vértice, su foco y la recta
d ir ectr iz.

11. D ada la parábola , calcular s u vértice, su foco y la recta
d ir ectr iz.

12. E cu a ción r edu cida de la par ábola de eje ver tical
D ada la parábola , calcular s u vértice, su foco y la recta
d ir ectr iz.

13. D ada la parábola , calcular s u vértice, su foco y la recta
directriz.

14. http://www.geoan.com/conicas/hiperbola.html