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Antonio Reynoso Lobato 2002B 1
Módulo 3, Sección 3
El Cálculo de
Predicados
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Objetivo de la Sección
Analizar, el lenguaje de
representación del conocimiento
llamado cálculorden predicados de
primer orden.

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Temas
• Antecedentes
• El lenguaje y su sintaxis
• La semántica
• Cuantificación
• Semántica de los cuantificadores
• Representación del conocimiento por medio del
lenguaje del cálculo de predicados
• Consideraciones adicionales
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Antecedentes
• La principal limitación del cálculo proposicional es que los
átomos son cadenas de texto que no disponen de una
estructura interna en:
SOBRE_B_C ⊃ ¬LIBRE_C las proposiciones son
totalmente diferentes y sin ninguna relación entre ellas
• Necesitamos un lenguaje que disponga de nombres para los
objetos acerca de los cuales queremos formular las
proposiciones, y de nombres para las proposiciones que
queremos formular
Sobre(b,c) ⊃ ¬Libre(c) donde b, c son variables que se
pueden referir a cualquier bloque
• Este lenguaje se llama cálculo de predicados de primer
orden y dispone de símbolos llamados constantes de objetos,
constantes de relaciones y constantes de funciones

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El Lenguaje y su Sintaxis
Cálculo de predicados (versión restringida)
• Componentes:
• Constantes de objetos: cadenas de caracteres
alfanuméricos que comienzan con una letra mayúscula
o un número. Ejem: Aa, 123, LaTorreEiffel
• Constantes de funciones de todas las “aridades”:
cadenas de caracteres alfanuméricos que comienzan
con una letra minúscula e indicando con un superíndice
la aridad de la función. Ejem: padreDe1, distanciaEntre2
• Constantes de relaciones (predicados) de todas las
“aridades”: cadenas de caracteres alfanuméricos que
comienzan con una letra mayúscula e indicando con un
superíndice su aridad. Ejem:Padre2, B173, Libre1
• También utilizaremos las
• Conectivas proposicionales ¬,∧,∨,⊃
• Y los delimitadores ( ), [ ]
• Y el separador ,
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Cálculo de Predicados
• Términos:
– Una constante de objeto es un término. Ejem:
Sam
– Una constante de función de aridad n, seguida
por n términos entre paréntesis y separados por
comas, es un término (expresión funcional).
Por lo general omitiremos el superíndice de la
aridad siempre que su valor se pueda deducir del
contexto
• Ejemplos: padreDe(John, Bill),
producto(4, suma(3, 6)),

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Cálculo de Predicados
• fbfs:
– Una constante de relación de aridad n, seguida por n términos
entre paréntesis y separados por comas, es una formula atómica
(también se le llama átomo).
También omitiremos el superíndice de aridad siempre que su
valor se deduzca del contexto (en una constante con aridad 0 se
omite el paréntesis).
Ejem: Q, MayorQue(7,2), P(A. B, C, D)
– fbfs de predicados: una expresión formada por fbfs del cálculo de
predicados (de la misma manera que en el cálculo proposicional).
Ejem:[MayorQue(7,2)∧ MenorQue(4,15)]∨¬Hermano(John, Sam) ∨ P
• También utilizaremos las extensiones que hicimos en el cálculo
proposicional (conjunciones y disyunciones con mas de dos
conjuntores o disyuntores, cláusulas, conjuntos (conjuntivos) de
cláusulas, etc.)
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La Semántica
• Mundos:
– El mundo puede tener un número infinito de objetos, también llamados
individuos. Estos pueden ser:
• Concretos: Julio Cesar, Bloque A
• Abstractos: 7, el conjunto de todos los enteros
• Entidades ficticias o inventadas (cuya existencia puede ser cuestionada
por alguien): la belleza, Papá Noel . Si estamos dispuestos a
darle un nombre y decir algó de él, podemos pensar acerca del objeto como
un individuo real del mundo, acerca del cual queremos hablar
– Funciones sobre individuos: podemos tener un número infinito de funciones de
todas las aridades que proyectan tuplas de n individuos en un solo individuo.
Ejem: una que proyecta los números 10 y 2 en el cociente 5
– Relaciones entre individuos: los individuos pueden participar en un número
cualquiera de relaciones ( a la relación de aridad 1 se le denomina propiedad).
Ejem: pesado, grande, azul o la relación n-aria estar entre (en la especificación
extensional de la relación n-aria debemos listar de forma explicita a los n
individuos)

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La Semántica
• Interpretaciones:
– Una interpretación de una expresión del cálculo de predicados
es una asignación (o aplicación) :
• que a las constantes de objetos les asigna objetos del
mundo
• que a las constantes de funciones n-arias les asigna
funciones n-arias
• y que a las constantes de relaciones n-arias les asigna
relaciones n-arias
– Denotaciones de sus correspondientes expresiones del cálculo
de predicados: así se denomina a las asignaciones anteriores
– Dominio de la interpretación: conjunto de objetos sobre los
cuales se establecen las asignaciones de las constantes de
los objetos
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Concepto de Verdad
• Dada una interpretación para los componentes de
una expresión, un átomo tiene el valor Verdadero
solo en el caso de que sea sostenible (correcta en
el mundo) la relación denotada para aquellos
individuos denotados por sus términos
• Si la relación no es sostenible el átomo tiene el valor
de Falso
• Los valores de verdadero y falso de las fbfs no
átomicas se determinan mediante las mismas tablas
de verdad que se utilizan en el cálculo proposional

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Ejemplo
• Para marcar la distinción entre los elementos del lenguaje y lo que éstos denotan,
utilizaremos negritas para los objetos, funciones y relaciones del mundo y
tipografía normal en los elementos del cálculo de predicados
• Imaginemos que el mundo es una estructura matemática que contiene a los
bloques A,B,C, y el Suelo
• También imaginemos las relaciones Sobre y Libre entre estos objetos,
supongamos que tenemos la configuración de bloques de la figura
siguiente,
podemos definir extensionalmente:
– En este mundo la relación Sobre se da por <B,A>, <A,C>, y <C,Suelo>
– La relación Libre se da por el elemento <B>
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Ejemplo (cont.)
• Asignación (aplicación) que hemos elegido para estas expresiones del
cálculo de predicados (una entre muchas de las interpretaciones):
• Según esta asignación podemos determinar el valor de algunas fbfs
del cálculo de predicados:

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Semántica
• Modelos:
– Muchos conceptos semánticos del cálculo de predicados tienen la
misma definición que en el cálculo proposicional:
• Una interpretación satisface una fbf si la fbf tiene el valor
Verdadero bajo esa interpretación
• Una interpretación que satisface una fbf es un modelo de ésta
• Toda fbf que tiene el valor Verdadero bajo todas las
interpretaciones es una fbf válida
• Toda fbf que no tiene ningún modelo es una fbf inconsistente
o insatisfactible
• Si una fbf ω tiene el valor Verdadero bajo todas aquellas
interpretaciones para las que cada fbf del conjunto ∆ tiene el
valor Verdadero, entonces ω se sigue lógicamente (o es una
consecuencia lógica) de ∆ (∆ ╞ ω )
• Dos fbfs son equivalentes si, y solo si, sus valores verdaderos
son idénticos bajo todas las interpretaciones (es decir, si, y solo si,
cada una de ellas se sigue lógicamente de la otra)
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Semántica
• Conocimiento:
– Las fórmulas del cálculo de predicados se
pueden utilizar para representar el
conocimiento que tiene un agente acerca del
mundo
– Al conjunto ∆ formado por este tipo de fórmulas
se le llama base de conocimiento del agente
– Si una fórmula ω se incluye en ∆ podemos decir
(con cierta impropiedad) que el agente
“conoce ω” (sería más acertado decir que el
agente “cree ω”)

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Conocimiento acerca del mundo
• Fórmulas que expresan el conocimiento acerca de
un posible mundo de bloques:
• Tres situaciones en el mundo de bloques:
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Interpretaciones
• La asignación de relaciones en el mundo a constantes de relaciones
son diferentes en los tres modelos
• Existen además otros modelos para estas fórmulas distintos de los
sugeridos por los nombres mnemotécnicas (incluso: todos los conjuntos
consistentes del cálculo de predicados tienen un modelo cuyo dominio
es el de los números enteros)
• Entre más formulas tengamos, menor será el conjunto de modelos
posibles:
– Si queremos concretar significados de un conjunto de fórmulas para
que estas constituyan conocimiento acerca de un mundo en
particular, debemos tener suficientes fórmulas que también
excluyan aquellos mundos con los que no queremos confundirlos

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Cuantificación
• Supongamos que queremos expresar que todos lo objetos del
dominio tiene una cierta propiedad. Para un domino finito
bastaría una conjunción como la siguiente:
Libre(B1)∧ Libre(B2) ∧ Libre(B3) ∧ Libre(B4)
• Supongamos que queremos expresar que al menos un objeto
del dominio tiene una cierta propiedad. Para un domino finito
bastaría una disyunción como la siguiente:
Libre(B1)∨ Libre(B2) ∨ Libre(B3) ∨ Libre(B4)
– Pero esto plantea un serio problema para dominios
grandes o infinitos, por lo que vamos a introducir,
adicionalmente a las unidades sintácticas ya introducidas,
dos nuevos símbolos (variables y cuantificadores) que
nos permitirán resolver el problema.
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Cuantificación
• Símbolos de variables: conjunto infinito compuesto por cadenas de
texto que comienzan con una letra minúscula de la parte final del
alfabeto, tales como p,q,r,s,t,...,p1,p2,p3,... ( se distinguirán de las
constantes de funciones por su uso en el contexto: f(x, Bob, C17))
• Cuantificadores: ∀ cuantificar universal y ∃ cuantificador existencial
• Si ω es una fbf y ξ es un símbolo de variable, entonces, tanto (∀ ξ) ω
como (∃ ξ) ω son fbfs.
– A ξ se le denomina variable cuantificada y se dice que esta
dentro del ámbito del cuantificador; esta variable estará
incrustada como termino en algún lugar de ω. Si todos los
símbolos de variable, además de ξ, están cuantificados en ω,
entonces se dice que es una fbf cerrada o sentencia cerrada:
(∀ x)[P(x) ⊃ R(x)]
(∃ x)[P(x) ⊃ (∃ y)[ R(x,y) ⊃ S(f(x))]]

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Propiedades
• (∀ x) [(∀ y) ω] ≡ (∀ y) [(∀ x) ω];de esta manera podemos agrupar las
variables cuantificadas universalmente en una sola cadena:
– (∀ x y)ω. En este tipo de fórmulas a ω se le llama matriz
• (∃ x) [(∃ y) ω] ≡ (∃ y) [(∃ x) ω];por lo que también podemos agrupar así:
– (∃ x y)ω.
• Las combinaciones de cuantificadores universales y existenciales
deben mantener su orden relativo
– no es equivalente (∀ x) [(∃ y) ω] a (∃ y) [(∀ x) ω]
• La variable de un cuantificador es del tipo “variable muda”, por lo tanto
podemos renombrarla sin cambiar el valor de la fbf.
– Así (∀ x) ω ≡ (∀ y) ω ,si todas las ocurrencias de x en ω son
reemplazadas por y
• En el cálculo de predicados de primer orden no se pueden cuantificar
los símbolos de función y de relación. En el cálculo de predicados de
segundo orden, y de ordenes mayores, se permite la cuantificación de
las funciones, pero a expensas del uso de mecanismos de inferencia
mucho más complejos
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Semántica de los cuantificadores
• Cuantificadores universales:
(∀ ξ) ω(ξ) tiene el valor Verdadero (bajo una asignación dada de
constantes de objetos, de relaciones y de relaciones a objetos,
funciones, y relaciones) en el caso de que ω(ξ) tenga el valor
Verdadero para todas las asignaciones del símbolo de la
variable ξ a los objetos del dominio
• Cuantificadores existenciales:
(∃ ξ) ω(ξ) tiene el valor Verdadero (bajo una asignación dada de
constantes de objetos, de relaciones y de relaciones a objetos,
funciones, y relaciones) en el caso de que ω(ξ) tenga el valor
Verdadero para, como mínimo, una de las asignaciones del
símbolo de la variable ξ a los objetos del dominio
• Equivalencias:
– Leyes de DeMorgan:
¬(∀ ξ) ω(ξ) ≡ (∃ ξ)¬ ω(ξ)
¬(∃ ξ) ω(ξ) ≡ (∀ ξ)¬ ω(ξ)

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Semántica de los cuantificadores
• Equivalencias:
– Renombrado de variables:
(∀ ξ) ω(ξ) ≡ (∀ η ) ω(η)
• Reglas de inferencia: Además de las reglas de inferencia del cálculo
proposicional generalizadas convenientemente agregaremos:
– Eliminación del universal (EU) [instanciación universal (IU)]
De (∀ ξ) ω(ξ) podemos inferir ) ω(α), donde:
ω(ξ) es cualquier fbf con la variable ξ
α es un símbolo de constante
ω(α) es ω(ξ) con ξ sustituida por α en todos los puntos en donde
aparece en ω
– Introducción del existencial (IE) [generalización universal (GU)]
De ω(α) podemos inferir ) (∃ ξ) ω(ξ)
Ejemplo: (∀ x) Q(A, g(A), x) podemos inferir (∃ y) (∀ x) Q(y, g(y), x)
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Representación del conocimiento
Conceptualizaciones:
• El primer paso en la representación del conocimiento acerca
del mundo es conceptual izarlo en términos de sus objetos,
funciones y relaciones. Algunas conceptualizaciones serán
más útiles que otras (no necesariamente más correctas)
• El siguiente paso consiste en crear expresiones del cálculo
de predicados cuyos significados a los objetos, las funciones y
las relaciones definidas
• Finalmente escribiremos fbfs que satisfacen el mundo tal y
como lo hemos conceptual izado. Estas fbfs también serán
satisfechas por otras interpretaciones; siempre y cuando, no
sean interpretaciones que puedan excluir nuestra formalización
del conocimiento acerca del mundo

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Conceptualizaciones
• Cuando diseñamos agentes que deben razonar e interactuar en
mundos reales (en lugar de imaginarios) es necesario que las
conceptualizaciones estén bien asentadas
• Cuando los valores de verdad, como mínimo, de algunos átomos de la
base de conocimientos son evaluados a través de mecanismos de
percepción conectados al mundo, decimos que el concepto esta
bien asentado:
Otros átomos pueden definirse a partir de estos átomos
preceptúales primitivos, pero la estructura entera debe de apoyarse
en algún tipo de percepción para que las conclusiones generadas por
los métodos lógicos tengan relevancia en el mundo en el que el agente
actúa.
Las matemáticas, no necesitan asentarse de esta manera, porque
las sentencias matemáticas no necesitan referirse al mundo físico
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Ejemplos

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Consideraciones adicionales
• En la IA existe una controversia por la disparidad existente entre la
rígida semántica de los lenguajes lógicos y las características
propias del conocimiento del mundo real con una semántica mucho
más fluida y tremendamente dependiente del contexto
• Para resolverlo se emplean lenguajes lógicos (con algunas
extensiones) para muchas representaciones y tareas del razonamiento
en la IA
• Como muestra: un punto de vista alternativo propone las
representaciones indexado-funcionales que establecen una relación
causal entre el agente y las entidades del mundo, ejemplo: la entidad
la-abeja-que-estoy-cazando está individualizada de manera
indexada( esta definida en términos de su relación con el agente) y
además está individualizada de forma funcional (definida en términos
de la tarea que está realizando el agente) el símbolo puede
corresponder a diferentes abejas en diferentes momentos. Mientras que
en la representación tradicional el símbolo ABEJA siempre se referirá a
la misma abeja