Matemática

226. 11. PruCbcse quc el pentadec4gono rcgular cs constructible.
12. PruCbcsc que cs posiblc trisccar el @lo de 72".
13. PruCbcrie quc un mdgono regular no es constructible.
*14. PruCbcrie quc el poligono regular dc 17 lados es umstructiblc.
Volvcmos a la cxposici6n general. Sea Fun campo y, como usualmente,
F[x] el anillo dc 10s polinomios en x sobrc F.
D~PIHICIS~iH f(.x ) = aoP+alP-l+ ... +al?-'+ ... +am-,x+a. cs
un polinomio en qx], cntonccs la derivada dc f(x), rcpresentada por f'(x),
es el polinomio f'(x) = naoP-l+(n-l)alP-l+ ... +(n-i)a#-I-'+
... +o;-, dc F[x].
Dar esta d&ici6n o probar las propicdades b4sim formales dc la
derivada en cuanto a polinomios sc refiere, no requicrc el concept0 dc
Ilmite. Pcro, como el campo F es arbitrario, podcmos espcrar quc pasen
algunas cosas cxtra2las. Por cjemplo, si F a dc caracterletica p + 0 la
derivada dcl polinomio x' cs pxn-' = 0. As1 pucs, el resultado com6n del
dculo dc quc un polinomio cuya derivada cs cero dcbc ser una constante,
no sigve sicndo vuido. Pcro si la caracterlstica de Fcs 0 y si f'(x) = 0 para
f(x)~F[xc]r cicrto que f(x) = a€F case el problcma 1). Incluso cuando
la caractcrlstica dc F cs p # 0 podemos ah describir lor polinomios con
derivada aro; si f'(x) = 0 entonas f(x) cs un polinomio en xp (vhrie el
problcma 2).
Probarnor ahora la8 anAlogas dc las rcglas formaks dc difmciaci6n quc
tan bien conocemos.
LEMA 5.5. PWQ ~lesquieraf(x)g,( x)€qx]y ~lquic~r EF
1) Cf(4 +g(x))' = f'(4 +g'(x);
2) (af(x))' = aY(x);
J) Cf(x)g(x))' - f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Prueba. Las pruebas dc las partcs (1) y (2) son extraordiumiimcnte
feciles y se dqan como cjercicio. Para probar la partc (3) n6tcsc quc, &
acuerdo wn la8 part- (1) y (2), cs suficicntc probarla en el caso muy espcial
Ax) = XI y g(x) = xJ dondc tanto i wmo j son positives. Pcro mtonccs
f(x)g(x) = x"', dc dondc Cf(x)g(x))' = (i+j) x'+'-'; pcro f'(x)g(x) =
i2-lxJ = ~.+J-I y f(x)g'(x) = jx'xJ-' = jx'+I-'; dc don&, en
consrmcnaa, f '(x)g(x)+f(x)gl(x) = (l+j)x'+'-' = Cf(x)g(x))'.

227. 16. MAS ACERCA OE RAICES 116
Rccutrdcsc que en el c4lculo elemental sc mucstra la cquivalcncia cntrc
la cxistencia dc una raiz multiple dc una funci6n y la anulaci6n simultanca
de la funci6n y su derivada en un punto dado. lncluso dcntro dc nucstro
actual rnarco, en el quc Fcsun carnpo arbitrario, existc una tal intcrrclaci6n.
LEMA 5.6. El polinomio f{x)eF[x] riene una raiz multiple si y sdlo si
f(x) y f'(x) rienen un factor comun no rri13ial (es decir, de grado posiriro).
Prueba. Antes dc probar el lcha, parecc adecuado quc hagamos obxr-var
quc si f(x) y g(x) en fix] ticnen un factor cornin no trivial en K[x],
para una K extension dc F, cntonces tienen un factor comun no trivial en
F[x]. En efecto, si fucran primos relativos como clcmcntos en FIX], cntonccs
podrlan mcontrarsc dos polinomios a(x) y b(x) en F[x] tales quc a(x)f(x)+
b(x)g(x) = 1. Como esta rclaci6n tambitn se vcrifica para cstos elcmmtos
vistos como elernmtos dc K[x], deberlan ser tambitn primos rclativos en
Kbl.
Vamos ahora con el lcma. Dc la observacion quc acabamos dc haccr
podcmos suponer, sin pCrdida dc generalidad, quc las ralccs dc f(x) sc cn-cuentran
todas en F (dc otra manera extendemos F hasta K, el camp dc
descomposici6n dc f(x)). Si f(x) ticnc urn raiz multiple a entones f(x) =
(x-a)"q(x) donde m > I. Pcro, como puedc calcularx dc inmediato,
((x-a)")' = m(x-a)"- I, dc dondc, scgun el lcrna 5.5,f'(x) = (x-u)"q'(x)
+m(x-a)*- ' q(x) = (x-a)r(x), ya quc rn > I. Pcro csto nos dice quc
f(x) y f'(x) ticncn x-a como factor corntin, con lo quc el lcma queda pro-bad0
en una direcci6n.
Por otra partc, si f(x) no time ninguna raiz m6ltiplc, cntonccs f(x) =
(x-(x-a)..(x-a), dondc las u, son todas distintas (estarnos
suponiendo quc f(x) cs m6nico). Pcro cntonccs f'(x) = 1 (x-a,) ...
n I- I
(x-a,) . . . (x-a,) dondc la A detcrmina el ttrmino quc se ha suprimido.
Afirrnamos quc ninguna raiz dc f(x) cs una raiz dc/'(x), pucs si/'(ai) = n (a,-a,) # 0, ya quc las ralccs son todas distintas. Pcro si f(x) y /'(x)
J*I
ticnm un factor comun no trivial, tiencn una raiz comlin, a saber, cualquicr
raiz dc cste factor comhn. El resultado ncto es que f(x) y /'(x) no ticncn
ningun factor comun no trivial, con lo quc el lcrna ha sido probado en la
otra dirccci6n.
COROLARIH. ) Sif(x)~F[x]e s irreducible, enronces :
1) Si la caracferlsfiea de Fes 0, f(x) no tiene ralces rntikiple~.
2) Si la caracferlsrica de F es p # 0, f(x) Iiene una ralz mrilfiple sdlo si
es & la form f(x) = g(xp).
Pruuba. Como f(x) cs irreducible, sus unicos factores en fix] son 1 y
f(x). Si f(x) ticnc una ralz multiple, cntonccsf(x) y f'(x) ticnen un factor

228. 228 CAMPOS - Cap. 6
comun no trivial de acuerdo con el lema, de donde f(x) lf'(x). Pero corn el
grado de f'(x) es menor que el de f(x), la unica forma posible de que eslo
suceda es que f'(x) sea 0. En caracterlstica 0 esto implica que f(x) es una
constante, que no tiene ninguna ralz: cuando la caracteristica en p # 0,
eslo obliga a que f(x) = g(xp).
Volveremos dentro de un momenlo a discutir las implicaciones del
corolario I mas complftamente. Pero antes, para su posterior uso en el
capitulo 7 en nuestro tratamiento de campos finitos, probaremos un caso
mAs bien particular
COROLAR2~.O S i F eS Un campo de caracfer~sricap # 0, enfonees el
polinomio xp" -XE~X]ri,en e, para n 3 1 , raices disfinfas.
Prueba. La derivada de xP"-x es p"xp"- ' - l = - 1, ya que F es de
caracteristica p. Por tanto. xp-x y su derivada son ciertamente primos
relativos, lo que, segrin el lema, implica que xp"-x no tiene raices multiples.
El corolario 1 no descarta la posibilidad de que en caracterlstica p # 0
un polinomio irreducible pueda tener raices multiples. Para &jar ideas,
exhibimos un ejemplo en donde lo dicho es lo que realmente sucede. Sea F,
un campo de caracteristica 2 y sea F = F,(x) el campo de las funciones
rationales en x sobre F,. Afirmamos que el polinomio 1'-x en F[t] es
irreducible sobre Fy que sus raices son iguales. Para probar la irreducibilidad
debemos demostrar que no hay ninguna funci~n racional en Fo(x) cuyo
cuadrado sea x; este es el contenido del problema 4. Para ver que rl-x
tiene una raiz mliltiple, notese que su derivada (la derivada es con respecto a
1, pues x estando en F, se considera como una constante) es 21 = 0. Desde
luego. el ejemplo anilogo funciona para cualquier caracteristica prima.
Ahora que hemos visto que la posibilidad es una realidad, se sefiala
una aguda diferencia entre 10s casos de caracteristica 0 y 10s de caracteristica
p. La presencia de polinomios irreducibles con raices multiples en el ultimo
caso, nos lleva hasla muchas sutilezas tan interesantes como complicadas.
Su estudio requiere un tratamiento mb elaborado y sofisticado que pre-ferimos
evitar en esre nivel. Por ranto, para el resfo de esre caplfulo con-renimos
en que fodos 10s campos que aparecen en el fexro propimenre dicho.
son wmpos de ea?acferisrica 0.
DEFINICI~LaN e.x tensidn Kde Fesunaexlensidn simple de F si K = F(%).
para al@n a en K.
En caracteristica 0 (o en extensiones propiamenle condicionadas en
caracterlstica p # 0; vkase problema 14) todas las extensiones finitas son
realizables como extensiones simples. Este resultado es.eI

229. 55, MAS ACERCA DL RAICLS 227
TEOREMSA.P. Si F es de caracreristico 0 y si o y b son olgebroicor sobre F.
enronces exisre un elemento csF(a, 6) rolque F(a, b) = F(c).
Pruebo. Sean f(x) y g(x), de grados m y n, 10s polinomios irreducibles
sobre F satisfechos por a y b respectivamente. Sea K una extension de Fen
que lanto f(x) como g(x) se descomponen completamente. Como la
caracteristica de F es 0 todas las raices de f(x) son distintas. y lo mismo
ocurre con las de g(x). Sean las rakes de f(x), a = a,. a,, ..., a. y las de
g(x). b = b,, b2. ..., 6,.
Si j # I . entonces bj # b, = b. de donde la ecuacidn a,+&, = a, +
ib, = o+i.b tiene solarnente una solucion 1 en K, a saber,
. /. =-0. 1-0
b-b,
Como F es de caracteristica 0 tiene un numero infinito de elementos, de
donde resulta que podemos encontrar un elemento ysF tal que a(+ ybj #
o+gh para todo i y para toda j # I. Sea c = o+yb; nuestra tesis es que
F(c) = F(o. b). Como csF(o, b) no hay duda de que F(c) c F(o. 6). De-mostraremos
que tanro o como b estan en F(c) de lo que se sigue que
F(a, b) c F(cJ.
Como h satisface al polinomio g(x) sobre F, lo satisface tambien mando
lo constderamos un polinomio sobre K = F(c). Ademas, si h(r) = f(c- yx).
entonces h(x)sK[x] y h(h) = f(c-;'b) = f(a) = 0, ya que o = c-76.
Luego en una extension de K. h(x), y g(x) tienen x-h como factor comun.
Aseguramos que x-b es, en realidad, su miximo comljn divisor. Pues si
b, # b es otra raiz de g(.O, entonces h(bj) = f(c-yb,) = 0, ya que, por
nuestra election de ;,, c- yb, para j # I esquiva todas las raices aj de f(x).
Ademas, como (x-b)'.+'g(x), (x-b)' no puede dividir al maximo comun
divisor de h(x) y g(x). Asi pues, x- b es el maximo comun divisor de h(x) y
g(x) sobre alguna extension de K. Pero entonces rienen un meximo comun
divisor no trivial sobre K, que debe ser un divisor de x-b. Como el grado de
I-b es I, vemos que el maxim0 comun divisor de g(x) y h(x) en K[x] es
exactamente x-b. Luego x-b~K[x]. de donde beK: recordando que
K F(c), obtenemos que beF(c). Como a = c-yb, y como b. CEF(C),
~EcF F( c), tenemos que a~F(c)d,e donde F(a, b) c F(c). Las dos relaciones
de contention opuestas nos dicen que F(a, b) = F(c).
Un s~mplea rgument0 de inducci6n extiende el resultado de dos elemenros
a cualquier numero finito, es decir, si a , . .... a, son algebraicor sobre F,
entonces hay un elemento ceF(z,, ..., .z,) tales que F(c) = F(z,. .... z.).
Luego el
COROLARIOC.u alquier exrenridn .finira de un compo de caracrerisrica 0
er uno exrensidn simple.

230. 1U1 UMPOS - Cap. 6
que f(x) - ae F.
I. Si F es de caracterlslica 0 y f(x)cF[x] es taI quef'lx) = 0, pmCbese
2. Si F es de caracterlstica p # 0 y si f(x)eF[x] es tal quef'(x) = 0,
3. PmCbese quc Wx)+g(x))' - f'(x)+g'(x) y quc (af(x))' = uf'(x)
prutbest quc Ax) = g(x7 para algh polinomio g(x)~F[x].
pra f(x). g(x)eF[xI Y REF.
4. Prutkse quc no hay ninguna funci6n racional en F(x) tal quc su
cuadrado sea x.
5. ComplCtese h inducci6n nccesaria para establecer el corolario al
tcorcma 5.p.
Un elcmento a en una cxtensi6n K dc F se llama scparablc sobrc F si
satisface un polinomio sobrc F quc no tienc ralccs multiples. Una cxtmsi6n
K dc F se llama scparablc sobre F si todos SUP elementos son separables
sobrc F. Un campo F st llama perfecto ai todas las cxtensiones finitas de F
'son separables.
6. Pruttme que cualquicr campo dc caractcristica 0 es perfecto.
7. a) Si F cs dc caracterlstica p # 0 mukatrcse que para a, bcF,
(a + b)" = + b'".
b) Si F es de caracterlstica p f 0 y si K es una extension dc F, sea
T = {ne K #.SF para algun n). PruCbese que Tes un subcampo
de K.
8. Si K. 7, F son como en el problema 7(b), pdhc quc cualquier
automofimo de K que dcja Ejos todos 10s clementos de F deja tambitn
aos todos 10s elementos de T.
*9. Dcmutstrcsc que un carnpo F de caracterlstica p # 0 es perfecto si
y 5610 ai para cualquier aeF podernos cncontrar un beF tal que bp = a.
10. Usando el resultado del problema 9, pruCbtse que cualquicr campo
hito es perfecto.
**11. Si K es unn extensihdc F pru~btdeq ue el conjunto de elementos
en K quc son separables sobrc Fforma un subcampo de K.
12. Si F es de caractcristica p + 0 y si K es una extcnsih finita de F,
pmCbese que dado acK o d"cfpara algun n o podcrnos mcontrnr un entero
m tal que aF+F y es separable sobre F.
13. Si K y F son como cn el problema 12, y si nindn clcmento que csth
en K,p er0 no en F, es separable sobre F,p dbest que dado ~EpKode mos
encontrar un entero n. depcndimte de a, tal quetF.sF.-

231. 10. ELEMENTOS DE U TEORIA DL OALDIS 119
14. Si K es una extensi6n hita y separable de F, pruCbese que K es una
extensi6n simple de F.
IS. Si uno de lor elementos a o b es separable sobre F, pruCbesc que
F(a, b) es una extmsi6n simple de F.
6. ELEMENTOS DE LA TEORh DE CALOlS
Dado un polinomio p(x) en FIX], el anillo de polinornios en x sobre F,
asociaremos con p(x) un grupo al que llamaremos el grupo de Galois de
p(x). Hay una relaci6n muy estrecha entrc la$ raices de un polinornio y su
grupo de Galois; en realidad, el grupo de Galois resultark ser uncierto grupo
de permutaciones de Ins ralocs del polinornio. Haremos un estudio de
estas ideas en esta y las pr6ximas miones.
lntroduciremos este grupo por medio del camp de descomposici6n de
p(x) sobre F, quedando definido d grupo de Galois de p(x) como un cierto
grupo de automorfismos de cste camp de descomposici6n. Es esta la
raz6n de que en tantos de 10s teoremas que vamos ahora a ver nos ocupernos
de 10s automor6smos de un campo. Entre 10s rubgrupos del grupo de Galois
y 10s subcampos del campo dc descomposici6n, existe una hcrmosa dualidad
que expresa el teorema fundamental de la teorla de Galois (tcorema 5.v).
De esto derivarcmoa una condicidn para la solubilidad por medio de radi-cales
de las ralces de un polinornio en tkrminos de la estructura algebraica de
su grupo de Galois. De esta condici6n derivaremos, a su vez, el cllsico
resultado de Abel sobre la no solubilidad por radicales del polinomio
general de grado 5. Durante el proceso derivaremos, tambitn, como resulta-dos
colaterales, teoremas que, de por sl, son de gran interhs. Uno de ellos
sera el teorema fundamental sobre funciones simhtricas. Nuestro enfoque
del tema st basa en el tratamiento dado por Artin.
RecuCrdese que estamos suponiendo que todos nuestros campos son de
caracterlstica 0, de donde resulta que podemos haccr Cy haremos) libre uso
del toorema 5.p y su corolario.
Por un automorjsmo del campo K entenderemos, como es comln, una
aplicaci6n a de K sobre sf mismo tal que a(a+b) ;. a(a)+a(b) y a(&) =
a(a)a(b) para (I, beKcualesquiera. Dos automorfismos o y r de Ksedia que
son distintos si #(a) Z r(a) para a1 menos un elemento a€K.
Comenzamos con el aiguiente
TEOREM5A. ~.S i K es un mmpo y si a,, .. . , oms on disrintos ouromorfis-mos
de K, enlonces es imposible enconrrar elemenros a,, . .., am, no rectos 0.
en K, ralesquea,a,(u)+a,a,(u)+ ... +ama.(u) = Opararodo UEK.
Prueba. Supongamos que pudikramos encontrar un conjunto de eiemen-
- 10s a,, .... a, en K, no todos ccro, tales que a,a,(u)+ ... +4o,(u) 0

232. I30 CAMPOS - Cmp. 6
para todo UEK. Enlonces podriamos encontrar una relacion la1 que tuviera
tan pocos terminos como fuera posible; renumerando, si fuera preciso.
podemos suponer que esta relacibn minima es
donde a,, . .., a, son todos diferentes de 0.
Si m fuera igual a I enlonces a, ol (u) = 0 para todo UEK, lo que nos
llevaria a a, = 0, en coptra de lo supuesto. Podemos, pues, suponer que
1)r > I. Como 10s automorfismos son distintos hay un elemento CEK tal
que o, (c) # o.(r). Como cue K para todo ueK, la relacion (I) debe tambikn
verificarse para cu, es decir, a,o, (cu)+a,o,(cu)+ ... +a,o.(cu) = 0
para todo UEK. Usando la hipdtesis de que las o son automorfismos de K.
esta relacion toma la forma
Multiplicando la relacion (I) por a,(c) y restando el resultado de (2)
obtenemos
Si hacemos b, = a,(o,(c)-o,(c)) para i = 2, ..., m. entonces 10s b,
estanenK,bm=a.(o.(c)-o,(c))#O,yaqueam#O,yom(c)-al(c)#0,
aunque b,02 (u)+ . . . + b,o,(c) = 0 para todo ucK. Esto produce una
relaci611 mas corta, en contra de la elcccion quc hicimos: luego el teorema
esta probado.
DEFINICIOSNi. C es un grupo de automorfismos de K, entonces el
campojjo de Ges el conjunto de todos 10s elementos aeKtales que o(a) = a
para lodo aeG.
N6tese que esta definicibn time sentido, incluso si G no es un grupo,
sino simplemente un conjunto de automorfismos de K. Pero el campo fijo
de un conjunto de automorfismos y el del grupo de automorfismos generado
por esle conjunto (en el grupo de todos 10s automorfismos de K) son iguales
(problema I), de donde nada perdemos por definir el concept0 solo para
grupos de automorfismos. Ademas. unicamente estaremos interesados en
10s campos fijos de grupos de automorfismos.
Habiendo llamado en la anterior definicion eampo fijo de C a1 conjunto
que alli se define, seria agradable comprobar que la terminologia empleada
en este caso es en verdad exacta. Es lo que nos dice el
Prueba. Sean a, b elementos del campo fijo de G. Para todo ofG,
tenemos, pues. o(a) = a y a(b) = b. Pero entonccs- o(af b) = o(a)f

233. 5 6. ELEMEHTOS DE U TEORIA DE GALOIS 231
a(b) = akb, y dc la misma forma, a(ab) = a(a)a(b) = ab; de donde
a+b y ab estiin tambien en el campo fijo de G. Si b # 0, entonces a(b-') =
a(b)- ' = b- ', de donde b- ' tambien se encuentra en el campo fijo de G.
Luego hernos verificado que el campo fijo de G es, ciertamente, un subcampo
de K.
Nos ocuparemos de 10s automorhsmos de un campo que se comportan
de una forma determinada sobre un subcampo dado.
DEFINICIS~eNa .K un campo y sea F u n subcampo de K. Entoncn, el
grupo de aulomorfrsmos de K relalivos a F, que representaremos por G(K, F),
es el conjunto de todos 10s automorfismos de K que dejan fijos todos 10s
elementos de F; es decir, el automorfisrno a dc K cstii en G(K, F) si y 8610
si a(a) = a para todo LIEF.
Noes sorprendente, y es muy fhcil de probar, el siguicnte
LEMA 5.8 G(K, F) es un svbgrupo del grupo de lodos 10s oulomorfismos
de K.
Dejamos la pmeba de este lema a1 lector. Una observaci6n : K contiene
el campo de 10s ninneros racionales F,, ya que K es de caracteristica 0 y es
facil ver que el campo fijo de cualquier grupo dc automofismos de K,
siendo un campo, debe contcncr a F,. De aqui quc todo numcro racional
permanece fijo en todo automorhsmo de K.
Hacemos una pausa para examinar unoscuantos ejemplos de 10s conceptos
que acabamos de presentar.
EJEMPLIO. Sea K el campo de 10s nheros complejos y sea F el campo
de 10s numeros reales. Calculamos G(K, F). Si a es un automorfismo cual-quiera
de K, como i' = - 1 , a(i)' = a(i2) = a(- 1) = -I, de dondc
a(i)+ ki. Si, ademh, a deja fijos a todos 10s reales, entonces para cualquier
a+bi donde a y b son reales. a(a+bi) = a(a)+a(b)j = af bi. Cada una
de estas posibilidades, es decir, la aplicaci6n a, (a+ bi) = a+ bi y a, (a+ bi) =
a-bi define un automofimo de K; a, es el automorfismo identidad y a, La
conjugation compleja. Asi pues, G(K, F)es un grupo de orden 2.
LCuhl es el campo fijo de G(K, F)? Debe, ciertamente, contener a F,
Lpero contiene algo miis? Si a + bi estii en el campo fijo de G(K, F) entonces
a+bi = a,(a+ bi) = a- bi de donde b = 0 y a = a+ bi~F.E n este caso
vemos que el campo fijo de G(K, F)es precisamente el mismo F.
EJEMP2. ~S ea F, el campo de 10s numeros racionales y sea K = Fo(g)
donde $2 es la ralz cubica real de 2. Todo elemento en K es de la forma
a,+a, $?+a,(p)' donde a,, a, y a, son n6meros racionales. Si.0 es un

234. 232 CAMPOS - Cap. 6
automorfismo dc K, cntonces a(<;I)' = ~((32)') = a(2) = 2, de dondc
~(35d)c be tambien ser una raiz clibica de 2 pcrtcnccicntc a K. Pcro hay
solamenre una ralz ccbica rcal de 2, y como K cs un subcampo dcl campo
rcal, debemos tcner quea(3) = $9. Pero cntonces a(ao+a, <,2+a,($?)')
= ao+a, ;5+a2($5)', es decir, a es el automorfismo identidad dc K.
Vcmos. pues, que G(K. Fa) consta solo dc la aplicacion identidad. y en cste
caso el campo fjo & G(K, Fa) no es Fa. sin0 que en realidad es bartante
mayor, pues es rod0 K.
EJEMPLO3. Sea Fo el campo dc lor numcros racionales y sea w =
Cl"llJ. , tenemos pues que o' = I y que o satisface al polinomio x4+x3+
xl+x+ l sobre Fo. Por el criterio dc Eiscnstein se puede probar quc
.r4+x"x2 +x+ 1 cs irreducible sobre Fa (vkasc el problcma 3). As1 pues,
K= F0(w1 cs de grado 4 sobre Fo y lodo elemento dc K es de la forma
a,+ n, w+a,o'+a3r3dondetodoslos ao.a,.a,,a3est~ncnFa. Ahora bicn.
para cualquier automorfismo a de K. a(w) # I. ya quc a(l) = I. y a(w)' =
a(w5) = a(l) = I. dedonde a(w) es tambitn una raiz quinta de la unidad.
En consecuencia, a(w) puedc solamentc ser w. w2, w3 o w'. Afirmamos que
cada una dc estas posibilidades ocurre realmente, pues definamos las
cualro aplicaciones a,, a,, a, y a, por a,(ao+a,w+a,wl+.r,w') =
aa+a,(w1)+a1(wf~1+a3(w1)p3a,r a i = 1. 2.3.4. Cada uno dc ellos define
un automorfismo de K (problema 4). Por tanro, como aeG(K. Fa) csti
completamentc dctcrminado por a(w1. G(K, Fo) cs un grupo de ordcn 4.
con a, como su elemento unidad. Como a,' = a, a,' = a, y a,' = a,.
G(K. Fa) es un grupoclclicodc orden 4. Se puede ficilmente probar que el
campo fijo dc G(K. Fo) cs Fo (problcma 5). El subgrupo A = {a,. a,) dc
G(K. Fo) ticnccomo su campo fijo el conjunto de todos lor elementor no+
a,(w'+wJ), quc cs una exlension de Fo de grado 2.
Los ejemplos. aunquc ilustrativos, son aun demasiado cspeciales, pues
pucde obscrvarsc que en cualquiera de ellos G(K, F) rcsulta ser un grupo
ciclico. Esto cs cxtraordinariamcnte atipico, pues. en general. G(K. F) no
ncccsita ser ni siquicra abeliano (vkase el teorcma 5.a). Pero. a pesar
dc su caricter especial, traen a luz cicrtos hechos importanles. Por una
parte. mucstran que debemos estudiar el efecto dc 10s automorhsmos sobrc
las raices de 10s polinomios y. por otra, subrayan que F no neresarian~rf~te
ha dc ser igual a todo el campo fijo de GIK. F). Lor casos en que csto
sucede son muy convenicnles y son s~tuacionesa las quc den~rod c poco dedi-carcmos
mucho tiempo y esfucrro.
Calculamqs ahora una importante cola dc la magnilad de G(K. F).
TEOREM5A.~ .Si K es una e.rrensidn ,Jiniro de F. ento~~reGs( K. F) rs r~ri
grupofinirn .I su orden. o(G( K. F)), sati.$are o(G(K. Fl) <[K: F].

235. I6. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS 233
Prueba. Sea [K: F ] = n y supongamos que u, , ..., u, es una base de .
K sobre F. Supongamos que podemos encontrar n+ l automorfismos
distintos a,, a,, . . ., a,+ , en G(K, F). De acuerdo con el corolario a1 teo-rema
4.f el sistema de n ecuaciones lineales homogeneas en las n + 1 incogni-tasx,,
..., x,+, :
tiene una solucion no trivial (no toda 0) x, = a , , ..., x,+ , = a,+, en K
Luego
para i = 1, 2, . .., n.
Como cada uno de 10s ai deja fijo a todo elemento de F y como un
elemento arbitrario t de K es de la forma I = z, u, + . . . +gnu, con z, , . . ., z,
en F, entonces, por el sistema de ecuaciones (I), tenemos a, a, (t)+ . . . +
a,,, a,+ , ( t ) = 0 para toda ~EKP.e ro esto cont,radice el resultado del
teorema 5.q. Luego el teorema 5.r ha sido probado.
El teorema 5.r es de importancia central en la teoria de Galois. Pero
aparte del papel que alli juega nos sirve tambitn para probar un resultado
clasico concerniente a las funciones racionales simetricas. Este resultado
sobre funciones simetricas, a su vez juega un papel importante en la teoria de
Galois.
Hagamos primer0 algunas observaciones sobre el campo de las funciones
racionales en n variables sobre un campo F. Recordemos que en la secci6n I I
del capitulo 3 definimos el anillo de 10s polinomios en las n variables
x , , . . ., x, sobre F y de esto pasamos a definir el campo de las funciones
racionales en x, . . . ., x, , F(x, . . . ., x,). sobre F como el anillo de todos 10s
cocientes de tales polinomios.
Sea S, el grupo simetrico de grado n considerado como si actuara sobre
el conjunto [I, 2, .. .. n]: para acS, e i un entero con I ,< i ,< n, sea a(i) la
imagen de i bajo a. Podemos hacer actuar a S, sobre F(x,. ..., x,) en
la siguiente forma: para ~ESy, r(xI, .... x,)cF(x,, .... x,), definimos la
aplicacion que lleva r(.-, . . . ., .r,) sobre r(x,,, ,, . . ., x,, , ,). Representaremos
a esta aplicacion de F(x, , . . ., s,) sobre si mismo tambien por a. Es obvio
que estas aplicaciones definen automorfismos de F(x, , .. ., .-,). ;CuaI es el
campo fijo de F(s, . . . .. .v,) respecto a S,? Consiste simplemente en todas
las funciones racionales r(s, . .... .v,) tales que r(s,. .. ., s,) = r(x,,,,. . . ..

236. 234 CAMPOS - Cap. 5
x,,,,) para todo UES,. Pero estos son precisamente aquellos elementos en-
F(x, , . . ., x,) que se conocen como funciones racionales sirnktricas. Como
son el campo fijo de S, forman un subcampo de F(xl , .. ., x,) llamado el
campo de las funciones racionales simbtricas al que representaremos por S.
Nos ocuparemos de estos tres problemas :
1) LA qut es igual [F(xl , . . ., x,) : S] ?
2 ) ~Quets G(F(x,, ..., x,), S)?
3 ) ~Podemosd escribir S en ttrminos de alguna extensidn simple par-ticular
de F?
Contestaremos a estas tres preguntas simultlneamente.
Podemos presentar explicitamente algunas funciones particularmente
sencillas de S construidas con x, , . . ., x, conocidas como funciones simhtricm
elementales en x, , . . ., x,. Las definimos como sigue :
a, = x, x2 x,. -
Probar que estas son funciones simttricas se deja como ejercicio. Para
n = 2,3 y 4 las escribimos explicitamente a continuacion.
n = 2
a , = x,+x,.

237. 5 6. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS 235
Notese que cuando n = 2, x, y x, son las raices del polinomio I' -a, ?+a,,
cuando n = 3, x, , x2 y x, son las raices de t3-a, f 2+a2f -a3, y cuando
n = 4,x,,x,,x3 y x4son, todas, raicesdet4-a,t3+a,t2-a3f+a4.
Como a,, ..., a, estln, todos, en S el campo F(a,, ..., a,) obtenido por
la adjuncion de a, , . . ., a, a F debe encontrarse en S. Nuestro 'objetivo es
ahora doble, a saber, probar que
I) [F(x].,. ., x,):S] = n!.
2) S = F(al , . . ., a,). 4
Como el grupo S, es un grupo de automorfismos de F(xI, . . ., x,) que
deja a S fijo, S, c G(F(x,, .. ., x,), S). Luego, seglin el teorema 5.r,
[F(xl,. ... x,):S] k o(G(F(xI,.. ., x,), S ) )k o(S,) = n!. Si puditramos de-mostrar
que [F(x, , . . ., x,): F(a, , . . ., a,)] < n!, entonces, como F(a, , . . ., a,),
es un subcampo de S, tendriamos n! k [F(xI,.. ., x,): F(a, . . ., a,)] =
[F(x, , . . ., x,) : S ] [S: F(a, ,. . ., a,)] k n!. Pero entonces tendriamos que
[F(xI,.. ., x,):S] = n!,[ S :F (a, , ..., a,)] = 1 y, por tanto, S = F(a,, ..., a,),
y, finalmente, S, = G(F(xI, .. ., x,), S) (esto ultimo por lo afirmado en la
segunda oracion de este parrafo). Estas son precisamente las conclusiones
que buscamos.
Asi pues, para concluir con todo este asunto solo debemos probar que
[F(xl, . . ., x,): F(a, , . .., a,)] < n!. Para ver esto, observemos primero que el
polinomio p(r) = rn-a, rn-'+a2tn-2 ... +(-])"a,, que tiene coeficientes
en F(a, , . . ., a,), se factoriza sobre F(x, , . . ., x,) como p(t) = ( t - x , )
(t -x2) . . . (r -x,) (este es en realidad el origen de las funciones simttricas
elementales).Asi pues, p(t) de grado n sobre F(a, , . . ., a,), se descompone en
un product0 de factores lineales sobre F(x,, ..., x,). No pyede descom-ponerse
sobre un subcampo propio de F(xI, ..., x,) que contenga a
F(a, , . . ., a,). pues este subcampo tendria entonces que contener tanto a F
como a cada una de las raices de p(t), es decir, a x, , x, , . . ., x, ; pero entonces
este subcampo seria todo F(x, , . . ., x,). Asi pues, rernos que F(xI, . .., x,) es
elcarnpodedescornposicidndelpolinorniop(t) = tn-a,tn-I+ ... +(-])"a,
sobre F(a, , .. ., a,). Como p(r) es de grado n, seg6n el teorema 5.h, tenemos
[F(x, , . . ., x,): F(a, , . . ., a,)] ,< n!. De donde todas nuestras afirmaciones
quedan probadas. Resumimos todo este estudio en el siguiente basic0 e
importante resultado.
TEOREM5.As. Sea F un campo y F(x, , .. ., x,) el carnpo de las funciones
racionales en x, , . . ., x, sobre F. Supongarnos que S es el carnpo de las fun-ciones
racionales sirne'tricas; entonces
I ) [F(x,, ..., x,):S] = n!.
2) G( F(x, , . . ., x,), S) = S,, el grupo sirne'trico de grado n.
3) Si a , , .... a, son las funciones sirne'tricas elernentales en x , , ..., x,,
entonces S = F(a, , . . ., a,).

238. 236 CAMPOS - Cap. 6
4) F(x,, ..., x,) es el campo de descomposicidn sobre F(a, , ..., a,) = S-delpolinomiotn-
a,t"-1+a,t"-2 ... +(-l)"~,.
Mencionamos anteriormente que dado un entero cualquiera n es posible
construir un campo y un polinomio de grado n sobre este campo cuyo campo
de descomposici6n sea del maximo grado posible, n!, sobre este campo. El
teorema 5.s nos proporciona explicitamente tal ejemplo, pues si hacemos
S = F(a,, ..., a,), el campo de las funciones rationales en n variables
a,, . . ., a, y consideramos 4el campo de descomposici6n del polinomio
tn - al tn- +a, tn- . . . + (- I)"a, sobre S, entonces vemos que es de grado
n! sobre S.
La parte (3) del teorema 5.s es un teorema muy clhsico. Afirma que una
funcibn racional simktrica en n variables es una funcibn racional en las fun-ciones
simktricas elementales de estas variables. Este resultado puede hacerse
a~inm as solido : un polinomio simttrico en n variables es un polinomio en
sus funciones simttricas elementales (vkase el problema 7). Este resultado se
conoce como el teorema sobre polinomios sime'tricos.
En 10s ejemplos discutimos de grupos de automorfismos de campos y de
campos fijos bajo tales grupos, vimos que podla muy bien suceder que
F fuera realmente menor que el campo fijo total de G(K, F). Ciertamente, F
esta siempre contenido en este campo, pero no necesariamente lo Ilena. Asi
pues, imponer la condicion sobre una extension K de Fque Fsea precisamente
el campo fijo de G(K, F) es una limitacion genuina sobre el tipo de extension
de F que estamos considerando. Es en esta clase de extension en la que
estamos mas interesados.
DEFINICIK~ Nes. u na extensibn normal de F si K es una extension finita
de F tal que F es el campo fijo de G(K, F).
Otro modo de decir lo mismo: si K es una extension normal de F, en-tonces
todo elemento de K que no esta en F sufre alteracion por alg6n
elemento de G(K, F). En 10s ejemplos discutidos, 10s ejemplos 1 y 3 eran
extensiones normales, mientras que el ejemplo 2 no lo era.
Una consecuencia inmediata de la hipotesis de normalidad es que nos
permita calcular con gran precision el tamaiio del campo fijo de cualquier
subgrupo de G(K, F) y, en particular, dar mhs fuerza al enunciado del
teorema 5.r, cambiando la desigualdad que en tl aparece en una igualdad.
TEOREM5.A~ .S ea K una extensibn normal de F y sea H un subgrupo de
G(K, F); sea K,, = {XEK ( u(x) = x para toda UE H) el campo fijo de H.
Entonces :
I) [K:KH] = o(H).
2) H = G(K, K,)
(En particular, cuando H = G(K, F), [K: F] = o(G(K, F)).l

239. i 6. ELEMENTOS DE IA TEORIA DE GALOlS 237
Prueba. Como todos 10s elementos de H dejan fijos a todos 10s elementos -
de KH, es claro que H c G(K, KH). De acuerdo con el teorema 5.r sabemos
que [K: KH] 2 o(G(K, KH)); y como o( G(K, KH)) 2 o(H) tenemos las
desigualdades [K: KH] 2 o (G(K, KH)) 2 o (H). Si puditramos demostrar que
[K: KH] = o(H) se seguiria de inmediato que o(H) = o(G(K, KH)), y como
un subgrupo de G(K, KH) con el orden de G(K, KH) tendriamos H =
G(K, KH). Luego solo nos queda, por demostrar que [K: KH] = o(H) para
haber demostrado todo. 4
Segun el teorema 5.p existe un ~EtaKl q ue K = KH(a);e sta a debe, por
tanto, satisfacer un polinomio irreducible sobre KH de grado m = [K: KH]
y ninglin polihomio no trivial de grado mas bajo (teorema 5.c). Sean 10s
elementos de H 10s u,, u,, ..., uh donde u, es la identidad de G(K, F) y
donde h = o(H). Consideremos las funciones simttricas elementales de
a = ul (a), 0, (a), . . ., ah (a), a saber :
Cada ai es invariante bajo cualquier a€ H (iPdbese!). Asi pues, por la
definici6n de KH, a,, a,, . . ., ah son todos 10s elementos de KH. Pero a
(lo mismo que u, (a), . .., uh(a)) es una raiz del polinomio p(x) = (x-0,)
(x-u2(a)) ... (x-uh(a)) = xh-alxh-I +a2xh-,+ ... +(- que tiene
todos sus coeficientes en KH. Por la naturaleza de a esto obliga a que
h 2 m = [K: KH], de donde o(H) B [K: KH]. Como ya sabemos que o(H) 9
[K: KH] sabemos que o(H) = [K: KH], la conclusion deseada.
Cuando H = G(K, F), por la normalidad de K sobre F, KH = F; por
consiguiente, para este caso particular tenemos el resultado [K:F] =
o(G(K, F)).
Estamos acercandonos rhpidamente al teorema central de la teoria de
Galois. Lo que aun falta es la relacion entre 10s campos de descomposicion
y las extensiones normales. Llenamos esta falla con el
TEOREM5A.u . K es una wtensidn normalde F si y sdlo si K es el campo de
descomposicidn de algrin polinomio sobre F.
Prueba. En una direccion la prueba nos recordara mucho la del
teorema 5.t.

240. 238 CAMPOS - Cap. 5
Supongarnos que K es una extension normal de F; segun el teorema 5.p,
K = F(a). Consideremos el polinomio p(x) = (x - a , (a)) (x - a, (a)) . . .
(x-a,(a)) sobre K, donde a , , a,, . . ., a, son todos 10s elementos de G(K, F).
Desarrollando p(x) vemos que p(x) = x" - a, xn- +a, x"- + . . . + (- I )"a,
donde a , , ..., a, son las funciones simetricas elementales en a = a, (a),
a,(a), ..., a,(a). Pero entonces a , , ..., a, son, cada una, invariantes con
respecto a toda a€G(K, F), de donde, por la normalidad de K sobre F,
todas deben estar'en F. Por tanto, K descompone al polinomio p(x)F~[ x]
en un product0 de factoris lineales. Como a es una raiz de p(x) y como a
genera K sobre F, a no puede estar en ningun subcampo propio de K que
contenga a F. Luego K es el campo de descomposicion dep(x) sobre F.
Ahora en la otra direccion; esto es un poco mas complicado. Apartamos
una pieza de la prueba en el
LEMA5 .9. Sea K el campo de descomposicidn de f ( x ) e n F[x]y sea p(x)
un factor irreducible de f ( x ) en F[x]. Si las raices dep ( x ) son a, , . . ., a,, entonces
para cada i existe un automor-smo oi en G(K,F) tal que ai(aI) = ai.
Prueba. Como cualquier raiz de p(x) es una raiz de f(x), tal raiz debe
encontrarse en K. Sean a, , ai dos raices cualesquiera de p(x). De acuerdo con
el teorema 5.i hay un isomorfismo r de F, = F(a,) sobre F; = F(ai) que
lleva a, sobre ai y deja todos 10s elementos de F fijos. Ahora bien, K es el
campo de descomposicion de f(x) considerado como un polinomio sobre F, :
analogamente, K es el campo de descomposicion de f(x) considerado como
un polinomio sobre F;. Segun el teorerna 5.j hay un isomorfismo ai de K
sobre K (luego un automorfismo de K) que coincide con r sobre F,. Pero
entonces ai(a,) = r(a,) = ai y ai deja a todos 10s elementos de Ffijos. Esto
es, desde luego, exactamente lo que afirma el lema 5.9.
Volvemos ahora a nuestra tarea de completar la prueba del teorema 5.u.
Supongamos que K es el campo de descomposici6n del polinomio f(x) en
F[x]. Queremos demostrar que K es normal sobre F. Procedemos por
induccion sobre [K: F], suponiendo que para cualquier par de campos
K, , Fl con [Kl : F,] menor que [ K: F], siempre que K, es el campo de des-composici6n
sobre F, de un polinomio en F,[x], entonces K, es normal
sobre PI.
Si ~(x)FE[x ]s e descompone en factores lineales sobre F, entonces K = F,
que ciertamente es una extension normal de F. Asi pues, supongarnos que
f(x) tiene un factor irreducible p(x)~F[xd]e grado r > I. Las r raices
distintas a , , a,, . . ., a, de p(x) todas se encuentran en K y K es el campo de
descomposicion de f(x) considerado como un polinomio sobre F(a,).

241. 16. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS
Como
de acuerdo con nuestra hipotesis de induccidn, K es una extension normal de
F(a !).
Sea BEK fija para cualquier automorfismo aeG(K, F); queremos
demostrar que 8 esta en F. "Ahora bien, cualquier automorfismo en
G(K, F(al)) deja, ciertamente, fija a F, de donde deja a 8 fija; por la nor-malidad
de K sobre F(a,), esto implica que 8 esta en F(a,). Asi pues
1 ) 8 = Ao+A1al +A2a,2 +...+A_, alr-' donde A, ,..., EF.
De conformidad con el lema 5.9 hay un automorfismo ai de K,
sic G(K, F), tal que ai(al) = ai ; como Qte oi deja 8 y toda Aj fijas, aplicin-dolo
a (I) obtenemos
2) 2 8 = Ao+Alai+12ai +...+ i,_,a;-' para i = 1, 2, ..., r.
Asi pues, el polinomio q(x) = Ar-1xr-'+Ar-2xr-2+ ... +A,x+(A,-8)
en K[x], de grado cuando mk r- 1, tiene las r distintas raices a,, a,, . . ., a,.
Esto puede suceder solamente si todos 10s coeficientes son cero; en particular
A, - 8 = 0, de donde 8 = A,, luego esta en F. Esto completa la induccidn y
prueba que K es una extension normal de F. El teorema 5.u esta completa-mente
probado.
DEFINICIONSe. a f(x) un polinomio en F[x]y sea K su campo de descom-posicion
sobre F. El grupo de Galois de f(x) es el grupo G(K, F) de todos
10s automorfismos de K que dejan fijos todos 10s elementos de F.
Notese que el grupo de Galois de f(x) puede considerarse como un grupo
de permutaciones de sus raices, pues si a es una raiz de f(x) y si UEG(KF, )
entonces a(a) es tambien una raiz de f(x).
Llegamos ahora al resultado conocido como el teorema fundamental de
la teoria de Galois. Establece una correspondencia biyectiva entre 10s
subcampos del campo de descomposicion de f(x) y 10s subgrupos de su
grupo de Galois. Ademas da un criterio para que un subcampo de una
extension normal sea el mismo una extension normal de F. Este teorema
fundamental se usara en la proxima seccion para derivar condiciones para
la solubilidad por radicales de las raices de un polinomio.
TEOREM5A.v . Sea f ( x ) un polinomio en F[x], K su campo de descompo-sicion
sobre F y G (K, F) su grupo de Galois. Para cualquier subcampo Tde K
que contiene a F sea G(K, T) = {a€ G(K, F) I a(t) = t para todo t~ T) y
para cualquier subgrupo H de G(K, F) sea K, = {XE K I o(x) = x para

242. 240 CAMPOS - Cbp. 5
todo H). Entonces la asociacibn de T con G(K, T ) establece una correspon-dencia
biyectiva del conjunto de subcampos de K que contienen a F sobre el
conjunto de subgrupos de G(K. F) tal que :
1) T = KG,,,,).
2) H = G(K, K,).
3) [K: TI = O(G(K, T)), [T:q = indice de G(K, T ) en G(K, F).
4) T es una extensibn aormal de F si y sblo si G(K, T ) es un subgrupo
normal de G(K, F).
5) Cuando T es una extensibn normal de F, entonces G(T, F) es isomorjb
a G(K F)IG(K, T).
Prueba. Como K es el campo de descomposicion de f(x) sobre F es
tambitn el campo de descomposicion de f(x) sobre cualquier subcampo T
que contenga a F; por tanto, seg6nel teorema 5.u, K es una extension normal
de T. Asi pues, por la definicion de normalidad, Tes el campo fijo de G(K, T),
es decir, T = KG(,,,), probando asi (1 ).
Como K es una extension normal de F, de acuerdo con el teorema 5.t,
dado un subgrupo H de G (K, F), entonces H = G (K, K,) que es lo que se
afirma en la parte (2). AdemPs, esto demuestra que cualquier subgrupo de
G(K, F) se presenta en la forma G(K, T), de donde la asociacion de T con
G(K, T ) transforma el conjunto de todos 10s subcampos de K que contienen
a Fsobre el conjunto de todos 10s subgrupos de G(K, F). Que es inyectiva es
claro, pues, si G(K, T,) = G(K, T2), entonces, por la parte (I), T, =
KG(,,,,) = KG(K.T=~ )T 2.
Como K es normal sobre T, tenemos, al aplicar de nuevo el teorema 5.t,
[K: T] = o(G(K, T)); pero entonces, o(G(K, F)) = [K: F] = [K:T:I [T:q =
o(G(K, T ) ) [T: F], de donde
en G(K, F). Y tsta es la parte (3).
Las unicas partes que quedan por probar son las que conciernen a la nor-malidad.
Haremos primer0 la siguiente observaci6n. T es una extensi6n
normal de F si y so10 si para cada o~ G(K, F), o(T) c T. iPor quc!? Sabemos
por el teorema 5.p que T = F(a); asi pues, si o(T) c T entonces u(a)~T
para todo oeG(K, F). Pero como vimos en la prueba del teorema 5.u esto
implica que T es el campo de descomposicion de p(x) = n (x-o)(a))
aeG(K.F)
que tiene coeficientes en F. Como campo de descomposici6n T, por el
teorema 5.u, es una extensi6n normal de F. Reciprocamente, si T es una
extensi6n normal de F, entonces T = F(a), donde el polinomio minimo de
a, p(x), sobre Ftiene todas sus raices en T (teorema 5.4. Pero para cualquier
o~ G(K, F), o(a) es tambih una raiz de p(x), de donde o(4 debe estar en T.

243. 5 6. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS . 241
Como T estti generado por a sobre F tenemos que a(T) c T, para todo
a€ G(K, F).
Asl pues, Tes una extensi6n normal de Fsi y s610 si para todo a€ G(K, F),
r€G(K, T) y ~ETa,( t)~yT, por tanto, r(a(t)) = a(t); es decir, si y s610 si
a- 'ra(t) = t. Pero esto dice que Tes normal sobre Fsi y s610 si a- ' G(K, T)
a c G(K, T) para todo a€ G(K, F). Siendo esta hltima condici6n precisa-mente
que la parte (4) queda probada. .
la que define G(K, T) como un subgrupo normal de G(K, F), vemos
Finalmente, si T es normal sobre F, dado a€G(K, F), como a(t) c T,
a induce un automodismo a, de T definido por a,(t) = a(t) para todo
~ETC. omo a, deja a todo elemento de F fijo, a, debe estar en G(T, F).
Ademtis, como es evidente, para cualquier a, $E G(K, F), (a$), = a, $, de
donde la aplicaci6n de G(K, F) en G(T, F) definida por a -+ a, es un homo-modismo
de G(K, F) en G(T, F). iQd h el nhcleo de este homomodismo 1
Consiste en todos 10s elementos a en G(K, F) tal que a, es la aplicaci6n
identidad sobre T. Es decir, el nhcleo es el conjunto de todos 10s a,€ G(K, F)
tales que t = a,(t) = a(t); por la misma debici6n, tenemos que el nhcleo
es exactamente G(K, T), La imagen de G(K,F) en G(T, F), se@n el
teorema 2.d, es isomorfa a G(K, F)/G(K, T), cuyo orden es o(G(K, F))/
o(G(K, T)) = [T:I;l (por parte 3) = o(G(T, F)) (como establece el teo-rema
5.t.). Asi pues, la imagen de G(K, F) en G(T, F) es todo G(T, F) y,
por tanto, G(T, F) es isomorfo a G(K, F)/G(K, T). Esto termina la prueba de
la parte (5) y con eUo completamos la prueba del teorema 5.v.
Problemas
1. Si K es un campo y Sun conjunto de homomodismos de K, demuestre
que el campo fijo de S y el de S (el subgrupo del grupo de todos 10s automor-fismos
de K generados por S) son idbnticos.
2. Prubbese el lema 5.8.
3. Usando el criterio de Eisenstein, prubbese que x4+x3 +x2 +x+ 1
es irreducible sobre el campo de 10s nhmeros racionales.
4. En el ejemplo 3 del texto, prubbese que cada una de las aplicaciones
a, que alli se dehieron es un automorfismo de Fo (a).
5. En el ejemplo 3, prukbese que el campo fijo de Fo(w) bajo a, , u2, a,
y a4 es precisamcnte Fo.
6. Prubbese directamente que cualquier automodismo de K debe dejar
fijos todos 10s racionales.
*7. Prubbese que un polinomio simbtrico en x, , . . ., x, es un polinomio
en las funciones simktricas elementales en x, , . . ., x,.

244. 242 . CAMPOS - Cap. 5
8. Exprksense 10s siguientes corno polinornios en las funciones sime-tricas
elernentales en x, , x2 y x,.
a) x,~+x~~+x,~.
6) x,~+x~~+x,~.
c) (XI -X~)~(X-XI, )~(X-x~3 Y.
9. Si or, , or,, a, son las raices del polinornio clibico x3 + 7x2 - 8x+ 3,
encukntrese el polinomid clibico cuyas raices son :
2 2 2 a) or, ,a2 ,a3 .
*lo. Pruebense las.identidades de Newton, es decir, si or,, or,, ..., orn son
lasraices def(x) = x"+a,x"-'+~,x"-~+. .. +any si sk = crIk+or2'+. ..
+at, entonces
a) sk+~I~k-I+a2~..k. -2+ = Osi k = 1,2, ..., n.
6) sk+aIsk-+, ... +ansk-, = 0 para k >n.
c) Para n = 5, apliquese la parte (a) para deterrninar s2 , s3 , s, y s, .
11. Pruebese que las funciones sirnitricas elernentales en x, , . . ., xn son,
ciertarnente, funciones sirnetricas en x, , . . ., xn.
12. Si p(x) = xn- I, prukbese que el grupo de Galois de p(x) sobre el
carnpo de 10s nlirneros racionales es abeliano.
El nurnero cornplejo w es una raiz n-Psima primitira de la unidad si
wn = 1 pero wm # I para 0 < m < n. Fo denotari el carnpo de 10s nlirneros
racionales.
13. a) Pruebese que hay 4(n) raices n-Csirnas prirnitivas de la unidad
donde 4(n) es la funcion 4 de Euler.
6) Si w es una raiz n-esirna prirnitiva de la unidad, pruebese que
Fo(w) es el campo de descornposicion de xn- I sobre Fo (y por
tanto es una extension normal de F,).
C) Si wI , . . ., w4(,, son las 4(n) raices n-esirnas prirnitivas de la
unidad, prutbese que cualquier autornorfisrno de Fo(w,) lleva w,
en alglin mi.
d) Pruebese que [Fo( w, ): Fo] ,< 4(n).
14. La notacion es corno la del problerna 13.
*a) Pruebese que hay un autornorfisrno ai de Fo(wl) que lleva w, en
wi.
b) Pruebese que el polinorniop,(x) = (x-w,) (x-w,) . . . (x-w4(,,)

245. 17. SOLUBlLlDAD POR RADICALES 243
tiene coeficientes racionales. El polinomio pn(x) se llama el
n-dim0 polinomio ciclotimico.
*c) Pruebese que en realidad 10s coeficientes depn(x) son enteros.
15. Osense 10s resultados de 10s problemas 13 y 14 para probar que pn(x)
es irreducible sobre Fo para todo n 2 1.
16. Para n = 3, 4, 6 y 8, calculese y,(x) explicitamente, demutstrese que
tiene coeficientes enteros y prukbese directamente que es irreducible sobre Fo .
17. a) PruCbese que el grupo de Galois de x3 - 2 sobre Fo es isomorfo a
S,, el grupo simetrico de grado 3.
b) Encutntrese el campo de descomposici6n K de x3 - 2 sobre Fo .
c) Para cada subgrupo H de S, encuentrese K, y comprutbese que
la correspondencia da en el teorema 5.v.
d) Encukntrese una extension normal en K de grado 2 sobre Fo.
18. Si el campo F contiene una raiz ndsima primitiva de la unidad
prudbese que el grupo de Galois de 2' -a, para a€ F, es abeliano.
1
7. SOLUBILIDAD POR RADICALES
Dado el polinomio especifico x2 + 3x+4 sobre el campo de 10s numeros
racionales Fo, de acuerdo con la formula cuadrltica para sus raices, sabemos
que estas son (- 3+p)/2; asi pues, el campo ~,(ems el campo de
descomposici6n de xZ + 3x + 4 sobre Fo . Hay, por consiguiente, un elemento
y = -7 en Fo tal que el carnpo extension Fo(o) donde oZ = y es tal que
contiene todas las raices de x2 + 3x + 4.
Desde un punto de vista ligeramente diferente, dado el polinomio
cuadritico general p(x) = x2 + a, x+a, sobre F, podemos considerarlo
como un polinomio particular sobre el campo F(a,, a,) de las funciones
racionales en las dos variables a, y a, sobre F; en la extension obtenida por
la adjuncion de w a F(al , a,) donde 02 = a, -4p,~F(a,, a,) encon-tramos
todas las raices de p(x). Hay una f6rmula que expresa todas las
raices dep(x) en terminos de a, , a, y raices cuadradas de funciones racionales
deal ya,.
Para una ecuacion cubica la situacion es muy semejante; dada la ecuacion
general clibica p(x) = x3 +a, x2 +a, x + a, puede darse una formula
explicita, incluyendo combinaciones de raices cuadradas y raices citbicas de
funciones racionales en a,, a, y a,. Aunque en forma algo complicada las
fdrmulas de Cardano nos las dan explicitamente : Seanp = a, - (a, 2/3) y

246. CAMPOS - Cap. 5
y sea
(con raices cubicas propiamente escogidas); entonces las raices de p(x) son
P+Q-(a,/3), oP+ozQ-(al/3) y 02p+o~-(al/3) donde o f 1 es una
raiz clbica de 1. Estas formulas solo nos sirven para ilustrar que, se&n la
adjuncion de una cierta raiz cuadrada y luego una raiz cubica a F(a, , a,, a3)
llegamos a un campo en el que p(x) tiene sus raices.
Para polinomios de cuarto grado, que no daremos explicitamente, me-diante
el uso de operaciones racionales y raices cuadradas podemos reducir
el problema al de resolver cierta raiz cubics, de mod0 que tambibn aqui
puede darse una formula que exprese las raices en tdrminos de combina-ciones
de radicales de funciones racionales de 10s coeficientes.
Para polinomios de grado quinto o mhs alto, no puede darse tal formula
universal radical, pues demostraremos que es imposible expresar sus rakes,
en general, de este modo.
Dado un campo F y un polinomio p(x) E F[x] decimos que p(x) es soluble
por radicales sobre F si podemos encontrar una sucesi6n finita de campos
F, = F(w,), F, = F, (o,), .. . , Fk= F,-, (w,) tal que olrEl F, olr2~F1.. ,. ,
F, - , tal que las raices de p (x) se encuentren todas en F, .
Si K es el campo de descomposici6n de p(x) sobre F, entonces p(x) es
soluble por radicales sobre F si podemos encontrar una sucesion de campos
como anteriormente tales que Kc F,.Una observation importante y que
usaremoS posteriormente en la prueba del teorema 5.x, es que si puede encon-trarse
un tal F,, podemos, sin pdrdida de generalidad, suponer que sea una
extension normal de F; dejamos la prueba de esta afirmacion como problema
(problema 1).
Por polinomio general de grado n sobre F, p (x) = x" + a, x" - ' + . . . + a,
entendemos lo siguiente : Sea F(a, , . . ., a,) el campo de funciones racionales
en las n variables a, , . . ., a, sobre F, y considbrese el polinomio particular
p(x) = x"+a,x"-'+ ... +a, sobre el campo F(a,, ..., a,). Decimos que
es soluble por radicales si es soluble por radicales sobre F(a, , . . ., a,). Esto
expresa realmente la idea intuitiva de "encontrar una formula" para las
raices de p(x) que implique combinaciones de raices mCsimas para varias
m, de funciones racionales en a,, a,, . . ., a,. Para n = 2, 3 y 4 seiialamos
que esto puede hacerse siempre. Para n k 5; Abel prob6 que no puede
hacerse. Pero esto no excluye la posibilidad de que un polinomio dado
sobre F pueda resolverse por radicales. En realidad, daremos un criterio

247. 17 SOLUBlLlDAD POR RADICALES 246
para esto en tCrminod del grupo de Galois del polinomio. Pero primer0
debemos desarrollar unos pocos resultados de teoria pura de grupos.
Algunos de estos aparecieron como problemas al final del capitulo 2; pero,
sin embargo, 10s haremos aqui oficialmente.
DEHNICI~NUn. grupo G se dice que es soluble si podemos encontrar
una cadena finita de subgrupos G = No 2 N, 2 N, =, . . . 3 Nk = (e) donde
cada Ni sea un subgrupo normal de N,-, y tal que ca& grupo factor
N,- ,INi sea abeliano.
Todo grupo abeliano es soluble, pues simplemente se toma No = G y
N, = (e) para satisfacer la anterior definicion. El grupo simttrico de
grado 3, S,, es soluble. En efecto, si tomamos N, = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)),
N, es un subgrupo normal de S, y S,/N, y N,/(e) son, ambos, abelianos por
ser de 6rdenes 2 y 3, respectivamente. Se puede demostrar que S, es soluble
(problema 3). Para n 2 5 demostraremos en el teorema 5.w que S, no es
soluble.
Busquemos una descripci6n alternativa para la solubili&d. Dado el
grupo G y 10s elementos a y b de G, entonces el commufador de a y b es
el elemento a- ' b- ab. El subgrupo conmufador, G', de Gesel subgrupo de G
generado por todos 10s conmutadores de G. (No es necesariamente cierto
que el conjunto de 10s conmutadores mismo forme un subgrupo de G.)
Vimos en un ejercicio anterior que G' es un subgrupo normal de G. AdemBs,
el grupo G/Gf es abeliano, pues &dos dos elementos cualesquiera en dl, aG',
bG', con a, ~EGe,n tonces
(aGf)(bG') = abG' = ba(b- 'a- ' ab) G' =
(como a-'b-'ab~G') = baG' = (bG1)(aG'). Por otra parte, si M es un
subgrupo normal de G tal que G/M es abeliano, entonces M3 G', pues
&dos a, ~EGe,n tonces (aM)(bM) = (bM)(aM) de donde deducimos
abM = baM, luego a- ' b- 'abM = M y, por tanto, a- 'b - ' abM~. C omo
M contiene todos 10s conmutadores, contiene a1 grupo que estos generan, es
decir, a G'.
G' es un grupo por derecho propio, asi que podemos hablar de su grupo
conmutador G(2) = (GI)'. Este es el subgrupo de G generado por todos 10s
elementos (a1)- '(6')- ' a'b' donde a', b'G~'. Es ficil probar que no solo es
G(,) un subgrupo normal de G', sino tambikn un subgrupo normal de G
(problema 4). Continuando de esta forma definimos 10s subgrupos con-mutadores
mBs altos G("' por G("' = (G("- ")'. Todo G'"' es un subgrupo
normal de G (problema 4) y G("- ')/G("' es un grupo abeliano.
En ttrminos de estos subgrupos conmutadores mis altos de G, tenemos
un criterio sucinto de solubilidad, a saber,
LEMA 5.10. G es soluble si y sblo si Qk) = (e) para algljn entero k:

248. 246 CAMPOS - Cap. 5
Prueba. Si G(~=) (e) sea No = -G, N, = G', N, = G(", .. . , Nk = G'~)= (e).
Tenemos G = No 2 N, =IN, 2 . . . =IN, = (e); con cada Ni por normal en
G, ciertamente, tambien normal en Ni-, . Finalmente,
luego es abeliano. Asi pues; segun la definici6n de solubilidad de un grupo, G
es un grupo soluble.
Reciprocamente, si G es un grupo soluble, hay una cadena G = No 3
N, 3 N, 3 . . . =I N, = (e) donde cada Ni es normal en Ni-, y donde
Ni- ,INi es abeliano. Pero, entonces, el subgrupo conmutador N',-, de
Ni- , debe estar contenido en N,. Asi pues, N, 3 Nd = G', N, 3 N; 3 (G')'
= G(,), N, 3 N; 3 (G(,))' = G(,), . . ., Ni 3 G('), (e) = Nk 3 G(k). De donde
resulta que G") = (e).
COROLARIOS.i G es un grupo soluble ,y si G es una imagen homomdrfica de
G, entonces G es soluble.
Prueba. Como G es una imagen homom6rfica de G, es inmediato que
(G)(" es la imagen de G(k), Como G(" = (e) para alguna k, (G)'" = (e) para
la misma k, de donde, de acuerdo con el lema, C es soluble.
El siguiente lema es clave en la prueba de la familia infinita de grupos S,,
con n 2 5, no es soluble; aqui S, es el grupo simktrico de grado n.
LEMA 5.1 1. Sea G = S, donde n 2 5; entonces G(') para k = 1, 2, . . .,
contiene todo ciclo de orden 3 de S, .
Prueba. Observemos primer0 que para un grupo arbitrario G, si N es un
subgrupo normal de G entonces N' debe tambiCn ser un subgrupo normal
de G (problema 5).
Afirmamos que si N es un subgrupo normal de G = S, donde n 2 5, que
contiene todo ciclo de orden 3 en S,, entonces N' debe tambien contener
todo ciclo de orden 3. Pues supongamos a = (I, 2, 3), b = (1,4, 5) de N
(estamos aqui usando que n 2 5); entonces a- ' b- ' ab = (3, 2, I) (5,4, 1)
(1, 2, 3) (1,4, 5) = (1,4, 2), como conmutador de elementos de N debe
estar en N'. Como N' es un subgrupo normal de G, para cualquier ~ES,,
n- ' (l,4, 2)n debe estar tambiCn en N'. Escojamos n en S, tal que n(1) = i, ,
n(4) = i, y n(2) = i,, donde i, , i, e i, son cualesquiera tres enteros distintos
en el rango de I a n; entonces n- '(I, 4, 2)n = (i,, i,, i,) estA en N'. Luego
N' contiene todos 10s ciclos de orden 3.
Haciendo N = G, que es ciertamente normal en G y contiene todos 10s
ciclos de orden tres, tenemos que G' contiene todos 10s ciclos de orden 3;

249. 17. SOLUBILIDAD POR RADICALES 247
como G' es normal en G, G(2' contiene todos 10s ciclos de orden 3; como
02e)s n ormal en G, G'~c)on tiene todos 10s ciclos de orden 3. Continuando
de esta forma llegamos a la conclusion de que G"' contiene todos 10s
ciclos de orden 3 para cualquier k.
Una consecuencia directa de este lema es el resultado interesante para
la teoria de grupos de que -
TEOREM5A.w . Sn no es soluble para n > 5.
Prueba. Si G = Sn, segdn el lema 5.1 1, G'" contiene todos 10s ciclos de
orden 3 de Sn para todo k. Por tanto, G") # (e) para toda k, de donde de
acuerdo con el lema 5.10 G no puede ser soluble.
lnterrelacionamos ahora la solubilidad por radicales de p(x) con la
solubilidad como grupo del grupo de Galois de p(x). La misma terminologia
es altamente sugestiva de que una tal relacion existe. Pero primero necesita-mos
un resultado acerca del grupo de Galois de un cierto tipo de polinomio.
LEMA5. 12. Supongamos que el campo F tenga todas las raices n-himas
de la unidad (para un cierto determinado n) y supongamos que a #O estci en F.
Sea 2 - a€ F[x] y sea K su campo de descomposicidn sobre F. Entonces:
1) K = F(u), donde u es cualquier raiz de 2 -a.
2) El grupo de Galois de 2 -a sobre F es abeliano.
Prueba. Como F contiene a todas las raices n-tsimas de la unidad,
contiene t = eZni1"n; otese que tn= 1 pero tm# I para 0 c m c n.
Si u~ K es cualquier raiz de x" -a, entonces u, tu, t2u , .. ., r"- ' u son
todas las raices de 2-a. Que son raices, es evidente; que son distintas se
sigue de que si tiu = tiu con 0 < i c j< n, entonces como u # 0 y
(ti- tj)u = 0, debemos tener ti = ti, lo que es imposible ya que ti-' = 1
con 0 <j - i c n. Como ~EFt,od os 10s u, tu, .. . , t" -' u estdn en F(u),
luego F(u) descompone 2 - a; como ninglin subcampo propio de F(u) que
contenga a F contiene tambitn a u, ninglin subcampo propio de F(u) puede
descomponer a ?-a. Asi pues, F(u) es el campo de descomposici6n de
2-a, y hemos probado que K = F(u).
Si o, T son dos elementos cualesquiera de x"-a, es decir, si o, r son
automorfismos de K = F(u) que dejan todos 10s elementos de F fijos,
entonces como tanto o(u) como r(u) son raices de ?-a, o(u) = tiu y
r(u) = tiu para algunas i y j. Asi pues, or(u) = o(tiu) = tio(u) (ya que
tieF) = ttiu = ti+ju; anhlogamente, ro(u) = ti+ju. Por tanto, or y ro
coinciden sobre u y sobre F, de donde, en todo K = F(u). Pero entonces
or = ro, de donde el grupo de Galois es abeliano.

250. CAMPOS - Cap. 6
Ndtese que el lema dice que cuando F tiene todas las raices n-tsimas de la
unidad, entonces, adjuntando una rdz de 2-a a F, donde ~EFte,n emos
todo el campo de descomposici6n de 2 - a, luego Qte &be ser una extension
normal de F.
Suponemos para el resto de la seccidn que F es un campo que contiene
todas las raices n-Psimas de la unidadpara todo entero n. Tenemos
TEOREM5A.x . Si p(x)~F[xe]s soluble por radicales sobre F, entonces el
grupo de Galois sobre F de ) (x) es un gmpo soluble.
Prueba. Sea K el campo de descomposici6n de p(x) sobre F; el grupo de
Galois de p(x) sobre F es G(K, F). Como p(x) es soluble por radicales
existe una sucesi6n de campos
Fc F, = F(o,)c F, = F,(w2)c ... c F, = Fk-,(ak),
donde wlrlE F, wZn~F1.. ,. , OPEFk - y donde K c F,. Como dijimos
podemos suponer, sin @rdida de generalidad, que F, es una extensi6n normal
de F. Como extensi6n normal de F, Fk es tambitn una extensi6n normal de
cualquier carnpo intermedio, de donde Fk es una extension normal de cada
una de las Fi . I
Se@n el lema 5.12 toda Fi es una extension normal de Fi-, y como F,
es normal sobre Fi-,, de acuerdo con el teorema 5.v, G(Fk, Fi) es un sub-grupo
normal en G(Fk, Fi- ,). Consideremos la cadena:
1) G(Fk, F) 3 G(Fk, F,) 3 G(Fk, F2) 3 ... 3 G(Fk, Fk-1) ~(4.
Como acabamos de hacer notar, cada grupo en la cadena es un subgrupo
normal en el que le precede. Como Fi es una extension normal de Fi-,,
de acuerdo con el teorema fundamental de la teoria de Galois (teorema 5.v)
el grupo de Fi sobre Fi-, , G(Fi, Fi-,) es isomorfo a G(F,, Fi-,)/G(F,,
F,). Pero se@n el lenia 5.12, G(Fi, Fi-,) es un gupo abeliano. Luego
todos 10s grupos cociente G(Fk, Fi- ,)/G(Fk, Fi) de la cadena (1) es abeliano.
iLueg0 el grupo G(F,, F) es soluble! Como Kc Fk es una extensi6n nor-mal
de F (por ser un campo de descomposici6n), segtin el teorema 5.v,
G(Fk,K) es un subgmpo normal de G(Fk,F) y G(K,F) es isomorfo
a G(Fk,F)/G(Fk,K). Asi pues, G(K,F) es una imagen homom6rfica
de G(Fk. F) que es un gmpo soluble; por el corolario del lema 5.10, el
mismo G(K, F) debe entonces ser un grupo soluble. Como G(K,F) es el
grupo de Galois de p(x) sobre F, el teorema ha sido probado.
Hacemos dos observaciones sin prueba.
1) El reciproco del teorema 5.x es tambitn cierto, es decir, si el grupo de
Galois de p(x) sobre F es soluble, entonces p(x) es soluble por
radicales sobre F.
2) El teorema 5.x y su reciproco son ciertos incluso si F no contiene
raices de la midad.

251. 17. SOLUBILIDAD POR RADICALES 249
Recordando lo que se entiende por polinomio general de grad0 n sobre F,
p(x) = Y+a, Y- ' + . . . +a,, y lo que se entiende por soluble por radicales,
cerramos el capftulo con el gran teorema clisico de Abel
TEOREM5A. ~.E l polinomio general de grado n 2 5 no es soluble por
radicales.
Prueba. En el teorema 5.s demostramos que si F(a, , . . ., a,) es el camp
de las funciones rationales en las ;variables a,, . . ., a,, entonces el grupo de
Galois del polinomio p(t) = tn+a, tn- ' + . .. +a, sobre F(al, . . . , a,) era
S,, el grupo simCtrico de grado n. De acuerdo con el teorema 5.w S, no es
un grupo soluble cuando n 2 5, asl pues, segtin el teorema 5.x p(t) no es
soluble por radicales sobre F(a, , . . ., a,) cuando n 2 5.
*l. Si p(x) es soluble por radicales sobre F, pruCbeseque puede encon-trarse
una sucesi6n de campos
F c F, = F(a,) c F, = F, (a,) c . . . c Fk = Fk-, (ak)
don& alrl~Fa,z rz~F.l. ,. , a?eFk- I, con Fk conteniendo todas las
raices dep(x) tal que Fk es normal sobre F.
2. Prutbese que un subgrupo de un grupo soluble es soluble.
3. PruCbese que S, es un grupo soluble.
4. Si G es un grupo, pruCbese que todos 10s G(k) son subgrupos normales
de G.
5. Si N es un subgrupo normal de G, pruCbese que N' &be tambiCn ser
un subgrupo normal de G.
6. PruCbese que el grupo alternante (el grupo de las permutaciones
pares en S,) A,, tiene subg1-6pos normales no triviales para n 2 5.
ARTIN, E., Galois Theory, segunda edici6n. Notre Dame Mathematical
Lectures, numero 2.
POLLARDH,. , Theory of Algebraic Numbers, Carus Monographs, n6mero 9.
John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1950.
VAN DER WAERDENB,. L., Modern Algebra, vol. 1. Ungar Publishing
Company, Nueva York, 1949.
W~ISNELR.,, Theory of Equations. The Macrnillan Company, Nueva York,
1938.

252. 250 CAMPOS - Cap. 5
SIEGELC, . L., Transcendental Numbers, Annals of Mathematical Studies,
nlimero 16. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1949.
NIVEK, I., Irrational Numbers, Carus Monographs, nlimero 11. John
Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1956.
T6picos para discusib en dase
NIVENI.,, "A simple proofpf the irrationality of IT", Bulletin of the American
Mathematical Society, vol. 53 (1947), pag. 509.

267. 4 3. MATRICES 265
7. PruCbese el corolario 2 al teoTema 6.f.
8. Si V es n-dimensional sobre F y si TEA (V) es nilpotente (es decir, tal
que Tk = 0 para alglin k), pruCbese que Tn = 0. (Sugerencia: si ce V usese
el hecho de que v, vT, vT2, ..., L'T" deben ser linealmente independientes
sobre F.)
..
3. MATRICES
Aunque ya llevamos algJn tiempo tratando de transformacianes, siempre
lo hemos hecho en una forma impersonal y un poco lejana; para nosotros,
una transformacion lineal ha sido un simbolo (muy a menudo T) que actua
en una cierta forma sobre un espacio vectorial. Vemos, cuando pensamos en
lo hasta aqui hecho, que fuera de 10s pocos ejemplos concretos con que
nos hemos encontrado en 10s problemas, nunca nos hemos enfrentado con
transformaciones lineales especificas. AI mismo tiempo, es claro que si hemos
de proseguir con el tema un poco mas lejos a menudo se presentara la
necesidad de hacer un estudio completo y detallado de una transformacion
lineal dada. Para mencionar un problema preciso, si se nos presenta una
transformacion lineal (y suponiendo por el momento que tenemos medios
para reconocerla), jc6m0 podemos arreglarnoslas para encontrar, de una
forma practica y calculable, sus raices caracteristicas?
Lo que primer0 buscarnos es una notacion sencilla o, quiza mas precisa-mente,
una representacion sencilla para las transformaciones lineales.
Llegaremos a ello mediante el uso de una base particular del espacio vectorial
y por el uso de la acci6n de una transformacibn lineal sobre esta base. Una
vez que se ha conseguido todo esto, por medio de las operaciones en A(V)
podemos inducir operaciones para 10s simbolos creados que hagan de ellos
un algebra. Este nuevo objeto, infundido de una vida algebraica propia.
puede estudiarse como una entidad matematica que tiene un interes por si
misma. Este estudio es lo que comprende la llamada teoria de matrices.
Pero ignorar el origen de estas matrices, es decir, investigar el conjunto
de simbolos independientemente de lo que representan, puede ser costoso,
porque estariamos desperdiciando una gran cantidad de informacion util.
En lugar de ello, nosotros siempre usaremos las interrelaciones entre el
abstract0 A(V) y lo concreto, el algebra de matrices, para obtener infor-macion
de una sobre la otra.
Sea V un espacio vectorial n-dimensional sobre un campo F y sea
v, , . . ., v, una base de V sobre F. Si TEA ( V) entonces T esta determinado
en cualquier vector tan pronto como conozcamos su accion sobre una base
de V. Como T transforma Ven V, u, T, c2 T, . . ., c, Tdeben estar todos en V.
Como elementos de V cada uno de estos es realizable de un linico mod0 como

268. 266 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
combinaci6n lineal de v, , . . ., v, sobre F. Asf pues:
don& cab aijeF. Este sistema de ecuaciones puede escribirse mhs com-pactamente
como
viT= zaijvj, para i=1,2,...,n .
j= 1
El conjuntoordenado de n2 nlimeros a,) en F describe completamente
a T. Nos serviran como medio para representar T.
DEFINICI~SNea. V un espacio vectorial de dimensi6n n sobre F y sea
v,, . . ., v, una base para V sobre F. Si TeA(V) entonces la matriz de Ten la
base v, , . . ., v,, a la que representaremos por m(T), es
Una matriz es entonces un arreglo ordenado en forma & cuadrado
de elementos de F con, hasta el momento,. ninguna otra caracterlstica,
que representa el efecto de una transformaci6n lineal sobre una base
&da.
Examinemos un ejemplo. Sea Fun campo y sea V el conjunto de todos
10s polinomios en x de grado n- l o menor sobre F. Definamos D sobre V
por (jYo+jY1x+ ... +jY,,-,xll-')D = jY1+2jY2x+ ... +i/3,xi-I ... +(n-1)
/-In-, 9-'. Es trivial comprobar que D es una transformaci6n lineal sobre V;
como el lector habrh visto, se trata simplemente del operador de diferen-ciaci6n.
~Cuhel s la matriz de D? La pregunta carece de sentido a menos que
especifiquemos una base de V. En primer lugar, calculemos la matriz de D
en la base v, = 1, v, = x, v, = x2, . . ., vi = xi-', . . ., v, = xll-I. Ahora

269. 4 3. MATRICES
bien,
= (C- l)vi-, +Ovb+ ,+.. +Ovl~2+(i-l)v,~,+Ovl
v, Q = xn-I D = (n- I)X"-~
Si volvemos a la propia definicion de matriz de una transformacion lineal
en una base dada, vemos que la matriz de D en la base v,, . .., v,, m, (D), es un
realidad
ooo... 0 0
rn, (D) = 0 2 0
0 0 :3 ...
Q 0 0 ... (n-I) 0
Pero na& hay de especial en la base que acabamos de usar ni en como
numeramos sus eiementos. Supongamos que nos limitamos a reordenar
10s elementos de esta base; obtenemos entonces una base tan buena como la
anterior w , = xn- ', w, = A?-', ..., wi = Y-',... , W, = 1. ~CU%a, c on
respecto a esta nueva base, la matriz de la misma transformaci6n lineal?
Tenemos ahora,
= Ow, +(n- 1)w2+Ow, + ... +OW,
wi D = xn-i~ = (n-i)x"-i-'
= Ow, + +Owi+(n-i)wi+, +Owl+2+ +Ow,
W, D = I L) = 0 = Ow, +Ow2+ +Own,

270. 268 TRANSFORMACIONES LINEALES - lbp. 6
& donde m2 (D), la matriz de D en esta base es
/O (n- 1) 0 0 0 O
m2(D)=
0 0 (n-2) 0 ... 0 0
0 0 0 (n-3) .-. 0 0
0 ... ... .........
. -
0 0 0 ... ... 0 1
0 0 0 ... 0 0
Antes de terminar con este ejemplo, calculemos la matriz de D en otra base
mhde Vsobre F. Seau, = 1, u2 = l+x, u3 = l+x2 ...., u, = I+x"-';
es fhcil verificar que u,, ..., u, forman una base & V sobre F. ~Cuhels la
matriz de D en esta base? Como
ulD = ID = 0 = 0u,+0u2+ ... +Ou,
u2D= (l+x)D= 1 = lul+Ou2 + ... +Ou,
u3D = (1+x2)=~ 2x = 2(u2-u1) = -2u1+2u2+Ou3+ ...+ Ou,
la matriz m3(D) de D en esta base es
/ 0 oo... 0 0
I m3(D) =
1 0 0 ... 0 0
-2 2 10 ... 0 0
-3 0 3 0 0
.... 0 0
. . . . . 0 0
-(n-1) 0 0 --- (n-1) 0
Por el ejemplo que hemos estudiado vemos que las matrices de D, para
las tres bases usadas dependfan completamente de las bases. Aunque
diferentes las unas de las otras representan, sin embargo, a-la rnisma trans-

271. 5 3. MATRICES 269
formaci6n lineal D, y podriamos haber reconstruido D partiendo de una a
cualquiera de ellas si conocitramos la base usada en su determinacibn.
Pero, aunque diferente, seria de esperar que existiera alguna relaci6n entre
ml(D), m2(D) y m,(D). Esta relaci6n sera la que determinaremos exacta-mente
mas tarde.
Como la base a usar en cualquier ocasi6n puede ser cualquiera, dada
una transformaci6n lineal T (cuya definicidn, desputs de todo, no depende
de ninguna base) es natural que busquemos una base en que la matriz de T
tenga una forma particularmente sencilla. Por ejemplo, si T es una trans-formaci6n
lineal sobre V, que es n dimensional sobre F, y si T tiene n raices
caracteristicas distintas A,, . . ., A,, en F, entonces, de acuerdo con el coro-lario
2 a1 teorema 6.f, podemos encontrar una base v, , . . ., v, de V sobre F
tal que viT = A,vi. En esta base T tiene como matriz la de forma par-ticularmente
sencilla,
Hemos visto que una vez que hemos escogido una base para V, a cada
transformaci6n lineal se le asocia una matriz. Reciprocamente, una vez que
hemos escogido una base fija v, , . . ., v, de V sobre F, una matriz dada
da lugar a una transformaci6n lineal T definida sobre V por vi T = 1 aijvj
j
sobre esta base. Notese que la matriz de la transformaci6n lineal T que
acabamos de construir en la base v, , . . ., v, es exactamente la matriz con la
que comenzamos. Por tanto, toda posible ordenacidn en forma de cuadrado
nos sirve como la matriz de alguna transformaci6n lineal en la base
V1, . . ., 0".
Es claro lo que quiere decir cada una de las expresiones primer rengldn,
segundo renglbn, ..., de una matriz, como analogamente, lo que debe
entenderse por primera columna, segunda columna, . . . . En la matriz

272. 270 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
el elemento aij esti en el i-esimo renglon y j-esima columna; nos referimbs
a tl como el elemento (i, j) (o la entrada (i, j)) de la matriz.
Escribir todo el arreglo cuadrado de la matriz es algo pesado; en lugar de
ello escribiremos una matriz como (aiJ); esto indica que la entrada (i, j)
de la matriz es aij.
Supongamos que V es un espacio vectorial de dimension n sobre F y
v, , . . ., v, es una base de V sobre F que quedarh fija en toda la discusion que
sigue. Supongamos que S y T son transformaciones lineales sobre V (y
sobre F) con matrices m(S) = (aii) y m(T) = (riJ), respectivamente, en la
base dada. Nuestro objetivo es aplicar la estructura algebraica de A(V) al
conjunto de matrices que tienen sus entradas en F.
Para co menzar, como S = T si y solo si US = vT para todo VE V, se tiene
que S = T si y solo si vi T = viS para todos 10s v, , . . ., v, que forman una
base de V sobre F. 0,lo que es equivalente, S = T si y so10 si ail = Ti] para
todo i y todo j.
Dadas m(S) = (aiJ) y m(T) = (rij), ipodemos escribir explicitamente
m(S+ T)? Como m(S) = (aiJ), viS = 1 aiJv,; anilogamente, viT = 1
i i
rijvi, de donde ui(S+ T) x x = viS+vi T = aij~j+rlivj = l(aii + rij)ui.
i i i
Pero entonces, por lo que se entiende por matriz de una transformacion
lineal en una base dada, m(S+ T) = (Aij) donde Aij = aij+ rlj para toda i y
toda j. Un chlculo de la misma clase muestra que para ye F, m(yS) = (piJ)
donde pij = raii para toda i y toda j.
El c~lculom is interesante, y tambitn el mhs complicado, es el de m(ST).
Tenemos ahora vi(ST) = (0,s) T = (xa ikvk)T x = aik(vkT ). Sin embargo,
k k
v, T = 1rk ivj ; lo que sustituido en la formula anterior, nos da
i
(Prutbese). Por tanto, m(ST) = (vii), donde para todo i y para toda j,
UiJ = 1 Tk~-
k
A primera vista, la regla para calcular la matriz del producto de dos
transformaciones lineales en una base dada parece complicada. Sin embargo,
n6tese que la entrada (i,j) se obtiene como sigue: consideremos 10s
renglones de S como vectores y las columnas de T como vectores; entonces
la entrada (i, j) de m(ST) es simplemente el producto punto de la i-isima
fila de S con la j-6sima columna de T.
Ilustremos esto con un ejemplo. Supongamos que

273. 13. MATRICES
Y
el producto punto del primer rengldn de S con la primera columna de T es
(1) (- 1) +(2) (2) = 3, de donde la entrada (1, 1) de m(ST) es 3; el producto
punto de la primera fila de S oon la segunda columna de T es (I) (0)+
(2) (3) = 6, de donde la entrada (l,2) de m(ST) es 6 ; el producto punto del
segundo renglon de S con la primera columna de T es (3) (- 1) +(4) (2) = 5,
de donde la entrada (2, 1) de m(ST) es 5; finalmente, el producfo punto de la
segunda fila de S con la segunda columna de T es (3) (0)+(4) (3) = 12, de
donde la entrada (2,2) de m(ST) es 12. Asi pues,
La anterior discusion se ha hecho pensando principalmente en que
sirviera de motivation para las construcciones que estamos a punto de
presentar.
Sea F un campo; una matriz n x n sobre F sera'un arreglo en forma
de cuadrado de elementos en F,
(que representamos por (aij)). Sea F,, = {(aij) I aij€F); en Fn queremos
introducir la nocidn de igualdad entre sus elementos, una adicion, una
multiplicacion escalar por elementos de F y una multiplicaci6n de forma
que se convierta en un llgebra sobre F. Usamos las propiedades de m(T)
para TE A(V) como nuestra guia en todo esto.
1) Afirmamos que (aij) = (Bij), cuando tenemos dos matrices en Fn, si y
solo si ail = Bij para to& i y para toda j.
2) Definimos (ai,)+(Bii) = lij) donde lij= aij+Bij para to& i y para
toda j.
3) Para yeF, definimos y(aij) = (pij) donde pij = yaij para to& i y
para toda j.
4) Definimos (aij) (Bij) = (vij), donde para toda i y toda j vij = aikhj.
k
Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre F y sea v, , . . ., vn una
base de V sobre F; la matriz m(T) en la base v, , . . ., on asocia con TEA(V)
un elemento m(T) en F,. Sin mls preambulo, afirmamos que la aplicacion de

274. 272 TRANSFORMACIONES LINEALES - hp. 8
A(V) en F, definido al transformar T sobre m(T) es un isomorfismo de
algebras de A(V) sobre F,. Por este isomorfismo F, es un algebra asociativa
sobre F (corno puede tambikn verificarse directamente). Llamamos a F, el
algebra de todas las matrices n x n sobre F.
Toda base de V nos provee de un isomorfismo de algebras de A(V)
sobre F,. Es un teorema que todo isomofismo de algebras de A(V) sobre F,
es obtenible de tal forma.
A la luz de la misma naturaleza espccifica del isomofismo entre A(V) y
F, identificaremos a menudo una transformaci6n lineal con su matriz, en
alguna base, y A ( V) con F, . En realidad, F, puede considerarse como A (V)
actuando sobre el espacio vectorial V = F(") de todos 10s n-tuples sobre F,
dondeparala baseu, =(1,0 ,..., O),v, =(0,1,0 ,..., 0) ,..., un=(O,O ,..., 0,1),
(aij)€Fn actua como ui(aij) = i-ksima fila de (a,]).
Resumimos lo que se ha hecho en el siguiente
TEOREM6A. ~.E l conjunto de todas las matrices n x n sobre F forma un
algebra asociatiua F, sobre F. Si V es un espacio vectorial de dimensidn n
sobre F, entonces A(V) y F, son isomorfos como algebras sobre F. Dada una
base cualquiera u, , . . ., u, de V sobre F, si para TEA ( V), m (T) es la matriz de
T en la base v, , . . ., u, , la aplicacibn T + m(T) nos proporciona un isomorfismo
de algebras de A ( V) sobre F, .
El cero respccto a la adici6n en F, es la matriz cero todas cuyas entradas
son cero; a menudg la representaremos simplemente por 0. La matriz uno,
que es el elemento unitario de F, respecto a la multiplicacion, es la matriz
cuyas entradas estan en la diagonal I y fuera de la diagonal 0; la represen-taremos
por I, I, (cuando queramos enfatizar las dimensiones de las matrices)
o simplemente como I. Para a€ F, las matrices
(10s espacios en blanco indican solamente entradas iguales a 0) se llaman
matrices escalares. Por el isomorfismo entre A ( V) y F, , es claro que TEA (V)
es invertible si y s610 si m(T), como matriz, tiene inversa en F,.
Dada una transformacibn lineal TEA(V), si escogemos dos bases u, , . . ., u,
y w,, . . ., w, de V sobre F, cada una da lugar a una matriz, a saber, m, (T) y
m,(T), las matricesde Ten las bases u, , . . ., u, y w, , . . ., w,, respectivamente.
Como matrices, es decir, como elementos del algebra de matrices F,, iquk
relaci6n hay entre m, (T) y m,(T)?
TEOREM6A.~ . Si V es de dimensidn n sobre F y si TeA(V) tiene la
matriz m, (T) en la base v, , . . ., u, y la matriz m,(T) en la base w, , . . ., w, de V

275. 13. MATRICES 273
(ambas sobre F), entonces hay un elemenro CE F, tal que mz ( T) = Cm, (T)C- '.
En realidad, si S es la transformacidn lineal de V dejnida por v,S = wi
para i = 1,2, . . ., n, enronces podemos escoger como C a m, (S).
Prueba. Sea m,(T) = (a,,) y mz(T) = (Pi,); asi pues vIT = 1 aljuj,
i
WIT = CBijw,.
i
Sea S la transformaci6n lineal -sobre V definida por viS = wi. Como
u,, .. ., u, y w,, .. ., w, son bases de V sobre F, S transforma V sobre V, de
donde, segun el teorema 6.d, S es invertible en A(V).
Ahora bien, w,T = FBijwj; como wi = viS, a1 sustituir esto en la
J
expresidn para w,T obtenemos (viS)T = 1 Bij(vjS). Pero entonces
I
u,(ST) = (1 B,,v,)S; como S es invertible, esto se simplifica hasta obtener
i
v,(STS- ') = 1 Bijvj. Por la misma definici6n de matriz de una trans-i
formaci6n lineal en unas bases dadas, m,(STS-') = Vij) = mz(T). Pero
la aplicaci6n T+m,(T) es un isomorfismo de A(V) sobre F,; por tanto,
ml (STS- ') = m, (S)m, (T)m, (S- ') = m, (S)m, (T)m, (S)- '. Reuniendo
todo lo que hemos estado estudiando, obtenemos m2(T) = m,(S)m,
(T)m, (S)- ', que es exactamente lo que se afirma en el teorema.
Ilustramos este irltimo teorema con el ejemplo de la matriz de D que
antes estudiamos, en varias bases. Para minimizar el c8lcul0, suponemos
que V es el espacio vectorial de todos 10s polinomios sobre F de grado 3 o
menor, y D serh, como antes, el operador diferencial definido pro (a,+
a1x+a2x2+a3x3)D= a1+2a2x+3a3xZ.
Como anteriormente vimos, en la base v, = 1, v2 = x, v3 = x 2 y
v4 = x3, la matriz D es
En la base u, = 1, u2 = 1 +x, u3 = 1 +xZ, u4 = 1 +x3, la matriz de D es

276. 274 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Sea S la transformacibn lineal de V definida por u, S = w, (= v;),
v2S= w2 = 1+x= v,+v~,v~w3S == 1 +x2 = u,+~~yademdsv,S=
w4 = 1 + x3 = v1 + v4. La matriz de Sen la base v1 , v2 , v3 , o, es
Un simple dlculo muestra que
Entonces
como debia ser, de acuerdo con el teorema. (Verifiquense todos 10s cilculos
usados.)
El teorema afirma que, si conocemos la matriz de una transformacibn
lineal en una base cualquiera, podemos calcularla en cualquier otra base,
siempre que conozcamos la transformaci6n lineal (o matriz) del cambio de
base.
Aun no hemos contestado la pregunta: &da una transformacibn lineal,
ic6m0 se calculan sus raices caracteristicas? Esto llegard un poco mis
tarde. Partiendo de la matriz de una transformaci6n lineal mostraremos

277. 13. MATRICES 275
como construir un polinomio cuyas raices Sean precisamente la. rakes
caracteristicas de la transformaci6n lineal.
Problemas
1. Calculense 10s siguientes productos de matrices:
2. Verifiquense todos 10s chlculos hechos en el ejemplo que ilustra el
teorema 6.h.
3. Prutbese directamente en F,,, usando las definiciones de suma y
producto, que
a) A(B+C) = AB+AC;
b) (AB)C = A(BC);
para A, B y C pertenecientes a F,, .
4. Prutbese en F2 para cualesquiera dos elementos A y B, que (AB - BA)'
es una matriz escalar.
5. Sea V el espacio vectorial de 10s polinomios de grado menor o igual
que 3 sobre F. Definase T en V por (a, + a , x+ a2x2+ a 3 x 3 )T = a, +
a,(x+ l)+a,(~+l)~+a~(x+Cla)lc~ul.e se la matrizde Ten las bases:
a) 1, x, x2, x3.
b) 1, I +x, I +x2, 1 +x3.
c) Si la matriz de la parte (a) es A y la en parte (b) es B, encukntrese
una matriz C tal que B = CAC- ' .

278. 278 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 8
6. Sea V = F(,) y supongamos que
es la matriz de TEA(V) en la base v, = (1, 0,O), v, = (0, I, 0) y v, =
(0,0, I ). EncuCntrese la mkriz de 7 en las bases:
a) u, = (I, 1, 1), u2 = (0, 1,1), u3 = (0,0, 1).
b) ul = (1, u2 = (1,2,0), u3 = (1, 2, 1).
7. PruCbese que &da la matriz
(donde la caracteristica de F no es 2), entonces:
a) A3-6A2+ IIA-6 = 0.
b) Existe una matriz CEF, tal que
8. PruCbese que es imposible encontrar una matriz CEF, tal que
para cualesquiera a, BE F.
9. Una matriz AE F, se dice que es una matriz diagonal si todas las
entradas fuera de la diagonal principal de A son 0, es decir, si A = (aij)
y a,j = 0 para i # j. Si A es una matriz diagonal tal que sus entradas
sobre la diagonal principal son todas distintas, encudntrense to&s las
matrices BEF, que conmutan cor. A, es decir, encutntrense todas las ma-trices
B tales que BA = AB.
10. Usando el resultado del problema 9, pruCbese que solo las matrices
en F, que conmutan con todas las matrices de F, son matrices escalares.

279. 13. MATRICES
11. Sea AEF, la matriz
todas cuyas entradas, except0 las de la superdiagonal, son 0, y cuyas entradas
sobre la superdiagonal son todas iguales a 1. Prukbese que A" = 0 per0
An- 1 # 0.
*12. Si A es como en el problema 11, encukntrense todas las matrices en
F, que conmutan con A y demukstrese que deben ser de la forma a,+
a,A+a2A2+ ... +a,-lA"-l donde a,, a, , . . ., a, - , EF.
13. Sea AEF, y sea C(A) = {BEF, 1 AB = BA). Sea C(C(A)) =
{GEF, I GX = XG para todo XEC(A)). Prukbese que si GEC(C(A))
entonces G es de la forma a, + a, A, donde a,, a, EF.
14. Resuklvase el problema 13 para AEFp~r obando que toda G EC (C(A))
es de la forma a, + a, A +a2 A2.
15. Definamos las matrices Eij en F, como sigue: Ei, es la matriz cuya
finica entrada distinta de cero es la (i, j) que es igual a 1. Prukbese que:
a) Las Eij forman una base de F, sobre F.
b) EijEk, = 0 para j # k; EIjEj[ = E,,.
c) Dadas i y j, existe una matriz C tal que CE,,C- ' = Ejj.
d) Si i # j, existe una matriz C tal que CEIjC- ' = El,.
e) Encudntrense todas las BEF, que conmutan con Ell.
f) Encudntrense todas las BE F, que conmutan con Ell.
16. Sea F el campo de 10s numeros reales y sea C el campo & 10s n~meros
complejos. Para aeC sea T,: C + C dada por xT, = xu, para todo XEC.
Usando la base 1, i encudntrese la matriz de la transformaci6n lineal T, y
obtdngase asi una representacion isom6rfica de 10s numeros complejos
como matrices 2 x 2 sobre el camp de 10s numeros reales.
17. Sea Q el anillo con divisi6n & 10s cuaternios sobre el camp real.
Usando la base 1, i, j, k de Q sobre F, prockdase como en el problema 16
para encontrar una representaci6n isom6rfica & Q por matrices 4 x 4
sobre el campo de 10s numeros reales.

280. 278 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
*IS. Combinense 10s resultados de 10s problemas 16 y 17 para encontrar
una representaci6n isom6rfica de Q por matrices 2 x 2 sobre el campo de
10s n~imeros complejos.
19. Sea 3?l el conjunto de todas las matrices n x n que tienen entradas
0 y 1 de tal forma que hay un tinico I en cada rengl6n y en cada columna.
(Tales matrices se llaman matrices de permutacidn.)
a) Si ME 92l describase AM en tkrminos de 10s renglones y las
columnas de A:
b) Si Mem describase MA en tCrminos de 10s renglones y las
columnas de A.
20. Sea ?clolm o en el problema 19. Pruebese que :
a) fli tiene n! elementos.
b) Si ME .m. entonces es invertible y su inversa esta tambien en 221.
c) Proporci6nese la forma explicita de la inversa de M.
d) Prukbese que es un grupo respecto a la multiplication de
matrices.
e) PruCbese que nri es isomorfo, como grupo, a S,, el grupo simetrico
de grado n.
21. Sea A = (aij) tal que para todo i, C aij = 1. PruCbese que I es
i
una raiz caracteristica de A (es decir, que A - I no es invertible).
22. Sea A = (aij) tal que para todo j, 1 aij = I . Pruebese que I es una
raiz caracteristica de A. i
23. EncuCntrense las condiciones necesarias y suficientes que a, 8, y y 6
han de cumplir para que A = (; $) sea invertible. Para 10s casos en que A
es invertible, escribase A- ' explicitamente.
24. Si EeF, es tal que EZ = E # 0. prutbese que hay una matriz
CEF, tal que
donde la matriz unidad en la parte superior izquierda es r x r, donde r es el
rango de E.

281. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR 279
25. Si F es el campo real, prutbese que es imposible encontrar matrices
A, B pertenecientes a F, tales que AB- BA = 1.
26. Si F es de caractedstica 2, prutbese que en F, es posible encontrar
matrices A, B tales que AB-BA = 1.
27. La matriz A se llama triangular si todas las entradas sobre la diagonal
principal son 0. (Si todas las entradas debajo de la diagonal principal
son 0 la matriz tambitn se llama triangular.)
a) Si A es triangular y ninguna entrada en la diagonal principal
es 0, prutbese que A es invertible.
b) Si A es triangular y una entrada en la diagonal principal es 0,
prutbese que A es singular.
28. Si A es triangular, prutbese que sus rdces caracteristicas son
precisamente 10s elementos en su diagonal principal.
29. Si Nk = 0, NEF,, prutbese que 1 + N es invertible y encutntrese su
inversa como un polinornio en N.
30. Si A E F, es triangular y todas las entradas en'su diagonal principal son
iguales a 0, prutbese que A" = 0.
31. Si AEF, es triangular y todas las entradas en su diagonal principal
son iguales a a # OE F, encutntrese A- '.
32. Sean S, T transformaciones lineales sobre V tales que la matriz de S
en una base es igual a la matriz de T en otra. Prutbese que existe una
transformacibn lineal A sobre V tal que T = ASA- '.
4. FORMAS CAN~NICAS: FORMA TRIANGULAR
Sea V un espacio vectorial n-dimensional sobre un campo F.
DEFINIC~~LaNs . transformaciones lineales S, TEA(V) se dice que son
semejantes si existe un elemento invertible CEA(V) tai que T = CSC- '.
En vista de 10s resultados de la seccibn 3, esta definicibn se traduce en
una acerca de las matrices. En realidad, como F, actca como A(V) sobre
F'"), la delhicibn anterior define ya una semejanza entre matrices. Por ella,
A, BEF, son semejantes si existe una CGF, invertible tal que B = CAC- '
La relacibn sobre A(V) delinida por la semejanza es una relacibn de
equivalencia; la clase de equivalencia de un elemento se llamar6 su clase
de semejanza. Dadas dos transformaciones lineales, ~dmopo demos de-teminar
si son o no semejantes? Desde luego, podiamos examinar la
clase de semejanza de una de estas para ver si la otra se encuentra en ella,

282. 280 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
pero este procedimiento no es realizable. En su lugar, intentaremos estableeer
alguna clase de seiial en cada clase de semejanza y un amino para ir
de cualquier elemento de la clase a su sefial. Probaremos la existencia de
transformaciones lineales en cada clase de semejanza cuya matriz, en
alguna base, es de una forma particularmente conveniente. Estas matrices
se llamaran formas candnicas. Para determinar si dos transformaciones
lineales son semejantes no necesitaremos otra cosa que calcular una forma
can6nica particular para cada una y comprobar si estas son las mismas.
Hay muchas posibles'formas can6nicas; solo consideraremos nosotros
tres de Cstas, a saber, la forma triangular, la forma de Jordan y la forma
can6nih rational, en Csta y las siguientes dos secciones.
DEFINICI~ENl .s ubespacio Wd e V es invariante bajo T E A( V )s i WT c W.
LEMA 6.6. Si W c V es invariante bajo T, entonces T induce una trans-formacidn
lineal Ten V/ W definida por (v+ W)T = vT+ W. Si T satisface
el polinomio q(x)~F[x]e,n tonces tambibn lo satisface T, Si p, ( x ) es el
polinomio minimo para 'P sobre F y si p(x) es el polinomio rninimo para T,
entonces p, (x) 1 p (x).
Prueba. Sea 7 = V/ W; 10s elementos de 7 son, por supuesto, las clases
laterales v+ W de W en V. Dados 6 = u+ WE P definimos 6T = vT+ W.
Verificar que T tiene todas las propiedades formales de una transformaci6n
lineal sobre V es una facil tarea una vez que se ha establecido que Testa bien
dejnida sobre V. Nos contentaremos, pues, con probar este hecho.
Supongamos que 6 = v, + W = v, + W donde v, , v2 E V. Debemos
probar que v, T+ W = v2 T+ W. Como v,+ W = v,+ W, v,-v, debe
estar en W, y como W es invariante bajo T, (v, -v,) T debe estar tambiCn
en W. Por consiguiente 0, T-v, TE W, de donde se sigue que v, T+ W =
u, T+ W, como queriamos probar. Sabemos ahora que T define una trans-formaci6n
lineal sobre V = V/ W.
Si 6 = v+ WE^, entonces 6(p)= vTZ+ W = (vT)T+ W = (vT+
W) T = ((v + W) T) T = 6(Q2 ; asi pues (?) = (T)'. Anhlogamente m=
(T)k para cualquier k 2 0. Por consiguiente, para cualquier polinomio
q(x)F~[ x],q (T) = q(T). Para cualq-uier q(x)~F[xc]o n q(T) = 0, como 6
es la transformacibn 0 sobre V, 0 = q(T) = q(T)
Sea p,(x) el polinomio minimo sobre F satisfecho por T. Si q(T) = 0
para q(x)F~[x ],e ntonces p, ( x )1 q(x). Si p(x) es el polinomio rninimo para
T sobre F, entonces p(T) = 0, de donde p(T) = 0; en consecuencia,
PlW I P(x).
Como vimos en el teorema 6.f, todas las raices caracteristicas de T que se
encuentran en F son raices del polinomio rninimo de T sobre F. Decimos

283. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR 281
que todas las raices caracteristicas de T esth en F si todas las raices del -
polinomio rninimo de T sobre F se encuentran en F.
En el problema 27 a1 final de la liltima seccion, definimos como matriz
triangular a toda aquella que tenga todas sus entradas sobre la diagonal
principal iguales a 0. 0 lo que es lo mismo, si T es una transformacion lineal
de V sobre F, la matriz de Ten la base v, , . . ., v,, es triangular si
~1 T = all?,
u,T = a,,o,+a,,v,
es decir, si vi T es una combination lineal solamente de vi y sus predecesores
en la base.
TEOREM6A.~ . Si TEA ( V) tiene todas sus raices caracteristicas en F, enton-ces
hay una base de V en que la matriz de T es triangular.
Prueba. La prueba se hace por induccibn sobre la dimension de Vsobre F.
Si dimF V = I entonces todo elemento en A(V) es un escalar y, por
tanto, para tal caso el teorema es cierto.
Supongamos que el teorema es cierto para todos 10s espacios vectoriales
sobre F de dimension n - I, y sea V de dimension n sobre F.
La transformacion lineal T sobre V tiene todas sus raices caracteristicas
en F; sea I, E F una raiz caracteristica de T. Existe en V un vector v, distinto
de cero tal que u, T = I, v,. Sea W = {av, 1 aEF}; W es un subespacio
unidimensional de V, y es invariante bajo 7: Sea V = V/ W ; por el lema 4.8,
dim V = dim V- dim W = n - 1. De acuerdo con el lema 6.6, T induce
una transformacion lineal Tsobre Vcuyo polinomio minimo sobre F divide
a1 poinomio minimo de T sobre F. Asi pues, todas las raices del polinomio
minimo de Tpor raices del polinomio minimo de T, deben encontrarse en F.
La transformacion lineal T en su accion sobre V satisface la hipotesis del
teorema; como V es (n- 1)-dimensional sobre F, por nuestra hip6tesis de
induccion, existe una base i,, i,, . . ., 6, de Vsobre F tal que:
5, T = a,, 6,
i3 T = a,, i, + a,, 6,
Sean v,, ..., u, elementos de V que se transforman en 6, ...., fin, respectiva-mente.
Entonces c, , v,, . . ., v,, forman una base de V (ver el problema 3

284. 282 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
a1 final de esta section). Como 6, T = a,, 6,, 6, T-a,, fi, = 0, de donde
0, T-a,, 0, deben estar en W. Asi pues, 0, T-a,, v, es un m6ltiplo & v, ,
digamos a,, v, , de donde tenemos, despuCs de trasponer, v, T = a,, v, +
a,, v,. Anhlogamente, vi T-ai2v, -ai3 v3 - . . . -aiiviE W, de donde vi T =
ail v1 + ai2 V, + . . . +alivi. La base ul , . . ., v, de V sobre F nos proporciona
una base respecto a la cual todo vi T es una combinaci6n lineal de vi y sus
predecesores en la base. Por lo tanto, la matriz de Ten esta base es triangular.
Esto completa la inducci6p y prueba el teorema.
Queremos reformular el teorema 6.j para matrices. Supongamos que la
matriz AEF, tiene sus raices caracteristicas en F. A define una transforma-ci6n
lineal T sobre F cuya matriz en la base
v, = (l,O, ..., O), v2 = (0, l,O, ..a, O), ..., v, = (0, 0, ..., 0, 1),
es precisamente A. Las raices caracteristicas de T, siendo iguales a las & A,
estAn todas en F, de donde, seg6n el teorema 6.j, hay una base en F(") en la
que la matriz de T es triangular. Pero, de acuerdo con el teorema 6.h, este
cambio de base varia simplemente la matriz de T, es decir, la A, en la
primera base, en CAC- ' para una C adecuada C c F, . Asi pues
FORMAA LTERNADA DEL TEOREMA 6.1. Si la matriz AEF, tiene todas sus
raices caracteristicas en F, entonces hay una matriz CEF, tal que CAC- ' es
una matriz triangular.
El teorema 6.j (en cualquiera de sus formas) se describe usualmente
diciendo que T (o A) puede ser llevada a una forma triangular sobre F.
Concluimos la secci6n con el .
TEOREM6A. ~.S i V es n-dimensional sobre F y si TEA(V) tiene todas sus
Si volvemos nuestra mirada a1 problema 28, a1 final de la secci6n 3,
veremos que despuCs de que T se ha llevado a la forma triangular, 10s
elementos de la diagonal principal de su matriz juegan el siguiente signifi-cativo
papel : son precisamente las raices caracteristicar de T.
raices caracteristicas en F, entonces T satisface un polinomio de grado n
sobre F.
Prueba. De acuerdo con el teorema 6.j, podemos encontrar una base
v,, . . ., v, de V sobre F tal que:
v, T = Alv,
v2 T = v1 +A2u2
viT = allv,+ ... +al, l-,vi-l+Alvl
para i = 1, 2, . ., n.

285. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR
0 lo que es equivalente:
para i = I, 2, ..., n.
'Que es v2(T-A,) (T-A,)? Como resultado de v2(T-I,) = a,, v, y
r, (T-A,) = 0, obtenemos r2(T-A,) (T-R,) = 0. Como
La continuacion de este tip0 de calculo nos lleva a:
L'I(T--Ii) (T-Ai-,) ... (T-A,) = 0,
rz(T-Ai) (T-Ai- 1). . . (T-I,) = 0,
. . .,
ui (T-Ii) (T-li- ... (T-A,) = 0.
En particular, para i = n, la matriz S = (T- An) (T-A,- ,) . . . ( T - I , )
satisface r, S = L', S = . . . = rn S = 0. Como S suprime una base de V, S
tiene que suprimir tambitn a todo V. Por lo tanto, S = 0. Por consiguiente,
T satisface el polinomio (x-A,) (x-2,) .. . (x-In) en F[x] de grado n, con
lo que el teorema queda probado.
Desgraciadamente esta en la naturaleza de las cosas que no to& trans-formation
lineal sobre un espacio vectorial sobre todo campdF tenga todas
sus raices caracteristicas en F. Que tal ocurra depende totalmente del
campo F. Por ejemplo, si F es el campo de 10s numeros reales, entonces la
ecuacion minima de
sobre F es x2 + 1 que no tiene raiz alguna sobre F. No tenemos, pues, ningun
derecho a suponer que las raices caracteristicas se encuentren siempre en el
campo en cuestion. Pero, podemos p.reguntarnos, ;no podemos ampliar
ligeramente F hasta un nuevo campo K de mod0 que todo trabaje muy bien
sobre K?
Haremos la discusion para matrices; lo mismo podria hacerse para
transformaciones lineales. Lo que se necesitaria seria lo siguiente: dado un
espacio vectorial V sobre un campo F de dimension n, y dada una extension
K de F, entonces podemos sumergir V en un espacio vectorial V, sobre K

286. 284 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 4
de dimension n sobre K. Una forma de hacer esto seria tomar una base
c, , . .., v, de V sobre F y considerar V, como el conjunto de todos 10s
a, v, + . . . +anon con las a,€K, considerando las vi linealmente indepen-dientes
sobre K. Este pesado uso de una base es antiestktico; todo puede
hacerse de mod0 independiente de toda base si introducimos el concept0 de
product0 tensorial de espacios vectoriales. No lo haremos aqui; en su lugar
argumentaremos con matrices (lo que es efectivamente el camino delineado
anteriormente usando una base fija de V).
Consideremos el algebra F,. Si K es cualquier extension del campo de F,
entonces F, c K,, el conjunto de las matrices nx n sobre K. Asi pues,
cualquier matriz sobre el campo F puede considerarse como una matriz
sobre K. Si TE F, tiene el polinomio minimo p(x) sobre F, considerada como
un elemento de K, puede concebiblemente satisfacer a un polinomio
diferente po(x) sobre K. Pero entonces po(x) 1 p(x), ya que po(x) divide
a todos 10s polinomios sobre K (y, por tanto, a todos 10s polinomios sobre F)
que son satisfechos por T. Especializamos ahora a K. Por el teorema 5.h
existe una extension finita K, de Fen la cual el polinomio minimo p(x),
para T sobre F tiene todas sus raices. Como elemento de K,, itiene T, para
esta K, todas sus raices caracteristicas en K? Como elemento de K, el
polinomio minimo de T sobre K, po(x), divide a p(x) de mod0 que todas las
raices de po(x) son raices de p(x) y, por tanto, se encuentran en K. Por
consiguiente, como elemento de K,, T tiene todas raices caracteristicas en K.
Asi pues, dada Ten F,, a1 irnos a1 campo de descomposici6n K, de su
polinomio minimo llegamos a la situacion en que las hip6tesis de 10s
teoremas 6.j y 6.k se satisfacen, no sobre F, sino sobre K. Por lo dicho, T
puede, por ejemplo, ser llevada a la forma triangular sobre K y satisface un
polinomio de grado n sobre K. A veces, cuando tenemos Yerte, sabiendo que
cierto resultado es cierto sohre K podemos limitarnos a'F y saber que el
resultado es tambikn verdadero sobre F. Pem llegar hasta $no es ninguna
panacea, pues hay situaciones frecuentes donde 10s resultados para K no
implican nada para F. Es por esto por lo que tenemos dos tipos de teoremas
de "formas canonicas", aquellos en que se supone en que todas las raices
caracteristicas de T se encuentran en F y aquellos en que no se hace tal
supuesto.
Una palabra fina1;'si TEF,, por la frase "una raiz caracteristica de T"
entenderemos un elemento A del campo de descomposici6n K del polinomio
minimo p(x) de T sobre F tal que A- T no es invertible en K,. Es un hecho
(vCase el problema 5) que toda raiz del polinomio minimo de T sobre F es
es una raiz caracteristica de T.
Problemas
1. Prudbese que la relaci6n de semejanza es una relaci6n de equivalencia
en A(V).

287. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR 285
2. Si TEF, y si K 3 F, pmibese que como un elemento de K,, T es
invertible si y so10 si es ya invertible en F,.
3. En la pmeba del teorema 6.j pruebese que v, , . . ., v, es una base de V.
4. Proporcionese una prueba, usando c6lculo matricial, que si A es una
matriz triangular n x n con entradas I, , . . ., A,, sobre la diagonal, entonces
(A-Al)(AyA2) ... (A-A,,) = 0.
*5. Si TEF, tiene p(x) como polinomio minimo sobre F, pmebese que
toda raiz de p(x) en su campo de descomposicion K, es una raiz caracteristica
de T.
6. Si TEA(V) y si AEF es una raiz caracteristica de T en F, sea UA =
{VEV I vT = Iv). Si SEA(V)c onmuta con T, prukbese que U, es invariante
bajo S.
*7. Si 32i es un conjunto conmutativo de elementos en A(V) tales que
toda ME TE tiene todas sus raices caracterlsticas en F, pmebese que hay
un CEA(V) tal que toda CMC- ', para ME 32i esth en forma triangular.
8. Sea W un subespacio de V invariante bajo TEA ( V). Cuando restrin-gimos
T a W, T induce una transformacion lineal T(definida por wT = wT
para toda we W). Sea p(x) el polinomio minimo de f'sobre F.
N
a) Pruebese que p(x) 1 p(x), el polinomio minimo de T sobre F.
b) Si T induce T sobre VIW, con T satisfaciendo el polinomio
minimo p(x) sobre F, prukbese quep(x) I F(x)p(x).
*c) Si P(x) y p(x) son primos relativos, prukbese quep(x) = P(x)F(x).
*d) Proporci6nese un ejemplo de un T para el quep(x) # P(x)p(x).
9. Sea 322 un conjunto no vaclo de elementos en A(V),; el subespacio
W c V se dice que es incariante bajo 31i si para todo ME 373, WM c W. Si
W es invariante bajo 32i y es de dimension r sobre F, prukbese que existe
una base de V sobre F tal que todo ME :XI tiene una matriz, en esta base,
de la forma
donde M, es una matriz r x r y M2 es una matriz (n-r) x (n-r).
10. En el problema 9 probamos que M, es la matriz de una transforma-ci6n
fi inducida por M sobre W, y que M2 es la matriz de la transformaci6n
lineal inducida por M en V/ W.
*11. El conjunto no vacio 377 de transformaciones lineales en A(V) se
llama conjunto irreducible si 10s subespacios de V invariantes bajo 373 son

288. 286 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
(0) y V. Si XI es un conjunto irreducible de transformaciones lineales sobre i/
y si
D = {TEA(V) 1 TM = MT para to& ME .XI,
prukbese que D es un anillo con division.
*12. Resutlvase el problema I 1 usando el resultado (lema de Schur) del
problema 14, final del capitulo 4.
*13. Si F es tal que todos 10s elementos de A(V) tienen todas sus raices
caracteristicas en F, prutbese que el D del problema 1 1 consiste solamente en
escalares.
14. Sea F el campo de 10s nlimeros reales y sea
a) Prutbese que el conjunto 7ll consiste solamente en
es un conjunto irreducible.
b) Encutntrese el conjunto D de todas las matrices que conmutan
con
y prutbese que D es isomorfo al campo de 10s nlimeros complejos.
15. Sea F el campo de 10s nlimeros reales.
a) Prutbese que el conjunto
es un conjunto irreducible.
b) Encukntrense todas las AEF, tales que AM = MA para to&
ME fll.
C) Prutbese que el conjunto de todas las A de la parte (b) es un
anillo con division isomorfo a1 anillo con division de 10s cuaternios
sobre el campo real.