1. 5 INECUACIONES
PA R A E M P E Z A R
1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
5 7 13
——, ——, ——
6 9 15
7
Si sumas —— a cada fracción, ¿se mantiene el orden?
30
75 70 78 7 5 13
El denominador común es 90. Las fracciones equivalentes son ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. Por tanto, el orden es ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ.
90 90 90 9 6 15
7 91 96 99
Sumando a cada fracción ᎏᎏ, se mantiene el orden. Se obtiene ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ.
30 90 90 90
2 Ordena de menor a mayor los siguientes números.
؊4, 0, ؊1, 2, ؊9
Si multiplicamos todos ellos por ؊1, ¿se mantiene el orden?
El orden es Ϫ9 Ͻ Ϫ4 Ͻ Ϫ1 Ͻ 0 Ͻ 2.
Al multiplicar por Ϫ1 se invierte el orden: 9 Ͼ 4 Ͼ 1 Ͼ 0 Ͼ Ϫ2.
3 Representa estos intervalos y semirrectas.
a) (؊1, 2) c) [4, ؉ؕ)
b) [0, 1] d) (؊ؕ, ؊3]
a) –1 0 1 2
c)
–1 0 1 2 3 4 5
b) –1 0 1
d)
–4 –3 –2 –1 0
4 El precio de un libro sobre el lince ibérico varía entre 10 y 12 euros. Un centro escolar quiere comprar
200 libros para su biblioteca.
¿Entre qué valores estará la cantidad que tendrá que pagar?
Estará entre 10 и 200 ϭ 2000 y 12 и 200 ϭ 2400 euros.
Desigualdades. Inecuaciones con una incógnita
PA R A P R A C T I C A R
5.1 Halla tres puntos de la recta que cumplan cada una de las siguientes inecuaciones.
a) x ؊ 3 < 5 c) x2 ؊ 1 > 0
b) 2x ؉ 1 Ն 7 d) x2 ؊ 9 Յ 0
a) 1, 2, 3 c) 2, 3, 4
b) 4, 5, 6 d) Ϫ1, 0, 1

2. E j e r c i c i o r e s u e l t o
5.2 Indica en la recta real el signo de 3x ؉ 9 para los distintos valores de x.
Como 3x ϩ 9 ϭ 3(x ϩ 3), el signo de 3x ϩ 9 es el mismo que el de x ϩ 3.
Para que x ϩ 3 ϭ 0, x ϭ Ϫ3.
Para valores menores que Ϫ3, x ϩ 3 será negativo.
Para valores mayores que Ϫ3, x ϩ 3 será positivo.
Se puede representar en la recta real.
– +
–3 0
También se puede resolver este ejercicio indicando en una tabla el signo en cada intervalo.
(Ϫϱ, 3) (3, ϩϱ)
3x ϩ 9 Ϫ ϩ
5.3 Indica en la recta real el signo que toman las siguientes expresiones algebraicas en función del valor de x.
a) x ؊ 1 c) x e) ؊x g) x3 i) ؊5x ؊ 10
b) 2x d) x ؉ 1 f) 2 ؊ x h) (x ؊ 1) 2
a) Negativo en (Ϫϱ, 1), 0 en x ϭ 1, positivo en (1, ϩϱ) f) Positivo en (Ϫϱ, 2), 0 en x ϭ 2, negativo en (2, ϩϱ)
b) Negativo en (Ϫϱ, 0), 0 en x ϭ 0, positivo en (0, ϩϱ) g) Negativo en (Ϫϱ, 0), 0 en x ϭ 0, positivo en (0, ϩϱ)
c) Positivo para x distinto de 0, 0 en x ϭ 0 h) Positivo para x distinto de 1, 0 en x ϭ 1
d) Positivo para x distinto de Ϫ1, 0 en x ϭ Ϫ1 i) Positivo en (Ϫϱ, 2), 0 en x ϭ 2, negativo en (Ϫ2, ϩϱ)
e) Positivo en (Ϫϱ, 0), 0 en x ϭ 0, negativo en (0, ϩϱ)
5.4 Representa en la recta real los números que cumplen la inecuación x < ؊1.
¿Cuál será la inecuación de los números que no cumplen que x < ؊1?
–1 0 1
El intervalo complementario es [Ϫ1, ϩϱ). La inecuación es x Ն Ϫ1
5.5 Representa en la recta real los números cuyo cubo es menor que 8.
x3 Ͻ 8 ⇒ x Ͻ 2. Es el intervalo (Ϫϱ, 2).
–1 0 1 2
E j e r c i c i o r e s u e l t o
5.6 Representa en la recta real los valores de x que verifican la siguiente expresión y escríbela en forma de
intervalo: ؊2 Յ x Յ ؊1.
Esta expresión es un sistema formado por dos inecuaciones que deben cumplirse a la vez:
Ϫ2 Յ x y x Յ Ϫ1.
La solución es el intervalo [Ϫ2, Ϫ1].
–2 –1 0
5.7 Representa en la recta real la solución de las siguientes inecuaciones y exprésalas en forma de intervalo.
a) ؊5 < x < 5 b) 2 Յ x < 7
a) Ϫ5 Ͻ x y x Ͻ 5
–5 –1 0 1 5
Es el intervalo (Ϫ5, 5)
b) 2 Յ x y x Ͻ 7
–1 0 1 2 7
Es el intervalo [2, 7).

3. 5.8 Indica para qué números se verifica la siguiente inecuación.
(x2 ؉ 4)(x2 ؉ 9) Յ 0
Para cualquier valor de x, cada factor es estrictamente positivo, ningún número verifica esa inecuación.
PA R A A P L I C A R
5.9 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases.
a) Un número es menor que 7.
b) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
c) El cuadrado de un número está comprendido entre dos números naturales consecutivos.
a) x Ͻ 7
b) a Ͻ b ϩ c
c) n Ͻ x2 Ͻ n ϩ 1
P r o b l e m a r e s u e l t o
5.10 En la cafetería de un centro escolar, el precio del bocadillo más barato es de 0,80 euros, y el del más
caro, de 1,20.
Se han comprado bocadillos para 25 alumnos.
¿Entre qué cantidades estará el dinero gastado?
Escribe la inecuación correspondiente.
La cantidad gastada estará entre 0,80 и 25 ϭ 20 euros y 1,20 и 25 ϭ 30 euros.
La inecuación será: 20 Յ x Յ 30.
5.11 En una ciudad, el precio de las viviendas varía entre 2100 y 3200 euros por metro cuadrado.
¿En qué intervalo estará el precio de una vivienda que tiene 90 metros cuadrados?
Estará entre 2100 и 90 y 3200 и 90, es decir, entre 189 000 y 288 000 euros.
5.12 En los cinco primeros exámenes del curso, las notas de Natalia fueron 6,1; 6,2; 6,7; 8,5 y x.
¿En qué intervalo está la nota de su último examen, si su nota media es superior a 6,5 e inferior a 8?
La suma de sus notas es x ϩ 27,5. Como la media está entre 6,5 y 8, esa suma estará entre 6,5 и 5 y 8 и 5, es decir, entre 32,5 y 40.
Por tanto, la nota del último examen está entre 32,5 Ϫ 27,5 ϭ 5 y 40 Ϫ 27,5 ϭ 12,5. Como la nota no puede ser mayor que 10,
el intervalo solución es (5, 10].
5.13 La circunferencia máxima de un balón de baloncesto oficial debe medir entre 75 y 78 centímetros.
Si colocamos 20 balones en el suelo formando una línea recta, ¿cuánto medirá esa fila?
΄ 75
␲
78
΅
La longitud estará en el intervalo 20 и ᎏᎏ, 20 и ᎏᎏ , que redondeando sería [477, 497], con un error inferior a 1 cm.
␲
5.14 Si a, b y c son los lados de un triángulo, siendo a el mayor, el triángulo es acutángulo si a2 < b2 ؉ c2.
a) Encuentra un triángulo acutángulo cuyos lados sean tres números naturales consecutivos.
b) ¿Qué inecuación deben cumplir los lados?
a) Por ejemplo, tomando como medidas de los lados 4, 5 y 6. 62 ϭ 36 Ͻ 42 ϩ 52 ϭ 41
b) Si n es el lado intermedio, se debe cumplir (n ϩ 1)2 Ͻ n2 ϩ (n Ϫ 1)2 ⇒ 4n Ͻ n2. Como n Ͼ 0, la inecuación queda 4 Ͻ n.

4. Resolución de inecuaciones de primer grado
E j e r c i c i o r e s u e l t o
5.15 Resuelve esta inecuación: 9x Ն 10x + 1.
Se aplica la regla de la suma: 9x Ϫ 10x Ն 10x ϩ 1 Ϫ 10x
Ϫ x Ն 1.
Se aplica la regla del producto. Como se multiplica por Ϫ1, la desigualdad cambia de sentido: x Յ Ϫ1.
–1 0
PA R A P R A C T I C A R
5.16 Resuelve estas inecuaciones de primer grado.
a) 5x ؊ 3 > x ؉ 13 c) 4x ؊ 5 Յ 3x ؊ 1
b) 2x ؉ 3 Ն 7 ؊ 3x d) 3x ؊ 7 < x ؉ 1 ؊ 6x
a) 5x Ϫ 3 Ͼ x ϩ 13 ⇒ 4x Ͼ 16 ⇒ x Ͼ 4 c) 4x Ϫ 5 Յ 3x Ϫ 1 ⇒ x Յ 4
4
b) 2x ϩ 3 Ն 7 Ϫ 3x ⇒ 5x Ն 4 ⇒ x Ն ᎏᎏ d) 3x Ϫ 7 Ͻ x ϩ 1 Ϫ 6x ⇒ 3x Ϫ x ϩ 6x Ͻ 1 ϩ 7 ⇒ 8x Ͻ 8 ⇒ x Ͻ 1
5
5.17 Resuelve estas inecuaciones de primer grado.
a) 2x ؊ 8 > 4 ؊ 5x c) 3x ؊ 1 ؉ 2x Ն 6 ؊ 9x ؊ 13
b) 2x ؊ 5 < ؊6 ؉ 3x d) 5x ؉ 12 Յ 1 ؉ 2x ؉ 3 ؉ 4x
12
a) 2x Ϫ 8 Ͼ 4 Ϫ 5x ⇒ 7x Ͼ 12 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ c) 3x Ϫ 1 ϩ 2x Ն 6 Ϫ 9x Ϫ 13 ⇒ 5x ϩ 9x Ն Ϫ7 ϩ 1 ⇒
7
Ϫ3
⇒ 14x Ն Ϫ6 ⇒ x Ն ᎏᎏ
7
b) 2x Ϫ 5 Ͻ Ϫ6 ϩ 3x ⇒ Ϫx Ͻ Ϫ1 ⇒ x Ͼ 1 d) 5x ϩ 12 Յ 1 ϩ 2x ϩ 3 ϩ 4x ⇒ Ϫx Յ Ϫ8 ⇒ x Ն 8
5.18 Resuelve estas inecuaciones de primer grado.
a) 2(3x ؊ 1) > 4 c) 3(x ؊ 1) ؊ x < 4
b) 2(1 ؊ 4x) Ն 7 ؊ x d) 2(x ؊ 2) ؊ 3(4 ؊ x) Յ 10
a) 2(3x Ϫ 1) Ͼ 4 ⇒ 3x Ϫ 1 Ͼ 2 ⇒ 3x Ͼ 3 ⇒ x Ͼ 1
Ϫ5
b) 2(1 Ϫ 4x) Ն 7 Ϫ x ⇒ 2 Ϫ 8x Ն 7 Ϫ x ⇒ Ϫ7x Ն 5 ⇒ x Յ ᎏᎏ
7
7
c) 3(x Ϫ 1) Ϫ x Ͻ 4 ⇒ 3x Ϫ 3 Ϫ x Ͻ 4 ⇒ 2x Ͻ 7 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
2
26
d) 2(x Ϫ 2) Ϫ 3(4 Ϫ x) Յ 10 ⇒ 2x Ϫ 4 Ϫ 12 ϩ 3x Յ 10 ⇒ 5x Յ 26 ⇒ x Յ ᎏᎏ
5
E j e r c i c i o r e s u e l t o
x؊1 5 7
5.19 Resuelve: —— ؊ —— > ——.
4 6 12
3x Ϫ 3 10 7
Denominador común: ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ
12 12 12
Se multiplica por 12: 3x Ϫ 3 Ϫ 10 Ͼ 7
Se opera: 3x Ϫ 13 Ͼ 7
Se suma 13: 3x Ͼ 20
20
Se divide entre 3: x Ͼ ᎏᎏ
3
20
Solución: x Ͼ ᎏᎏ
3

5. 5.20 Resuelve las siguientes inecuaciones.
3؊x 2x ؊ 1
a) —— ؉ —— Յ 1
5 3
3؊x 2x ؊ 1 3 ؊ x
b) —— ؉ —— > ——
5 2 4
3؊x 2x ؊ 1
c) —— ؊ —— Յ 1
5 3
2x ؊ 3 1 ؊ 7x 3؊x
d) —— ؊ —— < ؊ ——
6 4 3
3Ϫx 2x Ϫ 1 9 Ϫ 3x 10x Ϫ 5 15 11
a) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Յ 1 ⇒ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Յ ᎏᎏ ⇒ 7x Յ 11 ⇒ x Յ ᎏᎏ
5 3 15 15 15 7
3Ϫx 2x Ϫ 1 3Ϫx 12 Ϫ 4x 20x Ϫ 10 15 Ϫ 5x 13
b) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 21x Ͼ 13 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
5 2 4 20 20 20 21
3Ϫx 2x Ϫ 1 9 Ϫ 3x 10x Ϫ 5 15 Ϫ1
c) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Յ 1 ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Յ ᎏᎏ ⇒ 9 Ϫ 3x Ϫ 10x ϩ 5 Յ 15 ⇒ Ϫ13x Յ 1 ⇒ x Ն ᎏᎏ
5 3 15 15 15 13
2x Ϫ 3 1 Ϫ 7x 3Ϫx 4x Ϫ 6 3 Ϫ 21x Ϫ12 ϩ 4x Ϫ3 Ϫ1
d) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 21x Ͻ Ϫ3 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
6 4 3 12 12 12 21 7
5.21 Resuelve las siguientes inecuaciones.
2(3x ؊ 1) 1
a) —— ؊ —— > 5
3 4
3(3x ؊ 3) 2(9x ؊ 5)
b) —— ؉ —— < 1
2 3
5x 2(3 ؊ 2x) x؊5
c) —— ؊ —— Ն ——
7 4 14
2(3x Ϫ 1) 1 6x Ϫ 2 1 24x Ϫ 8 3 60 71
a) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ 5 ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ 5 ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 24x Ͼ 71 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
3 4 3 4 12 12 12 24
3(3x Ϫ 3) 2(9x Ϫ 5) 9x Ϫ 9 18x Ϫ 10 27x Ϫ 27 36x Ϫ 20 6 53
b) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͻ 1 ⇒ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͻ 1 ⇒ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 63x Ͻ 53 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
2 3 2 3 6 6 6 63
5x 2(3 Ϫ 2x) xϪ5 5x 3 Ϫ 2x xϪ5 10x 21 Ϫ 14x xϪ5 16
c) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ն ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ն ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ն ᎏᎏ ⇒ 23x Ն 16 ⇒ x Ն ᎏᎏ
7 4 14 7 2 14 14 14 14 23
5.22 Resuelve estas inecuaciones de primer grado.
a) x2 ؊ 5x > (x ؊ 2)2 b) (x ؉ 1)2 < (x ؊ 1)(x ؉ 1)
a) x2 Ϫ 5x Ͼ (x Ϫ 2)2 ⇒ x2 Ϫ 5x Ͼ x2 Ϫ 4x ϩ 4 ⇒ Ϫx Ͼ 4 ⇒ x Ͻ Ϫ4
b) (x ϩ 1)2 Ͻ (x Ϫ 1)(x ϩ 1) ⇒ x2 ϩ 2x ϩ 1 Ͻ x2 Ϫ 1 ⇒ 2x Ͻ Ϫ2 ⇒ x Ͻ Ϫ1
E j e r c i c i o r e s u e l t o
2x ؊ 3 < 7
5.23 Resuelve el sistema: Ά 4 ؊ x Յ 2x ؊ 5
Se resuelve cada inecuación por separado.
2x Ϫ 3 Ͻ 7; 2x Ͻ 10; x Ͻ 5
4 Ϫ x Յ 2x Ϫ 5; Ϫ3x Յ Ϫ9; x Ն 3
La solución es la intersección de ambas semirrectas.
3 Յ x Ͻ 5 ⇒ [3, 5)
0 3 5

6. 5.24 Resuelve este sistema de inecuaciones.
2x ؊ 5 > 3(x ؊ 2)
Ά x ؉ 1 Յ 5 ؉ 3x
2x Ϫ 5 Ͼ (x Ϫ 2) ⇒ 2x Ϫ 5 Ͼ 3x Ϫ 6 ⇒ x Ͻ 1
Ά x ϩ 1 Յ 5 ϩ 3x ⇒ Ϫ2x Յ 4 ⇒ x Ն Ϫ2
La solución es [Ϫ2, 1].
5.25 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones.
2x ؊ 1
Ά
—— Ն ؊x ؉ 5
3
3
x ؊ 1 Ն ——
4
2x Ϫ 1
Ά
16
ᎏᎏ Ն Ϫx ϩ 5 ⇒ 2x Ϫ 1 Ն Ϫ3x ϩ 15 ⇒ x Ն ᎏᎏ
3 5
3 7
x Ϫ 1 Ն ᎏᎏ ⇒ x Ն ᎏᎏ
4 4
΄16
La solución es ᎏᎏ, ϩϱ .
5 ΃
x؉1
5.26 Halla el intervalo en el que la fracción —— toma valores negativos.
x؊1
Se estudia el signo de cada factor según los valores de x.
(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 1) (1, ϩϱ)
xϩ1 Ϫ ϩ ϩ
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ
Cociente ϩ Ϫ ϩ
La solución es (Ϫ1, 1).
PA R A A P L I C A R
5.27 Halla los valores de x para los que se puede calcular el valor numérico de esta expresión.
͙3x ؊ 5(2x ؊ෆ
ෆෆ 7)
El radicando debe ser mayor o igual que cero. 3x Ϫ 5(2x Ϫ 7) Ն 0 ⇒ x Յ 5.
5.28 Tres amigos de Olga celebran una fiesta por su cumpleaños. Le han comprado un regalo que ha costa-
do 120 euros. Paula, que es su mejor amiga, ha puesto más de la mitad, y los otros dos amigos han pa-
gado el resto a partes iguales. ¿Cuánto puede haber pagado cada uno de los tres?
120 Ϫ x
Paula ha puesto x y cada uno de los otros ᎏᎏ.
2
120 Ϫ x 120 Ϫ 60
Como Paula puso más de la mitad, se cumple que 60 Ͻ x Ͻ 120 y 0 Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ϭ 30.
2 2
Paula ha puesto entre 60 y 120 euros y cada uno de los dos entre 0 y 30 euros.
5.29 La edad de Rubén es mayor que el doble de la edad de Silvia, y menor que el triple. Si Silvia tiene en-
tre 8 y 10 años, ¿cuántos puede tener Rubén?
Es seguro que Rubén tiene entre 16 años (el doble de la edad mínima de Silvia) y 30 años (el triple de la edad máxima).

7. 5.30 Un mago duplica el dinero que le des, pero luego se queda con 100 euros como comisión. Después de
dos duplicaciones, a Victoria le quedan menos de 50 euros. ¿Cuánto dinero podía tener al principio?
x ϩ 100
Empezando por el final, si Victoria tiene x euros después de la segunda duplicación, con x Ͻ 50, antes tenía ᎏᎏ, y siguiendo
2
x ϩ 100
ᎏᎏ ϩ 100
2 x ϩ 300 50 ϩ 300
hacia atrás se obtiene la cantidad inicial, ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ϭ 87,5 euros. Como al final le queda dinero
2 4 4
300
(x Ͼ 0), partía con más de ᎏᎏ ϭ 75 euros. Por tanto, Victoria tenía entre 75 y 87,5 euros.
4
5.31 Si los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden entre 5 y 7 centímetros cada uno, ¿entre qué
valores estará la medida de la hipotenusa? Indica el intervalo expresando los extremos en forma de raíz.
ෆ
Llamando x al cateto, se debe cumplir que h2 ϭ x2 ϩ x2 ϭ 2x2 ⇒ h ϭ x͙2. Como x está entre 5 y 7, h cumplirá la inecuación
ෆ ෆ
5͙2 Ͻ h Ͻ 7͙2.
5.32 En una granja, el número de gallinas es mayor que el de ovejas más dos, y el de ovejas es mayor que
el triple del número de perros más cuatro. Si en total hay menos de 24 animales de estos tres tipos,
¿cuántos perros puede haber?
Llamando p al número de perros, el número de ovejas será mayor que 3p ϩ 4, y el número de gallinas será mayor que
(3p ϩ 4) ϩ 2 ϭ 3p ϩ 6. Sumando todo, obtenemos que el número de animales es menor que 24 y mayor que 7p ϩ 10. Por tanto, 7p
ϩ 10 Ͻ 24. Como el número de perros es un número natural, solo hay dos posibilidades: que no haya ningún perro, o que haya uno.
Resolución de inecuaciones de segundo grado
E j e r c i c i o r e s u e l t o
5.33 Resuelve esta inecuación.
x2 ؊ 7x ؉ 10 Ն 0
Se factoriza el polinomio:
x2 Ϫ7x ϩ 10 ϭ 0
7 Ϯ ͙ෆෆ
49 Ϫ 40 7Ϯ3 xϭ5
x ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒
2 2 xϭ2 Ά
Así, x2 Ϫ7x ϩ 10 ϭ (x Ϫ 2) (x Ϫ 5)
Se dan valores a x para estudiar el signo en cada uno de los intervalos que se obtienen, y se representan las dos soluciones y los
signos que resultan.
Valores Resultados Signo
0 (0 Ϫ 2) (0 Ϫ 5) ϭ 10 ϩ
3 (3 Ϫ 2) (3 Ϫ 5) ϭ Ϫ2 Ϫ
8 (8 Ϫ 2) (8 Ϫ 5) ϭ 18 ϩ
La solución es (Ϫϱ, 2] ʜ [5, ϩϱ).
0 2 5

8. PA R A P R A C T I C A R
5.34 Resuelve y representa las soluciones en la recta real.
a) x2 ؊ 6x ؉ 5 < 0 c) 2x2 ؊ x < 0
΂1
b) (x ؊ 3) x ؊ —— Ն 0
4 ΃ d) 3x2 ؊ 48 Ն 0
a) x2 Ϫ 6x ϩ 5 Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 1)(x Ϫ 5) Ͻ 0
(Ϫϱ, 1) (1, 5) (5, ϩϱ)
xϪ1 Ϫ ϩ ϩ
xϪ5 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
Solución: (1, 5)
–1 0 1 5
΂ 1
b) (x Ϫ 3) x Ϫ ᎏᎏ Ն 0
4 ΃
΂Ϫϱ, ᎏ1ᎏ΃
4 ΂ᎏ1ᎏ, 3΃
4
(3, ϩϱ)
1
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ ϩ ϩ
4
xϪ3 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
΂ 1
΅
Solución: Ϫϱ, ᎏᎏ ʜ [3, ϩϱ)
4 –1 01 1
4
2 3
c) 2x2 Ϫ x Ͻ 0 ⇒ x(2x Ϫ 1) Ͻ 0
(Ϫϱ, 0) ΂0, ᎏ1ᎏ΃
2 ΂ᎏ1ᎏ, ϩϱ΃
2
x Ϫ ϩ ϩ
1
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ ϩ
2
Producto ϩ Ϫ ϩ
΂ ΃
1
Solución: 0, ᎏᎏ
2 –1 0 1
2
1
d) 3x2 Ϫ 48 Ն 0 ⇒ x2 Ϫ 16 Ն 0 ⇒ (x ϩ 4)(x Ϫ 4) Ն 0
(Ϫϱ, Ϫ4) (Ϫ4, 4) (4, ϩϱ)
xϩ4 Ϫ ϩ ϩ
xϪ4 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ, Ϫ4] ʜ [4, ϩϱ)
–4 –1 0 1 4

9. 5.35 Resuelve y representa las soluciones en la recta real.
a) x2 ؊ 5x > ؊3(3 ؊ x) c) x2 ؊ 8x ؉ 16 > 0
؊1
b) 2x(x ؊ 1) ؊ x(x ؉ 3) Յ ؊6
x x
΂
d) —— —— ؊ 1 < ——
3 2 6 ΃
a) x2 Ϫ 5x Ͼ Ϫ3(3 Ϫ x) ⇒ x2 Ϫ 8x ϩ 9 Ͼ 0 ⇒ (x Ϫ 1)(x Ϫ 9) Ͼ 0
(Ϫϱ, 1) (1, 9) (9, ϩϱ)
xϪ1 Ϫ ϩ ϩ
xϪ9 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
La solución es (Ϫϱ, 1) ʜ (9, ϩϱ).
–1 0 1 9
b) 2x(x Ϫ 1) Ϫ x(x ϩ 3) Յ Ϫ6 ⇒ x2 Ϫ 5x ϩ 6 Յ 0 ⇒ (x Ϫ 2)(x Ϫ 3) Յ 0
(Ϫϱ, 2) (2, 3) (3, ϩϱ)
xϪ2 Ϫ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
La solución es [2, 3].
c) x2 Ϫ 8x ϩ 16 Ͼ 0 ⇒ (x Ϫ 4)2 Ͼ 0. Como un cuadrado siempre se mayor o igual que 0, solo hay que quitar el valor que anula
ese factor, es decir, x ϭ 4. La solución es ᑬ Ϫ {4}.
–1 0 1 4
x x
3 2΂ ΃ 1
d) ᎏᎏ ᎏᎏ Ϫ 1 Ͻ Ϫᎏᎏ ⇒ x2 Ϫ 2x ϩ 1 Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 1)2 Ͻ 0. No tiene solución, un cuadrado es siempre mayor o igual que 0.
6
E j e r c i c i o r e s u e l t o
5.36 Resuelve la inecuación x3 ؊ x < 0.
Se factoriza: x3 Ϫ x ϭ x(x2 Ϫ 1) ϭ x(x ϩ 1)(x Ϫ 1).
Se estudia el signo de los factores en los intervalos definidos por las raíces.
(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 0) (0, 1) (1, ϩϱ)
x Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϩ1 Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ1 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
La solución es (Ϫϱ, Ϫ1) ʜ (0, 1).

10. 5.37 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 3x(x ؊ 1)(x ؉ 2) Ն 0 ΂ 1
΃
c) (x ؊ 2) x2 ؊ —— Ͻ 0
9
b) (x ؊ 1)(2 ؊ x)(x ؉ 1) Յ 0 d) 3x3 ؊ 6x2 ؊ 9x Ն 0
a) 3x(x Ϫ 1)(x ϩ 2) Ն 0
(Ϫϱ, Ϫ2) (Ϫ2, 0) (0, 1) (1, ϩϱ)
x Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϩ2 Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ1 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: [Ϫ2, 0] ʜ [1, ϩϱ)
b) (x Ϫ 1)(2 Ϫ x)(x ϩ 1) Յ 0
(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 1) (1, 2) (2, ϩϱ)
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
2Ϫx ϩ ϩ ϩ Ϫ
xϩ1 Ϫ ϩ ϩ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ Ϫ
Solución: [Ϫ1, 1] ʜ [2, ϩϱ)
΂ 1
9 ΃ ΂
1
3 ΃΂
1
c) (x Ϫ 2) x2 Ϫ ᎏᎏ Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 2) x ϩ ᎏᎏ x Ϫ ᎏᎏ Ͻ 0
3 ΃
΂Ϫϱ, Ϫᎏ1ᎏ΃ ΂ᎏ3ᎏ, ᎏ1ᎏ΃
3
Ϫ1
3 ΂ᎏ1ᎏ, 2΃
3
(2, ϩϱ)
xϪ2 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
1
x ϩ ᎏᎏ Ϫ ϩ ϩ ϩ
3
1
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ ϩ ϩ
3
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
΂ Ϫ1
3 ΃ ΂ ΃
1
Solución: Ϫϱ, ᎏᎏ ʜ ᎏᎏ, 2
3
d) 3x3 Ϫ 6x2 Ϫ 9x Ն 0 ⇒ 3x(x ϩ 1)(x Ϫ 3) Ն 0
(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 0) (0, 3) (3, ϩϱ)
x Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϩ1 Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: [Ϫ1, 0] ʜ [3, ϩϱ)

11. 5.38 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) x4 ؊ 13x2 ؉ 36 Ն 0
΂ 1
9 ΃΂ 1
b) x2 ؊ —— x2 ؊ —— < 0
4 ΃
a) x4 Ϫ 13x2 ϩ 36 Ն 0 ⇒ (x ϩ 2)(x Ϫ 2)(x ϩ 3)(x Ϫ 3) Ն 0
(Ϫϱ, Ϫ3) (Ϫ3, Ϫ2) (Ϫ2, 2) (2, 3) (3, ϩϱ)
xϩ2 Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ2 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϩ3 Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ, Ϫ3] ʜ [Ϫ2, 2] ʜ [3, ϩϱ)
b) ΂x Ϫ ᎏ1ᎏ΃΂x Ϫ ᎏ1ᎏ΃ Ͻ 0 ⇒ ΂x ϩ ᎏ1ᎏ΃΂x Ϫ ᎏ1ᎏ΃΂x ϩ ᎏ1ᎏ΃΂x Ϫ ᎏ1ᎏ΃
2
9
2
4 3 3 2 2
΂Ϫϱ, Ϫᎏ1ᎏ΃ ΂Ϫᎏ1ᎏ, Ϫᎏ1ᎏ΃ ΂Ϫᎏ1ᎏ, ᎏ1ᎏ΃
2 2 3 3 3 ΂ᎏ1ᎏ, ᎏ1ᎏ΃
3 2 ΂ᎏ1ᎏ, ϩϱ΃
2
1
x ϩ ᎏᎏ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ
3
1
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ
3
1
x ϩ ᎏᎏ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ
2
1
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
2
Producto ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϩ
΂ 1
2
1
3 ΃ ΂ ΃
1 1
Solución: Ϫᎏᎏ, Ϫᎏᎏ ʜ ᎏᎏ, ᎏᎏ
3 2
5.39 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 2x(x ؊ 2)2 < 0 b) (x ؉ 1)2(x ؊ 3) < 0
a) 2x(x Ϫ 2)2 Ͻ 0. El factor (x Ϫ 2)2 es siempre positivo, salvo para x ϭ 2. Para que el producto sea negativo, debe ser x Ͻ 0. La
solución es (Ϫϱ, 0).
b) (x ϩ 1)2(x Ϫ 3) Ͻ 0. El factor (x ϩ 1)2 es positivo, salvo en x ϭ Ϫ1. Para que el producto sea negativo, debe ser x < 3, pero hay
que quitar x ϭ Ϫ1. La solución es (Ϫϱ, Ϫ1) ʜ (Ϫ1, 3).
5.40 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) (x2 ؉ 3) (2 ؊ x) < 0 b) x2(x ؊ 1) > 0
a) (x2 ϩ 3)(2 Ϫ x) Ͻ 0. El primer factor es siempre positivo. La solución es x Ͼ 2, es decir, (2, ϩϱ).
b) x2(x Ϫ 1) Ͼ 0. La solución es x Ͼ 1, es decir, (1, ϩϱ).

12. E j e r c i c i o r e s u e l t o
x؊2
5.41 Resuelve la inecuación: —— Յ 0
x؉3
Se estudia el signo de la fracción en los intervalos definidos por las raíces del numerador y denominador.
(Ϫϱ, Ϫ3) (Ϫ3, 2) (2, ϩϱ)
xϪ2 Ϫ Ϫ ϩ
xϩ3 Ϫ ϩ ϩ
Cociente ϩ Ϫ ϩ
Se observa si se cumple la inecuación en los extremos del intervalo solución.
• Para x ϭ 2, el cociente vale 0, se cumple.
• Para x ϭ Ϫ3 no se cumple (no es posible dividir entre 0).
Por tanto, la solución es (Ϫ3, 2].
5.42 Resuelve las siguientes inecuaciones.
2x ؊ 8 3x ؊ 15
a) —— Ն 0 b) —— > 0
x؉5 x؉2
2x Ϫ 8 2(x Ϫ 4) 3x Ϫ 15 3(x Ϫ 5)
a) ᎏᎏ Ն 0 ⇒ ᎏᎏ Ն 0 b) ᎏᎏ Ͼ 0 ⇒ ᎏᎏ Ͼ 0
xϩ5 xϩ5 xϩ2 xϩ2
(Ϫϱ, Ϫ5) (Ϫ5, 4) (4, ϩϱ) (Ϫϱ, Ϫ2) (Ϫ2, 5) (5, ϩϱ)
xϪ4 Ϫ Ϫ ϩ xϪ5 Ϫ Ϫ ϩ
xϩ5 Ϫ ϩ ϩ xϩ2 Ϫ ϩ ϩ
Cociente ϩ Ϫ ϩ Cociente ϩ Ϫ ϩ
La solución es (Ϫϱ, Ϫ5) ʜ [4, ϩϱ). La solución es (Ϫϱ, Ϫ2) ʜ (5, ϩϱ).
No se incluye el Ϫ5 por ser raíz del denominador.
5.43 Resuelve las siguientes inecuaciones.
(x ؊ 2)(x ؊ 3) (x ؊ 1)2
a) —— Ն 0 b) —— Ն 0
x؉3 x؉1
(x Ϫ 2)(x Ϫ 3)
a) ᎏᎏ Ն 0
xϩ3
(Ϫϱ, Ϫ3) (Ϫ3, 2) (2, 3) (3, ϩϱ)
xϪ2 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
xϩ3 Ϫ ϩ ϩ ϩ
Cociente Ϫ ϩ Ϫ ϩ
La solución es (Ϫ3, 2] ʜ [3, ϩϱ).
(x Ϫ 1)2
b) ᎏᎏ Ն 0. El numerador nunca es negativo. El signo dependerá del denominador.
xϩ1
La solución es (Ϫ1, ϩϱ).

13. 5.44 Resuelve las siguientes inecuaciones.
x2 ؊ 6x ؉ 5 3 1
a) —— Ն 0 b) —— ؊ —— < 0
x2 ؊ 7x ؉ 12 x؊2 x؊3
x2 Ϫ 6x ϩ 5 (x Ϫ 1)(x Ϫ 5) (Ϫϱ, 1) (1, 3) (3, 4) (4, 5) (5, ϩϱ)
a) ᎏᎏ Ն 0 ⇒ ᎏᎏ Ն 0
x2 Ϫ 7x ϩ 12 (x Ϫ 3)(x Ϫ 4)
xϪ1 Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ
La solución es (Ϫϱ, 1] ʜ (3, 4) ʜ [5, ϩϱ).
xϪ5 Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ4 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ
Cociente ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϩ
3 1
b) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ 0 ⇒ ᎏᎏ Ͻ 0
7
2 x Ϫ ᎏᎏ
2 ΂ ΃ (Ϫϱ, 2) (2, 3) ΂3, ᎏ7ᎏ΃
2 ΂ᎏ7ᎏ, ϩϱ΃
2
xϪ2 xϪ3 (x Ϫ 2)(x Ϫ 3)
7
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
΂ ΃
7
La solución es (??, 2) ʜ 3, ᎏᎏ .
2
2
xϪ2 Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
Cociente Ϫ ϩ Ϫ ϩ
PA R A A P L I C A R
5.45 Calcula para qué valores de a la ecuación x2 ؊ 4x ؉ a ‫ 0 ؍‬tiene dos soluciones reales distintas.
El discriminante, que es 16 Ϫ 4 a, debe ser estrictamente mayor que 0. Por tanto, a debe ser menor que 4.
5.46 Si el área de un rectángulo es mayor que 10 metros cuadrados y la base mide 3 metros más que la al-
tura, ¿qué medidas puede tomar la altura?
Si la altura es x, la base será x Ϫ 3.
x(x Ϫ 3) Ͼ 10 ⇒ x2 Ϫ 3x Ϫ 10 Ͼ 0 ⇒ (x Ϫ 5)(x ϩ 2) Ͼ 0
De los dos intervalos solución, solo tiene sentido uno (5, ϩϱ), ya que la medida de los lados debe ser positiva.
5.47 Halla los valores para los que tiene sentido la expresión: ෆෆෆ
͙x 2 ؊ 7x ؉ 10 .
Se resuelve x2 Ϫ 7x ϩ 10 Ն 0 ⇒ (x Ϫ 5)(x Ϫ 2) Ն 0. La solución es (Ϫϱ, 2] ʜ [5, ϩϱ).
5.48 Jesús ha medido los lados de un cuadrado. El área resultante, según sus cálculos, es de 49 centímetros
cuadrados. El error cometido es inferior a 1 centímetro cuadrado. ¿Cuál puede ser la medida real del
lado del cuadrado?
ෆ ෆ
Si el error es inferior a 1 cm2, el valor real está entre 48 y 50 cm2. El lado cumplirá ͙48 Ͻ x Ͻ ͙50.
5.49 ¿Cuáles pueden ser las edades de Yolanda y Fernando? El producto de Yolanda tiene dos
nuestras edades años menos que yo.
Fernando tiene x años y Yolanda, x Ϫ 2. es inferior a 80.
Como x(x Ϫ 2) Ͻ 80 ⇒ x2 Ϫ 2x Ϫ 80 Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 10)(x ϩ 8) Ͻ 0.
La solución de la inecuación es el intervalo (Ϫ8, 10), pero como las dos
edades deben ser positivas, la edad de Fernando queda restringida a
(2, 10). La de Yolanda, por tanto, está en el intervalo (0, 8).

14. 5.50 Determina el conjunto de números que cumplen que la suma con su inverso es mayor que 2.
1 x2 ϩ 1 x2 ϩ 1 x2 Ϫ 2x ϩ 1 (x Ϫ 1)2
Si x ϩ ᎏᎏ Ͼ 2 ⇒ ᎏᎏ Ͼ 2 ⇒ ᎏᎏ Ϫ 2 Ͼ 0 ⇒ ᎏᎏ Ͼ 0 ⇒ ᎏᎏ Ͼ 0. La solución son todos los números
x x x x x
estrictamente positivos, salvo el 1.
Matemáticas aplicadas
PA R A A P L I C A R
5.51 Tres alumnos tienen que resolver por separado las siguientes inecuaciones.
x؊1 x؊3
a) —— ؉ 5 < x ؉ 4 b) x ؉ —— < x ؊ 4 c) x2 ؊ x ؊ 6 < 0
3 2
¿Qué números reales verifican a la vez las tres inecuaciones?
xϪ1
ᎏᎏ ϩ 5 Ͻ x ϩ 4 ⇒ x Ϫ 1 ϩ 15 Ͻ 3x ϩ12 ⇒ 2 Ͻ 2x ⇒ x Ͼ 1
3
xϪ3
x ϩ ᎏᎏ Ͻ x Ϫ 4 ⇒ 2x ϩ x Ϫ 3 Ͻ 2x Ϫ 8 ⇒ x Ͻ Ϫ5
2
x2 Ϫ x Ϫ 6 Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 3)(x ϩ 2) Ͻ 0 ⇒ Ϫ2 Ͻ x Ͻ 3
No tiene solución, no hay ningún número que cumpla las tres ecuaciones.
5.52 Mario propone a sus amigos que adivinen qué número entero está pensando; para ello le da a cada uno
una tarjeta con una pista para que resuelvan por separado.
El triple del número El doble del siguiente La tercera parte del
El doble del número
menos 7 es menor número es menor número más 5 es
menos 5 es positivo.
que 5. que el número más 7. menor que 8
¿Son necesarias todas las tarjetas? ¿Con qué tarjetas bastaría para encontrar el número?
Las inecuaciones de cada tarjeta son las siguientes
x
3x Ϫ 7 < 5 2x Ϫ 5 > 0 2(x ϩ 1) < x ϩ 7 ᎏᎏ ϩ 5 Ͻ 8
3
5
x<4 x Ͼ ᎏᎏ 2x ϩ 2 < x ϩ 7 x ϩ 15 < 24
2
x<5 x<9
Bastaría con las dos primeras tarjetas. El número es 3.
Actividades finales
PA R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
5.53 Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.
a) Para cualquier número x distinto de cero, x < x2.
b) Si a, b y c son números enteros y a < b, entonces a ؉ c < b ؉ c.
c) Si a, b y c son números enteros y a < b, entonces a ؒ c < b ؒ c.
1
d) Para cualquier valor de x distinto de cero, —— x < x.
2
a) Falso. Por ejemplo, 0,5 Ͼ 0,52 ϭ 0,25. c) Falso, no se cumple para c Ͻ 0 o c ϭ 0.
b) Cierto. Es válida para números cualesquiera. d) Falso, para x Ͻ 0 o x ϭ 0 no se cumple.
5.54 Halla tres soluciones de cada inecuación.
a) x ؉ 2 < 7 b) x2 ؊ 1 Յ 5 c) x3 < 12
a) Cualquier número menor que 5, por ejemplo, 1, 2 y 3.
ෆ ෆ
b) Cualquier número entre Ϫ͙6 y ͙6, como Ϫ1, 0 y 1.
3
ෆ
c) Cualquier número menor que ͙12, como Ϫ1, 0 y 1.

15. 5.55 Estudia el signo para los distintos valores de x.
a) x ؊ 4 b) 4 ؊ x c) 3x ؊ 24
a) Negativo para x < 4, cero para x ϭ 4, positivo para x > 4.
b) Positivo para x < 4, cero para x ϭ 4, negativo para x > 4.
c) Negativo para x < 8, cero para x ϭ 8, positivo para x > 8.
5.56 Escribe la inecuación correspondiente a los números que no cumplen 3x ؊ 5 < 10.
3x Ϫ 5 Ն 10
5.57 Resuelve estas inecuaciones.
x؊1 x؊2 1
a) 3x ؊ 1 > 7x ؉ 11 e) —— ؊ —— > ——
4 9 12
x؊2
b) 2(x ؊ 3) Ն 6x f) —— ؊ 3(2x ؉ 1) Ն ؊3
3
2(3x ؊ 1) 4(3 ؊ 7x)
c) 3(x ؊ 2) ؊ (1 ؊ x) > 12 g) —— ؊ —— < 1
3 9
x؊2 1 1 ؊ x2 x(3 ؊ 2x) 1
d) —— ؊ —— < 3 h) —— ؊ —— < ——
4 4 2 4 8
a) 3x Ϫ 1 Ͼ 7x ϩ 11 ⇒ 3x Ϫ 7x Ͼ 11 ϩ 1 ⇒ Ϫ4x Ͼ 12 ⇒ x Ͻ Ϫ3
Ϫ3
b) 2(x Ϫ 3) Ն 6x ⇒ x Ϫ 3 Ն 3x ⇒ x Ϫ 3x Ն 3 ⇒ Ϫ2x Ն 3 ⇒ x Յ ᎏᎏ
2
19
c) 3(x Ϫ 2) Ϫ (1 Ϫ x) Ͼ 12 ⇒ 3x Ϫ 6 Ϫ 1 ϩ x Ͼ 12 ⇒ 4x Ͼ 19 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
4
xϪ2 1 xϪ2 1 12
d) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ 3 ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x Ϫ 2 Ϫ 1 ϭ 12 ⇒ x Ͻ 15
4 4 4 4 4
xϪ1 xϪ2 1 9x Ϫ 9 4x Ϫ 8 3 4
e) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 9x Ϫ 9 Ϫ 4x ϩ 8 Ͼ 3 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
4 9 12 36 36 36 5
xϪ2 xϪ2 Ϫ2
f) ᎏᎏ Ϫ 3(2x ϩ 1) Ն Ϫ3 ⇒ ᎏᎏ Ϫ 6x Ϫ 3 Ն Ϫ3 ⇒ x Ϫ 2 Ϫ 18x Ն 0 ⇒ x Յ ᎏᎏ
3 3 17
2(3x Ϫ 1) 4(3 Ϫ 7x) 18x Ϫ 6 12 Ϫ 28x 9 27
g) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ 1 ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 18x Ϫ 6 Ϫ 12 ϩ 28x Ͻ 9 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
3 9 9 9 9 46
1 Ϫ x2 x(3 Ϫ 2x) 1 4 Ϫ 4x2 6x Ϫ 4x2 1 1
h) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 4 Ϫ 6x Ͻ 1 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
2 4 8 8 8 8 2
5.58 Resuelve estos sistemas.
2(x ؊ 1) ؊ 3(2x ؉ 2) > 16
a) Ά 2x ؊ (1 ؊ 3x) > 9
4؊xՆ1
b)
Ά x؊1
—— ؊ x > 10
2
2x Ϫ (1 Ϫ 3x) Ͼ 9 ⇒ 2x Ϫ 1 ϩ 3x Ͼ 9 ⇒ 5x Ͼ 10 ⇒ x Ͼ 2
a) Ά4 Ϫ x Ն 1 ⇒ Ϫx Ն 1 Ϫ 4 ⇒ Ϫx Ն Ϫ3 ⇒ x Յ 3 Solución: (2, 3]
2(x Ϫ 1) Ϫ 3(2x ϩ 2) Ͼ 16 ⇒ 2x Ϫ 2 Ϫ 6x Ϫ 6 Ͼ 16 ⇒ Ϫ4x Ͼ 24 ⇒ x Ͻ Ϫ 6
b)
Ά xϪ1
ᎏᎏ Ϫ x Ͼ 10 ⇒ x Ϫ 1 Ϫ 2x Ͼ 20 ⇒ Ϫx Ͼ 21 ⇒ x Ͻ Ϫ21
2
Solución: (Ϫϱ, Ϫ21)
3
5.59 ¿Para qué valores de x se cumple: —— > 0?
2x ؊ 7
7
El cociente será positivo si 2x Ϫ 7 Ͼ 0 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ.
2

16. 5.60 Resuelve las siguientes inecuaciones.
13 1
a) x(x ؉ 1) > 0 c) x2 ؊ ᎏᎏ x < 0 e) x2 ؉ 12x < ؊35 g) —— x2 ؉ 24 < 7x
2 2
b) x2 ؊ 16 Յ 9 d) (x ؊ 1)(2 ؊ x) Ն 0 f) 3x2 ؊ 2x ؊ 1 < 0 h) x(x ؊ 2) ؊ 5(1 ؊ x) > Ϫ9
a) x(x ϩ 1) Ͼ 0
(Ϫϱ, Ϫ1) (Ϫ1, 0) (0, ϩϱ) Solución: (Ϫϱ, Ϫ1) ʜ (0, ϩϱ)
x Ϫ Ϫ ϩ
xϩ1 Ϫ ϩ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
b) x2 Ϫ 16 Յ 9 ⇒ x2 Ϫ 25 Յ 0 ⇒ (x ϩ 5)(x Ϫ 5) Յ 0
(Ϫϱ, Ϫ5) (Ϫ5, 5) (5, ϩϱ) Solución: [Ϫ5, 5]
xϩ5 Ϫ ϩ ϩ
xϪ5 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
13
2 ΂13
c) x2 Ϫ ᎏᎏ x Ͻ 0 ⇒ x x Ϫ ᎏᎏ Ͻ 0
2 ΃
΂ 13
Solución: 0, ᎏᎏ ΃
΂ ΃ ΂ ΃
13 13 2
(Ϫϱ, 0) 0, ᎏᎏ ᎏᎏ, ϩϱ
2 2
x Ϫ ϩ ϩ
13
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ ϩ
2
Producto ϩ Ϫ ϩ
d) (x Ϫ 1)(2 Ϫ x) Ն 0
(Ϫϱ, 1) (1, 2) (2, ϩϱ) Solución: [1, 2]
xϪ1 Ϫ ϩ ϩ
2Ϫx ϩ ϩ Ϫ
Producto Ϫ ϩ Ϫ
e) x2 ϩ 12x Ͻ Ϫ35 ⇒ x2 ϩ 12x ϩ 35 Ͻ 0 ⇒ (x ϩ 7)(x ϩ 5) Ͻ 0
(Ϫϱ, Ϫ7) (Ϫ7, Ϫ5) (Ϫ5, ϩϱ) Solución: (Ϫ7, Ϫ5)
xϩ7 Ϫ ϩ ϩ
xϩ5 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
1
΂
f) 3x2 Ϫ 2x Ϫ 1 Ͻ 0 ⇒ 3(x Ϫ 1) x ϩ ᎏᎏ Ͻ 0
3 ΃
΂ 1
Ϫϱ, Ϫᎏᎏ ΃ ΂ Ϫ1
ᎏᎏ, 1 ΃ (1, ϩϱ) ΂
Ϫ1
Solución: ᎏᎏ, 1
3 ΃
3 3
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ
1
x ϩ ᎏᎏ Ϫ ϩ ϩ
3
Producto ϩ Ϫ ϩ

17. 1
g) ᎏᎏ x2 ϩ 24 Ͻ 7x ⇒ x2 Ϫ 14x ϩ 48 Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 6)(x Ϫ 8) Ͻ 0
2
(Ϫϱ, 6) (6, 8) (8, ϩϱ) Solución: (6, 8)
xϪ6 Ϫ ϩ ϩ
xϪ8 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
h) x(x Ϫ 2) Ϫ 5(1 Ϫ x) Ͼ Ϫ9 ⇒ x2 ϩ 3x ϩ 4 Ͼ 0. La ecuación x2 ϩ 3x ϩ 4 ϭ 0 no tiene raíces reales y como para un núme-
ro real cualquiera se cumple la desigualdad, la solución son todos los números reales. Solución: R.
5.61 Un campo de fútbol debe medir entre 90 y 120 metros de largo y entre 45 y 90 metros de ancho. ¿En-
tre qué valores se encuentra su área?
El área mínima será 90 и 45 ϭ 4050 m2, y la máxima 120 и 90 ϭ 10 800 m2.
5.62 Los padres de Alfredo le harán un regalo si su nota media supera el 8,5. Ya conoce la media de 10 asig-
naturas, que es de 8,7. ¿Qué nota puede sacar en la asignatura que le queda si quiere conseguir su pre-
mio? Indica el intervalo correspondiente.
Las 10 asignaturas que conoce suman 87 puntos.
x ϩ 87
Como necesita que ᎏᎏ Ͼ 8,5, la nota deberá cumplir que x ϩ 87 Ͼ 11 и 8,5 ⇒ x Ͼ 6,5. Debe estar en el intervalo (6,5, 10].
11
5.63 Halla cuántos rectángulos de menos de 20 metros cuadrados se pueden construir de forma que sus la-
dos sean números naturales consecutivos.
Este problema puede resolverse haciendo recuento de todas las posibilidades.
El planteamiento con inecuaciones sería: n(n ϩ 1) Ͻ 20 ⇒ n2 ϩ n Ϫ 20 Ͻ 0 ⇒ (n Ϫ 4)(n ϩ 5) Ͻ 0. La solución de la inecua-
ción es el intervalo (Ϫ5, 4). Como el lado debe ser positivo, debe estar en el intervalo (0, 4). Solo hay tres números naturales en este
intervalo: 1, 2 y 3. Los rectángulos posibles medirán 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4.
5.64 Un famoso futbolista cobra un sueldo de 3 millones de euros al año. Otro futbolista cobra 2 millones al
año, pero tiene una prima de 50 000 euros por cada gol que consiga. ¿A partir de cuántos goles supe-
rará este las ganancias del primero?
Sea x el número de goles. La inecuación es 2 000 000 ϩ 50 000x Ͼ 3 000 000 ⇒ 40 ϩ x Ͼ 60 ⇒ x Ͼ 20.
El futbolista debe meter más de 20 goles.
5.65 Un ascensor soporta una carga máxima de 300 kilogramos. Suben al mismo dos personas que pesan en-
tre 60 y 75 kilogramos cada una, otra que pesa entre 75 y 80, y una más que pesa entre 80 y 90. ¿Qué
peso añadido puede llevar ese ascensor? Indica el intervalo correspondiente.
Como mínimo, el ascensor lleva una carga de 2 и 60 ϩ 75 ϩ 80 ϭ 275 kg.
Como máximo, lleva una carga de 2 и 75 ϩ 80 ϩ 90 ϭ 320 kg. El ascensor admite con seguridad una carga en el intervalo [0, 300].
El peso añadido que puede llevar el ascensor en ese momento oscila entre 0 y 20 kg, es decir, está en el intervalo [0, 20].
5.66 Observa esta inecuación: 4x2 ؊ 5x > 3x2 ؊ 4x. ¿Se puede simplificar dividiendo por x, y resolver así una in-
ecuación más sencilla, 4x ؊ 5 > 3x ؊ 4? Resuelve ambas inecuaciones y explica si son o no equivalentes.
La solución de la inecuación “simplificada” es x > 1, es decir, (1, ϩϱ).
La inecuación inicial es 4x2 Ϫ 5x Ͼ 3x2 Ϫ 4x ⇒ x2 Ϫ x Ͼ 0 ⇒ x(x Ϫ 1) Ͼ 0, cuya solución es (Ϫϱ, 0) ʜ (1, ϩϱ). No son equivalentes.
1
5.67 Dada la fracción ——, halla el número natural n que hay que sumar al numerador y al denominador para
3
3 4
obtener una fracción comprendida entre —— y ——.
5 5
3 1ϩn 4
ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 3(3 ϩ n) Ͻ 5(1 ϩ n) Ͻ 4(3 ϩ n)
5 3ϩn 5
3(3 ϩ n) Ͻ 5(1 ϩ n) ⇒ n Ͼ 2
Se resuelve el sistema. Ά
5(1 ϩ n) Ͻ 4(3 ϩ n) ⇒ n Ͻ 7
El número estará en el intervalo (2, 7). Hay cuatro posibilidades: 3, 4, 5 y 6.

18. 5.68 En el Concurso de Primavera hay que responder a 25 preguntas. Cada acierto suma 5 puntos, cada res-
puesta en blanco suma 2, y cada fallo no suma ni resta. Una alumna ha respondido bien a más de 16
preguntas, y ha fallado en al menos 7. No ha dejado ninguna en blanco.
¿Qué puntuación ha podido obtener?
La alumna tiene x aciertos y 25 Ϫ x fallos.
x Ͼ 16
Ά25 Ϫ x Ն 7 ⇒ x Յ 18
Solo hay dos posibilidades:
• 17 aciertos y 8 fallos, en total 85 puntos.
• 18 aciertos y 7 fallos, en total 90 puntos.
5.69 Un niño lleva caramelos a clase para repartirlos entre sus compañeros. En clase hay 15 niños, cada uno
recibe 7 caramelos y sobran menos de 5. Tres compañeros llegan tarde, y se vuelven a repartir todos los
caramelos. Ahora, cada uno recibe 6, pero el maestro tiene que añadir de su bolsillo menos de 5 para
que todos reciban la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos pudo traer el niño a clase?
El niño lleva x caramelos.
x Ϫ 15 и 7 Ͻ 5 ⇒ x Ͻ 110
Ά18 и 6 Ϫ x Ͻ 5 ⇒ x Ͼ 113
El niño pudo traer 111 ó 112 caramelos.
PA R A R E F O R Z A R
5.70 Indica en la recta real los valores que cumplen las siguientes condiciones.
a) x ؉ 3 < 8 b) x Ϫ 1 > 6 c) x ؊ 5 Յ 6 d) x ؊ 1 Յ ؊1
a) x Ͻ 5 c) x Յ 11
–1 0 1 5 –1 0 1 11 12
b) x Ͼ 7 d) x Յ 0
–1 0 1 7 8 –1 0 1
5.71 Un ciclista circula a una velocidad de entre 30 y 45 kilómetros por hora. Durante el recorrido ha hecho
dos descansos de media hora. ¿Podrá recorrer 150 kilómetros en 5 horas?
De las 5 horas, 1 se pierde en descansos. Para hacer 150 km en las 4 horas restantes, debe circular a una velocidad en el intervalo
[37,5, 45]. Por debajo de esa velocidad no podrá recorrer la distancia.
5.72 ¿Para qué valores de a no tiene solución la ecuación x2 ؊ 6x ؉ a ‫?0 ؍‬
No hay solución si el discriminante es negativo. En este caso, 36 Ϫ 4a Ͻ 0 ⇒ a Ͼ 9.
5.73 Resuelve estas inecuaciones.
x؊1 7
a) 1 ؊ x > x ؊ 1 c) 3(2x ؊ 5) Յ 8 e) ᎏᎏ > ᎏᎏ
4 6
1 7
b) 2x ؊ 7 < 3x ؉ 1 d) 2(x ؊ 1) ؊ 3(x ؉ 1) Ն 5x ؊ 6 f) x ؊ ᎏᎏ > ᎏᎏ
4 6
a) 1 Ϫ x Ͼ x Ϫ 1 ⇒ Ϫ2x Ͼ Ϫ2 ⇒ x Ͻ 1
b) 2x Ϫ 7 Ͻ 3x ϩ 1 ⇒ 2x Ϫ 3x Ͻ 1 ϩ 7 ⇒ Ϫx Ͻ 8 ⇒ x Ͼ Ϫ8
23
c) 3(2x Ϫ 5) Յ 8 ⇒ 6x Ϫ 15 Ϫ 8 ⇒ x Յ ᎏᎏ
6
1
d) 2(x Ϫ 1) Ϫ 3(x ϩ 1) Ն 5x Ϫ 6 ⇒ 2x Ϫ 2 Ϫ 3x Ϫ 3 Ն 5x Ϫ 6 ⇒ 2x Ϫ 3x Ϫ 5x Ն Ϫ6 ϩ 2 ϩ 3 ⇒ Ϫ6x Ն Ϫ1 ⇒ x Յ ᎏᎏ
6
xϪ1 7 28 14 14 17
e) ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ x Ϫ 1 Ͼ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x Ͼ ᎏᎏ ϩ 1 ϭ ᎏᎏ
4 6 6 3 3 3
1 7 7 1 17
f) x Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ x Ͼ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
4 6 6 4 12

19. 5.74 Resuelve estas inecuaciones.
3x ؊ 2 7 ؊ 5x x ؊ 1
a) —— ؊ —— < ——
4 3 6
2x ؊ 5 x؉1
b) —— ؒ 4 ؊ 3 ؒ —— Ն ؊1
7 8
2(2x ؊ 2) 3(1 ؊ 4x) x ؊ 3
c) —— ؊ —— > ——
2 5 15
3(1 ؊ 3x) x x
d) —— ؉ —— > ——
8 3 4
3x Ϫ 2 7 Ϫ 5x xϪ1 9x Ϫ 6 28 Ϫ 20x 2x Ϫ 2 32
a) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 9x Ϫ 6 Ϫ 28 ϩ 20x Ͻ 2x Ϫ 2 ⇒ 27x Ͻ 32 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
4 3 6 12 12 12 27
2x Ϫ 5 xϩ1 8x Ϫ 20 3x ϩ 3 125
b) ᎏᎏ и 4 Ϫ 3 и ᎏᎏ Ն Ϫ1 ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ն Ϫ1 ⇒ 64x Ϫ 160 Ϫ 21x Ϫ 21 Ն Ϫ56 ⇒ 43x Ն 125 ⇒ x Ն ᎏᎏ
7 8 7 8 43
2(2x Ϫ 2) 3(1 Ϫ 4x) xϪ3 3 Ϫ 12x xϪ3 36
c) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 2x Ϫ 2 Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 30x Ϫ 30 Ϫ 9 ϩ 36x Ͼ x Ϫ 3 ⇒ 65x Ͼ 36 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
2 5 15 5 15 65
3(1 Ϫ 3x) x x 3 Ϫ 9x x x 9
d) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 9 Ϫ 27x ϩ 8x Ͼ 6x ⇒ Ϫ25x Ͼ Ϫ9 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
8 3 4 8 3 4 25
5.75 Resuelve estos sistemas.
2x ؊ 3(1 ؊ 2x) Ն 7x
a) Ά
x؉3<5
x؉3>7
b) Ά
1 ؊ 5x > 7
x ؊ 4 > 10 ؉ 6x
c)
Ά 1 1
—— x ؊ 1 < ——
3 4
xϩ3Ͻ5⇒xϽ2
a) Ά x ϩ 3 Ͼ 7 ⇒ x Ͼ 4 No tiene solución.
Ϫ6
Ά
1 Ϫ 5x Ͼ 7 ⇒ Ϫ5x Ͼ 6 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
5
b)
Ϫ14
x Ϫ 4 Ͻ 10 ϩ 6x ⇒ Ϫ5x Ͻ 14 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
΂
Ϫ14 Ϫ6
Solución: ᎏᎏ, ᎏᎏ
5 5 ΃
5
2x Ϫ 3(1 Ϫ 2x) Ն 7x ⇒ 2x Ϫ 3 ϩ 6x Ն 7x ⇒ x Ն 3
c)
Ά 1
3
1
4
15
ᎏᎏ x Ϫ 1 Ͻ ᎏᎏ ⇒ 4x Ϫ 12 Ͻ 3 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
4
΄ 15
Solución: 3, ᎏᎏ
4 ΃
5.76 Resuelve la inecuación: 7x ؊ 1 > 8.
9
Ά
7x Ϫ 1 Ͼ 8 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
΂ ΃
7 9
7x Ϫ 1 Ͼ 8 ⇒ o Solución: (ϩϱ, Ϫ1) ʜ ᎏᎏ, ϩϱ
7
7x Ϫ 1 Ͻ Ϫ8 ⇒ x Ͻ Ϫ1
5.77 Halla los valores de x para los que se puede calcular ͙2(x ؊ෆ3(x ؉ෆ.
ෆ 1) ؊ ෆ 2)
El radicando debe ser mayor o igual que cero.
2(x Ϫ 1) Ϫ 3(x ϩ 2) Ն 0 ⇒ 2x Ϫ 2 Ϫ 3x Ϫ 6 Ն 0 ⇒ Ϫx Ն 8 ⇒ x Յ Ϫ8

20. 5.78 Resuelve estas inecuaciones de segundo grado.
a) x2 ؊ 81 < 0 e) x2 < 3x ؉ 4
b) 3x2 ؊ 6x Յ 0 f) 10x2 ؊ 6x ؊ 4 Ն 0
c) 2x2 Ն 10x g) x2 ؊ 10x ؉ 25 Յ 0
d) 16x2 ؉ 5 > 0 h) x2 ؉ 36x < 4(9x ؊ 5)
a) x2 Ϫ 81 Ͻ 0 ⇒ (x Ϫ 9)(x ϩ 9) Ͻ 0 Solución: (Ϫ9, 9)
b) 3x2 Ϫ 6x Յ 0 ⇒ 3x(x Ϫ 2) Յ 0 Solución: [0, 2]
c) 2x Ն 10x ⇒ 2x(x Ϫ 5) Ն 0
2
Solución: (Ϫϱ, 0] ʜ [5, ϩϱ)
d) 16x ϩ 5 Ͼ 0. El término de la izquierda es siempre mayor que 0. La solución es el conjunto de los números reales.
2
e) x2 Ͻ 3x ϩ 4 ⇒ x2 Ϫ 3x Ϫ 4 Ͻ 0 ⇒ (x ϩ 1)(x Ϫ 4) Ͻ 0 Solución: (Ϫ1, 4)
2
f) 10x2 Ϫ 6x Ϫ 4 Ն 0 ⇒ 5x2 Ϫ 3x Ϫ 2 Ն 0 ⇒ 5(x Ϫ 1) x ϩ ᎏᎏ Ն 0
5 ΂ ΃ ΂ Ϫ2
΅
Solución: Ϫϱ, ᎏᎏ ʜ [1, ϩϱ)
5
g) x2 Ϫ 10x ϩ 25 Յ 0 ⇒ (x Ϫ 5)2 Յ 0 Solución: x ϭ 5
h) x ϩ 36x Ͻ 4(9x Ϫ 5) ⇒ x ϩ 20 Ͻ 0
2 2
No tiene solución.
5.79 Al lanzar una pelota, este describe una parábola cuya ecuación es y ‫؊ ؍‬t2 ؉ 20t ؉ 2, donde y es la al-
tura en metros, y t, el tiempo transcurrido desde el lanzamiento en segundos.
Determina el intervalo de tiempo en el que la pelota está a una altura superior a 2 metros.
Ϫt2 ϩ 20t ϩ 2 Ͼ 2 ⇒ t(20 Ϫ t) Ͼ 0. La solución es el intervalo (0, 20).
PA R A A M P L I A R
5.80 Resuelve estas inecuaciones.
a) x(x ؊ 5)(x ؉ 2) < 0 b) x3 ؉ 4x Ն 5x2 c) x3 ؉ 6x2 ؉ 11x ؉ 6 > 0
a) x(x Ϫ 5)(x ϩ 2) Ͻ 0
(Ϫϱ, Ϫ2) (Ϫ2, 0) (0, 5) (5, ϩϱ)
x Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϪ5 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
xϩ2 Ϫ ϩ ϩ ϩ
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ, Ϫ2) ʜ (0, 5)
b) x3 ϩ 4x Ն 5x2 ⇒ x(x Ϫ 1)(x Ϫ 4) Ն 0 (Ϫϱ, 0) (0, 1) (1, 4) (4, ϩϱ)
x Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϪ4 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: [0, 1] ʜ [4, ϩϱ)
c) x3 ϩ 6x2 ϩ 11x ϩ 6 Ͼ 0 ⇒ (x ϩ 1)(x ϩ 2)(x ϩ 3) Ͼ 0
(Ϫϱ, Ϫ3) (Ϫ3, Ϫ2) (Ϫ2, Ϫ1) (Ϫ1, ϩϱ)
xϩ1 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
xϩ2 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϩ3 Ϫ ϩ ϩ ϩ
Solución: (Ϫ3, Ϫ2) ʜ (Ϫ1, ϩϱ) Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ

21. 5.81 Resuelve estas inecuaciones.
x؊1 x(2x2 ؉ 3) (x ؊ 1)2
a) —— Ն 0 b) —— Յ 0 c) —— > 0
(x ؊ 4)(x ؉ 4) 1؊x x؉2
xϪ1
a) ᎏᎏ Ն 0
(x Ϫ 4)(x ϩ 4)
(Ϫϱ, Ϫ4) (Ϫ4, 1) (1, 4) (4, ϩϱ)
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϪ4 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
xϩ4 Ϫ ϩ ϩ ϩ
Cociente Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫ4, 1] ʜ (4, ϩϱ)
x(2x2 ϩ 3)
b) ᎏᎏ Յ 0
1Ϫx
(Ϫϱ, 0) (0, 1) (1, ϩϱ)
x Ϫ ϩ ϩ
1Ϫx ϩ ϩ Ϫ
2x ϩ 3
2
ϩ ϩ ϩ
Solución: (Ϫϱ, 0] ʜ (1, ϩϱ) Cociente Ϫ ϩ Ϫ
(x Ϫ 1)2
c) ᎏᎏ Ͼ 0. El numerador es positivo para todo x distinto de 1. El denominador es positivo para x Ͼ Ϫ2.
xϩ2
Solución: (Ϫ2, 1) ʜ (1, ϩϱ)
5.82 Demuestra que para cualquier par de números positivos a y b se cumple que:
(a ؉ b)2 > a2 ؉ b2
(a ϩ b)2 ϭ a2 ϩ b2 ϩ 2ab Ͼ a2 ϩ b2, ya que ab es positivo.
5.83 Resuelve la inecuación 2x ؊ 7 Ն 9.
2x Ϫ 7 Ն 9 ⇒ x Ն 8
2x Ϫ 7 Ն 9 ⇒ o
Ά
2x Ϫ 7 Յ Ϫ9 ⇒ x Յ Ϫ1
Solución: (Ϫϱ, Ϫ1) ʜ [8, ϩϱ)
5.84 Resuelve la inecuación x ؊ x < 3.
x Ϫ x Ͻ 3 ⇒ Ϫ3 Ͻ x Ϫ x Ͻ 3
Si x Ն 0, x Ϫ x ϭ x Ϫ x ϭ 0. Se cumple siempre la desigualdad.
Ϫ3 3
΂ ΃ Ϫ3
Si x < 0, x Ϫ x ϭ x Ϫ (Ϫx) ϭ 2x ⇒ Ϫ3 Ͻ 2x Ͻ 3 ⇒ x ʦ ᎏᎏ, ᎏᎏ . Como x Ͻ 0, x ʦ ᎏᎏ, 0 .
2 2 2 ΂ ΃
΂Ϫ3
La solución es ᎏᎏ, ϩϱ .
2 ΃

22. 5.85 Julián metió sus ahorros en una hucha. Sacó 70 euros, que era menos de la mitad de sus ahorros. Más
tarde metió 6 euros, y para terminar sacó 36, con lo que le quedaron menos de 42 euros. Sabiendo que
inicialmente tenía un número entero de euros, ¿cuál era esa cantidad?
La cantidad inicial era x. Se cumplen las siguientes condiciones:
x
ᎏᎏ Ͼ 70 ⇒ x Ͼ 140
2
x Ϫ 70 ϩ 6 Ϫ 36 Ͻ 42 ⇒ x Ͻ 142
Por tanto, Julián tenía 141 euros.
5.86 Un balón de fútbol debe pesar entre 410 y 450 gramos. En una red hay 30 balones oficiales. Al pesar la
red, la báscula indica un peso de 12,235 kilogramos.
a) ¿Es posible que alguno tenga un peso menor del reglamentario?
b) ¿Es posible que haya dos balones pinchados? ¿Se puede asegurar?
c) Si cada balón pinchado pierde un mínimo de 10 gramos, ¿cuántos balones pinchados puede haber como
máximo en la red?
a) Dividiendo 12 235 entre 30, se obtiene 407,833… , luego al menos hay un balón con menos peso del reglamentario.
b) El peso de 30 balones reglamentarios está en el intervalo [12 300, 13 500]. Para alcanzar el extremo inferior faltan 65 gramos,
que pueden proceder de un único balón o de varios.
c) El máximo de balones pinchados se alcanza cuando estos pierden 10 gramos y los correctos están al máximo. Si x son los defec-
tuosos, se cumplirá que 400x ϩ 450(30 Ϫ x) ϭ 12 235. Se obtiene x ϭ 25,3. Hay un máximo de 25 balones pinchados.
PA R A I N T E R P R E TA R Y R E S O LV E R
5.87 El marco
Un marco para una fotografía tiene forma rectangular de 33 ؋ 21 centímetros.
Se quiere que la zona dedicada a la fotografía tenga también forma de rectángulo centrado en el anterior
y que el borde x sea siempre constante.
¿Entre qué valores debe estar comprendida la longitud del borde x para que su área total esté compren-
dida entre 153 y 245 centímetros cuadrados?
Área de la fotografía: S ϭ (33 Ϫ 2x) и (21 Ϫ 2x) ϭ 693 Ϫ 108x ϩ 4x2
Área del borde: Sb ϭ 33 и 21 Ϫ (693 Ϫ 108x ϩ 4x2) ϭ 108x Ϫ 4x2
Ά
3 51
4x2 Ϫ 108x ϩ 153 Ͻ 0 ⇒ ᎏᎏ Ͻ x Ͻ ᎏᎏ
2 2 3 5 49 51
153 Ͻ 108x Ϫ 4x2 Ͻ 245 ⇒ ⇒ ᎏᎏ Ͻ x Ͻ ᎏᎏ o ᎏᎏ Ͻ x Ͻ ᎏᎏ
5 49 2 2 2 2
4x2 Ϫ 108x ϩ 245 Ͼ 0 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ o x Ͼ ᎏᎏ
2 2
La segunda opción no vale ya que sobrepasaría las medidas del marco. Así, la longitud del borde debe estar comprendida entre
3 5
ᎏᎏ ϭ 1,5 cm y ᎏᎏ ϭ 2,5 cm.
2 2

23. 5.88 La oferta
* En una tienda se quiere promocionar la venta de los siguientes artículos:
ENSAYOS
CD CIENTÍFICOS
20 €
M. MODERNA
12 €
NOVELAS
CD 18 €
M. CLÁ
SICA
15 €
Para ello, después de elegir los artículos que va a comprar, el cliente extraerá al azar dos tarjetas, una que
establecerá el descuento en los artículos de música, y otra que lo hará en los de literatura.
Las tarjetas de música determinan descuentos de un mínimo del 10% y un máximo del 25%, y las de
libros, descuentos de un mínimo del 5% y un máximo del 10%.
Si se ha sacado una tarjeta de descuento de música del 15%, ¿qué tarjetas de libros se podrán sacar para
pagar, como mucho, 130,41 euros por tres CD de música moderna, tres CD de música clásica, una novela
y tres ensayos?
130,41 Ϫ 58,65
(2 и 12 ϩ 3 и 15) и 0,85 ϩ (1 и 18 ϩ 3 и 20) и x Յ 130,41 ⇒ x Յ ᎏᎏ ϭ 0,92
78
Lo cual indica que se debe extraer una tarjeta con un descuento mayor o igual que el 8%.
A U T O E VA L U A C I Ó N
5.A1 Sabiendo que x < 4, indica qué desigualdad cumplen los siguientes números.
A‫؍‬x؊7 B‫؍‬x؉5 C‫؊2؍‬x
a) A ϭ x Ϫ 7 Ͻ 4 Ϫ 7 ϭ Ϫ3
b) B Ͻ 9
c) C Ͼ Ϫ2
5.A2 Representa en la recta los números que cumplen cada una de las siguientes inecuaciones.
a) 2x ؊ 3 < 9
b) 5 ؊ x Ն 2
c) ؊x ؊ 3 < 0
a) 2x Ͻ 9 ϩ 3 ⇒ 2x Ͻ 12 ⇒ x Ͻ 6 ⇒ (Ϫϱ, 6) –1 0 1 6
b) 5 Ϫ x Ն 2 ⇒ Ϫx Ն Ϫ3 ⇒ x Յ 3 ⇒ (Ϫϱ, 3] –1 0 1 2 3
c) Ϫx Ͻ 3 ⇒ x Ͼ Ϫ3 ⇒ (Ϫ3, ϩϱ)
–3 –2 –1 0 1
5.A3 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) x ؊ 7 > 5x ؊ 23
b) 2(x ؊ 3) ؊ (3x ؊ 8) Յ 1
a) x Ϫ 7 Ͼ 5x Ϫ 23 ⇒ x Ϫ 5x Ͼ Ϫ23 ϩ 7 ⇒ Ϫ4x Ͼ Ϫ16 ⇒ x Ͻ 4
b) 2(x Ϫ 3) Ϫ (3x Ϫ 8) Յ 1 ⇒ 2x Ϫ 6 Ϫ 3x ϩ 8 Յ 1 ⇒ Ϫx Յ Ϫ1 ⇒ x Ն 1

24. 5.A4 Resuelve las siguientes inecuaciones.
x؊1 5x ؊ 4 1
a) —— ؊ —— > ——
2 6 4
x؊1 2(2x ؊ 1) 1
b) —— ؊ —— < ——
5 3 6
xϪ1 5x Ϫ 4 1 6x Ϫ 6 10x Ϫ 8 3 Ϫ1
a) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ ⇒ 6x Ϫ 6 Ϫ 10x ϩ 8 Ͼ 3 ⇒ Ϫ4x Ͼ 1 ⇒ x Ͻ ᎏᎏ
2 6 4 12 12 12 4
xϪ1 2(2x Ϫ 1) 1 xϪ1 4x Ϫ 2 1 6x Ϫ 6 40x Ϫ 20 5
b) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ ⇒ 6x Ϫ 6 Ϫ 40x ϩ 20 Ͻ 5 ⇒
5 3 6 5 3 6 30 30 30
9
⇒ Ϫ34x Ͻ Ϫ9 ⇒ x Ͼ ᎏᎏ
34
5.A5 Resuelve y representa este sistema.
2x ؊ 5 < 7
Ά ؊3x ؉ 4 ؊ 7
<
2x Ϫ 5 Ͻ 7 ⇒ 2x Ͻ 12 ⇒ x Ͻ 6
Ά Ϫ3x ϩ 4 Յ 7 ⇒ Ϫ3x Յ 3 ⇒ x Ն Ϫ1 Solución: [Ϫ1, 6) –1 0 1 6
5.A6 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 3x2 ؊ 75x < 0
b) 3x2 ؊ 75 > 0
a) 3x2 Ϫ 75x Ͻ 0 ⇒ 3x(x Ϫ 25) Ͻ 0
(Ϫϱ, 0) (0, 25) (25, ϩϱ)
x Ϫ ϩ ϩ
x Ϫ 25 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
Solución: (0, 25)
b) 3x2 Ϫ 75 Ͼ 0 ⇒ x2 Ϫ 25 Ͼ 0 ⇒ (x ϩ 5)(x Ϫ 5) Ͼ 0
(Ϫϱ, Ϫ5) (Ϫ5, 5) (5, ϩϱ)
xϩ5 Ϫ ϩ ϩ
xϪ5 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ,Ϫ5) ʜ (5, ϩϱ)

25. 5.A7 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 3x2 ؊ 5x ؉ 2 Յ 0 b) 2(x ؊ 3)(x ؉ 2) ؊ 0
>
2
3΂
a) 3x2 Ϫ 5x ϩ 2 Յ 0 ⇒ 3(x Ϫ 1) x Ϫ ᎏᎏ Յ 0 ΃ ΂Ϫϱ, ᎏ2ᎏ΃
3 ΂ᎏ2ᎏ, 1΃
3
(1, ϩϱ)
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ
2
x Ϫ ᎏᎏ Ϫ ϩ ϩ
3
΄ ΅
2
Solución: ᎏᎏ, 1
3 Producto ϩ Ϫ ϩ
b) 2(x Ϫ 3)(x ϩ 2) Ն 0
(Ϫϱ, Ϫ2) (Ϫ2, 3) (3, ϩϱ)
xϩ2 Ϫ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ, Ϫ2] ʜ [3, ϩϱ) Producto ϩ Ϫ ϩ
5.A8 Una torre cilíndrica tiene una base de 70 metros cuadrados, y una altura de entre 20 y 25 metros.
¿Entre qué valores se encuentra su volumen?
El volumen de un cilindro de altura h cuya base tiene un radio r se calcula mediante la fórmula V ϭ Abase и h.
En este caso se cumplirá que 70 и 20 ϭ 1400 Ͻ V Ͻ 70 и 25 ϭ 1750.
El volumen estará entre 1400 y 1750 metros cúbicos.
5.A9 Susana tiene 20 años más que Teresa.
Calcula en qué intervalo de sus vidas la edad de Susana era mayor que el triple de la edad de Teresa.
Si Teresa tiene x años, Susana tendrá x ϩ 20.
x ϩ 20 Ͼ 3x ⇒ x Ͻ 10
Teresa tendrá una edad en el intervalo (0, 10), y Susana en el intervalo (20, 30).
5.A10 Resuelve la inecuación (x ؊ 1)(x ؉ 4)(x ؊ 3) < 0.
(Ϫϱ, Ϫ4) (Ϫ4, 1) (1, 3) (3, ϩϱ)
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ ϩ
xϩ4 Ϫ ϩ ϩ ϩ
xϪ3 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ
Producto Ϫ ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ, Ϫ4) ʜ (1, 3)
5.A11 Halla los valores de x para los que tiene sentido la expresión ͙x(x ؉ෆ(9 ؊ x)
ෆ 7) ؊ ෆෆ
El radicando debe ser mayor o igual que cero.
x(x ϩ 7) Ϫ (9 Ϫ x) Ն 0 ⇒ x2 ϩ 8x Ϫ 9 Ն 0 ⇒ (x Ϫ 1)(x ϩ 9) Ն 0
(Ϫϱ, Ϫ9) (Ϫ9, 1) (1, ϩϱ)
xϩ9 Ϫ ϩ ϩ
xϪ1 Ϫ Ϫ ϩ
Producto ϩ Ϫ ϩ
Solución: (Ϫϱ, Ϫ9] ʜ [1, ϩϱ)

26. E N T R E T E N I D O
Los tres errores
En esta frase
ay tres herrores
¿Se te escapa alguno?
Dos de los errores se deben a faltas de ortografía, debería poner hay en lugar de ay y errores en lugar de herrores. El tercer “error”
no es del mismo tipo que los anteriores, no se trata de un error ortográfico sino de un uso inapropiado de una palabra; se debe a que apa-
rece la palabra TRES en lugar de DOS.
Para que la frase no tenga errores, hacen falta realmente tres correcciones.

27. NOTAS
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