Series de Fourier

1. Ésta es la razón por
la que se utiliza a0/2
en lugar de a0.
Series de Fourier
■ Introducción En el capítulo anterior estudiamos que si {0(x), 1(x), 2(x), . . . }
es un conjunto de funciones con valores reales que son ortogonales en el intervalo
[a, b] y si f es una función definida en el mismo intervalo, entonces podemos desarrollar
formalmente f en una serie ortogonal c00(x) c11(x) c22(x) ... . En esta sección
desarrollaremos las funciones en términos de un conjunto ortogonal especial de funcio-
nes trigonométricas.
■ Series trigonométricas En el problema 12 de los ejercicios 10.1, se pidió al lector
demostrar que el conjunto de funciones trigonométricas
e 1, cos
p
p
x, cos
2p
p
x, cos
3p
p
x, p , sen
p
p
x, sen
2p
p
x, sen
3p
p
x, p f (1)
es ortogonal en el intervalo [p, p]. Este conjunto será de especial importancia poste-
riormente en la solución de ciertos tipos de problemas con valores en el límite que invo-
lucran ecuaciones diferenciales lineales parciales. En esas aplicaciones, necesitaremos
desarrollar una función f definida sobre [p, p] en una serie ortogonal que consista en
las funciones trigonométricas dadas en (1), es decir,
f 1x2 ⫽
a0
2
⫹ a
q
n⫽1
aan cos
np
p
x ⫹ bn sen
np
p
xb. (2)
Los coeficientes a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . , pueden determinarse exactamente en la
misma forma que en el análisis general de las expansiones de series ortogonales de las
páginas 493 y 494. Antes de continuar, observe que hemos seleccionado escribir el coefi-
ciente de 1 en el conjunto (1) como a0/2 en lugar de a0; esto solamente es por convenien-
cia, pues la fórmula de an se simplificará entonces a a0 para n 0.
Integrar ambos lados de (2) desde p hasta p nos da
冮
p
⫺p
f1x2 dx ⫽
a0
2 冮
p
⫺p
dx ⫹ a
q
n⫽1
aan 冮
p
⫺p
cos
np
p
x dx ⫹ bn 冮
p
⫺p
sen
np
p
x dxb. (3)
Puesto que cos(nx/p) y sen(nx/p), n 1, son ortogonales a 1 en el intervalo, el segun-
do miembro de (3) se reduce a un solo término:
p
p
f1x2 dx
a0
2
p
p
dx
a0
2
x 2
p
p
pa0.
Despejamos a0 y obtenemos
a0
1
p
p
p
f x dx. (4)

2. Mediante la ortogonalidad, tenemos
冮
p
⫺p
cos
mp
p
x dx ⫽ 0, m 7 0, 冮
p
⫺p
cos
mp
p
x sen
np
p
x dx ⫽ 0
y 冮
p
⫺p
cos
mp
p
x cos
np
p
x dx ⫽ e
0, m ⫽ n
p, m ⫽ n.
Por lo tanto, (5) se puede simplificar a
p
p
f1x2cos
np
p
x dx an p,
y así an
1
p
p
p
f1x2 cos
np
p
x dx. (6)
Por último, si multiplicamos (2) por sen(mx/p), integramos, y usamos los resultados
冮
p
⫺p
sen
mp
p
x dx ⫽ 0, m 7 0, 冮
p
⫺p
sen
mp
p
x sen
np
p
x dx ⫽ 0
y 冮
p
⫺p
sen
mp
p
x sen
np
p
x dx ⫽ e
0, m ⫽ n
p, m ⫽ n,
encontramos que bn ⫽
1
p 冮
p
⫺p
f1x2 sen
np
p
x dx. (7)
Se dice que la serie trigonométrica (2) con coeficientes a0, an y bn definidos por (4), (6)
y (7), respectivamente, se conoce como serie de Fourier de la función f. Los coeficientes
obtenidos a partir de (4), (6) y (7) se conocen como coeficientes de Fourier de f.
Para calcular los coeficientes a0, an y bn, se supone que f era integrable en el intervalo
y que (2), así como la serie obtenida al multiplicar (2) por cos(mx/p), convergía de tal
manera que permite la integración término por término. Hasta que se demuestre que (2)
es convergente para una función f dada, el signo de igualdad no se tomará en sentido
estricto o literal. En algunos textos se utiliza el símbolo en lugar de . En vista de que
la mayoría de las funciones incluidas en las aplicaciones son de un tipo que garantiza la
convergencia de la serie, aquí utilizaremos el símbolo de igualdad. A continuación se
proporciona un resumen de los resultados:
D E F I N IC IÓN 10.5 Series de Fourier
La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (p, p) está dada por
f 1x2 ⫽
a0
2
⫹ a
q
n⫽1
aan cos
np
p
x ⫹ bn sen
np
p
xb, (8)
donde a0 ⫽
1
p 冮
p
⫺p
f1x2 dx (9)
an
1
p
p
p
f1x2 cos
np
p
x dx (10)
bn ⫽
1
p 冮
p
⫺p
f1x2 sen
np
p
x dx. (11)
p
p
f1x2cos
mp
p
x dx
a0
2
p
p
cos
mp
p
x dx
⫹ a
q
n⫽1
aan 冮
p
⫺p
cos
mp
p
x cos
np
p
x dx ⫹ bn 冮
p
⫺p
cos
mp
p
x sen
np
p
x dxb.
(5)
Ahora multiplicamos (2) por cos(mx/p) e integramos:

3. ← cosnp112n
y
x
π
π
–π
Figura 10.1 Función f del
ejemplo 1
*En otras palabras, para un punto x en el intervalo y h 0,
f(x) lím
hS0
f(x h), f(x) lím
hS0
f(x h).
Ejemplo 1 Desarollo de una serie de Fourier
Expanda f 1x2 e
0, p x 0
p x, 000 x p
(12)
en una serie de Fourier.
Solución La gráfica de f se proporciona en la figura 10.1. Con p , a partir de (9) y
(10) tenemos que
a0
1
p
p
p
f 1x2 dx
1
p
c
0
p
0 dx
p
0
1p x2 dx d
1
p
Bpx
x2
2
R
p
0
p
2
an
1
p
p
p
f 1x2 cos nx dx
1
p
c
0
p
0 dx
p
0
1p x2 cos nx dx d
⫽
1
p
c 1p ⫺ x2
sennx
n
2
p
0
⫹
1
n 冮
p
0
sen nx dx d
1
np
cos nx
n
2
p
0
cos np 1
n2
p
1 112n
n2
p
.
De manera similar, a partir de (11) encontramos que
bn ⫽
1
p 冮
p
0
1p ⫺ x2 sen nx dx ⫽
1
n
.
Por lo tanto, f 1x2 ⫽
p
4
⫹ a
q
n⫽1
e
1 ⫺ 1⫺12n
n2
p
cos nx ⫹
1
n
sen nxf . (13) ❏
Observe que an, tal como fue definida en (10), se simplifica al valor a0 que se dio en
(9) cuando fijamos n 0. Sin embargo, como lo muestra el ejemplo 1, éste puede no ser
el caso después de haber evaluado la integral para an.
■ Convergencia de una serie de Fourier El teorema siguiente proporciona condi-
ciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier en un punto.
TEOR E MA 10.1 Condiciones para la convergencia
Sean f y f funciones continuas en el intervalo (p, p); esto es, establezcamos f y f
continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y con discontinui-
dades finitas sólo en estos puntos. Entonces, la serie de Fourier de f en el intervalo
converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie
de Fourier converge al promedio
f1x⫹2 ⫹ f 1x⫺2
2
,
donde f(x) y f(x) denotan el límite de f en x de derecha a izquierda, respecti-
vamente.*

4. –π
π
–2
π
–3
π
–4 π π
2 π
3 π
4
x
π
y
Figura 10.2 Las extensiones periódicas de la función f se muestran en la figura 10.1
Para ver la demostración de este teorema, se recomienda consultar el libro clásico de
Churchill y Brown.*
Ejemplo 2 Convergencia de un punto de discontinuidad
La función (12) del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 10.1. En consecuen-
cia, por cada x en el intervalo (, ), excepto en x 0, la serie (13) convergirá a f(x).
En x 0 la función es discontinua, entonces la serie (13) convergirá para
f102 f 102
2
p 0
2
p
2
. ❏
■ Extensión periódica Observe que cada una de las funciones incluidas en el con-
junto básico (1) tiene un periodo fundamental diferente,** es decir, 2p/n, n 1; sin
embargo, puesto que un múltiplo entero positivo de un periodo es también un periodo,
podemos ver que todas las funciones tienen en común el periodo 2p (compruébelo). En
consecuencia, el lado derecho de (2) tiene periodo 2p; de hecho, 2p es el periodo funda-
mental de la suma. Concluimos que una serie de Fourier no sólo representa la función
en el intervalo (p, p), sino que también proporciona la extensión periódica de f fuera
de este intervalo. Ahora podemos aplicar el teorema 10.1 a la extensión periódica de f,
o suponer desde el principio que la función dada es periódica con periodo T 2p; esto
es, f(x T) f(x). Cuando f es una función continua y existen las derivadas derecha e
izquierda en x p y x p, respectivamente, entonces la serie (8) converge al prome-
dio [ f(p) f(p)]/2 en estos extremos y a este valor extendido periódicamente en
3p, 5p, 7p, etc. La serie de Fourier dada en (13) converge a la extensión periódica
de (12) en todo el eje x. En 0, 2, 4, ..., y , 3, 5, ..., la serie converge
a los valores
f10⫹2 ⫹ f 10⫺2
2
⫽
p
2
y
f1p⫹2 ⫹ f 1p⫺2
2
⫽ 0,
respectivamente. Los puntos negros de la figura 10.2 representan el valor /2.
*Ruel V. Churchill y James Ward Brown, Fourier Series and Boundary Value Problems (NuevaYork: McGraw-
Hill, 2000).
**Consulte el problema 21 de los ejercicios 10.1.
■ Secuencia de sumas parciales Es interesante observar cómo la secuencia de las
sumas parciales {SN(x)} de una serie de Fourier se aproxima a una función. Por ejemplo,
las primeras tres sumas parciales de (13) son
S1(x)
p
4
, S2(x)
p
4
2
p
cos x sen x, S3(x)
p
4
2
p
cos x sen x
1
2
sen 2x.
En la figura 10.3 hemos utilizado un CAS para graficar las sumas parciales S5(x), S8(x)
y S15(x) de (13) en el intervalo (, ). La figura 10.3d) muestra la extensión periódica
utilizando S15(x) en (4, 4).
Podemos suponer
que la función f dada
es periódica.

5. x
3
y
2
1
0
–3 –2 –1 0 1 2 3
b) S8(x) en (– , )
π π
x
3
y
2
1
0
–3 –2 –1 0 1 2 3
c) S15(x) en (– , )
π π
x
3
y
2
1
0
–10 –5 0 5 10
d) S15(x) en (–4 , 4 )
π π
x
3
y
2
1
0
–3 –2 –1 0 1 2 3
a) S5(x) en (– , )
π π
Figura 10.3 Sumas parciales de una serie de Fourier
EJERCICIOS
En los problemas del 1 al 16, encuentre la serie de Fourier de f
en el intervalo dado.
1. f 1x2 e
0, p x 0
1, 0 x p
2. f 1x2 e
1, p x 0
2, 0 x p
3. f 1x2 e
1, 1 x 0
x, 0 x 1
4. f 1x2 e
0, 1 x 0
x, 0 x 1
5. f 1x2 e
0, p x 0
x2
, 0 x p
6. f 1x2 e
p2
, p x 0
p2
x2
, 0 x p
7. f 1x2 x p, p x p
8. f 1x2 3 2x, p x p
9. f 1x2 ⫽ e
0, ⫺p ⬍ x ⬍ 0
sen x, ⫺0 ⱕ x ⬍ p
10. f 1x2 e
0, p2 x 0
cos x, 20 x p2
11. f 1x2 µ
0, 2 x 1
2, 1 x 0
1, 0 x 1
0, 1 x 2
12. f 1x2 •
0, 2 x 0
x, 0 x 1
1, 1 x 2
13. f 1x2 e
1, 5 x 0
1 x, 0 x 5
14. f 1x2 e
2 x, 2 x 0
2, 0 x 2
15. f 1x2 ex
, p x p
16. f 1x2 e
0, p x 0
ex
1, 0 x p
17. Utilice el resultado del problema 5 para demostrar que
p2
6
1
1
22
1
32
1
42
p
y
p2
12
1
1
22
1
32
1
42
p.
18. Utilice el problema 17 para calcular una serie que pro-
porcione el valor numérico de 2
/8.
19. Utilice el resultado del problema 7 y demuestre que
p
4
1
1
3
1
5
1
7
p.

6. y
x
x
x
x
–x
y = x3
f( )
f(– )
y
x
x
–x
x x
f(– ) f( )
y = x2
Figura 10.4 Función par
Figura 10.5 Función impar
20. Utilice el resultado del problema 9 para demostrar que
p
4
1
2
1
1 ⴢ 3
1
3 ⴢ 5
1
5 ⴢ 7
1
7 ⴢ 9
p
21. El valor cuadrático medio (RMS, por sus siglas en in-
glés) de una función f(x) definida en un intervalo (a, b)
está dado por
RMS1 f 2
D
b
a
f 2
1x2 dx
b a
.
Si la expansión de la serie de Fourier de f está dada por
(8), demuestre que el valor RMS de f en el intervalo
(p, p) está dado por
RMS1 f2
B
1
4 a2
0 1
2 a
q
n1
1a2
n b2
n2,
donde a0, an y bn son los coeficientes de Fourier en (9),
(10) y (11).
Series de Fourier de cosenos y senos
■ Repaso El esfuerzo que se lleva a cabo en la evaluación de los coeficientes a0, an y
bn al desarrollar una función f en una serie de Fourier se reduce de manera significativa
cuando f es una función par o impar. Se dice que una función f es:
par si f(x) f(x) e impar si f(x) f(x).
En un intervalo simétrico tal como (p, p), la gráfica de una función par tiene simetría
respecto al eje y, mientras que la gráfica de una función impar tiene simetría en relación
con el origen.
■ Funciones par e impar Es probable que el origen de las palabras par e impar pro-
venga del hecho de que las gráficas de las funciones polinomiales que consisten en todas
las potencias pares de x sean simétricas respecto al eje y, mientras que las gráficas de
polinomios constituidos por todas las potencias impares de x son simétricas en relación
con el origen. Por ejemplo,
↓ entero par
f(x) x2
es par debido a que f(x) (x)2
x2
f(x)
↓ entero impar
f(x) x3
es impar debido a que f(x) (x)3
x3
f(x).
Consulte las figuras 10.4 y 10.5. Las funciones trigonométricas coseno y seno son fun-
ciones pares e impares, respectivamente, ya que cos(x) cos x y sen(x) sen x.
Las funciones exponenciales f(x) ex
y f(x) ex
no son pares ni impares.
■ Propiedades El teorema siguiente relaciona algunas propiedades de las funciones
pares e impares.
TEOR E MA 10.2 Propiedades de las funciones
pares e impares
a) El producto de dos funciones pares es par.
b) El producto de dos funciones impares es par.
c) El producto de una función par y una impar es impar.
d) La suma (resta) de dos funciones pares es par.
e) La suma (resta) de dos funciones impares es impar.
f ) Si f es par, entonces
a
a
f(x) dx 2
a
0
f(x) dx.
g) Si f es impar, entonces
a
a
f(x) dx 0.
Demostración de b) Supongamos que f y g son funciones impares. Entonces, tene-
mos f(x) f(x) y g(x) g(x). Si definimos el producto de f y g como F(x)
f(x)g(x), entonces
F(x) f(x)g(x) (f(x))(g(x)) f(x)g(x) F(x).

7. y
x
y = x, –2 x 2
Figura 10.6 Función impar f
del ejemplo 1
Lo anterior muestra que el producto F de dos funciones impares es una función impar.
La demostración de las propiedades restantes se deja como ejercicio para el lector.
Consulte el problema 52 de los ejercicios 10.3. ❏
■ Series de senos y cosenos Si f es una función par de (p, p) entonces, en vista
de las propiedades siguientes, los coeficientes (9), (10) y (11) de la sección 10.2 se con-
vierten en
a0
1
p
p
p
f1x2 dx
2
p
p
0
f 1x2 dx
an
1
p
p
p
f1x2 cos
np
p
x dx
2
p
p
0
f 1x2 cos
np
p
x dx
par
bn ⫽
1
p 冮
p
⫺p
f1x2 sen
np
p
x dx ⫽ 0.
impar
De manera similar, cuando f es impar en el intervalo (p, p),
an 0, n 0, 1, 2, ..., bn
2
p
p
0
f(x) sen
np
p
x dx.
En la definición siguiente resumimos los resultados.
DE F I N IC IÓN 10.6 Series de Fourier de senos y cosenos
i) La serie de Fourier de una función par en el intervalo (p, p) es la serie de cosenos
f1x2
a0
2
a
q
n1
an cos
np
p
x, (1)
donde a0
2
p
p
0
f 1x2 dx (2)
an
2
p
p
0
f 1x2 cos
np
p
x dx. (3)
ii) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (p, p) es la serie de
senos
f1x2 ⫽ a
q
n⫽1
bn sen
np
p
x, (4)
donde bn ⫽
2
p 冮
p
0
f 1x2 sen
np
p
x dx. (5)
Ejemplo 1 Desarrollo en una serie de senos
Expanda f(x) x, 2 x 2, en una serie de Fourier.
Solución La inspección de la figura 10.6 muestra que la función dada es impar en
el intervalo (2, 2), por lo que desarrollamos f en una serie de senos. Con la identidad
2p 4, tenemos p 2. Por lo tanto (5), después de la integración por partes, es
bn ⫽ 冮
2
0
x sen
np
2
x dx ⫽
41⫺12n⫹1
np
.

8. 2 4 6 8 10
x
y
–4
–6
–8
–10 –2
Figura 10.7 Extensión periódica de la función f mostrada en la figura 10.6
y
x
π
1
–1
π
–
Figura 10.8 Función impar f
del ejemplo 2
1
0.5
0
–0.5
–1
–3 –2 –1 1 2 3
0
y
x
c) S3(x)
1
0.5
0
–0.5
–1
–3 –2 –1 1 2 3
0
y
x
a) S1(x)
1
0.5
0
–0.5
–1
–3 –2 –1 1 2 3
0
y
x
b) S2(x)
1
0.5
0
–0.5
–1
–3 –2 –1 1 2 3
0
y
x
d) S15(x)
Figura 10.9 Sumas parciales de la serie seno de (7) en el intervalo (–, )
Por lo tanto, f 1x2 ⫽
4
p a
q
n⫽1
1⫺12n⫹1
n
sen
np
2
x. (6) ❏
La función del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 10.1. De aquí que la
serie (6) converja a la función en (2, 2) y a la extensión periódica (de periodo 4) dada
en la figura 10.7.
Ejemplo 2 Desarrollo en una serie de senos
La función f(x) e
1,, p x 0
1, 0 x p
que se muestra en la figura 10.8 es impar en el
intervalo (, ). Con el valor de p tenemos a partir de (5)
bn ⫽
2
p 冮
p
0
112 sen nx dx ⫽
2
p
1 ⫺ 1⫺12n
n
,
y así f 1x2 ⫽
2
p a
q
n⫽1
1 ⫺ 1⫺12n
n
sen nx. (7) ❏
■ Fenómeno de Gibbs Con ayuda de un sistema asistido por computadora, en la
figura 10.9 se han trazado las gráficas S1(x), S2(x), S3(x), S15(x) de las sumas parciales
de los términos diferentes a cero de (7). Como se puede observar en la figura 10.9d), la
gráfica de S15(x) tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades en x 0, x ,
x , etc. Este “disparo” por las sumas parciales SN de los valores funcionales cerca
de un punto de discontinuidad no la empareja sino que permanece constante, aun cuando
el valor de N se considera elevado. Este comportamiento de una serie de Fourier cerca de
un punto en el cual f es discontinua se conoce como fenómeno de Gibbs.

9. y
x
L
–L
Figura 10.10 Reflexión par
y
x
L
–L
Figura 10.11 Reflexión impar
x
L
y
f(x) = f(x + L)
–L
y
x
L
y = x2, 0 x L
Figura 10.13 Función f
del ejemplo 3
Figura 10.12 Reflexión identidad
La extensión periódica de f en el ejemplo 2 sobre todo el eje x es una función meandro
(vea la página 226).
■ Desarrollos en semiintervalos A lo largo del análisis anterior quedó claro que
una función f estaba definida en un intervalo donde el origen era el punto medio, esto es,
p x p. Sin embargo, en muchos casos nos interesa representar una función definida
solamente para 0 x L mediante una serie trigonométrica. Lo anterior se puede llevar
a cabo de muchas formas diferentes por el suministro de una definición arbitraria de la
función en el intervalo –L x 0. Por brevedad, consideramos los tres casos más impor-
tantes. Si y f(x) se define en el intervalo 0 x L,
i) refleje la gráfica de la función respecto al eje y en –L x 0; la función es ahora par
en –L x L (consulte la figura 10.10); o
ii) refleje la gráfica de la función a través del origen en –L x 0; la función es ahora
impar en –L x L (vea la figura 10.11); o
iii) defina f en –L x 0 mediante f(x) f(x L) (consulte la figura 10.12).
Observe que los coeficientes de las series (1) y (4) utilizan solamente la definición de
la función en 0 x p (esto es, medio intervalo –p x p). De modo que, en la práctica,
no existe una necesidad real de hacer las reflexiones descritas en i) y ii). Si f se define en
0 x L, simplemente identificamos la mitad del periodo como la longitud del intervalo
p L. El coeficiente en las fórmulas (2), (3) y (5) y las series correspondientes generan
una extensión periódica par o impar con periodo 2L de la función original. Las series co-
seno y seno obtenidas de esta manera se conocen como desarrollos en semiintervalos.
Por último, en el caso iii) estamos definiendo que los valores funcionales en el intervalo
–L x 0 sean los mismos valores presentes en 0 x L. Como en los casos anteriores,
no hay una necesidad real para hacer esto. Se puede demostrar que el conjunto de fun-
ciones incluidas en (1) de la sección 10.2 es ortogonal en a x a 2p para cualquier
número real a. Seleccionando a p, obtenemos los límites de integración de (9), (10)
y (11) de esa sección. Sin embargo, para a 0 los límites de integración están desde
x 0 hasta x 2p. Por lo tanto, si f está definida en el intervalo 0 x L, identificamos
2p L o p L/2. La serie de Fourier resultante proporcionará la extensión periódica
de f con periodo L. De esta forma, los valores hacia los cuales converja la serie serán los
mismos en –L x 0 que en 0 x L.
Ejemplo 3 Desarrollo en tres series
Desarrollar f(x) x2
, 0 x L, a) en una serie coseno, b) en una serie seno y c) en una
serie de Fourier.
Solución La gráfica de la función está dada en la figura 10.13.
a) Tenemos
a0
2
L
L
0
x2
dx
2
3
L2
, an
2
L
L
0
x2
cos
np
L
x dx
4L2
112n
n2
p2 ,
donde, para encontrar el valor de an, se utilizó la integración por partes dos veces.
Por lo tanto, f 1x2
L2
3
4L2
p2 a
q
n1
112n
n2
cos
np
L
x. (8)
b) En este caso, nuevamente debemos integrar por partes dos veces:
bn ⫽
2
L 冮
L
0
x2
sen
np
L
x dx ⫽
2L2
1⫺12n⫹1
np
⫹
4L2
n3
p3 31⫺12n
⫺ 14.
Así, f 1x2 ⫽
2L2
p a
q
n⫽1
e
1⫺12n⫹1
n
⫹
2
n3
p2 31⫺12n
⫺ 14 f sen
np
L
x. (9)
c) Con p L/2, 1/p 2/L y n/p 2n/L, tenemos
a0
2
L
L
0
x2
dx
2
3
L2
, an
2
L
L
0
x2
cos
2np
L
x dx
L2
n2
p2

10. 1 2 3 4 5
t
π
π
–
f(t)
Figura 10.15 Función periódica
forzada f del ejemplo 4
y bn ⫽
2
L 冮
L
0
x2
sen
2np
L
x dx ⫽ ⫺
L2
np
.
Por lo tanto, f 1x2 ⫽
L2
3
⫹
L2
p a
q
n⫽1
e
1
n2
p
cos
2np
L
x ⫺
1
n
sen
2np
L
x f . (10)
Las series (8), (9) y (10) convergen a la extensión par periódica 2L de f, a la extensión
impar periódica 2L de f, y a la extensión periódica L de f, respectivamente. Las gráficas
de estas extensiones periódicas se muestran en la figura 10.14. ❏
■ Fuerza impulsora periódica A veces las series de Fourier resultan de utilidad para
determinar una solución particular de una ecuación diferencial que describe un sistema
físico, donde la entrada o fuerza conductora f(t) es periódica. En el ejemplo siguiente,
calculamos una solución particular de la ecuación diferencial
m
d2
x
dt2
kx f1t2 (11)
donde representamos a f, en primera instancia, mediante un desarrollo en serie de seno
en un semiintervalo y suponiendo entonces una solución particular de la forma
xp1t2 ⫽ a
q
n⫽1
Bn sen
np
p
t. (12)
Ejemplo 4 Solución particular de una ecuación diferencial
Un sistema masa-resorte no amortiguado, donde la masa m 1
16 slugs y la constante del
resorte k 4 libras/pie, está manejado mediante la fuerza externa f(t) con periodo 2 ilus-
trada en la figura 10.15. Aunque la fuerza f(t) actúa sobre el sistema para t 0, observe
que si la gráfica de la función se amplía con periodo 2 al eje t negativo, obtenemos una
función impar. En términos prácticos, esto significa que solamente necesitamos encon-
trar el desarrollo de senos de semiintervalo de f(t) t, 0 t 1. Considerando el valor
p 1, a partir de (5) y mediante integración por partes se deduce que
bn ⫽ 2冮
1
0
pt sen npt dt ⫽
21⫺12n⫹1
n
.
y
x
a) Serie de cosenos
L
y
x
b) Serie de senos
L
y
x
c) Serie de Fourier
L
4L
3L
2L
–4L –3L –2L –L
4L
3L
2L
–4L –3L –2L –L
4L
3L
2L
–4L –3L –2L –L
Figura 10.14 Diferentes extensiones periódicas de la función f

11. A partir de (11) puede observarse que la ecuación diferencial del movimiento es
1
16
d2
x
dt2 ⫹ 4x ⫽ a
q
n⫽1
21⫺12n⫹1
n
sen npt. (13)
Para encontrar la solución particular xp(t) de (13), sustituimos (12) en la ecuación e igua-
lamos los coeficientes de sen nt. Esto nos da
a⫺
1
16
n2
p2
⫹ 4bBn ⫽
21⫺12n⫹1
n
o Bn ⫽
321⫺12n⫹1
n164 ⫺ n2
p2
2
.
Por lo tanto, xp1t2 ⫽ a
q
n⫽1
321⫺12n⫹1
n164 ⫺ n2
p2
2
sen npt. (14) ❏
En la solución (14), observe que no existe entero alguno n 1 para el que el deno-
minador 64 n2
2
de Bn sea cero. En general, si existe un valor de n, digamos N, para
el cual N/p , donde 1km, entonces el sistema descrito en (11) es un estado
de resonancia pura. En otras palabras, tenemos resonancia pura si el desarrollo en series
de Fourier de la fuerza conductora f(t) posee un término sen(N/L)t (o cos(N/L)t) a la
misma frecuencia que la correspondiente a las vibraciones libres.
Desde luego, si la extensión periódica 2p de la fuerza conductora f en el eje t negativo
nos da una función par, entonces desarrollamos f en una serie de cosenos.
EJERCICIOS
En los problemas del 1 al 10, determine si la función es par,
impar o de ninguna de las dos formas.
1. f(x) sen 3x 2. f(x) x cos x
3. f(x) x2
x 4. f(x) x3
4x
5. f(x) e|x|
6. f(x) ex
ex
7. f 1x2 e
x2
, 1 x 0
x2
, 0 x 1
8. f 1x2 e
x 5, 2 x 0
x 5, 0 x 2
9. f(x) x3
, 0 x 2 10. f(x) |x5
|
En los problemas del 11 al 24, desarrolle la función dada en
una serie apropiada de cosenos o senos.
11. f 1x2 e
1, p x 0
1, 0 x p
12. f 1x2 •
1, 2 x 1
0, 1 x 1
1, 1 x 2
13. f(x) |x|, x 14. f(x) x, x
15. f(x) x2
, 1 x 1 16. f(x) x|x|, 1 x 1
17. f(x) 2
x2
, x
18. f(x) x3
, x
19. f 1x2 e
x 1, p x 0
x 1, 0 x p
20. f x
x 1, 1 x 0
x 1, 0 x 1
21. f 1x2 µ
1, 2 x 1
x, 1 x 0
x, 0 x 1
1, 1 x 2
22. f 1x2 •
p, 2p x p
x, p x p
p, p x 2p
23. f(x) |sen x|, x
24. f(x) cos x, /2 x /2
En los problemas del 25 al 34, determine los desarrollos cose-
no y seno de semiintervalo para la función proporcionada.
25. f 1x2 e
1, 0 x 1
2
0, 1
2 x 1
26. f 1x2 e
0, 0 x 1
2
1, 1
2 x 1
27. f(x) cos x, 0 x /2
28. f(x) sen x, 0 x
29. f 1x2 e
x, p0 x p2
p x, p2 x p
30. f 1x2 e
0, 0 x p
x p, p x 2p

12. L/3 2L/3 L
x
w(x)
w0
Figura 10.16 Gráfica para el problema 46
31. f 1x2 e
x, 0 x 1
1, 1 x 2
32. f 1x2 e
1, 0 x 1
2 x, 1 x 2
33. f(x) x2
x, 0 x 1
34. f(x) x(2 x), 0 x 2
En los problemas del 35 al 38, desarrolle la función dada en
una serie de Fourier.
35. f(x) x2
, 0 x 2 36. f(x) x, 0 x
37. f(x) x 1, 0 x 1 38. f(x) 2 x, 0 x 2
En los problemas 39 y 40, proceda como en el ejemplo 4 para
calcular una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuan-
do m 1, k 10, y la fuerza conductora f(t) es la que se
proporciona. Suponga que al extenderse f(t) al eje t negativo en
forma periódica, la función resultante es impar.
39. f 1x2 e
5, 0 t p
5, p t 2p
; f 1t 2p2 f1t2
40. f(t) 1 t, 0 t 2; f(t 2) f(t)
En los problemas 41 y 42, proceda como en el ejemplo 4 para
calcular una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuan-
do m 1
4, k 12, y la fuerza conductora f(t) es como se indica.
Suponga que al extenderse f(t) al eje t negativo de manera pe-
riódica, la función resultante es par.
41. f(t) 2t t2
, 0 t 2; f(t 2) f(t)
42. f 1x2 e
t, 0 t 1
2
1 t, 1
2 t 1
; f1t 12 f1t2
43. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 39,
x 10x f(t), sujeta a las condiciones iniciales
x(0) 0, x(0) 0.
b) Utilice un sistema asistido por computadora para
trazar la gráfica de la solución x(t) determinada en el
inciso a).
44. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 41,
1
4 x 12x f(t), sujeta a las condiciones iniciales
x(0) 1, x(0) 0.
b) Utilice un sistema asistido por computadora (CAS)
para trazar la gráfica de la solución x(t) determinada
en el inciso a).
45. Suponga que una viga uniforme de longitud L se encuen-
tra soportada en x 0 y en x L. Si la carga por uni-
dad de longitud está dada por w(x) w0x/L, 0 x L,
entonces la ecuación diferencial de la deflexión y(x) es
EI
d4
y
dx4
w0 x
L
,
donde E, I y w0 son constantes. (Vea (4) en la sección
3.9.)
a) Desarrolle w(x) en una serie de senos de semintervalo.
b) Utilice el método del ejemplo 4 para calcular una
solución particular y(x) de la ecuación diferencial.
46. Proceda igual que en el problema 45 para calcular una
solución particular y(x) cuando la carga por unidad de
longitud está dada como indica la figura 10.16.
Tareas para el laboratorio de cómputo
En los problemas 47 y 48, mediante el uso de un sistema asisti-
do por computadora, grafique las sumas parciales{SN(x)} de la
serie trigonométrica dada. Experimente con diferentes valores
de N y con gráficas en intervalos distintos del eje x. Utilice sus
gráficas para formular una expresión de forma cerrada para una
función f definida por 0 x L que esté representada por las
series.
47. f1x2 ⫽ ⫺
p
4
⫹ a
q
n⫽1
c
1⫺12n
⫺ 1
n2
p
cos nx ⫹
1 ⫺ 21⫺12n
n
sen nxR
48. f 1x2
1
4
4
p2 a
q
n1
1
n2
a1 cos
np
2
b cos
np
2
x
Problemas de análisis
49. ¿Su respuesta a los problemas 47 o 48 es única? Propor-
cione una función f definida en un intervalo simétrico
respecto al origen –a x a que tenga la misma serie
trigonométrica del problema 47; y del problema 48.
50. Analice por qué el desarrollo de la serie de cosenos de
Fourier de f(x) ex
, 0 x converge hacia ex
en el
intervalo x 0.
51. Suponga que f(x) ex
, 0 x se desarrolla en una
serie de cosenos y f(x) ex
, 0 x en una serie de
senos. Si las dos series se suman y después se dividen
entre 2 (esto es, se obtiene su promedio), tendremos una
serie de cosenos y senos que también representa f(x)
ex
en el intervalo 0 x . ¿Es ésta una serie de Fourier
completa de f? [Sugerencia: ¿Qué representa el promedio
de la serie coseno y seno en el intervalo x 0?]
52. Demuestre las propiedades a), c), d), f) y g) relaciona-
das en el teorema 10.2.