Álgebra

1. Página 1 de 6
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática Básica I
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Octubre del 2019
INECUACIONES
INECUACIONES
OOBBJJEETTIIVVOOSS EESSPPEECCIIFFIICCOOSS:
 SSaabbeerr rreessoollvveerr iinneeccuuaacciioonneess ppoolliinnoommiiaalleess eenn bbaassee aa
llooss tteeoorreemmaass ssoobbrree ddeessiigguuaallddaaddeess yy aall mmééttooddoo ddee llooss
iinntteerrvvaallooss..
 GGeenneerraarr llaass ccoonnddiicciioonneess ppaarraa uunn eessttuuddiioo aaddeeccuuaaddoo
ddeell ddoommiinniioo yy rraannggoo ddee llaass ffuunncciioonneess..
 RReeccoonnoocceerr yy ssaabbeerr rreessoollvveerr iinneeccuuaacciioonneess
ffrraacccciioonnaarriiaass,, iirrrraacciioonnaalleess,, eettcc..
CCOOMMEENNTTAARRIIOO PPRREEVVIIOO::
Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la
capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas
que se presentan aquí requiere que el estudiante sea
analítico, pues de esa manera lograremos determinar la
solución respectiva al problema.
En algunos casos las soluciones de las inecuaciones se
dan en gran cantidad, por lo que serán agrupadas en
intervalos.
ESQUEMA
INECUACION POLINOMIAL
DE GRADO SUPERIOR
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma
general:
P(x) =


 n
1n
1
n
0 a....xaxa 0 .... (*)
Donde: {a0, a1,....... an} R
a0  0; n  Z+
; n > 2
Resolución de una ecuación polinomial:
Para resolver esta inecuación se procede de la siguiente
manera:
I. Se factoriza el polinomio P(x) en R.
II. Los factores primos obtenidos que resultan
positivos, luego de factorizar el polinomio, se
pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no se
altera).
III.Para luego aplicar el método de los puntos críticos.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la
siguiente manera:
P(x) = )c-x)...(bc-x)(bc-x)(bc-x(b nn332211
Para la aplicación del método, se debe tener en cuenta:
 Los valores que anulan a P(x) son diferentes.
 Los coeficientes de “x” en todos los factores
lineales, deberán ser positivos; si uno de estos
coeficientes en un factor no fuese positivo, se tendrá
que multiplicar por (-1) a dicho factor, cambiándose
el sentido de la desigualdad.
Procedimiento
 Se iguala a cero, cada factor lineal, obteniéndose así
valores diferentes para “x”, a los cuales se les
denomina: puntos críticos.
 Estos valores se ubican en la recta numérica en
forma creciente (de menor a mayor), dividiendo a la
recta numérica en (n+1) zonas.
 El polinomio va a tomar valores positivos y
negativos de forma intercalada en cada zona, según
la figura.
 El conjunto solución toma en consideración a la
reunión de las zonas positivas o negativas,
dependiendo del sentido de la inecuación.
+- + -
n
n
b
c
3
3
b
c
2
2
b
c
1
1
b
c
n-1
n-1
b
c
Inecuaciones Fraccionarias
Polinomiales
Irracionales

2. Página 2 de 6
Sea:
n
n
3
3
2
2
1
1
b
c
.......
b
c
b
c
b
c

Ejemplos:
Resolver:
1. x3
- 6x2
+ 11x - 6  0
Resolución:
Factorizando:
(x-1)(x-2)(x-3)  0
Puntos críticos: {1, 2, 3}
- + +-
1 2 3

CS = x  [1, 2] U [3, +>
2. (x + 2) (x3
- 27) < 0
Factorizando:
(x + 2) (x - 3) (x2
+ 3x + 9) < 0
(+)  x  R
(x + 2)(x - 3) < 0
- ++
-1 2

3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4
 0
Es equivalente a:
(x + 1)(x - 4)  0  (x - 5)4
 0
 x  R
Observación: x = 5 verifica la inecuación:
- ++
-1 4
CS = x  [-1, 4] U {5}
4. (x - 2)(x - 5)(x - 7)6
> 0
Es equivalente a:
(x - 2) (x - 5) > 0  x  R - {7}
2 5
- ++
7
CS = x  <-, 2> U <5; +> - {7}
Teoremas: Dado x  R: , m  N
I. x > 0  x2m+1
> 0
II. x  0  x2m+1
 0
Así por ejemplo:
(x - 1)3
> 0  (x - 1) > 0
(x + 4)5
 0  (x + 4)  0
Conclusión:
Los polinomios de la forma 1m2
)ax( 
 ; m  N  a
 R tienen el mismo signo que su base (x-a).
5. (x + 4)3
(x - 1) (x - 3)5
 0
Es equivalente a: (x + 4)(x - 1)(x - 3)  0
 
-4 1 3
- + - +
CS = x  [-4; 1] U [3; +>
INECUACIÓN FRACCIONARIA E IRRACIONAL
Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos al
conjunto de valores admisibles de una expresión
matemática en R.
Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.):
El conjunto de Valores Admisibles de una expresión
matemática en R, es el conjunto de todos los valores
reales que puede tomar la variable de la expresión, para
los cuales dicha expresión está bien definida en R.
Ejemplos:
1) Sea f(x) =
2x
5

 C.V.A. (f) = R -{2}
2) Sea g(x)= 4
6x2   C.V.A. (g) = [3; +>
INECUACIÓN FRACCIONARIA
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma
general.
0
)x(Q
)x(P 

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x) de
grado n  1.
Resolución de la inecuación fraccionaria:
e sigue los siguientes pasos:
I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R.
II. Se halla el C.V.A. de la expresión
)x(Q
)x(P
C.V.A. 





Q
P
= R - {x/Q(x)  0}
III.Multiplicando a la inecuación por 2
)x(Q , se obtiene la
inecuación equivalente:
P(x). Q(x)

 0 la cual será resuelta por el método de los
puntos críticos.
IV. El conjunto solución es la intersección del C.V.A.
con la solución de III.
Ejemplo:
Resolver:
12xx
2xx
2
2


 0
I. Factorizando:
)4x)(3x(
)2x)(1x(


 0
II. C.V.A. = R - {-3, 4}
III.Multiplicando la inecuación por:
(x + 3)2
(x – 4)2
, la inecuación es equivalente a:

3. Página 3 de 6
(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 4)  0
-3 1 4
+ - +
-2
-+
CS = x  <-; -3> U [-2; 1] U <4; +>
INECUACIÓN IRRACIONAL
Es toda inecuación que tiene la siguiente forma general:
0F(x)


Donde: F(x) es una expresión matemática irracional.
Resolución:
A continuación presentaremos los casos más frecuentes,
de una inecuación irracional.
)x(h)x(f 
;
)x(h)x(f 
;
)x(g)x(f 
Los cuales se resuelven aplicando los siguientes criterios:
Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales.
I. )x(f <h(x)  f(x) 0  h(x) > 0  f(x) < 2
)x(h
(1) (2) (3)
CS : S1  S2  S3
II. )x(f >h(x){h(x)<0f(x)0}v{h(x)0f(x)> 2
)x(h
(1) (2)
CS = S1 U S2
III. )x(f > g(x) f(x)0  g(x)0 f(x) >g(x)
Ejemplos:
Resolver:
1) 2x5   3
2) 1x3  > - 2
3) 6x2  > x + 1
4) 2xx2
 < 5 - x
5) 1x2  - 8x  > 3
PPRRÁÁCCTTIICCAA DDEE CCLLAASSEE
01. Resolver:
2x2x
2x
2x
4
2





1x
3

si su intervalo solución es:
x<-; a] U [b, c> U <d,+>
Hallar: (a + b + c + d)
a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 10
02. Resolver:
372
452392
)3x()3x()1x(
)3x()5x4x()6x()3x(


 0
Indicar su intervalo solución:
a) x  <- ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>
b) x  <- ; -3] U <1, 3>
c) x  <- ; -2] U <-1; 1> U <2, +>
d) x  
e) x  R
03. Resolver:
153x10x2x5xx 2345
  0
Indicar el intervalo solución.
a) x  [-5, +> b) x  [5, +>
c) x  <-, -5] d) x  <-, 9]
e) x  R
04. Resolver:
2
1
)3x2)(2x(
3x3x2 2



Indicar su intervalo solución.
a) x  <-, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +>
b) x  <-, 2> U <4, +>
c) x  <-, -1> U <1, 2> U <3, +>
d) x  R e) N.A.
05. Resolver:
1
5x
5
1x
2




su conjunto solución es: x  <a, b> U <c, d>
Hallar: E = a + b + c + d.
a) -5 b) -1 c) 2
d) 5 e) 1
06. Resolver:
2
2x
4
2x
x2




a) x  <0, +> b) x  <-2, +>
c) x  <2, +> d) x  <-1, +>
e) x  <-4, +>
07. Resolver:
A = {x  R /
5x
3x


 0}
B = {x  R/
4x
2x


 2 }
Hallar (A  B)
a) <- , -3] U <5; +>
b) <-10, +>
c) <-, 10>

4. Página 4 de 6
d) [-10, -4>
e) N.A.
08.Hallar F U G.
F = {x  R+
/2x2
- 5x + 7  0}
G = {x  R+
/2x2
- 5x + 30  0}
a) <0, 1] U [3/2, + > b) R
c) R+
d) R - {1}
e) R - {3/2}
09. Hallar J  K siendo:
J = {x  R-
/x2
- 7 < 0]
G = {x  R /x2
- 5 > 0}
a) 7,7 b) 5,5
c) 5,7  d) 5,
e) 7,
10. Resolver: 4816x2

a) <-8, -4] U [4, 8>b) <- , -4] U [4, +]
c) <- , -4] U [8, +> d) <-, 6>U<8, +>
e) <-8, 8>
11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación
x2
+ xy + y2
- 4 = 0, defina valores reales de x?
a)







 
3
34
,
3
34
b) 



3
32
,0
c)  d) R
e) [-2, 2]
12. Determine los valores de x que impiden que y tome
valores reales en la ecuación:
xy2
- y2
- x = 0
a) R -{1} b) [1, +> c) <-, 0]
d) <1, +> e) <0, 1>
13. Resolver: 5625x2

a) <-9, -5] U [5, 9> b) <-9, 9>
c) <-, -9> U <9, +> d) R
e) <-, -5] U [5, +>
14. Resolver: 7 235
9x1xx2   0
a) <-1, 2] U [3, +> b) R
c) <-, -3> d) [-1, -3] U <-,-3]
e) [-3, -1] U [2, 3]
15. Resolver la siguiente inecuación:
5x21x6x3 
a) {2} b) R+
c) <-, -1>
d) <-1, +> e) [-1, +>
16. Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el
sistema:
x2
- 4x + 2k < 0 ... (1)
x2
+ k x + 0.5 > 0 ... (2)
a) 2 b) 4 c) 5
d) 16 e) Infinitos
17. Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en:
x2xx
kxx
23
2


 0
a) <0, 1> b) <1/4, 2> c) <1, 2>
d) <-, -1> U <0, 2> e) <-,0>U<0,1>
18. Si:
7x
6
3x
7



> 2, el conjunto solución es:
a) [-3, -1/2]U<7, 11> b) <-3, -1/2>U<7, 11>
c) <-3, -1/2] d) <-6, -1>
e) <-, -6] U [-1, +>
19. Resolver:
x14
4
x1
2


a) <-, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8) d) <-1, >
e) R
20. Resolver:
1x
2x3


< 4
a) <-, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8> d) <-1, +>
e) <-, -6> U <-1, + )
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02
01.Resolver: x3
- 18x2
+ 77x > 60
a) x  <1; 5> U <12; +>
b) x  <1; 4> U <10; +>
c) x  <-1; 5> U <12; +>
d) x  <0; 5> U <10; +>
e) x  <-12; -5> U <-1; +>
02. Resolver: x4
- 2x3
- 16x2
+ 2x + 15 < 0
a) x  <-3; -1> U <1; 5>
b) x  <-2; 0> U <1; 4>
c) x  <-1; 1> U <2; 5>
d) x  <3; 5>
e) x  <-3; 0>
03.Resolver:
3xx3x
20xx
23
2


 0
a) x  <-, -4] U <-1; 1> U <3; 5]
b) x  <-, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7]
c) x  <-4, -1> U <-1; 3>
d) x  <-, 4] U <8; 7>
e) x  
04. Resolver:
abx
bax


> 1, donde: 0 < a < b.
a) x <- ; -
b
a
> b) x <- a; 1>
c) x <- b; 1> d) x <-
b
a
; 1>
e) x <a; b>

5. Página 5 de 6
05.Resolver la inecuación:
ax
a3
ax
x



 22
2
ax
a6

Considerando que: a < 0.
a) <-3a; a]
b) <- ; 3a] U <a; +> - {- a}
c) [-3a; a>
d) <- ; a] U <3a; +>
e) R - {-a; a}
06.Resolver:
)1x)(4x(
)4x()9x)(8x(
2
2223


 0
si su intervalo solución es:
x  <-a; b> U {-c, c}
Hallar: E = a + b + c.
a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 6
07.Resolver:
2x
x
2x
2x
2
2




a) x[-2; +> b) x<-2; +>
c) x<-1; +> d) x[-2; 1]
e) x[1; +>
08.Resolver:
2x
4x
1x
2x
2
3
2
3





a) x<-; -2> b) x<-; 3>
c) x<-; 4> d) x<-; 2>
e) x  
09. Resolver:
 
5 2
32
3x4x
4x4x


< 0
a) x  <- ; -4> U <2; 3>
b) x  <- ; -3> U <2; 3>
c) x  <- ; -2> U <3; +>
d) x  R
e) x  
10. Resolver:
34578 2
x)1x(3x)2x(x4   0
Indicar un intervalo solución:
a) [-2; 2] b) <-; -2> c) <3; +>
d) [-2; 0] e) [-2; 0] U {2}
11. Resolver: x2x 
Dar un intervalo solución:
a) x  [-2; 2] b) x  <-2; 2] c) x  [-2;
8]
d) x  <2, 7> e) x  R
12. Resolver:
5x210x2x2

a) x > 3 b) 2 < x < 5 c) x > 1
d) x > 5 e) x  
TTAARREEAA DDOOMMIICCIILLIIAARRIIAA
01. Resolver:
)8x()8x(7x
x812x7x)2x()1x(9x
336
45 247


 0
a) x  <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1}
b) x  <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8>
c) x  <-4, -1] U <2, 3] U [4, +>
d) x  <-1, 1> U <2, +>
e) N.A.
02. Resolver: 1x6   2 x - 3
a) x  





 4,
6
1
b) x  





4,
2
1
c) x  


 ,
6
1
d) x   e) x  R
03. Resolver: 2x6x5x3x
3 23

a) x  <-, 1/3> U <2, +>
b) x  <-, -1/4> U <1/4, +>
c) x  R
d) x  
e) x  <-1/6, +>
04. Resolver: 0)6xx(|1x|8 22

a) x  <-2, 3> b) x  <-1, 1>c) x  <-2,
2>
d) x  R e) N.A.
05. Resolver:
4x
|1x|


< 1
a) <-, -4> U <-5/2, +>
b) <-, -4> U <1, 2>
c) <-4, +>
d) <-5/2, +>
e) N.A.
06. Resolver:
32
2
4x2
22xx


 x - 4
su intervalo solución es: x  [a, b] U [c, d]
Hallar: (a + b + c + d)
a) -4 b) -2 c) 2
d) 3 e) -1
07. Resolver:
x11x
1

 x - 4
a) x  [-4, +> b) x  <-, -1] U [1, +>
c) x  [-1, 1] d) x   e) x  R

6. Página 6 de 6
08. Resolver:
8
x4
x
1
x   0
a) x  [-1,0> U [1, 4] b) x  [-1,4]
c) x  <-1,0> U [1, 7] d) x  R
e) x  
09. Resolver: x20x  su intervalo solución es [a,
b>. Hallar (a+b).
a) -20 b) 5 c) -15
d) 10 e) N.A.
10. Resolver:
 
6x2x)3x()5x2()2x3(
xx1x)5x4x(1x)5x(
31367
343245 3


 0
a) x  <-, -5] U <-2, -2/3> U <0,3>
b) x  <-, -4] U <-2, 1> U <2,3>
c) x  [1, 3> d) x  <-3,3>
e) N.A.
11. Resolver: )2xx(8x 22
  0
a) x  <-, -2 2 ] U [2 2 , +>
b) x  <-, -2 2 ] U [4, +>
c) x  <-1, 1>
d) x  <-, -1] U [2, +>
e) x  R
12. Resolver; hallar su intervalo solución
3x2x2
 > -2
a) x  <-, -3] U [1, +>
b) x  <-, -2] U [4, +>
c) x  <-, -1] U [2, +>
d) x  <-, 0] U [4, +>
e) x  R
13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican:
)8x)(1x()xx)(1x2)(1x8(
)3x()xx)(xx()1x6x24x64(
332
4422323


 0
a) x<-;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+>
b) x<-;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+>
c) x<-;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+>
d) x  R e) N.A.
14. Hallar el conjunto solución en:
3x2x
2|x|
2


 0
a) [5/2, 3> b) [2, 5] c) <2, 3/2>
d) [2, 3> e) {2, -2}
15. El conjunto solución en: |x|2
- 4 > |3x - 6|
a) [-6, 3]’ b) [-7, 5/2]’ c) [-5, 2]’
d) <3, +> e) <- , -6>
16.Si x  <-2, 1] entonces x2
+ 2x + 2 pertenece al
intervalo:
a) [0,2] b) [0, 2> c) [0, 4>
d) [1, 4> e) [1, 5]
17. Si
1x
1

 <1/3, 1] entonces x2
+ 2x + 3 pertenece
al intervalo:
a) [2, 4> b) [0, 9> c) [3, 11>
d) [3, 9> e) [2, 10>
18.Determinar la verdad o falsedad en:
I. x  [1, 3] 
5x
4x


 





4
3
,
2
1
II. x  [1, 2] 
1x
7x


 [3, 4]
III.x2
 <4, 9>  x+1  <-2, -1> U <3, 4>
a) FVV b) FFF c) VVV
d) VVF e) FFV
19.Sea J = {x  R/x  |4x-7| < x+5}, entonces J es igual
a:
a) <2/5, 7/5] U [7/3, 4> b) R c) [7/3, 4]
d) <1/3, 2/5] e) <0, 1]
Bibliografía:
Casteleiro Villalba, José Manuel (2008). La
matemática es fácil.
Del Pozo García, Eva María (2004). Matemáticas
fundamentales para estudios universitarios.
Fleming, Walter & Dale Varberg (1991). Álgebra y
trigonometría con geometría analítica.
González García, Carlos (2008). Matemáticas 1°
Bachillerato. Editex.
Referencia:
Fleming, Varberg, p.137.