El diseño indirecto de controladores discretos implica primero diseñar un controlador continuo y luego mapearlo a un controlador discreto usando métodos como discretización numérica, aproximación de la evolución temporal o mapeo de polos y ceros. Esto permite preservar propiedades del controlador continuo como ganancia y respuesta a frecuencias clave al transformarlo a un controlador discreto.

1. Diseño indirecto

2. Introducción
• El diseño indirecto ignora los retenedores y
muestreadores del sistema discretizado, parte de
generar un controlador contínuo, luego se busca la
mejor implementación discreta.
– La discretización del controlador intenta preservar
propiedades como la ganancia en continua, respuesta a
frecuencias de interés, respuesta temporal, etc.
– Alternativas: discretización numérica, aproximación de
la evolución temporal, mapeo de polos y ceros.

3. Discretización numérica
• Estos métodos se basan en aproximar los operadores
integral y derivada por medio de ecuaciones en
diferencias.
– Se apoyan en la suposición de que las señales continuas
involucradas no sufren variaciones significativas en el
interior del periodo de muestreo.
– Esta transformación del plano s al plano z introduce
distorsión en la frecuencia.

4. Diferencias hacia atrás
• El operador derivada se aproxima por la ecuación en
diferencias siguiente (pendiente).
dx(t ) x( kT )−x(kT −T )
∣t=kT = =d (kT )
dt T
siendo T el periodo de muestreo.
– Aplicando transformada Z.
X ( z )(1−z−1 )
D( z)=
T

5. – La función de transformación del plano s al plano z se
obtiene igualando las funciones de transferencia del
operador derivada en continua y en discreta.
−1
1− z
s= ⇒ H (z )=G ( s )∣ z−1
T s=
Tz
– El mapeo de las regiones de estabilidad es como sigue:
s z

6. Diferencias hacia adelante
• El operador integral se aproxima por la ecuación en
diferencias siguiente (rectángulos).
∫ x(t)dt∣t=kT =i(kT −T )+Tx(kT −T )=i(kT )
siendo T el periodo de muestreo.
– Aplicando transformada Z.
−1
X ( z)Tz
I (z )=
1−z −1

7. – La función de transformación del plano s al plano z se
obtiene igualando las funciones de transferencia del
operador integral en continua y en discreta.
−1
1 Tz
= ⇒ H ( z )=G ( s )∣ z−1
s 1−z −1 s=
T
– El mapeo de las regiones de estabilidad es como sigue:
s z

8. Transformada bilineal
• El operador integral se aproxima por la ecuación en
diferencias siguiente (trapecios).
x (kT −T )+x(kT )
∫ x (t )dt∣t=kT =i (kT −T )+T 2
=i (kT )
siendo T el periodo de muestreo.
– Aplicando transformada Z.
−1
T X ( z )(1+z )
I (z )=
2 1−z −1

9. – La función de transformación del plano s al plano z se
obtiene igualando las funciones de transferencia del
operador integral en continua y en discreta.
−1
1 T 1+z
= ⇒ H ( z )=G ( s )∣ 2 z−1
s 2 1−z −1 s=
T z+1
– El mapeo de las regiones de estabilidad es como sigue:
s z

10. • Transformada bilineal con predistorsión en la
frecuencia.
– Se impone que los filtros continuo y discreto tengan el
mismo comportamiento a determinadas frecuencias de
interés.
( G( jw )=G ( s )∣s=jw
H ( jw )=H ( z )∣z=e jwT ) G ( jw i )=H ( jw i )
– El método directo para una sola frecuencia de interés
consiste en aplicar la transformación
wi z−1
s=
tan ( wi T / 2 ) z+1

11. Aproximación de la evolución
temporal
• Estos métodos se basan en intentar que las
respuestas temporales de los filtros continuo y
discreto sean lo más cercanas posible.
– Se analizan las respuestas ante entradas normalizadas.

12. Método de la respuesta impulsiva
invariante
• Se exige que la respuesta impulsiva del filtro digital
coincida con las muestras de la respuesta impulsiva
del filtro analógico, añadiendo el factor T.
−1 −1
g d ( kT )=Z {G d ( z)} =TL {G (s )}∣t=kT
• Aplicando transformada Z
G d (z )=TZ { G( s) }

13. Método de la respuesta invariante
ante escalón
• Se exige que la respuesta ante escalón del filtro
digital coincida con las muestras de la respuesta ante
escalón del filtro analógico.
g d ( kT )=Z
−1
{ 1
1−z } { }
G ( z ) =L
−1 d
−1 1
s
G( s) ∣t=kT
• Aplicando transformada Z
1
G d (z )=(1−z −1 )Z { s }
G (s )

14. Mapeo de polos y ceros
• Este método se basa en trasladar los polos del filtro continuo
en el plano s al plano z.
– Se utiliza la función de transformación z=exp(sT).
– Puede ajustarse la ganancia del filtro en alguna frecuencia de
interés. Por ejemplo, para un filtro paso bajo:
G( s)∣s=0 =kH ( z)∣z= 1
– Puede ajustarse también el retardo de la respuesta.

15. Procedimiento de diseño
indirecto
1. Obtener el Controlador contínuo Gc(s) que satisfaga los criterios
de diseño y desempeño deseados.
2. Mapear el controlador contínuo en uno digital Gc(z) mediante una
de las reglas de transformación presentadas previamente.
3. Hacer ajustes finos en Gc(z) para cumplir criterios de diseño en
tiempo discreto (si es necesario).
4. Probar el desempeño del sistema de control digital en lazo cerrado
para verificar el cumplimiento de los criterios deseados. Repetir
pasos 1 a 3 hasta satisfacer requerimientos.