Aplicación de la integral definida

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE/ESTADO LARA

2. La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y
sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias
pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la
integral definida.
La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada
entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x
= b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva). Esta integral se
representa por:
a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la
integración

3. Área del recinto limitado por la gráfica de una función
• Sea f(x) continua y f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de
abscisas y dos rectas verticales es:
• Sea f(x) continua y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de
abscisas y dos rectas verticales es:
• Sea f(x) continua y f(x) toma valores positivos y negativos en
subintervalos de [a, b]:
Cuando f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a, b], su gráfica determina
con el eje OX varias regiones. Habrá que identificar el signo de la función en cada
uno de los subintervalos y calcular el área de cada una de las regiones para
posteriormente sumarlas.

4. Área del recinto limitado por la gráfica de dos
funciones
• Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y tales que
f1(x) ≤ f2(x) para todo x en [a, b], entonces el área de la región R
= {(x,y)2, a ≤ x ≤ b y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)},es:
• Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus
gráficas se cruzan en un número finito de puntos, entonces el área de la
región limitada por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b es:
• Como caso particular, si f: [a, b] en  una función integrable en [a, b] que
no mantiene signo constante en dicho intervalo, entonces el área de la
región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales
x = a, y x = b es:

5. Volúmenes de revolución
• El volumen V de revolución engendrado por el área que
define una curva continua f(x) sobre un intervalo dado del
eje de abscisas puede considerarse igual a la suma de los
infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser
construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del
volumen V (el volumen del cilindro infinitesimal: superficie
de la base –círculo de radio f(xi)- por la altura Δxi).
Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen
de revolución engendrado al girar en torno al eje X, el recinto
limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x)
viene dado por:

6. Longitud del arco de una curva
• La longitud de un arco cualquiera para una
curva continua e integrable Riemann, se
obtendría como la suma infinita de las
longitudes infinitesimales de arco.
Sea f una función real continua en [a,b], tal que
su derivada f ' también es continua en [a, b];
entonces la longitud de la gráfica de f
entre x=a y x=b es:

7. Área lateral de revolución
• Sea f una función real continua en [a, b], tal
que su derivada f ' también es continua en [a,
b]; entonces el área lateral de revolución
engendrada por f(x) al girar en torno al eje X,
entre las rectas x=a y x=b, es:

8. • 1. Si f(x) es integrable en [a, b] entonces está acotada en
[a, b].
• 2. Si f(x) es continua en [a, b] entonces es integrable en
[a, b].
• 3. Si f(x) está acotada en [a, b] y presenta en dicho
intervalo un número finito de discontinuidades, entonces
es integrable en [a, b].
• 4. La integral definida es lineal, es decir: Si f(x) y g(x) son
dos funciones integrables en [a, b], entonces su suma
también lo es y se verifica:

9. mientras que si k es un número real cualquiera,
entonces:
5. Dados tres números reales a, b y c, se verifica:
siempre que las integrales anteriores existan
6. Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] y ambas son
integrables en [a, b], entonces se verifica:

10. • 7. Si a < b y f(x) es integrable en [a, b], se
verifica: