Ejercicios de Matemática I.. Derivada

1. Cabudare-Lara-Venezuela.
Participante:
José Manuel Dos Santos A.
Carrera:
Ing. Mantenimiento
Mecánico

2. 1) Calcula f`(2) , utilizando la definición de la derivada, siendo
x=
x+ ^
x 1= 2 x 2=
Evaluamos
x+ =2+ =

3. 2) Considera la función
F(x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b)Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.
a)F`(x) = 6x2 + 18x + 12
F`(x) = 0 6x2 + 18x + 12 = 0
Usando la resolvente
x=
x=
-∞ -2 -1 +∞
x=
f`(x) = (+) f`(x) = (-) f`(x) = (+)
↗ ↘ ↗
x 1= -1 ^ x 2= -2

4. F es creciente en ( -∞ , -2] , [ 1 , +∞)
F es decreciente en [ -2 , -1]
b) F`` (x) = 12x + 18
F`` (x) = 0 12x + 18 = 0
x = -18 = -3
12 2 -∞ -3/2 +∞
f``(x) = (-) f``(x) = (+)
X= -3 es un punto critico.
2
F es cóncava hacia arriba en (-∞ , - 3/2 )
F es cóncava hacia abajo en (-3/2 , +∞)
Los puntos de inflexión son

5. 3) Calcule la derivada implícita
6x2 · y + 5y3 + 3x2 = 12 –x2 · y2
Solución
18x · · y + 6x2 · + 15 y2 · + 6x · = -2x · y + (-x2) · 2y ·
6x2 · + 15y2 · + (x2) · 2y · = -18x·y + 6x· -2x · y2
( 6x2 + 15y2 + x2 · 2y) = -18 xy + 6x – 2x y2
= -18 xy + 6x – 2 x y2
6x2 + 15y2 + x2 2y

6. 4) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f(x) = (x -2)2 (x + 1)
Diga ¿dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa?
F` (x) = 2(x-2).(x-2)'.(x+1)+(x-2)².(1)
=(2x-4) . (x+1) + (x-2)2
=2x²+2x-4x-4+x²-2x +4
3x2 -4x = 0
X=
X= X1= 4 ^ x2= 0
3
Ahora analizamos el signo de la derivada
-∞ 0 4/3 +∞
f`(x) = (+) f`(x) = (-) f`(x) = (+) F es creciente en (-∞ , 0] , [4/3 , +∞)
↗ ↘ ↗ F es decreciente en [ 0, 4/3]

7. Estudiamos la concavidad de la función
F``(x) = 6x – 4
Números críticos
F``(x) =0 6x – 4 = 0
x = 4/6  x=2/3
.: x= 2/3 es un punto critico de f`
Buscamos el sigo de f`` (x)
-∞ 2/3 +∞
f``(x) = (-) f``(x) = (+)
Luego f es concava hacia arriba en el intervalo [2/3 , +∞) y cóncava hacia abajo en (-∞, 2/3]
Puntos de inflexión .: el punto de inflecion es

8. 5) Resolver:
a)
b)
a) F(x)=(x²+1). Arc tg(x3+5)
F(x)'=(x²+1)'. Arc tg(x3+5)-( x²+1). [arc tg(x3+5)]'
F(x)'=2x. arc tg(x3+5)+(x²+1).
F(x)'=2x. arc tg(x3-5)+(x²+1).
F(x)'=
F(x)'=
F(x)'=
F(x)'=

9. b) F(x)= (x⁴+ eˣ+1) arc tg (3x²+x+5)
F(x)'=(x⁴+eˣ+1)'. Arc tg(3x²+x+5)+(x⁴+eˣ+1). [arc tg(3x²+x+5)]'
F(x)'=(4x3+eˣ). arc tg(3x2+x+5)+(x⁴+eˣ+1)
F(x)'=4x3+eˣ). arc tg(3x²+x+5)+(x⁴+eˣ+1).
F(x)'=
F(x)'=