El documento resume las propiedades y aplicaciones de la integral definida. Explica que la integral definida se usa para calcular el área bajo una curva entre dos puntos y presenta algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que cambiar los límites cambia el signo. Luego detalla cómo se pueden usar las integrales definidas para calcular áreas, volúmenes, longitudes de arcos y áreas laterales de revolución.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
SEDE: CABUDARE – ESTADO LARA
Aplicaciones de la integral definida
Alumno: Camilo Figueroa
CI: 27279106
Carrera: Ingeniería mecánica
Asignatura: Introducción a la Ingenierí

2. integral definida:
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y
rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que
es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de
la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de
ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades de la integral definida:
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
 Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
 Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su
integral es negativa.
 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la
función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
 Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
 Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
 Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x),
se verifica que:
Función integral:

3. Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función
matemática de la forma:
donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t.
Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o,
también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.
Interpretación geométrica de la función integral o función área.
Teorema fundamental del cálculo integral:
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del
denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su
función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la
integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
 Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
 Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
 El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
Aplicaciones de la integral definida:
Área del recinto limitado por la gráfica de una función:
Sea f(x) continua y f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:
El área delrecinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de abcisas y dos rectas verticales es:

4. Sea f(x) continua y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:
El área delrecinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de abcisas y dos rectas verticales es:
Sea f(x) continua y f(x) toma valores positivos y negativos en subintervalos de [a, b]:
Cuando f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a,b], su gráfica determina con el eje OX varias regiones. Habrá que
identificar el signo de la función en cada uno de los subintervalos y calcular el área de cada una de las regiones para
posteriormente sumarlas.
Área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones.
Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y tales que f1(x) ≤ f2(x) para todo x en [a, b], entonces el área de
la región R = {(x,y)ÎÂ2
, a ≤ x ≤ b y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, es:
Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a,b] y tales que sus gráficas se cruzan en un número finito de puntos,
entonces el área de la región limitada por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b es:
Como caso particular, si f: [a, b] en  una función integrable en [a,b] que no mantiene signo constante en dicho
intervalo, entonces el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas,y las rectas verticales x = a, y x = b
es:
Volúmenes de revolución :
El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua f(x) sobre un intervalo dado
del eje de abcisas puede considerarse igual a la suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que

5. pueden ser construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro
infinitesimal: superficie de la base –círculo de radio f(xi)- por la altura Δxi).
Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución engendrado al girar en torno al eje
X, el recinto limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x) viene dado por:
Longitud del arco de una curva:
La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann, se obtendría como la suma
infinita de las longitudes infinitesimales de arco.
Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b]; entonces la
longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:
Área lateral de revolución:
Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b]; entonces el área
lateral de revolución engendrada por f(x) al girar en torno al eje X, entre las rectas x=a y x=b, es: