algunas formulas para las áreas de regiones planas

1. ÁREAS DE SUPERFICIES
PLANAS
Bayron Gutiérrez
Wilson Moya
Jhonatan Sierra
LinaVega

2. REGIÓN POLIGONAL.
un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de
segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos
segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman
vértices. El interior del polígono es llamado área.
La superficie, entendida como la forma y extensión de la figura se denomina
región poligonal. Una región poligonal es un subconjunto de un plano
delimitado por un polígono. Todos los polígonos representan regiones
poligonales.

3. ÁREA DE SUPERFICIE.
El área es la superficie comprendida dentro de un
perímetro. A cada región poligonal se le puede asignar
un número positivo único denominado medida del área.
La medida del área es un valor que indica la cantidad de
su superficie. La unidad área de las medidas de superficie
es el cuadrado que tiene por lado la unidad de longitud.
Se acostumbra a utilizar como unidad el metro cuadrado
(m2), que corresponde a un cuadrado de un metro de
lado, o uno de sus submúltiplos o múltiplos, de acuerdo a
la extensión de la figura.

4. FIGURAS IGUALES.
Dos figuras son iguales cuando pueden
coincidir por superposición.
FIGURAS EQUIVALENTES
Los figuras son equivalentes cuando tienen igual área o la
misma medida de área, sin tener la misma forma. Dos
polígonos que son congruentes, son equivalentes. Dos
figuras equivalentes no necesariamente son iguales, es
decir, un cuadrado y un triangulo pueden ser equivalentes
ya que tienen la misma área, pero no son iguales.
ÁREA DE REGIONESCONGRUENTES
Si dos polígonos son congruentes, entonces,
las regiones tienen la misma área.

5. ÁREA DE UN
RECTANGULO.
un rectángulo es un paralelogramo cuyos
cuatro lados forman ángulos rectos entre sí.
Los lados opuestos tienen la misma longitud.
El perímetro de un rectángulo es igual a la
suma de todos sus lados 𝒫 = 2𝑎 + 2𝑏.
El área de un rectángulo es igual al producto
de uno de sus lados, denominado base, por la
altura sobre ese lado. El área del rectángulo
está dado por la ecuación:
Α∎ = 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 𝑏ℎ
ÁREA DE UN
CUADRADO.
El cuadrado se considera un caso de
rectángulo en el que todos sus lados tienen la
misma longitud.; el área es igual al producto
de su lado por si mismo, es decir, al cuadrado
del lado. Entonces en un cuadrado de lado l,
el área es:
Α∎ = 𝑙2

6. ÁREA DE UN
PARALELOGRAMO.
Un paralelogramo es un tipo especial de
cuadrilátero (un polígono formado por cuatro
lados) cuyos lados opuestos son iguales y
paralelos dos a dos.
El área de un paralelogramo es igual al producto
de su base por su altura Α∎ = 𝑏. ℎ.
COROLARIOS
1. Dos paralelogramos de igual base e igual altura
son equivalentes.
2. Las áreas de dos paralelogramos de igual base
son proporcionales a sus alturas, y las áreas de
dos paralelogramos de igual altura son
proporcionales a sus bases.
3. Las áreas de dos paralelogramos son entre si
como los productos de sus bases por sus alturas
4. Considerado el rombo como un paralelogramo,
el área de un rombo es igual al producto de la
base por la altura.

7. ÁREA DE UNTRAPECIO.
Trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos que no lo son. Los lados
paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos altura.
El área de un trapecio es igual al producto de la semisuma de sus bases por su altura
Α𝜏 =
1
2
𝐵 + 𝑏 ℎ.
COROLARIO.
El área de un trapecio es igual al producto de la
altura por el segmento de recta que une los
puntos medios de los lados no paralelos

8. ÁREA DE UN TRAPECIO EN FUNCIÒN DE SUS
CUATRO LADOS.
Sea ABCD el trapecio, de lados: a, b, c y d.
Trácese las altura 𝐵𝑀 = 𝐴𝑁 = ℎ y se consigue los triángulos rectángulos CMB y AND y
los catetos y, x, donde:
es la ecuación que relaciona el área de un trapecio en función de sus lados
    dcPdaPdPbP
db
db
A 









9. ÁREA DE UN CUADRILATERO
CUALQUIERA.
• El área de un cuadrilátero cualquiera es igual al
producto de una diagonal por la semisuma de
las perpendiculares bajadas a esta diagonal
desde los otros dos vértices.
( )
2
BF DG
A EC



10. AREA DE UN POLÍGONO
CUALQUIERA.
El área de un polígono cualquiera se puede hallar descomponiendo el polígono en triangulo y la
suma de dichas áreas corresponde al área del polígono. De acuerdo a lo anterior, el área del
polígono ABCDE, es Α = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
.

11. ÁREA DE UN POLÍGONO
REGULAR. El área de un polígono regular es igual al semi-producto
del perímetro por la apotema 𝐴 =
𝑃𝑎
2
.

12. ÁREA DEL CÌRCULO.
El área del círculo es igual al producto de 𝜋
por el cuadrado del radio 𝐴Θ = 𝜋. 𝑅2
.

13. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR.
El área de un sector circular S de n grados (nº), se obtiene por la relación
2
º
360º
O BMC
R n
A

 

14. SECTORES CIRCULARES
SEMEJANTES.
Dos sectores circulares son semejantes cuando
tienen la misma amplitud (nº); pero, pertenecen a
círculos diferentes de radios diferentes. TEOREMA.
Las áreas de dos sectores circulares semejantes
son proporcionales a los cuadrados de sus radios.
2
1 1
2
2 2
A R
A R


15. ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR.
• El área de un segmento circular es igual a la
diferencia o la suma de las áreas del sector
correspondiente al arco del segmento, y del
triángulo que tiene por base la cuerda del
segmento y por vértice el centro del círculo,
según que el arco respectivo sea menor o
mayor que la semicircunferencia.
• El área del segmento circularABC es igual al
área del sectorAOBC, menos el área del
triangulo AOB

16. TEOREMA.
• El área de un trapecio circular limitado por dos arcos de radios R1 y R2 y por
dos radios que forman el ángulo central nº, está dada por la ecuación:
2 2
1 2º( )
360º
n R R
A
 


17. ÁREA DE UNA CORONA
CIRCULAR.
El área de una corona circular es igual a la diferencia entre las
áreas de los dos círculos que la limitan.
El área de la corona circular C, es:
𝐴 = 𝜋𝑅1
2
− 𝜋𝑅2
2
= 𝜋(𝑅1
2
− 𝑅2
2
)

18. ÁREA DE UNTRIANGULO.
El área de un triángulo es igual al semi-producto de uno de sus lados por la
altura sobre ese lado ΑΔ =
1
2
𝑏. ℎ.
COROLARIOS
1. Todos los triángulos que tienen bases y alturas iguales
respectivamente son equivalentes.
2. Las áreas de dos triángulos de bases iguales son entre
sí como sus alturas respectivas; las áreas de dos
triángulos de alturas iguales son entre sí como sus
respectivas bases
3. Las áreas de dos triángulos cualesquiera son entre sí
como los productos de las bases por las respectivas
alturas.
4. El producto de los catetos de un triángulo rectángulo es
igual al producto de la hipotenusa por la perpendicular
bajada a ella del vértice del ángulo recto.

19. TEOREMA DE PITÀGORAS PARA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
El área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a
la suma de las áreas los cuadrados construidos
sobre los catetos. Si a y b son los catetos y c es la
hipotenusa: a² = b² +c²
COROLARIOS.
1. La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la
suma de los catetos
2. El cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de
la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto
3. Un cateto es igual a la raíz cuadrada de la
diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y
el cuadrado del otro cateto

20. CALCULO DEL ÁREA DE UN
TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DE SUS
LADOS. ECUACION DE HERON.
Herón de Alejandría, vivió entre 150 y 100 a de C. Matemático y físico griego,
polifacético, autor de escritos geométricos, de mecánica y Se le atribuye la ecuación
para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.
Sea el ∆𝐴𝐵𝐶
La ecuación de la altura sobre el lado c, es:
hc =
2
c
P(P − a)(P − b)(P − c), con P =
a+b+c
2
Entonces: A∆=
c. hc
2
=
c
2
2
c
P P − a P − b P − c
luego A∆= P(P − a)(P − b)(P − c),
esta la ecuacion para calcular el area en funcion de sus lados

21. ÁREA DE UNTRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE
SUS ALTURAS.
Sea ABC un triángulo cualquiera, donde x, y, z
son las alturas sobre los lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶
respectivamente.
𝐴Δ=Área del triángulo; el área en función de
sus alturas está dada por:
442242424442244
222
222 xyzxyzxyzyzxyzx
zxy
A



22. ÁREA DE UNTRIANGULO EN FUNCION DE SUS
MEDIANAS.
Sea el triánguloABC, con: x, y, z las medianas.
Sean: M, N y D los puntos medios de los lados a, b y c; 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎 ;
𝐴𝑁 = 𝑥 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎, 𝐵𝑀 = 𝑦 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏;
𝐶𝐷 = 𝑧 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐
))()((
3
4
zkykxkkA 
,
;
,